Инволютивное преобразование трехсоставного распределения проективного пространства

Попов Юрий Иванович

ИНВОЛЮТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕХСОСТАВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Попов Юрий Иванович

канд. ф-м. наук, профессор Балтийского федерального университета

имени И. Канта, РФ, г. Калининград, E-mail: AndreyBudylkin@rambler. ru

INVOLUTIVE CONVERSION THREEFOLD PROJECTIVE SPACE

DISTRIBUTION

Popov Yuri

candidate of Science, professor of Baltic federal university of I.Kant, Russia,

Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В данной работе доказано, что проективное преобразование ф: соf ^Wf структурных форм wf проективного пространства является иволютивным, то

есть ф = ф-1. Следуя работе [7] показано, что инволютивное преобразование ф переводит трехсоставное распределение H с pn [4] в двойственный ему образ

H с р, заданный относительно тангенциального репера [тK}. Рассмотрены аналитические признаки двойственности H(Л) и H(М) — подрасслоений, ассоциированных с данным H-распределением, относительно преобразования ф и дана их геометрическая интерпретация. Индексы принимают значения:

I, J,K,L = 1,n; I, J,K,L = 0,n; p,q,r,s,t, f = 1,r; i, j,k,l,h = r + 1,m; a,b,c,d = 1,m; й, ¡,S,r,£ = m +1,n -1; й,¡3,S,rj= m +1,n; ^, v, w = r +1, n -1; u, V, w = r +1, n; <г, р,т = 1, n -1.

ABSTRACT

In this paper it is proved that a projective transformation ф: wf ^ wf structural forms wf of projective space is ivolyutive — ф = ф-1. The involutive transformation ф transforms threefold distribution H с pn in its dual image H с pn specified with respect to the tangential frame [т K}. Having considered the analytical features of dualty H(Л) and H(М) — subbundles associated with the H-distribution, the transformation ф and given their geometric interpretation. The indices take the values:

Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |

I, J, K, L = 1, n; I, J, K, L = 0, n; p, q, r, s, t, f = 1, r; i,j,k,l,h = r + 1,m; a, b, c, d = 1, m; a, ¡3,S,r,% = m +1, n -1; a,, /3,S,rj= m +1, n; м, v, w = r +1, n -1; u, v, w = r +1, n; <r, p,r = 1, n -1.

Ключевые слова: распределения; инволютивное преобразование; двойственный образ.

Keywords: distribution; involutive transformation; dual image.

§ 1. Задание трехсоставного распределения

1. Тройку распределений, образованную соответственно распределениями г-плоскостей Л (л-распределение), m-плоскостей М (М-распределение), гиперплоскостей Н (Н-распределение, г<m<n-1) проективного пространства рп с отношением инцидентности ХeЛсMсH их соответствующих элементов в каждом центре X назовем трехсоставным распределением проективного пространства рп или ^распределением [4], при этом л-распределение назовем базисным распределением, а М-распределение и Н-распределение — оснащающими распределениями.

Обозначим через фп-г-1 (X) = ф( X) (Ф-плоскость) и £И)я1( X) = Е (X) плоскость) характеристики гиперплоскости, полученные при смещениях центра Х вдоль интегральных кривых соответственно Л-распределения, М-распределения. Плоскость Ф(Х) пересекает плоскость М(Х)по s-мерной плоскости Ls(X):

Ф(Х)пМ(Х) = Ls(Х), s = m-г.

Кроме того, введем в рассмотрение плоскость = [Л^); E(X)].

Адаптируем подвижной реперК = {Л^} проективного пространства Pn с № распределением следующим образом:

X = Л0, {Лр| с Л(Л0), |Л1} с Ь(Л0), {Аа} с Б(Л0), Лп й И(Л0).

Выбранный таким образом репер R является репером 1-го порядка R1. Относительно репера R1 главные формы ^распределения имеют следующий вид:

О =Л"РХ, О = Л"С, оп =лп у,, (a)

О =ХрК<, О =ЛРК<, о а =каКк

(1)

а Л а К а А а К р \р К О р = ЛрК°0 , °г = ЛгК°0 , С ар =

где

Лп. = 0, Лп = 0, Лп = 0.

