Аналитическое решение краевой задачи тепорпроводности в связи с процессом охлаждения крема кондитерского в холодильной камере Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 631

Аналитическое решение краевой задачи теплопроводности в связи с процессом охлаждения крема кондитерского

в холодильной камере

Бараненко А.В., Вороненко Б.А., Поляков С.В., Пеленко В.В.

Поставлена и решена краевая задача охлаждения крема кондитерского, упакованного в тару, в холодильной камере. Получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукте и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.

Ключевые слова: крем кондитерский, аналитическое решение, краевая задача, уравнение теплопроводности, тара, холодильная камера.

Одним из этапов технологического процесса производства крема кондитерского является охлаждение упакованного в транспортную тару продукта в холодильной камере для его созревания в течение суток от начальной температуры примерно 180С до конечной, равной 3-50С. Длительность охлаждения зависит от теплопроводных свойств продукта и упаковки, их геометрической формы и размеров, от температуры теплоотводящей среды. Все эти параметры определяют качество конечного(готового) продукта [1].

Тара (оболочка), которую полностью (без зазоров) заполняет кондитерский крем, представляет собою параллелепипед, т.е. пластину конечных размеров 2li х 2I2 х 2I3.

Таким образом, имеем слоистую систему, состоящую из трех тел: тара-продукт-тара. Математическое описание процесса охлаждения крема

кондитерского заключается в формировании и решении системы уравнений теплопроводности:

г)'л z,t) = ^V 2 ti (x, y, z,t) (t> 0, 0 < x < li, i = 1, 2, 3);

dt

d' 2 (x, y, z,t) =

dt

a1V '1 (x, y, z,

= «2V2'2 (x, y, z,t) (t> 0, I1 < x < Ri,i = 1,2,3)

при следующих краевых условиях:

'1 (x, y, z, o) = ' 2 (x, y, z,0) = t0 = cons';

'1(l1, y, z,t) =' 2 (I1, y, z,t);

d'1 (l1, ^ z,t) d' 2 (l1, ^ z,t)

1 dx 2 dx

'1( x, I2, z,t) = ' 2 (x, I2, z,t),

1 d'1 (x, I2, z, t) Q dt 2(x, l2, z,t)

—11-----^-------= —12 ~

dy

dy

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

hi x y, ht) =t2 (x y, ht);

<1 dt1(xy,l3,t) 0 dt2 (xy,l3,t)

— A\ ------------ = —12 ----------- ;

dz dz

9ti (0, y, z,t) dtx (x,0, z,t) dtx (x, y,0,t)

0;

(8)

(9)

(10)

dx dy dz

12(^1, y, z,t) = 12 (x, R2, z,t) = 12 (x, y, R 3,t) = tc = const (11)

Равенства (3) - начальные условия, описывающие равномерное

распределение температуры по объему тела (продукта) и тары: не снижая общности постановки задачи, считаем, что в момент загрузки тары с продуктом (начало процесса охлаждения) они имеют одинаковую температуру.

Системы уравнений (4)-(5), (6)-(7), (8)-(9)-граничные условия четвертого рода, задающие равенства температур и тепловых потоков на границах продукта и оболочки при их совершенном термическом контакте.

(10) - условия симметрии.

Равенства (11) - граничные условия первого рода, задающие постоянство температуры на границе тары с окружающей средой холодильной камеры.

Решение краевой задачи (1)-(11) заключается в нахождении полей температур, т.е. распределения температуры ti(x,y,z,0) в продукте и таре в любой момент времени процесса охлаждения.

Исследованию проблемы теплопереноса в слоистых средах посвящено значительное количество работ [2-10]. В частности, в [2,5,6] показано, что для пластины конечных размеров 2!j х2l2х 2l3, начальная температура которой везде одинакова и равна t0, все поверхности которой мгновенно охлаждаются до некоторой температуры tc<t0, которая поддерживается постоянной на

протяжении всего процесса охлаждения, решение может быть представлено как произведение решений для трех неограниченных пластин, толщина которых соответственно равна 2lj, 2l2, 2l3, т.е.

t1(x ^ z, т) — tc _ t1(x, Т) — tc t1 ^ T) — tc t1(z, t) — tc

t0 tc t0 tc t0 tc t0 tc

(12)

При этом температуры t1 (x,t), t1 (y,t), t1 (z,t) определяются решением дифференциальных уравнений:

dt1(x,t) = a d211(x,t). dt1 (У,т) = a d211 (y,t). dt1 (z,t) = a d2h(z,t)

dt dx2 dt dx2 dt dx2

при соответствующих краевых условиях первого рода.

