О построениях в геометрии н(λ, l)-распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75

Н. А. Елисеева, Ю. И. Попов

О ПОСТРОЕНИЯХ В ГЕОМЕТРИИ Н(Л, ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА!

Внутренним инвариантным образом построены нормализации Фосса и Грина в смысле Нордена. Заданы касательные аффинные и центроаф-финные связности основных структурных подрасслоений Н(Л, Ь)-распре-деления аффинного пространства.

The authors construct Foss and Green's normalizations in Norden's sense internally invariantly. The research sets tangent affine connections and tangent central affine connections of the main structural subbundles of Н(Л, L)-distribution of affine space.

Ключевые слова: тензор, квазитензор, подрасслоение, расслоение, линейная поляра, соответствие Бомпьяни — Пантази, распределение, нормализация, аффинная связность, центроаффинная связность.

Keywords: tensor, quasitensor, subbundle, bundle, linear polar, Bompiani — Pantazi correspondence, distribution, normalization, affine connection, central affine connection.

5

1. Построение нормализаций Фосса и Грина основных структурных подрасслоений Н(Л, ^-распределения

1. Рассмотрим и-мерное аффинное пространство Аи, отнесенное к подвижному реперу = {А, ~ёу, £,,..., ~ёп}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

ЯА = гак~ёк, Яек = га1кё}, (1.1)

а инвариантные формы гак и га!к аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства Аи

зкькзкь к /10Ч

ага =га лгаь, ага, = га, лгаь. (1.2)

1 Настоящая статья является продолжением работы [1], поэтому используются терминология и обозначения данной работы.

© Елисеева Н. А., Попов Ю. И., 2019

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2019. № 1. С. 5—17.

Известно [1], что относительно репера Я0 (нулевого порядка) Н(Л, ^-распределение задается уравнениями

ю" = Л К юк, юП = Л Пк юк, ю! = Л1К юк, ю! = Люк, (1.3)

где компонентах фундаментального объекта 1-го порядка Г! = = {Л К, Л !к, Л !к, Л !к} удовлетворяют уравнениям

УЛк = л^ю1, ул!к = Л , (14)

улк+лкю! = Л>1, ул!к +Л1кюп =лкю1. .

Для невырожденных тензоров 1-го порядка {Лп}, {Л^}, {Л^р} введем обращенные фундаментальные тензоры [2] 1-го порядка {Лп}, {Л11},

{Л:Р} [1]:

ЛПЛ* =ь\, Л;лк. = 5*, Л?гл 11 = 1, л^л* = 5:, лпхр = 5!,

УЛ; = ЛПкюк, УЛ п1 = Л1кюк, УЛ :р = Л>к. (1.5)

2. Определение. Фокальной гиперплоскостью [3] Л-подрасслоения в центре А данного Н(Л, 1)-распределения назовем всякую гиперплоскость у(А), которая содержит две бесконечно близкие плоскости Л-подрасслоения при смещении центра А вдоль некоторой интегральной кривой Л-подрасслоения.

Так как Л(А) с у(А), то уравнение гиперплоскости у(А) в локальном репере Я0 зададим в виде

у1х1 +у„х" = 0. (1.6)

В силу (1.1) — (1.3) имеем

йА\ 1 ; 0 = югё., д£,\ 1 „ 0 = ю/ё] +Л1.ю]ё + Л"ю'7; =0. (1.7)

| ю =ю =0 г7 г | ю =ю =0 г ] г] 1 г] п х '

Из (1.6), (1.7) следует, что для искомых интегральных кривых Л-подрасслоения выполняются соотношения

ю1 = юп = 0, (^Л}. + упЛп )ю] = 0. (1.8)

Система (1.8) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие

ае*| 1+Уп л п\\ = 0. (1.9)

Итак, уравнение (1.9) задает геометрическое место фокальных гиперплоскостей — фокальный гиперконус класса (п - 2) [3], вершина которого есть (п - 2)-плоскость Л(А).

6

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) [4] относительно фокального гиперконуса (1.9) является связка гиперплоскостей

1 1 ■■ У + —Г Л1Л у! = 0. и - 2 '

Уравнение (1.10) с учетом (1.6) представим в вице (х1 - Л 1 Л ИХ = 0

и - 2

(1.10)

или

Функция

х1 -ф\хп =0.

