CC BY
5
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
and normalized space n1'2 are investigated. Dynamics of changes of the connection is established by the crossing from the space n to the space n1'2. The conditions of coincidences of reduced objects with objects giving the connections in reduced fiberings are found.
УДК 514.75
С.Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт)
ВВЕДЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА 8-РАСПРЕДЕЛЕНИИ
Рассмотрены нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей 1-го рода Л-подрасслоения данного S-распределения [1], оснащенного в смысле Нордена — Картана.
Схема использования индексов в статье такова:
J,K,P,Q = 1,n; J,K = 0,n; p,q = 1,r; u,v,w = r + 1,n -1; û, v, w = r + 1,n; i,j = r + 1,m; a,fi = m + 1,n -1;
а, р = т + 1,п; А, 13 = {р;т + 1,п}.
1. Пусть Рп — «-мерное проективное пространство, отнесенное к подвижному точечному реперу Я = { А } ■ Деривационные формулы репера Я имеют вид
(А3 = ю?Аж, (1)
где формы Пфаффа аК подчинены уравнениям структуры проективного пространства
ВюК =С люК, а§ = 0 . (2)
I =0
18
С.Ю. Волкова
Относительно репера 1-го порядка Я\ 8-распределение задается следующим образом:
Щр = Л„2Щ0 ' Щ = ЧйЩ > Щ = Л„яЩ >
" _ т"
рАщ0' Щ = ьшЩ0' Ща=ЛррЩ
Щ = Л'рКЩКк > Щ = ¿¡кМо, Щр = ЛрКЩК > (3)
< = нРкЩ, Щр= НркЩ, Щ = ьРкЩ.
2. Пусть 8-распределение отнесено к реперу первого порядка А} и оснащено в смысле Нордена — Картана [1].
Возьмем другой точечный проективный репер Щ}, адаптированный нормализации {ир,и0} Л-подрасслоения:
В = А, Вр = Ар + у^А^, Ви = Аи, Вп = А„ + иРрАр , (4)
Уир + Щ = уркЩ, Уу0р + Щ = уРщК, УЛУп + Щ =ЛУпКЩ . (5)
где
7л,Р ~УпКш0 - уир + шр = ирКш0 - УЛп + шп =ЛпКш0
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера имеют вид
йЩ =&КВк. (6)
Продифференцировав соотношения (4) с использованием уравнений (1—6), выразим формы о К через Щ :
□0 = Щ -У0р(Щ -УрЩ0п), О = уОкЩ + УРУРЩ -^^(Щ -УРЩ)-ор = Щ -уРЩ, ор = Щ -уР(Щ + уЩп)+уЩР,
□и =Щ-Лип щ , о; =щ -Лип(Щ + уЩп)+уЩи,
оп=Щ, оп =Щ + , (7)
п п О0=®0+ ирЩ+Ли Щ-
Q0 0 0 / р р п \ п п п р пи
0 = Щ -ур(Щ -урЩп)- п г р
-у°р(УркЩ +Лищр -УрУЩ -урЛЩ), ор = Щ -урщп, ор = ирЩ +ЛипЩ -урущ +ЛипЩ)-
Qu „и ки „п г>У а У „К . „.р ^^и , »и „п >
и =а>и -ЛпЩу - оп = ЛпКЩ0 + ирЩр -Лп(у>п + Лпти )-
fín п с^п \и п
п =Щп- оп =Щп + ипЩч +Л пач-
19
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Рассмотрим систему форм {©0, ©V}:
©0 =П + Г°йкпК, ©V =П+гик пК. (8)
В силу соотношений (7) выражения (8) можно переписать в виде
©0 =а0 + у°0 ма-а?) - (гуп + Г0 Л"п + ГКС, ©0 =а0 - У°0 (у0к*к +Л\ф0 - уКуЮ; +Л\а>: + у С +Л>У0) -
/ Т~,0 0 , 7_,0 ки \ п , 7_,0 К
- (ГщУ0 + ГпиЛп )а0 + Г°КЮК ,
©и и кип <?и / 0 0 р , 0 р п \
и = С - ЛпЮ; - УрЮ0 + УрУрЮ ) -
- (Гищу,0 + Г1 Л;Н + гуаК,
©п =ли;кюК + урСр-л;(урапр +Лупа;) -
- (г + Г итл;)а; + г :аК,
©; =а; - (г;ду1 + г;,л;м; + гукК, (9)
© 0 =а; + У;ра; +Лу;ю;-С + у0р(а0р - уРрЮ) -
- (Г 0оУ0 + г "шЛип)а; + Г ОсК.