В нашем случае задача является сопряженной с задачей охлаждения оболочки и усложненной граничными условиями четвертого рода. С учетом этого окончательное решение краевой задачи (1)-(11) методами математической физики получено в следующем виде: t1 (x,y,z,t) — tc _

01 =

t0 tc

= S S S AnAmAk cos(mnX)cos(mmY)cos(mkZ)• exp

n=1 m=1 k=1

I mn k i + mm

2 k2 +m2 k2

l2 k l3

\Fo

(13)

02

t2 (x, y, z,t)~ tc =

t0 — tc

¥ ¥ ¥

S S S A n А m A k cncmck ' exp n=1 m=1 к=1

-1 g2 к2 к2 + m2 к2 |Fo

/1 /2 /3

(14)

где:

mn ,mm,mk - последовательные положительные корни соответствующих

уравнений: ketggtg(gк1 ) = 1, где s=1 - соответствует n (направление

x), s=2 - m (направление y), s=3 - к (направление z);

As

Msjs

- начальная тепловая амплитуда;

js=

s=(1+кек1г[ка)sings cos(ms^^)+ k£(1+к-1к^^к~)cosms sin(mк^^К }

: cosgn cos^n^(X -1)) - к£ singn singn^(X -1));

"m

= cos mm cos(gm л/ка(Y - 1)) - k£ sin gm sln(gm д/^ (Y - 1));

2

c

n

ск =cos тк cosCmt ^(Z - О)- кеsin тк sin(mk (X - OX

Выводы

1. Поставлена краевая задача процесса охлаждения крема кондитерского, упакованного в тару, в холодильной камере.

2. Получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукте и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, температуры теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.

3. Из найденного аналитического решения могут быть определены теплопотери в процессе охлаждения путем нахождения средней температуры по объему параллелепипеда, а также интенсивность (темп) охлаждения.

Обозначения

ti (X, y, z,f) t 0 to

X, y, z 2/1,2/2,2/3

R1 - li = R2 -12 = R3 -l3 = d

t

i

i = 1 i = 2

Qj

1

Pi

Oi

k = Qi

ka ~

Q2

k = 1 k1= —

1

ke=k-

iiM

e

Qi _

a2 \

= 4ip=1

11c1p1 e1 k1

12O2p2 e2 л[ка

X = X, 7 = y, z = z

l3

Fo =

kis = f (s = 1,2,3),

l e

d = Rs - ls

Qi =Qi (X,7, Z,Fo) =

ti (x, y, z,t)- to

to to

l

l

1

2

2

/

— температура;

— начальная температура;

— температура среды холодильной камеры;

— текущие координаты;

— размеры продукта по осям координат;

— толщина оболочки (тары);

— время;

— индекс;

— относится к первой среде - продукту;

— относится ко второй среде - оболочке;

— коэффициент температуропроводности;

— коэффициент теплопроводности;

— плотность;

— удельная теплоемкость;

— число (критерий), характеризующее инерционные свойства первой среды по отношению ко второй;

— число (критерий), характеризующее относительную проводимость среды;

— критерий, характеризующий активность первой среды по отношению ко второй;

— термический коэффициент, коэффициент проникновения или коэффициент тепловой активности;

— безразмерные координаты;

— число Фурье;

— обобщенный размер: — = — + — + —;

l l1 l2 l3

— толщина оболочки;

— относительная избыточная температура.

Список литературы

1. Гуляев В.А., Крысин А.Г., Цуранов О.А. О связи параметров охлаждения продуктов в аппаратах интенсивного охлаждения // Сб.науч.трудов Санкт-Петербургского торгово-экономического института «Актуальные проблемы совершенствования торгово-технологического оборудования». -СПб, 2007. -С.4-9.

2. Смирнов М.С. Температурное поле в трехслойной стенке при граничных условиях четвертого рода. //Тепло- и массообмен в капиллярно-пористых телах. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1957, -С.17-20.

3. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. -535 с.

4. Алямовский И.Г. Температурное поле ограниченного тела, имеющего форму

параллелепипеда, с непрерывно действующим источником тепла. // Тепло- и массоперенос. -Минск: Издат.АН БССР, т.У «Методика расчета и

моделирования процессов тепло- и массообмена», 1963. -С.14-18.

5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.-М.: Наука, 1964. - 484 с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967. -600с.

7. Егерев В.К. Диффузионная кинетика в неподвижных средах. -М: Наука, 1970. -239 с.

8. Цой П.В. Методы решения отдельных задач тепломасоопереноса. -М.: Энергия, 1971. -382 с.

9. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. -М.: Энергоатомиздат, 1984. -416 с.

10. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. - М.: Высшая школа, 2005. -430 с.