Ф1 = Л1Л п,

и и - 2 ■

(1.11)

согласно (1.4), (1.5) удовлетворяет уравнению

VФ и +гаи =Ф 1к гак.

(1.12)

Таким образом, линейной полярой гиперплоскости Н(А) [4] относительно фокального гиперконуса (1.9) является (и - 1)-плоскость

Ф и-1( А) = [ А, е, ёп + Ф иеа],

(1.13)

которая в локальном репере Я0 задается уравнением (1.11). Поле квазитензора Фи (1.12) 1-го порядка задает поле нормалей Фи-1(А) 1-го рода

Ь-подрасслоения.

3. Аналогичные построения (см. п. 2) проведем для Ь-подрасслоения (распределения прямых Ь(А)). Уравнение искомой фокальной гиперплоскости |(А) Ь-подрасслоения в репере Я0 зададим уравнением

^х1 +^хи = 0.

(1.14)

Геометрическое место фокальных гиперплоскостей |(А) (1.14) Ь-под-расслоения — фокальный гиперконус класса 1, вершиной которого служит прямая Ь(А), — представим в виде

и, л у =

(1.15)

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) [4] относительно гиперконуса (1.15) является связка гиперплоскостей

(х1 -Л, 1Ли1хи =0,

которая определяет 2-плоскость

Ф2(А) = [А, е1, ёп +ФЙё],

(1.16)

7

где

Фп = Л 1 гл п1, УФ п+ю п = фпкю к. (1.17)

В локальном репере плоскость Ф2(А) (1.16) задана уравнением

хг = Фпхп. (1.18)

Итак, поле квазитензора {Фп} (1.17) 1-го порядка задает поле 2-плос-костей Ф2(А) (1.16) — поле нормалей 1-го рода Л-подрасслоения.

Плоскости (1.13) и (1.16) пересекаются в каждом центре А по прямой

Фг( А) = [ А, Фг( А)]: Ф 1( А) = Фп-1(А) пФ 2( А), Фг = ёп +Ф: ё:, (1.19)

где

{Ф:}={Ф п, ф п}, уф :+ю :=ф :кю к. (1.20)

Следуя работам [3; 5; 6], прямую Фг(А) (1.19) назовем нормалью Фосса Н(Л, 1)-распределения в центре А. Соответственно, плоскости ФП-1(А) (1.13) и Ф2(А) (1.16) назовем нормалями Фосса 1-го рода в смысле Нордена [7] 1-, Л-подрасслоений данного Н(Л, 1)-распределения. Согласно биекци-ям Бомпьяни — Пантази [1] полям нормалей Фосса {Фп}, {Фп}, {Ф!} 1-го рода поставим в соответствие поля нормалей 2-го рода Фосса {Фа}, {Фг}, {Ф:}, где

ае£

Фг =ЛпгФп + Л, УФ 1 =Ф 1кюк,

«М

Ф г =Л п Ф п + А, УФ г =Ф кю к, Ф:=Л :рФп + А , УФ:=Ф:кюк .

В результате справедлива

Теорема 1. Нормаль Фосса Фг(А) Н-подрасслоения (или Н(Л, 1)-распре-деления) в каждом центре А есть пересечение линейных поляр гиперплоскости Н(А) относительно фокальных гиперконусов (1.9) и (1.15) соответственно 1-, Л-подрасслоений.

Н(Л, 1)-распределение внутренним инвариантным образом порождает нормализации Фосса

(Ф п, ф 1), (Ф п, ф г), ( ф :, Ф:)

соответственно 1-, Л-, Н-подрасслоений в дифференциальной окрестности первого порядка.

4. Пусть задано поле нормалей 1-го рода Мг Н-распределения:

-ч.=[А, ^ ёп], уу:+ю:=у>к. (1.21)

8

Рассмотрим фокальные образы, связанные с Л-, Ь-подрасслоениями данного Н(Л, Ь)-распределения.

Найдем фокальное многообразие Т(у2, Л) нормали 1-го рода

А) = [А, V, Ь(А)]

плоскости Л(А) при смещении центра А вдоль кривых

(Я): га1 = ц* 9, Уц* -ц*01 = Ц0, Бе = 0л01, га1 = 0, гаи = 0, (1.22)

принадлежащих Л-подрасслоению.