к ' ар ' гр

(2)

Геометрические объекты Г = {Л^, Лп1й, Лпа~, ЛрК, Л^, ЛК^} и

г2 = {г1, Лрк, Л к, ЛрсК} являются соответственно фундаментальными объектами 1-го и 2-го порядка ^распре-деления. Компоненты фундаментального объекта Г2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УЛТрк + Л"рк°!0 -°{)р5пк = ЛПрК1С, (а)

УКрк +КркО°0 +Лпс-с°рд'к = КскО,

па а ,а а 0, а п а 0с» а \ а L

УЛрк +Лркс0 +Лрксп =Лркь°0 ,

УЛ"1й +Л"С а =кйоК, (Ь)

УЛрк + Лро:+Лпс - о^р = ЛркО, (3)

пай , а а 0 , а п а 0 с а \ а L гК +ЛгК°° +ЛгК°п - О ^К = ЛгКЬ°0 ,

VЛпа-Р+ЛпО -о Л=Лпас, (c)

^ +Л>«о1 + Л ккС -сЛ ,

Кк +Л аКО0 + Л аКСп -О X =ЛаК00 .

Кроме того, компоненты фундаментального объекта Г2 связаны соотношениями:

л; [ ] +лп;л$п ] +лп„ л я ] = о,

лоХ]+л; +л;[г л; [ ]+л;[г л; [ ] =о (4)

лпарл[РЧ ] + лят л[ „ ] р л; д] = 0.

Таким образом, относительно репера ЯлтрехсоставноеН-распределение задается уравнениями (1), (3) и соотношениями (2), (4).

§ 2. Инволютивность преобразования ^

Рассмотрим систему из (п+1)2форм Пфаффа ©:

©ор = ©ор +лр:л;х, © = ©о + л[л>;, < = ©0 л%©о",

' [' п Л о п Во [ 5 Ч У

©/ = ©' + л[л1к©оК - , (1)

©р = -л ['лр©[, ©р = -л" л©, (С)

.Гр = -л"' лрю}ч, = -лл©

©р =©р +л л-рк©-¿'А©К, ©ор =-л; лл©, ©; = -л"да лГ©,

— п п —о о —о о о К —п п п К ©о = ©о> ©п =©п , ©о =©о - ¿К©о . ©п =©п - ¿К©о .

Формы ©^ удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера (т7}:

¿т, =©ктк, (5)

где

р =

Т = р[ А0, Ар, Аг, Аа ], тп = р[ Ап, Ар, Аг, Аа ], тр =р1л;[ао, а^.., а^,Ап,а^,..., Аг,Аг, аа],

9

т =р!лп,[ ао, ар, аг+1,..., А} _!, ап, а;+1,..., ат, аа ],

]

Т а = Р^Лра [ А0 , Ар , , Ат+1,..., Ар-1, Ап , А^+1,..., Ап-1],

Р

11

Л-ь ■ н п+4Б

; Л = ёе1

Л

Р9

* о, Ь = ёе1

Л

* о, н =

Лп

Л ар

* о,

А/

Л рд Лп Лп Л рр

ёе1 о Л Лп Л гр = Л-ь ■ н * о,

о о Л Л р

1 п +1

б к =—(л к + ьк + нк), у^к + -Л-к®: - о.

Докажем, что преобразование I форм проективного пространства

по закону (I) является инволютивным, т. е. ^ = Прежде всего, из формул (1.а)

ТГп \п —к — п \п — й — п д п — р

ар =Лрка 0, а =Л гйа0, ®а =Л ар®о

в силу соотношений находим

Лп =-Лп Лп =-Лп Лп =-Лп ;

Лрд Лдр , Лп Лпг , Л ар Лра ;

(7)

л; = ЛпрЛ*л; , Лпаа = Лпрлдп Ла - ЛпрЛ*л*лЛпаа,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лпрп = л; л: Л1 -л;лп, лп]п-Лпа а лрлр, Ла = ЛпХЛпка, Лп = ЛпХЛ1 -Лп]гЛкп л\аЛ«Л\,Лап = лраЛрЛ1;

ЛР = о, Лар = о, ла = о.

