Аффинные связности на гиперповерхности Ω1n-1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключении статьи выражаю благодарность Ю. И. Шевченко за обсуждение результатов работы и ценные советы.

Список литературы

1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений // Межвузовский сб. науч. трудов. Пенза, 1991. C. 38—62.

A. Egorov

Geometrical intepretation of some movable metric spaces of linear elements of different lacunae of main case

This paper is dedicated to the research described in the article [1], in which the same designations and definitions are user. The article considers such spaces as A" (m;n - m), M" (m;n - m) as metric spaces of linear elements whose metrics of tangent Riemannian space is space П" (m; n - m) in each point (m Ф l).

УДК 514.75

С. С. Кузыбаева, Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Аффинные связности на гиперповерхности ^-1

На гиперповерхности ^П-1, огибающей однопараметри-

ческое семейство характеристик Xп-2 одномерной гиперполосы Н1 [1], дано задание внутренней (касательной) аффинной и нормальных аффинных связностей.

© Кузыбаева С. С., Попов Ю. И., 2015 88

Ключевые слова: гиперповерхность, гиперполоса, аффинная связность, нормальная линейная связность, расслоение, формы связности, тензоры кривизны.

Во всей статье применяются обозначения и замечания работы [1].

Схема использования индексов следующая:

1,КД,Ь = 1,п; У,к = 1,п -1; а,р,у = 2,п-1; а,Ь,с = 2,п; р,Я,г = {1, п}.

1. Введем в рассмотрение гиперповерхность ^-1, огибающую поверхность однопараметрического семейства характеристик X п—2 гиперполосы Н1 [1].

В силу сопряженности характеристики Xп—2 и касательной Ц к базисной кривой Ь1 фундаментальный тензор {у.)1} гиперполосы имеет строение

0

Уп 1)

0 Хр

, причем det

у.1?

Ф 0 .

def

Относительно репера Я1 = {Л,е1,еа ,еп} [1] гиперповерхность ^п—1 задается уравнениями

ап = 0, и! = Л®; = У<п3^Р,

тра „ 1 тта.Л , тра р

®1 = Гц а = Гц ю + Гра ,

= СтОп®1 = с11ю1 + GlPаP, +А>1 = , VГiP= гра,

УОа= С®, VGiр+ УРю\ = в1а®

(1) (2)

(3)

(4)

где Са = С0х1 .

2. Адаптируем репер Я1 полю нормалей Н(А) 1-го рода гиперповерхности ^П-1, выбирая вектор еп || N1 (А). В этом случае

К = ЛК, К =Л>', (5)

а поле нормалей 1-го рода Н^А) Ь-подрасслоения определяется уравнениями

=я!К . (6)

Таким образом, уравнения (1) — (6) задают оснащенную полем нормалей 1-го рода ^(А) гиперповерхность ^П-1.

(М 1

При фиксации точки А = х гиперповерхности -1 плоскости N (нормаль 1-го рода гиперповерхности в точке х) и Тх (касательная плоскость гиперповерхности) остаются неподвижными. Следовательно, на гиперповерхности ^П-1 возникает нормальное N(0) и касательное Т(Ц) расслоения [2].

Структурные уравнения расслоения Т(Ц) в силу формул (1—4, 5) имеют вид

ВК =К лю), Па} = Ц, Ва>ра=Ка ла>{? +ц", (7) Вт" =) л) + Ца, ВаЮа =ю'алю) + Ц",

где

Ц = К л) + К лю1 = как л ва К + АК1 л ЛЛК =

11 а 1 " 1 а 11 " /ОЧ

= Д1) л К, ()

1у

ц =К лК +< лК=ваКл ^ к+у^аКллК = = ЮлК,

Ц" = К" л К = ЩК л К, (10)

ц=< л со1"=ваКлК, (11)

К,=FH\ j]+ляЛ*нп- (12)

= G^Fh + W У (13)

r*/n^p Rn, = wffor (14)

Следуя работам [2; 3], приходим к выводу, что в касательном расслоении T(Vn_1) возникает аффинная связность у без

кручения с формами связности rai}, которую назовем согласно работам [2; 4] внутренней (касательной) аффинной связностью гиперповерхности Q_1 •

Теорема 1. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперповерхность ^П-1 (полем нормалей 1-го рода N1(A)) индуцирует внутреннюю аффинную связность у в касательном расслоении T(Q) с формами связности , а>( } и 2-формами кривизны (8—11). Компоненты тензора кривизны Rlkij = {Rj, R^, Ry, R^j } связности у имеют строение (12—14).