Пусть ¥ — фокальная точка плоскости у2(А). Из условия ее фокаль-ности

а¥ = ^ е +зи (^+у1иё1 +еп) в силу соотношений (1.1) — (1.3), (1.21), (1.22), в частности, имеем

[з; + у1у1 ; + Уи( vИ;-Л^М +Л1 ^ )]га; = 0, (1.23)

где

^ =Л1;-Л^Ч, Vvi; -0.

Нетривиальное решение (относительно форм га;) система (1.23) имеет тогда и только тогда, когда определитель системы (1.23) равен нулю. Отсюда следует, что фокальной многообразие Т(v2, Л) задается уравнениями

У = VИУИ , |8'; + У ivi ; + Уи ( V!; - Л ^ ^ 1 ; vИ ^ = 0, (1.24)

то есть является алгебраическим многообразием размерности один порядка (и - 2).

Линейная поляра центра А Н(Л, Ь)-распределения относительно фокального многообразия Т(v2, Л) (1.24) есть прямая к1(А) с V2(A):

У1 = vИyИ, V1У1 +VиУИ -1 = 0, (1.25)

где

<, ^ 1 ^ 1к ^,

2 11 «М 1

^ =--гК, -л:,V:V*;, + Л'цVI), ^ = v„кгак.

и - 2

Отметим, что прямая к1(А) (1.25) — прямая Кёнигса (аналог плоскости Кёнигса [8]) элемента Л-подрасслоения (Л-плоскости) в данном центре А.

9

Точку пересечения прямых к^А) и Ы1(А), то есть точку

:

1

кп(V):у:=—т^—, Уп =—Т—,

V- V +Т "V- V +т

У1У п^ уп у1у п ^ уп

назовем vЛ-виртуальной точкой Кёнигса [5].

Найдем точку пересечения прямых к^А) (1.25) и 1(А):

кг(А) ПЬ(А) = к0: у = 0, уп = 0, Vгу1 = -1. (1.26)

v 1

--Таким образом, прямая к^) = [ко, к^)], где точка ко, с одной сторо-

10 ны — vL-виртуальная точка Кёнигса [5], а с другой — нормаль 2-го рода Нордена прямой Ь(А) в центре А Н(Л, 1)-распределения.

5. Аналогично (см. п. 4) находим в каждом центре А фокальное многообразие Т(vn-1,1):

у1 = vlnyn, +yгv;1+yn(vn1 -лn1vnvn+v;1vn)||=0, а.27)

где

v!l =Л 1 -Лnlvn, УvJ1 -0. (1.28)

Фокальное многообразие (1.27) принадлежит нормали 1-го рода vn-1(A) прямой 1(А) и получено при смещении центра А вдоль кривых

(С): ю1 = ц 1е, Уц1 -ц 1е1 = ц 10, Б0 = 0л01, юг = 0, юп = 0, (1.29)

принадлежащих 1-подрасслоению.

Линейная поляра центра А относительно фокального многообразия Т(vn-1,1) (1.27) есть плоскость

кп-2(А): у1 = vnyn, Vу + VпУп -1 = 0, (1.30)

где

V г = ^ г = V кю,

Vп = -(vnl -ЛПУПv1n + v1lvn), УVп = Vпкюк.

(1.31)

Плоскость кп-2(А) (1.30) назовем vL-виртуальной плоскостью Кёнигса плоскости Vn-l(A).

Пересечение многообразия (1.27) с плоскостью Л(А) представляет собой фокальное многообразие Т(Л, 1) плоскости Л(А):

у1 = 0, уп = 0, 51 + yгv11|| = 0, (1.32)

полученное при смещении центра А вдоль кривых (С) (1.29).

Линейная поляра центра А относительно фокального многообразия (1.32) есть плоскость

к_3(А):у1 = 0, уп = 0, Vу -1 = 0. (1.33)

Плоскость К_э(А) (1.33) назовем уЬ-виртуальной плоскостью Кёнигса плоскости Л(А).

Рассмотрим (п - 2)-плоскость 0п-2( А), проходящую через плоскость Кп-з(А) и точку Ко:

Уп = 0, £у: -1 = 0, (1.34)

где

0 = у,, 0 = у 1.