(8)

(9)

Из формул ЛрдЛ^ = 5р, Л]пЛп]к = , ЛрЛРу = 5а и формул (7) получаем

лрд = -лдр л = -лрг лра = -лар

п

а

п

(10)

Дифференциальные уравнения (3.а), при К=д относительно тангенциального репера {т запишутся в виде

¿лпр - л;©; - л© + лп„ ©п+©) = л

р

р* о

рд

\п 77 К ^ рдК ©0 .

(11)

Из уравнений (11), с использованием формул (I), (7), (3.а) находим

л№ =лI лпд ,

лп„ = л; л лп№-лп№ л{ лп,, (12)

лр; = л; лп лпд; - лпрд* л{ лп; ^^ л^ ,

лпдП = л; лп лпдп-лп№ лп лппп-лрср л* л"п-лпР; лрлр.

Аналогично, из дифференциальных уравнений (3.Ь), при и = и (3.с) при р = р , записанных относительно тангенциального репера (6), с учетом формул (1), (3.Ь), (3.с) соответственно получаем следующие соотношения:

л-р = лы л» л[,

л[ =лилп л--л[р лрпд лпф, (13)

л о =л\ лп л о - л[ лп К; -л- лро лпо о, л]]п = лы лп ^-л- лп лп-л- лро лдп -лца лрлр.

л = л лвплп

л оРр во п Л

лпаР1 = л^л^л" -л" лр лп, (14)

оВ' о п ПР' орр п П'

лплг =л"оолвпл"лг -лоллл- -лоррлрол\г,

"Тп _ д п \еП \ п _ "Тп \р0 \п _~\п \у \п _ "Тп д/п дп л арп = ло лп лпрп - лаРрлп лдп - лор'лпл¡п - лаР/лп лПп ■

Последние группы необходимых соотношений между объектами, отнесенными к различным реперам (А7-} и [тж}, находим из соотношений

Л = Лдр Лп Ь = Лпг Лп н = Лра Лп

Лк =Лп Лдрк , Ьк =Лп Лгпк , нк =Лп Ларк

с использованием формул (7)—(14):

Л р =-Л р, Л г =-Л г +Л р Лрд л;,

Ла = -Л а +ЛрЛрп Лпа +ЛгАЛ\а-ЛрЛрп Л'ЛппЛа, (15)

Л п = -Л п+л р лрдп Л\п +л а ларлпрп +л г А к, -л р лрдп лд а лрлр --Л г А Л\а крлр +л р лрд Л%Л* Л"па лар лпрп - Л р лрд л; лпп лт;

ьр =- ьр , ьг =-ьг + ьр Лрпд л;,

ьа = -ьа + ьр Л, Лпаа + Ц Л* Л\а - ьрЛ, ЛпЛппЛа , (16)

Ьп = -Ьп + Ьр лрдп л; + Ьа Лрлр + ц лп лпы - ьр л, лпча крлр -

- ц А Л\а лрлр + Ьр лрпд лдлп л\а л«л\ - ьр лрд л; лпп л;;

нр =-нр, н г =-нг + нр лр л;,

на = -на + н а/ Лп1а + нр лрд Лда - нр л* л/ а/ л% , (17)

н = -н п + на Ларплр - нг л/ л^л; + нр Лрдп л; + нг А л; -- н, лрдп Лда ларплрп + нр лр/ л/ лп л" а л-л; - нр лр/ л/ а/ Л'.

Наконец, разрешая формулы (I), с помощью соотношений (7)—(17), относительно , получаем формулы, определяющие преобразование

(^к ):

р — р , а рд а я — V г — г , л П' а я — $ а — а , л ар а я — я

< =аор + Л"Л ,Оо > а0 =ао +ЛпЛпа^о > ао =ао +Л рАрпа0 >

ар =-Л>0д, а, = -Лп]г®, <=-ЛраШр, а^ = А>;д, аг0 = Л/®:, а^ =Арар,

р —р ^ро —к , ~Тру~Гп —к

а р=а а-5рр8ка0 +АпАуака0 ,

а; =-ЛПАйраар, аа = -А'Арар, а/ = ®п + А' Лгкак -^г'^кОк, (II)

