CC BY
49
УДК 664.68+519.24 А.В. Бараненко, Б.А. Вороненко, Б.К. Гусев,
В.В. Пеленко, С.В. Поляков
ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ КРЕМА КОНДИТЕРСКОГО В ХОЛОДИЛЬНОЙ КАМЕРЕ
В статье получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукции и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, температуры теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.
Одним из этапов технологического процесса производства крема кондитерского является процесс охлаждения в холодильной камере упакованного в транспортную тару продукта. Это необходимо для проведения процесса созревания, который совершается в течение суток, при этом значение температуры колеблется в пределах от 180С (начальная температура) до 3-50С (конечная температура). Длительность процесса охлаждения зависит от многих факторов, а именно: от теплопроводных свойств и продукта, и упаковки; их геометрической формы и размеров, а также от температуры теплоотводящей среды.
Решение краевой задачи сводится к нахождению полей температур, т.е. распределения температуры в продукте и таре в любой момент времени процесса охлаждения.
В нашем случае поставленная задача является сопряженной с задачей охлаждения оболочки и усложняется граничными условиями четвертого рода. С учетом условий окончательное решение краевой задачи получено за счет использования методов математической физики.
Длительность процесса охлаждения крема кондитерского зависит как от теплопроводных свойств продукта и материала упаковки, так и от температуры теплоотводящей среды. Также на длительность времени протекания данного процесса оказывают влияние и геометрические формы, и размеры, как упаковки, так и продукта.
Все эти параметры определяют качество конечного (готового) продукта [1]. Тара (оболочка), которую полностью (без зазоров) заполняет кондитерский крем, представляет собою параллелепипед, т.е. пластину конечных размеров 211 х 212 х 213.
Таким образом, имеем слоистую систему, состоящую из трех тел: тара - продукт - тара. Математическое описание процесса охлаждения крема кондитерского заключается в формировании и решении системы уравнений теплопроводности
{х, у, г,т) = 2 у, ^т) (т> 0,0 < х < I,,, , = 1, 2,3); (1)
дт
2(х,у,г,т) = а2у2(х,у,^т) (т> о, 11 < х < ^, = 1, 2, 3) дт
при следующих краевых условиях:
г1 (х, у, г, о) = г 2 (х, у, г,0) = г0 = еотг; ^
tii.li, у, г,т) = г 2 (11, у, г,т);
(4)
dtl (lh y, z,r) dt2 (h, y, z,r)
1 dx = "^—dx—; (5)
tx( x, l2, Z,T) = 12 (x, l2, Z,t}, (6)
. dti (x, I2, z,t) . dt2(x l2,Z,t}
~я'—дУ— = _l2—dy—; (7)
tx( x, y, l3,t) = 12 (x, y, l3,t}
(8)
, dti(x y, 1ъ,т) dt2(x, y,l3,t)
Zl—dz— = “^—dz— • (9)
dti (0, y, z,t) _ dti (x,0, z, t) _ dt1 (x, y,0, t) _ n
dx = dy = dz = ; (10)
12( R1, y, z,t) = 12 (x, R2, z,t) = 12 (x, y, R 3,t) = tc = const. (11)
Равенства (3) - начальное условие, описывающее равномерное распределение температуры по объему тела (продукта) и тары. Не снижая общности постановки задачи, считаем, что в момент загрузки тары с продуктом (начало процесса охлаждения) все элементы имеют одинаковую температуру.
Системы уравнений (4)-(5), (6)-(7), (8)-(9) - граничные условия четвертого рода, задающие равенства температур и тепловых потоков на границах продукта и оболочки при их совершенном термическом контакте. Равенства (10) - условия симметрии.
Равенства (11) - граничные условия первого рода, задающие постоянство температуры на границе тары с окружающей средой холодильной камеры.
Решение краевой задачи (1)-(11) заключается в нахождении полей температур, т.е. распределения температуры ti(x,y,z,0) в продукте и таре в любой момент времени процесса охлаждения.