Определение. Говорят [2], что система форм {©¿, ©и}
(9) определяет центропроективную линейную связность Vх в расслоении нормалей первого рода (нормальную центропроективную связность первого рода), если она удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [3]:
Г© =©| Л©1 + ^РдС Л С ,
г©и=©1 л©|+4рда л а.
Для того, чтобы система форм (9) удовлетворяла структурным уравнениям Картана — Лаптева (10), необходимо и достаточно, чтобы охваты компонент объекта связности {Г^к, } имели следующий вид: 20
СЮ. Волкова
т~~т0 _ 7-гУ _ 7-гУ _ 7-гУ _ 7-Ш _ Л 7""'0 _ 7""'0 _ _-„0 7"0 7""'0 _ У-„0 \2
Г ир г ир г шр г ОО ир 0 ' и; О-и хп и ' 00 \ п / '
гш = 2x0, ГУ; = гОи =$;х°0, Г1 = -до£ +дХ), (11)
Т-гО _ Т-гО _ 7-0 Т-г0 _ 7-0 7-0 7-гО 0 7-г0 _ Т-гО 0
Г пи = Г и; = Ти , иу = ТиТу + иуХп , Г шр = Г прХп ,
(е/ (е/ 1
где X;0 = V;0 -ЛХ У0п = - -V -ЛЦ) , а в качестве тензоров Г0 Гпт можно взять любой из следующих охватов:
0 1
Г0 = 0 Г0 =Ф0 (12)
х иу х иу ^ иу ^ У*^/
0
Гп = 0,
пр
1 1
гп = 1(Лп + 2° +Лп Ла ) + Ьп V0
пр 2 ' рп р ра п/ р0 п 2 1
г п =1 (Лп + 2 + Лп Та ) + ьп V
1 пр = п ( Лрп + 2р + ЛраТп ) + ьpоVп '
г; =±(Л + С0 +Л; Ла ) + ь; V
г шр „ I Л р; р + Л раЛ;) + ь р0 о ,
3 1
шр 2 ( Лро ' " р ' ЛраЛо >
4 1
г; = 1 (Л; + С0 +Ло Та ) + Ь; 1/0
Г шр =2 ' Лр; + С р +Лра^;-1 + Ьр01 о , 5 1
г Ор =1 (Л;р; + н0р +л0ралао)+ь;1,
2
Г Ор =1 (Л;р; + ъ0„ +л"а1Ш)+ь01,
г; =1 (Л + и0 +Л; Ла ) + ь; 10
г ор ~ I Л р; + ир +Л раЛ; ) + ьр0 1;
6 1
;р = 2 ( Лро ' 'р 1 ЛраТ; / ' ьр01 о '
7 1
^ п _ А
ор 2 ( Лро ' ир ' ЛраЛ; / ' ьр0' о ' 8 1
г; =1 (л; + и0 + Л; Та ) + ь; 10
Г ор =2 ' Лр; + ир раТ;) + ьр01 о ,
9 1
Г; =1 (Л + 0 +Л Ла ) + ь; V0,
ор 2' ро р ра о / р0 о
10 1
г; =1 (Л; + 0 + Л; Та ) + ь; 10
Г ор =2 ' Лр; + р +Лра^;-1 + ьр01 о ,
(13)
21
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Г п -
пр
ГI=
1 (Апрп +¥р +А"раАап) + Ъпму1
1 (Апрп +¥р +АпраЬап) + Ъпруп,
13
Гп
пр
пр
15 7-г п
пр
16
п
2
1 (А + 50 +А Аа ) + Ъп уп
2 ( Арп + 5р + Ара п / + Ърпуп '
1 ( Ап + 50 +Дп Та
р р р а рп
1 (А +г° + дп да ) + Ъп уп
2 ' рп / р ра ^п / 1 рп п >
1 /ли , 0 . А п та \ . г п п Т (Арп + 7р +АраТп ) + ЪрЧУ1 ,
14
гп -1 (Ап + 50 +Ап та ) + Ъп уп