< =-A"ftAP:^q, © =-A"pXjmf,

t —t , ~T"tq~T"n —К et о —K äp = ©P +Aq Л qpK©0 -SpSK®0 ,

mp = -ЛПxßamf, ©p = -Л;ЛПГ®;!,

n —n 0 —0 0 0 о —K n —n о —K

©0 =ä0 , än=än , ©0 =ä0 - SKä0 , ©n =än - SKä0 •

Теперь из (I) и (II) следует, что ^ = ^ 1. Дифференциальные уравнения регулярного н -распределения, двойственного данному Н-распределению, имеет вид, аналогичный уравнениям (1) (без соответствующих замыканий):

ä =Л>0к, ä =лйт:, K^Xfäf,

ä =ApkäK, ä =ЛРк©0К, ä =АакК, (18)

ä =Ларкк, m 1 =Лахш0к, mp =Л>К00к •

Таким образом справедлива

Теорема 1. Регулярное H-распределение проективного пространства Рп во второй дифференциальной окружности его образующего элемента индуцирует:

1. проективное пространство Pn, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования ^ форм ©К по закону (I),

2. регулярное распределение H с Pn, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (5)-(6) имеют вид (18), аналогичный уровнениям (I) H-распределения проективного пространства Pn.

Теорему 1 впервые доказал А.В. Столяров [6], [7] для гиперполосных распределений и для регулярных гиперполос, а также построил с помощью преобразования J(/*) двойственные образы.

Отметим, что инволютивность преобразования ^ (I) для частного класса трехсоставных распределенийНгщпЛ с Pn доказана в работе [5], для скомпонованных S-распределений в работах [1], [2], для H-распределений в

работе [3]. Двойственная теория имеет место и на оснащенном Я-распределении в Pn.

Пусть основные структурные подрасслоения (Л-подрасслоение, L-подрасслоение и Е-подрасслоение [4]) нормализованы в смысле Нордена соответственно полями квазитензоров{ур,у0р},{у'„,уг0},{у„„ , у° }, удовлетворяющими уравнениям

Т7 р , р р к Г7 0,0 0 к +ап =упка0 , Уур +ар =урка0 ,

VI , г г к XI 0,0 0 к /1 гч\

V +ап =Ука0 , У УI +аг =угка0 , (19)

Уа . а а к 0,0 0 К

у п +ап =Ука0 , У V +а 0 =уока0 ,

Легко убедиться, в силу соотношений (3), (I), (19), что функции

ур =-АрУ0 у0 =Ая у9 • уг =-Лпу0 у0 =Лп,уп; (20)

уп 1*'яу9' ур др я ~> п г

иа - Л ар\;0 ¡70 — ля ,/р

уя =-Апур, уа =Арауя

удовлетворяют соответственно уравнениям

— р . -р —р -К гт —и . -и —и -К

уп +а п =у >0 , Уур +ар =урка0 ,

Г7 —г , —г —I —к Г7 — о . —о —о — к /О 1 \

Ууи+а„=упка0 , у г +аг =угк а0 , (21)

— а , — а — а —К т-7 —0 , —0 —0 — К

у„ +0„ =ука0 , +а а = уока0 ,

где

УО =-АручКагк, УЮ = ЛдруЧдКа0; уПК® —А/у/Ж, УК Ок =Луак; *К®К = -Л1у°рКаК, У"® = Лрау КаК .

Следовательно, всякая нормализация Я-распределения индуцирует двойственную ей нормализацию. При этом оснащающие объекты связаны соотношениями (20), удовлетворяющими уравнениям (21). Таким образом справедлива

Теорема 2. Нормализация в смысле Нордена одного из регулярных трехсоставных распределений Н с Рп и н с рп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащенных объектов связаны соотношениями (20).