Исследованию проблемы теплопереноса в слоистых средах посвящено значительное количество работ [2-10]. В частности, в [2,5,6] показано, что для пластины конечных размеров 2h х22х 23, начальная температура которой везде одинакова и равна to, все поверхности которой мгновенно охлаждаются до некоторой температуры ^<Ь, которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения, решение может быть представлено как произведение решений для трех неограниченных пластин, толщина которых соответственно равна 2h, 2Ь, 23, т.е.
ti(xУ,z,t)-tc ti(x,t)~tc ti(У,т)~tc ti(z,T)~tc
----------------=--------------------------------------. (12)
10 - tc t0 - tc t0 - tc 10 - tc
При этом температуры t1 (x,t), t1 (y,t), t1 (z,t) определяются решением дифференциальных уравнений
dti(x,T) = a d2ti(x,T). dti(У,т) = a d2h(У,т). dti(z,t) = a d2ti(z,T) (13)
dT 1 dx2 ’ dT 1 dx2 ’ dT 1 dx2
при соответствующих краевых условиях первого рода.
В нашем случае задача является сопряженной с задачей охлаждения оболочки и усложненной граничными условиями четвертого рода. С учетом этого окончательное решение краевой задачи (1)-(11) методами математической физики получено в следующем виде:
е = ti (x y, z,t)- tc
10 tc (14)
Г / \ 1
= £ A n Am A k °°s(MnX )COs(MmY )COs(MkZ )• exp[-(^n2 k2 +V-1 kl + til k2 )Fo\
n=1 m=1 k =1 li l2 l
л __ 12 (x, y, z,T)-tc
t0 - tc
= E! E! £ A nA mA k cncmck • eXp[-U2 k2 + tin kl + til k2 )fo]
n=1 m=1 k =1 l1 l2 l
Здесь
tin,/um /ik — последовательные положительные корни соответствующих уравнений:
(15)
kJgtit8}=1 (16)
где s=1 - соответствует n (направление x); s=2 - m (направление y); s=3 - k (направление z);
Л 2
As=-----------начальная тепловая амплитуда;
№sf>s
Фs=(1+ k£klsJka }sin jUs cos(tiskls }+ k£(1+)cos jUs sin (ti3 klsJka }
cn = cos tin cos^ (X —1)) - k£ sin tin sin^njka (X -1));
cm = costim cos(tim Vka (Y —1)) — k£ sintim sin(Mm^fka (Y —1));
ck = costik cos(tiktJK (Z —1)) — k£ sintik sin(tik4ka (X —1))-
Выводы
1. Поставлена краевая задача процесса охлаждения крема кондитерского, упакованного в тару, в холодильной камере.
2. Получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукте и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, температуры теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.
3. Из найденного аналитического решения могут быть определены величины теплопотерь в процессе охлаждения путем нахождения средней температуры по объему параллелепипеда, а также интенсивность (темп) охлаждения.
Обозначения
tt (x, y, z,t) - температура;
t0 - начальная температура;
tc - температура среды холодильной камеры;
x,y,z - текущие координаты;
2l 1,2l 2,2l3 - размеры продукта по осям координат;
R1 —11 = R2 —12 = R3 —13 = d - толщина оболочки (тары);
t - время;
i - индекс;
і = 1 і = 2
аі
л
Рі
С
К = ±
а2
- относится к первой среде - продукту;
- относится ко второй среде - оболочке;
- коэффициент температуропроводности;
- коэффициент теплопроводности;
- плотность;
- удельная теплоемкость;
- число (критерий), характеризующее инерционные свойства первой среды по отноше-
нию ко второй;
А
кх=—^ - число (критерий), характеризующее относительную проводимость среды;
к„
Л2
А
ЛИ
І
ЛіСіРі _ єх _ кл
Л2 С2Р 2 ^2 -у/ка
- критерий, характеризующий активность первой среды
по отношению ко второй;
£ = ^Аер = ^А - термический коэффициент, коэффициент проникновения или коэффициент тел/а
пловой активности;
X = х, У = у, 2 = - безразмерные координаты;
—і
—
к
а, т
Го = -1- - число Фурье;
к, = — (л = 1,2,3);
, « « - 1111 I - обобщенный размер: — = — + — + —;
I 11 12 1з
й = ^ - толщина оболочки;
г (х, у, г,т) — ?
0; =0; (X, У, 2, Го) =------------------------- - относительная избыточная температура.
£ — /■
о с
а
і
а
2
л
Литература
1. Гуляев, В.А. О связи параметров охлаждения продуктов в аппаратах интенсивного охлаждения / В.А. Гуляев, А.Г. Крысин, О.А. Цуранов // Актуальные проблемы совершенствования торгово-технологического оборудования: сб. науч. тр. СПбТЭИ. - СПб., 2007. - С. 4-9.
