Введение связностей на гиперповерхности w(d)

Попов Юрий Иванович

УДК 514.75 (08)

18

Ю. И. Попов

ВВЕДЕНИЕ СВЯЗНОСТЕЙ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ Q(A)

На нормализованной (оснащенной в смысле Нордена) гиперповерхности Qn-1(A) с Pn в ее различных подрасслоениях введены внутренние аффинные (касательные) и нормальные (центропроективные) связности. Приведены охваты соответствующих 2-форм кривизны и тензоров кривизны этих связностей.

The paper introduces internal affine (tangent) and normal (centroprojec-tive) connections on normalized (Norden's framed) hypersurface Qn-1(A) с Pn in its various subbundles. Coverages of the corresponding curvature 2 forms and curvature tensors of its connections are given.

Ключевые слова: нормализация, расслоение, подрасслоение, аффинная связность, центропроективная связность (нормальная связность), 2-форма кривизны, тензор кривизны связности.

Keywords: normalization, bundle, subbundle, affine connection, centrorojective connection (normal connection), curvature 2 form, curvature tensors of connection.

Во всей работе использована следующая схема индексов:

Ь = 1, п; р, ц, Ь = 1, т; а, Ь, с = т +1, п -1; г, ], к, I = 1, п -1; а, Ь = т +1, п; а = (т +1, п; 0); р, ц = (1, т; п); а = (0; 1, т; п).

1. Задание связностей на оснащенной гиперповерхности О(А)

1. Известно [1], что в репере 1-го порядка Я1 гиперповерность Опл(А) с Рп задается системой уравнений

— П — 1 n Л — 1 n Л ю0 - ®p - Кpqrag, юй - kabю0,

a л a i p л p i a л a i rap - Кpira ' raa - Kaira0' ran - Knira ,

(1)

-p pi"

где компоненты фундаментального объекта 2-го порядка

-р _nn л n Л a л p 1 2 - 1Кpq; Кab' Кpi' Кai' Kni}

удовлетворяют уравнениям

V^q +Kpqra0 - KUpqira , VKb +кпью0 - Kbi^ , (2)

Wpi +Vpira00 -sarap - K"pijraj, (3) VX? + X>0 +KnbSbrap -Spra0 -К jj,

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 1. С. 18 — 24.

\"71 а . л я 0 л а 0 ^ а

ухт +кта0 -хр1юп -Ь, юп = хщю .

Имеет место [1]

Теорема 1. Гиперповерхность Ж(А) проективного пространства Рп, заданная системой уравнений (1), (2), существует с произволом (2т + 1)х х(п - т - 1) функций (п - 1) аргумента.

2. Пусть гиперповерхность Ж(А) нормализована в смысле Нордена

def

[2], т. е. в каждой точке А = х гиперповерхности Ж(А) заданы ее нормали Ы1(х) и Ып-2(х) = [Мр, Ма] соответственно 1-го и 2-го рода. Адаптируем репер Я нормалям Ы1(х), Ып-2(х), т. е. точки {А{} с Ып-2(х), а Ап с Ы1(х). Тогда формы ю^, ю0а, «п, юР становятся главными:

0 ,0 , 0 л 0 ,

ю„ = А„;Ю , юа = А„;Ю ,

р р1 а а1 (4)

«п =^тю, «п =^°т«.

Замыкание уравнений (4) примет виц

ух0р1 + ^р1ю0 = хРчю, ух° + ^01ю0=1,

(5)

ухр, + хр, «0 = Кцю', ух° + х° «0 = 1.

Согласно выражениям (3), (4) каждая из совокупностей функций {Xар1}, {ХП}, {Ха,} образуют тензор 2-го порядка

ухр + хр,ю0 - 0, ухр, + X р,ю0 - 0, ухп + хп,«0 - 0. (6)

Таким образом, нормализованная гиперповерность Ж(А) в дифференциальной окрестности 2-го порядка задается уравнениями (1), (2), (4-6).

def

При фиксации точки А = х прямая Ы1(х) (нормаль 1-го рода), гиперплоскость Тп-1(х) (элемент касательного Тп-1 -подрасслоения), плоскость Л(х) (элемент Л-подрасслоения), плоскость Ь(х) (элемент Ь-подрас-

def

слоения) остаются неподвижными. Следовательно, на базе Ж = Жп-1 (на гиперповерхности) возникают нормальные М1(Ж), Ып-т(0), Ып+т(Ж) и соответственно касательные Тп-1(Ж), Тт(Ж), Тп-т-1(Ж) расслоения [3].

3. Прежде всего заметим, что из выражений (1), (4) следуют уравнения для следующих главных форм оснащенной гиперповерхности Ж(А):

19

п л п 1 0 л 0 1 1 л 1 1

ю, = хю , ю, =хю , юп = хщю .