Г -р - „ ( А рп + 5р +А ратп) + ърпуп '
2
17 ъ р- - V0 + ъп уп, р рп п ' 18 -V0 +Ап Уп, р пр п '
Гп - пр Г - р 4 -
19 -V0 +Ап уп, р пр п ' 20 -к- - V0 +Ап уп, р пр п '
Гп - пр Г - р
21 к - V0 +Ап уп, р пр п ' 22 0 р -V0 +Ап уп р пр п
Г р п - г"1 п пр'
23 к - V0 +Ап уп, р пр п ' 24 - 5 0 -V0 +Ап уп р пр п
Г р п - Г р
25
Г ппр- ер + звр - 4vp + 2Апу,
26
п
- с0 + 3Ъ0 - 4у0 + 2Ъп Уп
пр— ср + р р + 2Ърп п '
(15)
Гп = е 0 - V 0 -Ауп, Гп = С0 - у" - ъп у
п
р
пр
р
рп
27
28
29
Гп - ЪпТп. (16)
п р рп п ^ '
пр рп п
Структурные формы (9) при охватах (12—16) обозначим
5Е 5Е „
соответственно © ¿¡, ©» ; здесь и далее индексы принимают
следующие значения: 8 - 0,1; 8 - 0,29; е -1,29 . Рассматривая
попарные комбинации охватов (11) и (12—16), получим ше-
08 18
стьдесят нормальных связностей V1, V1.
22
С.Ю. Волкова
00
3. Связность Vх была введена в работе [4]. Запишем вы-
00 00 „
ражения форм { ©й, ©V }, определяющих эту связность в следующем виде:
00
00 0, 0/ 0 0 0\, г0 г0 и т0 / т0 а и , 0 \ о
0= ю0+ у0 (уа -ю0) + ТуТиЮ0 - 1у(1иЛ; + уО М ,
00
©0 = М + урМр +Лую0 -у\0[у0каК +ЛМ -у0(ура; +Лупю0)] -
(17)
, .0 7"0^ .и . ,,0/т0\ и . 0 \ И - у04Ю0 + у0 (ТиЛп + у0 )сЮ0 >
00
0" у-У т0 \и /.т-Ш т0 -.О 1
„ =юу - Т„а0 -ЛО(ю° - ТуЩ ) -
ои г^.,0 , 7"0 ^^ ,.0^р /7-0 0П ,.0,.р , „.0 -.О 7
-0"[ю0 + Ьюо - урЩ - (К2п - уру0 + К )аи)],
00
00 0 =ЛокМК + урМр-Ли;(ура; +Луоа0) + у0 (М-ЛШаЩ), 00
0п т^ „о
0 = а>° - ЬуЩ,
00
©п п 0 г0 и . 0 р. р п . * у о, / г0\и 0 р , 01 о
о =Ю„ -Ю0 - 4Ю0 + урЮ0р + ^р + ЛпЮу + (ТиЛ п - урур + 2уп )ю0-
В силу соотношений (12—17) находим зависимости между
5Е 5Е „
формами © й, © и и формами (17):
& 00 5 5Е 00 Е
©0 =©0 + Г п у0 (М - Ли а)° ), ©0 =©0 + Г п у0 (а0 - у0ю° ),
у ^у'-* уи ш 0 п 0 п п 00 ш 0 п 0/'
5Е 00 5Е 00
© у =© и, © 0=©п, (18)
5Е 00 5 5Е 00 Е
0п г\п , т* о / и а и о \ г\п г\п , т-г о / 0 0 о \
п =© п + Г ш(ю0 -Лп^Х © п =© о + Г 00(Ю5 - у0а0)-
Из выражений (18) вытекают соотношения
& 00 & 00
©?=© 9+ х0(©п-©П). (19)
Известно [1], что если Л-подрасслоение голономно
0 = ьп Ла = ьа
р0 р0 ' о о
(Н(Л)-распределение голономно), то Лпр0 = ьпрч , Лп = ь;,
л0 ,0 /-,0 0 г>0 ,0 АО п
2р = Ьp, Ср = cp, Вр = ь00 , Лра = 0 .