2. Смирнов, М.С. Температурное поле в трехслойной стенке при граничных условиях четвертого рода / М.С. Смирнов // Тепло- и массообмен в капиллярно-пористых телах. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1957. -
С.17-20.
3. Лыков, А.В. Теория тепло- и массопереноса / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. - М.: Госэнергоиздат, 1963. -535 с.
4. Алямовский, И.Г. Температурное поле ограниченного тела, имеющего форму параллелепипеда, с непрерывно действующим источником тепла / И.Г. Алямовский // Тепло- и массоперенос. - Минск: Изд-во АН БССР. Т^. Методика расчета и моделирования процессов тепло- и массообмена. - 1963. - С.14-18.
5. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. - М.: Наука, 1964. - 484 с.
6. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.
7. Егерев, В.К. Диффузионная кинетика в неподвижных средах / В.К. Егерев. - М.: Наука, 1970. - 239 с.
8. Цой, П.В. Методы решения отдельных задач тепломасоопереноса / П.В. Цой. - М.: Энергия, 1971. - 382 с.
9. Цой, П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса / П.В. Цой. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 416 с.
10. Кудинов, В.А. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций / В.А. Кудинов, Э.М. Карташов, В.В. Калашников. - М.: Высш. шк., 2005. - 430 с.
--------♦-----------
УДК 621 (07) Б.К. Гусев, В.В. Пеленко, А.М. Ширшиков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
На основе аналитического обзора работ по исследованию расфасовочноупаковочной техники показано, что ее совершенствование осуществляется, как правило, эвристическими методами, а выбор направлений исследования проводится на базе статистического анализа качества функционирования.
После проведения сравнительного анализа народнохозяйственных, конструктивных и динамических критериев впервые сделана попытка обоснования использования научного принципа оптимизации механических систем по удельному действию для рассматриваемого оборудования.
В настоящее время во всех странах большое внимание придается разработке и созданию высокопроизводительных машин для фасовки и упаковки всевозможных товаров с использованием различного вида упаковочных материалов (полиэтиленовая пленка, бумага, алюминиевая фольга и т.д.). Использование данного оборудования позволяет резко увеличить производительность труда работников торговли, увеличить прибыль и рентабельность предприятий торговли, уменьшить потери товаров, сократить время обслуживания покупателей.
Модернизация расфасовочно-упаковочных машин на основе оптимизации режимов их работы, повышения надежности за счет совершенствования методов расчета и конструирования будет иметь существенное значение.
Несмотря на широкие возможности автоматизации технологических процессов, выпускаемое расфасовочно-упаковочное оборудование имеет относительно низкую надежность. Это можно объяснить отсутствием строго научных подходов в вопросах совершенствования техники. Причиной данного положения можно назвать тот факт, что в практике конструирования в основе совершенствования лежат, как правило, эвристические методы. Большинство работ, посвященных исследованию данного класса оборудования, основывается на общепринятых подходах, которые базируются на накопленном многолетнем опыте конструкторов и исследователей.
При этом часто объект и номенклатура параметров совершенствования выбирается на основе сформировавшейся сферы научных интересов автора или материалах статистических исследований.
Но, несмотря на то, какой бы механизм был принят за объект исследования (кулисный механизм, пневмовакуумная система, система объемного дозирования и т.п.), какие бы параметры были приняты за предмет рассмотрения (производительность, долговечность, безотказность, ремонтопригодность и другие комплексные показатели), первопричиной недостаточно высокого качества узлов и механизмов рассматриваемого оборудования является их динамическое несовершенство.
Таким образом, исходным источником информации об объекте и направлениях исследования по совершенствованию оборудования пищевой промышленности должна быть математическая модель динамики функционирования этого объекта, а также система уравнений, описывающая удельные затраты по выбранным критериям действия.
Теоретическое обоснование
Совершенство - характеристика механической системы, определяющая совокупность критериев (производительность, себестоимость, надежность и др.) и естественно изменяющаяся с развитием производительных сил и производственных отношений науки и технологии. В зависимости от конкретной задачи необходимо отобрать определенные критерии. Совершенствование - это улучшение критериев применительно к заданным условиям.