Следуя работам [7; 9], плоскость 0п-2(А) назовем уН-виртуальной плоскостью Грина Н-подрасслоения, так как задание плоскости 0п-2( А) зависит от выбора нормали {V™} 1-го рода Н-подрасслоения.

Если задано поле нормалей Фосса {ФГ} Н-подрасслоения, то охват тензора {£2 а} согласно (1.28), (1.31) можно представить в вице

ае£ ае£

0! = -(Л1, - Л"Фп) = Сг, 0, = -(Л ^ - Л"Фп) = с, (1.35)

в дифференциальной окрестности 1-го порядка. В этом случае в силу работ [7; 9] плоскость (1.34) назовем ребром Грина Сп-2(А) Н-подрас-слоения:

уп = 0, СУ -1 = 0,

где

_ ае£ _ ае£

££, = С, 0 = С,.

В соответствии Бомпьяни — Пантази [1, п. 2] нормали 2-го рода Грина {С а} соответствует нормаль 1-го рода {С"}, где

с: = Л п рср + д-,

которую назовем нормалью 1-го рода Грина {СГ} Н-подрасслоения. Отметим, что уН-виртуальной нормали 2-го рода Грина Н-подрасслоения {С:} (1.34) в биекции Бомпьяни — Пантази соответствует уН-виртуаль-

ная нормаль 1-го рода {0Г}, где

о: = л ор + д.

Нормализация (СГ, С:) Грина Н-подрасслоения индуцирует внутренним образом нормализации (С'п, Сi), (С^, Сг) соответственно Л-, Ь-подрас-слоений, где

Сп = ЛСС =Лп1С1+Д1.

11

12

Итак, выполняется

Теорема 2. Н(Л, 1)-распределение внутренним инвариантным образом порождает нормализацию (Ф^, С:) Фосса - Грина Н-подрасслоения и нормализации

(С:, С:), (СП, Сг), (СП, С1)

Грина соответственно Н-, Л-, 1-подрасслоений в дифференциальной окрестности 1-го порядка, а vH-виртуальную нормализацию Грина (0:, 0:) - в дифференциальной окрестности порядка £ (порядок окрестности £ определяется порядком дифференциальной окрестности квазитензора {V:}).

2. Задание касательных аффинных и центроаффинных связностей на основных структурных подрасслоениях Н(Л, ^-распределения

1. Адаптируем репер Я0 полю нормалей у(А) 1-го рода Н-подрасслоения, то есть пусть вектор ёп || у(А). В этом случае

юП =ЛПкюк, юП =ЛПкюк, (2.1)

а поле нормалей 1-го рода Ж1( А) задано уравнениями

УЛ :к =Л кю1. (2.2)

Таким образом, уравнения (1.4), (1.5), (2.1), (2.2) задают Н(Л, 1)-рас-пределение, оснащенное полем нормалей А) 1-го рода.

ае*

При фиксации точки А = х (центра распределения) прямая х)

(нормаль 1-го рода гиперплоскости НП-1(х)) и гиперплоскость НП-1(х) (элемент Н-подрасслоения) остаются неподвижными. Следовательно, на базе Ап (аффинное п-пространство) возникают нормальное расслоение Ап) и касательное расслоение Тп-1( Ап) [10], где Ап) — расслоение прямых х), а Гп-1(Ап) — расслоение гиперплоскостей Нх. Кроме того, мы имеем еще две пары взаимных расслоений:

а) касательное расслоение Тп-1( Ап) (расслоение плоскостей Лх) и

нормальное расслоение М2(Ап) (расслоение нормалей ^2(х) 1-го рода Л-подрасслоения данного Н(Л, 1)-распределения);

б) касательное расслоение 71( Ап) (расслоение прямых Ьх) и нормальное расслоение Мп-1( Ап) (расслоение нормалей Мп-1( х) 1-го рода 1-подрасслоения Н(Л, Ц-распределения).