3. Построим нормальную аффинную связность [2] в расслоении Nn-1(Q) нормалей 1-го рода L-подрасслоения гиперповерхности оП-1, ассоциированной с гиперполосой Hi •

Структурные уравнения нормального расслоения Nn-1(Q) имеют вид

Daa =®ra^ßr + Qa, Dal =aan Aaaa + Q,

Dal = aaa Aal +ПЯ, (15)

D< =ЯП, (а )

где формы Q? задаются уравнениями (9)

Q? = aln aа? = Äma' AFnJaJ = Rj1 A a J, (16) Q =a1 Aal = Gha а/, = Rnai]al AaJ, (17)

Ц = л)" +КХп лк" = ЛапК л уардР К + + Л) л А"] = Д") л с,

^=4^], яПу =А11аа[1511], (19)

к,=лФумЗ+4п1Лз1л. (20)

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперповерхность цП-1 индуцирует внутреннюю центроаффинную связность (нормальную линейную связность) у в нормальном расслоении Ып-1(Ц) с формами связности

) ] и 2-формами кривизны (9, 16—18), компоненты тензора кривизны Д^ц = {Д-Иа], Д-пу, , } которой имеют строение (13, 19—20).

4. Аналогично можно построить нормальную линейную связность в расслоении N нормалей 1-го рода Х-подрас-

слоения гиперповерхности ЦП-1, ассоциированной с гиперполосой Н1.

Структурные уравнения нормального расслоения N2 (Ц имеют вид

D®1 = О

Da>n = &

D® = а

. D&nn = О,

А +&П А &П + О, (21)

л®; +&п А&&

где форма задается выражением (8), а форма — выражением (18),

О = а? л ®n = F? ® л V^Sf® = Щ® А ®, (22) = &П а®; = Х® лG\j& = R1njj® а® , (23) Щ= VSpFftSf^ (24)

=Яп[,С\а \ ] ]. (25)

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперповерхность 1 индуцирует внутреннюю центроаффинную связность (нормальную линейную связность) х в нормальном расслоении Ы2(0.) с формами связности {ор} и 2-формами кривизны (8), (18), (22), (23); компоненты тензора кривизны Яср}у = {Я^^ЕПП^уЩуЯпц} связности

Х^ имеют строение (12, 20, 24, 25).

5. Введем нормальную линейную связность п^ в расслоении N нормалей 1-го рода Н-подрасслоения гиперповерхности «п—1, ассоциированной с гиперполосой Н1.

Структурное уравнение нормального расслоения N^£2)

имеет вид (15а), где 2-форма £ определяется формулой (18), а тензор кривизны — (20).

Таким образом, приходим к следующему результату:

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперповерхность £п—1 индуцирует внутреннюю центроаффинную связность (нормальную линейную связность) п в нормальном расслоении Ы1(0) с формой связности

{оП} и 2-формой кривизны (18), тензор кривизны которой имеет строение (20).

Список литературы

1. Кузыбаева С. С. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов гиперполосы // Дни науки — 2009. Вып. 1 : Физико-математические науки. Калининград, 2009. С. 54—60.

2. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий : монография. Ереван, 1990.

3. Остиану М. Н., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. сем. ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 7—70.

4. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства : учебное пособие. Калининград, 2001.

S. Kuzybaeva, Yu. Popov

Affine connections on hypersuface i21n_1

Inner affine and normal linear connections is given on a hypersur-face Q_n.

УДК 514.75

А. В. Кулешов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Центропроективные реперы как классы эквивалентности реперов второго порядка

Проективная структура Г. Ф. Лаптева построена как фактор-расслоение расслоения реперов второго порядка над гладким многообразием.

Ключевые слова: струя, дифференциальная группа, расслоение реперов, фактор-расслоение, центропроективная группа.

1. Постановка задачи

Г. Ф. Лаптев в работе [4] описал две последовательности главных расслоений, возникающих на произвольном дифференцируемом многообразии Мп:

м1, М„2,..., МР,...; Р1, Р.2,..., Рпр,...

© Кулешов А. В., 2015 94