20

Структурные уравнения касательного расслоения Tn_i(Q) гиперплоскостей Tn_1(x) имеют строение

dro1 = roj л®', droj = ю^ л ral + Qj,

! ! ! k !

где формы Qj преобразуем с помощью (7) следующим образом:

Q1 п 1 , 0 1 si / k 0 \

j = raj лгоп +roj лго0 _oj(ro0 лЮк) =

= ( j4nji] + jol] _oj^°kZ])ro0 лго0 = Rjk;ro0 лго0,

(8)

где

Rljki = k4nji] + ^лk8Í] _ 8j^0k;] • (9)

Следуя работам [3; 4], приходим к выводу.

Теорема 2. В касательном расслоении Тп-1(У) нормализованная гиперповерхность О(Д) индуцирует (порождает) аффинную связность у без кручения [2], [4] с формами связности (ю', ю1) и 2-формами кривизны (8), причем

компоненты тензора кривизны Щк1 связности у имеют строение (9).

4. Структурные уравнения нормального расслоения Ы1(У) (расслоение нормалей Ы1 1-го рода гиперповерхности Уп-1) с учетом (7) можно представить в виде

йю' = ю 1 лю|, йа>п = ю>п л®п , йюЮп = ^,

где

^ =юп лю0 = (X'п[кХ0,г])ю0 лю0 = Я0ию0 лю0, (10)

^ =юп люп = (хп[кхп|л)ю0 лю0 = Яию0 лю0, (11)

Япк1 = Х[кХ|'|/], Як1 = Х[к^Ц]. (12)

Таким образом, имеет место [3; 4]

Теорема 3. Нормализованная гиперповерхность О(Д) индуцирует в нормальном расслоении Ы1(У) центропроективную связность у1 (нормальную

проективную связность у1) с формами связности (ю^, ю°п) и 2-формами

(П0п, Ппп) кривизны (10), (11), компоненты тензора кривизны

Япк1 = {Япа, КЦк!}

которой имеют строение (12).

2. Задание аффинной (касательной) и нормальной связностей в Л-, Ь-подрасслоениях

1. Введем связность в касательном Л-подрасслоении (расслоении Тт(0)). Структурные уравнения касательного расслоения Тт(О) в силу уравнений (1), (4), (7) примут следующий вид:

йюр = юР люр + юй + юР = юР люр + (лй 1 =

йюр = юр лю1 +0.^,

ЖР = юр люРа + йр лю 1 +ю(р люР -5р(йд ли") = = [Хр^.] -5Р(8^|Л)К лю1 = ярцй ли1,

(13)

где

Чч = хрехия +4^1] -5Рр (5[/Хвд). (14)

Согласно работам [3; 4] утверждаем, что справедлива

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка нормализованная гиперповерхность О(А) порождает в касательном расслоении Тт(0) аффинную связность ц [2] с кручением

К! = «| ]. (15)

Слоевыми формами аффинной связности ц являются формы (юр, юРр), 2-фор-мой кривизны - ор (13), а тензором кривизны - тензор ЯР. (14).

2. Структурные уравнения нормального расслоения Ып-т(0) с учетом (1), (4) примут вид

йю1 = Ю1 ли. , йю" = ЮЪа ли0 +о0, йю°п = юП люП +0П ,

з Ъ с Ъ , глЪ з а Ъ а , п а , г^а м

йюа = юй люс +0й, йюп = юп люЪ + юп люп +0п, (16)

йюп =юп люп +юй люп +оп, йюп =оп.

В формулах (16) 2-формы О0, ОЙ, оп имеют следующую структуру:

оп =(х[ [ Лр|] -5[/Х[|1])ю/ лю1 = яп/;ю лю1,

27

= юР люр +Ир ю/ лю1

Р

22

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

7?0_ ли л0 , лр л 0 7р0 _ лр л0 , л b л 0

Raij - лй[1л|и|;] +лй[ 1л|р|./]' Rnij - ли[iЛ|р|;] +Ли[1Л|Ь|;]'

T?b _ Л 0 eb , л р лЬ I 1 и лЬ S.bsrk^ 0 Raij - Ла[i0j] + ^[Пр!] + Ла[iA|n|j] 0a0[iA|k|j],

«и,- xü[i0 ]Чш, Raij- xü[iои]хил'

7?и _ л k л и ckл 0 Rnij - ^и[i^|k|j] 0[iA|k|j].

(18)

Таким образом, имеет место [3; 4]

Теорема 5. Нормализованная гиперповерхность D(A) в окрестности 2-го порядка индуцирует в нормальном расслоении Nn_m(D) нормальную (цент-

ропроективную) связность со слоевыми формами связности (га0, , гаИ),

2-формами кривизны (Q°, Db, Dnä) и тензором кривизны

Rj - {, Rj}, (19)

компоненты которого имеют строение (18).