2. Структурные уравнения касательного расслоения Тп-1( Ап) в силу (1.4), (1.2), (2.1) имеют вид

йю1 = юк люК, йю. = ю* ли^ + 0., й®1 =

=®г л®:+01, =юг л®:+01,

йюа = юр л®: +5[КЛ^]юК люЬ =юр л®:+ ЯКЬюК люЬ,

где

ц = ю лю1+®п л®п =(Л. к Л,1и +Л п к Л,пН)юК люЬ =

. ^ чвд

= Я.КЬюк люЬ,

О =ю1 лю;+юп люп = (Л КЛ№] +Лп[КЛ|п|Ь])ю лю =

= Я-КЬюК люЬ, у^п л А п А , ,-^К л ^Ь

1 =ю1 люп =Л 1[ К Л|п|Ь ]ю лю = Ы К Ь

= К1КЬ ю л ю ,

О1 =юп люп =Лп(кЛ1п|ь]юК люЬ =

= ЯКьюК люЬ, Я = л 1 Л, +Лп Л,

.КЬ К^ 1|1|Ь] ^ К^ >|Ь]'

Я1 = Л, Л1 +Лп Л1 Т = Лп Л, Я1 = Лп Л1

Я а _ сп л а

°[КЛ|п|Ь].

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Аналогично найдем с учетом (1.4), (1.2), (2.1) структурные уравнения нормального расслоения Ап):

йю1 = юК люК,

13

йю"г1 = оп = юп люп + юп л юп = = (Л ^ К Л" ] +Л п [ К Л"])юК люЬ = Якьюк люЬ,

(2.6)

где

= Л1 Лп + Л, Лп

(2.7)

В силу соотношений (2.3) — (2.7), следуя работам [10; 11], приходим к выводу.

Теорема 3. Н(Л, Ь)-распределение внутренним образом порождает: а) в касательном расслоении Тп-1( Ап) аффинную связность у с кручением

ЯГЬ (2.5), слоевыми формами связности которой являются

а , 1 , 1

ю , ю., ю1, ю1, ю,,

и 2-формами кривизны (2.3), причем компоненты тензора кривизны {} связности у имеют строение (2.4);

14

б) в нормальном расслоении Ж1( Ап) центроаффинную связность у1 с формой связности юП и 2-формой кривизны ОП (2.6), тензор кривизны {Кк} которой имеет структуру (2.7).

Связность у1 назовем нормальной центроаффинной связностью, а связность у — касательной аффинной связностью оснащенного Н-подрассло-ения данного Н(Л, ^-распределения.

3. Аналогично (см. п. 2) можно ввести центроаффинную связность в расслоении ^"2(Ап) нормалей 1-го рода плоскостей Лх и аффинную

связность ^ в расслоении ^П-2(Ап) плоскостей Лх. Действительно, структурные уравнения нормального расслоения ^"2( Ап) имеют следующее строение (а, Ь = {1, п}):

(2.8)

где

йю, = о^ йю; = ю, люП +о;, йю\ =юП лю1 +ОП, ¿юП =ОП,

О1 = (Л1[кЛ|| ] +ЛП[кЛ1п|1 ])юк лю1 = юк лю1,

^п г п Д г Д п к I т>п ,„к Ь

, = ю, люг =ЛкЛ|г|1]ю лю = К1к1 ю лю , ОП = юП лю1 = ЛП[кЛ|]юк лю1 == ЯПк,юк лю1, (2.9)

ОП = юП люП +юП люП = (ЛП[кЛП|Ъ] +ЛП[кЛПи)юк лю1 =

к

= К>к лю1, К1 = л г л 1 + л п л 1 кп = л г л п К1 = л г Л1 кп = л г Лп + л 1 Лп

(2.10)

Структурные уравнения соответствующего касательного расслоения Тп-1( Ап) в силу формул (1.4), (1.2), (2.1) имеют виц

йюк = ю1 люк, йюг = ю' лю) + К^юк лю1,

йю) = юк лю! +О'.,

' ' к '

(2.11)

где

Къ = 5,кЛ'№] + 5;кЛгп|1] , (2.12)

О=ю1 лю1+юп люп=( л !■[ к л№]+л д к лгп|1])юк лю1=

-пг к I (2.13)

= 1<кь ю л ю ,

Кг =Л1 Лг +ЛП Лг (214)

В результате с учетом соотношения (2.8) — (2.14) согласно работам [10; 11] имеет место

Теорема 4. Н(Л, Ь)-распределение внутренним образом индуцирует:

а) в нормальном расслоении М2(Ап) центроаффинную связность л1 с формами связности

и 2-формами кривизны (2.9), компоненты тензора кривизны {Якь} которой имеют строение (2.10);

б) в соответствующем касательном расслоении Тп1(Ап) (в расслоении

плоскостей Лх) аффинную связность л с кручением Ягкь (2.12), 2-формой кривизны (2.13) и тензором кривизны (2.14).