Следовательно, на голономных Л-, М-, Н-подрасслоениях совпадают тензоры
23
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
12 3 4 5 6 7 8
7-Г П _ 7-Г П 7-Г П _ 7-Г П 7-Г П __7-Г П 7-Г П _ 7~Г П
Г Пр Пр> Пр Пр> Пр Пр> Пр Пр>
9 10 11 12 13 14 15 16
П П П П П П П П
Г Пр Пр> Пр Пр> Пр Пр> Пр Пр
17 18 25 26 27 28
'п у п у п у п у п у п
(20)
П П П П П П
Пр Пр' Пр Пр' Пр Пр . (21)
При выполнении хотя бы одного из условий:
1) пара распределений (Л,Ф) или пара распределений )) взаимна [1],
2) пара распределений (Л,у) или пара распределений )) сопряжена [1] — тензор {л" а} обращается в нуль, т.е.
ЛПра = 0 . В этом случае выполняются соотношения (20). Таким
образом, с учетом (20; 21) справедлива
Теорема. На оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-подрасслоении в расслоении его нормалей 1-го рода индуци-
0е 1Е
руется шестьдесят нормальных связностей V1, V1 , определяемых системой слоевых форм (0 0, 0V} , связанных зависимостями (18; 19), причем
1) в случае голономного Л-подрасслоения или взаимного Л-подрасслоения с полем симметрического тензора Л"рч, а
также когда М-подрасслоение или Н-подрасслоение голоном-но, совпадают связности
51 52 53 54 55 56 57 58 59 510
' (22)
V1=V1 V1=V1 V1=V1 V1=V1 V1=V1
511 512 513 514 515 516
V1=V1, V 1= V 1, V 1= V 1,
517 518 525 526 527 528
V 1= V 1, V 1= V 1, V 1= V 1; (23)
2) если а) пара распределений (Л, Ф) или пара распределений (М, ) взаимна, Ь) Б-распределение вполне взаимно, с) пара распределений (Л,)) или (М, ) сопряжена, то выполняются соотношения (22).
24
С.Ю. Волкова
Список литературы
1. Волкова С.Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов ^-распределения / ВИНИТИ РАН. М., 2001. № 343-В2001.
2. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии: Итоги науки и техники / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. Т. 10. С. 55—74.
3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий: Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. № 6. С. 9—14.
S. Volkova
INTRODUCTION OF NORMAL CONNECTIONS ON S-DISTRIBUTION
The normal connections, induced in the bundles of normals of 1-st type of Л-subbundle for the given S-distribution [1], equipped in Norden — Cartan's sense, are considered.
УДК 514.75
А.В. Вялова
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ В ПУЧКЕ СВЯЗНОСТЕЙ 2-ГО ТИПА
НА ТОЧЕЧНО-ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В n-мерном проективном пространстве Pn точечно-плоскостная поверхность Sh+r представляется как вырожденное многообразие троек (A, Lh, Tm), причем точка A
25