3. Структурные уравнения касательного расслоения TfI_m_1(Q) (L-под-расслоения) в силу формул (1), (4), (7) имеют такой вид:

dra1 - гаj Araj,

ja b a , р a b a , с-р a i j b a , T>a i j

dra -ra a®b Айр-га АЮь + 0[Л|р|,]га Ara-ra АЮь + Rra акт,

drab - raaArab+ra0 Ara0+гар Агар+гаи Агаи _0a(rak Ara0) -

-raaAra^ +(^[ i°b] +^р[Лр|Л +^4 ¿^¡hi,-] _0a ^л^кAraj -

-raaArabb+Ri/rai Ara j,

где

щ=ъvлln, (20)

^а = (Х4'§Ь] +ХРР['Х|Р|Я +Х4Л|и|Л -8а8[Лр|])ю' лю1, (21)

= ^[г^] + Х|Р||] + ^[Лн;] - ^а^ЛрВД. (22)

Тем самым справедлива

Теорема 6. Нормализованная гиперповерхность О(Д) с Рп в окрестности 2-го порядка порождает в касательном расслоении Тп-т-1(0) (Ь-подрасслое-

нии) аффинную связность С с кручением, тензор кручения Щ которой имеет вид (20), а 2-форма ОЬа и тензор кривизны Я^ связности С имеют соответственно структуру (21) и (22).

4. Рассмотрим структурные уравнения нормального расслоения Мт+1(0) (А-подрасслоения), которые в силу (1), (4), (7) принимают следующий вид:

йю/ = ю1 лю1,

10 р 0 , п 0 , а 0

йЮр = юр лЮр + Юр люп + Юр люЙ =

р 0 , /Л а л 0 \ / 1 р 0 , гл0 / 1

= юр лЮр +(Хр[/Х|а|1])ю лю=юр лЮр +0рЮ лю, йюп = юп люп +юр люр +юп лю0 =

= юп люп +(Х[ [/Х0[|1 ])ю/ лю1 =юп люп +опю/ лю1,

йюр =юп люр +юп люр +юп люр = (23)

= юрп лир1 +(Х^[/Х^] + Х^/5рр])ю/ лю1 = юрп лир1 +0ррю/ лю1, йюР = Юр люр +юр лю0 +юр люр +юрр люр -5р(юд лю0) =

= юр люр + (^[/5р] + /Хрй|1] - 5р»Х01])Ю лю1 = юр лЮр + 0ю лю1' ,4 п р п , а п , /л а л п \ / 1 р п , г^п / 1

йЮр = юр л Юр + Юр люа + (Х р[/Х|а|1 ])ю лю=юр люр + Жр ю лю,

л п к п / 0 /л к л п л0 \ / 1 г\п / 1 йЮп = Юп лЮ[-Й0 лЮ/ = (Хп[/Х|к|1 ]-Х[/1])Ю лю = 0пю лю.

В данных уравнениях (23) полубазовые формы [4] (2-формы кривизны связности в расслоении Мт+1(0)) имеют такое строение:

°р = Хр[/Х0а|1 ]ю/ лю 1, °п = Х^Лр! ]ю/ лю 1,

ор = (Хп[/Хры] +Хп[/5р)ю/ лю1, (24)

Ор = (ХрЕ/5р] +Хр[/Хрц]-5рХ[/у])ю/ лю1,

°р =Хр[Л^ лю', °п = (Хп[/Х|к|1 ] ^вдК лю 1.

Компонентах тензора кривизны Я-у (ст = 0; 1, т; п) связности (цен-тропроективной связности) в расслоении Мт+1(0) А-плоскостей согласно (24) представим следующим образом:

7?0 _ 1 а л 0 тр0 _ л л 0 Яру =Хр[/Х|^|], Яп/1 =Хп[/Х|к|1 ],

^п/] = Хп[/ХрЪ|] + Х0[/ 5р],

=Х°р[/5р] + Х/Хра|1] -5рХ0у р

-оп _л а л п т>п _ л к л п л 0

Яр/1 = Хр[/Х'|а| 1], 'Rn// = Хп[/Х|к|Л Х[/

(25)

Резюмируя результатах п. 4, приходим к выводу [3; 4]:

Теорема 7. Нормализованная гиперповерхность О(А) с Рп индуцирует в А-подрасслоении нормальную (центропроективную) связность 2-формы кривизны которой имеют строение (24), а компоненты тензора кривизны связности имеют вид (25).

23

Список литературы

1. Попов Ю. И. О полях геометрических объектов Д-оснащенной гиперповерхности проективного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 4. С. 16-23.

2. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

3. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Ут в Рп // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. Т. 10. С. 55-74.

__4. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ере-

24 ван, 1990.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия. E-mail: [email protected]

The author

Dr Ju. Popov, professor, Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]

Введение связностей на гиперповерхности w(d) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Попов Юрий Иванович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Попов Юрий Иванович

Introduction of connections on a hypersurface W(D)

Текст научной работы на тему «Введение связностей на гиперповерхности w(d)»