Связность л1 назовем нормальной центроаффинной связностью (в расслоении нормалей х) 1-го рода) Л-подрасслоения, а связность л —

касательной аффинной связностью Л-подрасслоения данного Н(Л, Ь)-рас-пределения.

4. Введем в рассмотрение центроаффинную связность в расслоении Мп_г(Ап) нормалей 1-го рода Ь-подрасслоения.

Структурные уравнения нормального расслоения Мп1(Ап) представим в виде (г, /с = {г, п}):

где

Ою' = юк ло/ + П>, йа'п =шп люС + П'п, ^юп = ю* лоп +оп, йопп = апп,

= 0 лю1 +< люп = (Л![ к Л|1|Ь ] +Л п[ к Лпн)юК люЬ = = ¡юк люЬ,

^п = °п лю1 = Л п[ к Л|1|Ь ]°к люЬ =

= ¡юк люЬ,

Оп = ю1 люп = Л1 кЛп1|ь]юк люь =

(2.15)

(2.16)

= якьюк люь,

О = юп люп +®п люп = (Лп[кЛЩь] +Лп[кЛ^и)юк люь =

= Кк1юк люь, Я' = Л1 Л¡' + Лп Л ¡'

Я' = Л1 Л' Яп = Л1 Лп (217)

1чпИ. к11|1|Ь V ^¡кь к11|1|Ь ]' У--^')

пкЬ к1 к|1|Ь ]' ^¡кЬ к1 к|1|Ь ]

Яп = Л1 Лп + Лг Лп 1Чпкь 1|1|ь 1|г|ь ]•

15

Для нормального расслоения ^п-1(Ап) соответствующее касательное расслоение Ап) есть расслоение прямых 1х (1-подрасслоение), структурные уравнения которого имеют следующий вид:

я „к . „I Ч

.к . г

йю =ю л ю^, йю =ю лю, +Кк1 ю лю

йю1 = О, = К1к1ю лю

(2.18)

где

=5Пк ЛПы +§гк Л1|1 ]. (2.19)

16 Из соотношений (2.15) — (2.19) согласно работам [10; 11] следует

Теорема 5. В расслоении Мп-1(Ап) нормалей 1-го рода 1-подрасслоения

Н(Л, 1)-распределение индуцирует центроаффинную связность 91, слоевыми формами которой являются формы

, юП, юП, юП,

2-формами кривизны - (2.16), а компоненты тензора кривизны имеют строение (2.17).

В касательном расслоении Ап) прямых 1х Н(Л, 1)-распределение индуцирует внутреннюю аффинную связность 9 с кручением (2.19), 2-формой кривизны О1, тензор кривизны } которой имеет строение (2.10).

Связность 91 назовем нормальной центроаффинной связностью, а связность 9 — касательной аффинной связностью оснащенного Л-подрасслое-ния данного Н(Л, ^-распределения.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Нормализация основных структурных подрасслоений Н(Л, 1)-рас-пределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 3. С. 5—16.

2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49— 94.

3. Акивис М. А. Фокальные образы поверхности ранга г // Изв. вузов. Математика. 1957. № 1. С. 9—19.

4. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О полярном соответствии относительно алгебраической поверхности и его приложениях // Геом. сб. Томск, 1968. Т. 7. С. 23 — 24.

5. Попов Ю. И. Нормализации Фосса и Грина гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 4. С. 16 — 23.

6. Попов Ю. И. Нормализации Фосса и Грина Н(1)-распределения аффинного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 86—95.

7. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

8. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара. М., 1973. Т. 4. С. 71 — 120.

9. Благонравов В. В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства // Деп. в ВИНИТИ РАН 17.08.1982, № 4552-82.

10. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.

11. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара. М., 1973. Т. 4. С. 7—70.

Об авторах

Наталья Александровна Елисеева — канд. физ.-мат. наук, доц., Калининградский государственный технический университет, Россия.

E-mail: [email protected]

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: [email protected]

The authors

Dr Natalia A. Eliseeva, Associate Professor, Kaliningrad State Technical University, Russia.

E-mail: [email protected]

17

Dr Juriy I. Popov, Professor, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]