В первых трех дифференциальных окрестностях в работе [4] построены (без применения теории двойственности) различные внутренние инвариантные нормализации Н-распределения проективного пространства Рп. Таким образом, в силу теоремы 2 утверждаем: зная закон охвата объекта нормали первого (втрого) рода упп (у°) любого ассоциированного распределения с данным Н-распределением, можно построить внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго (первого) рода у"УПП ) данного ассоциированного распределения по следующей схеме [6],[7]. Построим охват квазитензора у П) двойственного образан с рпаналогичный охватуу" (у°) после чего, используя двойственные соотношения (например (7)—(17), (20)) находим соответствующую нормаль у" (уП). В этом случае говорят [6], [7], что поля нормалей у" иу" двойственны друг другу по отношению к инволютивному преобразованию ^ (I).

§ 3. Аналитические признаки двойственности и ЩЛ) и Н(М) -подрасслоений,ассоциированных с Н -распределением Из формул (!Ь) получаем соотношения:

Л'ар =Лп лпра л%. Л, ЛГ ЛГ = -Лп Лра Л£. + Л^ лп лпр + лпп Л\р = -лп Л\а лр. ~Лшлп л; лп Л1 +харЛ:л1 = -лкп куа .

(III)

Ар =-Л"шЛ:рЛр. А +л; Лрд лпчп =-Апк1 лfлрр. Ар+АЛ/п А^+А1р лрч Лпдр = -Л1Ла:Лкгр. ( )

Л: + аПРЛ?ЛЧп + А/пЛ'п А, + Л^АрЛ": = -АшЛа:Лк:;

Известно [7], что инволютивное преобразование 7 (а1 ^аI), заданное системой из (п +1)2 форм Пфаффа О:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< = а0 + Ар9АЧуау, а"оу = а0 + ЛТАТа,,

ар =-АЧраЧ, ОУ = -АйуОой, О =Л>яЧ, О = Айу®й, а; = ау -б^аК + ЛйТ ЛТуоК ,

®ур =-КАр>:, К =-АЧр л>:, (I*)

® =ар +Лд ЛдркаК-б^О, О =-АряЧ А>/, =-Лр Ы*ачр,

—п п —о 0 —0 0 о К —п п о К

О0 =а0, Оп=ап , О0 =О0 - БКО0 , Оп =Оп- БКО0

преобразует гиперполосное распределение H(Л) (ЩЛ)-распределение) в

двойственное ему гиперполосное распределение н (Л) Если преобразование индуцирует преобразование 7(Р), то выполняются условия

— г г , а у А п К — а а

а„ =а„ +ЛуЛиггГап , а = а„ ,

а а п у аК 0 5 г г '

из которых согласно формулам (I) получим

Лг =Лг +АУЛп ,

„р ар п уар>

А„ +л„ лрч а; =Аг£9 +ап: л„ ,

А„р + А„р Л, Лпдр + А„. Л' Арр = АарАУп Л"„р.

А„ +А„р Л, Л; + А„. Л*Лп: +АарЛр:Л": =Ат + Лу Атп.

д а _ да д а . д а дрд д _ да гр гр' у гр и д у'

л;+л- ли л;,+др лрд Кчр _ л%, (VI)

ди+Др ли л;+А ли ди; + Дрлр; а; _ л:.

Нетрудно убедиться, что из соотношений (III) и (V) следуют условия

Лг ар _ -Л3п Л-раЛРр -ЛуЛи и уар

Л . а _ -Лп Лира Л, и а'

Л Л сф _ -Л л;а л\р л и луар

Л аи _ -Л]п Лира ЛРп -Л"Ли и Vаи

(VII)

а из соотношений (IV) и (VI) соответственно условия

Аа - Л" А <; Ак А а _ А" Аа; АЬ

Лгр _ -ЛЬ Ли Л; > ЛЬ _ -ЛЬ Ли А; >

ла — ли л а^ лк л а — ли л а; кЬ

Лгр _ -ЛЬ Ли Л;Р > Лги _ -ЛЬ Ли Л; .

(VIII)

Условия (VII), (VIII) являются не только необходимым, но и достаточными, чтобы преобразование порождало преобразование 3(Р). Действительно, если выполняются соотношения (VII) и (VIII) для Н-распределения, то из (VII) и (III) следуют (V), а из (VIII) и (IV) следуют (VI).

Таким образом, доказана

Теорема 3.Для того, чтобы инволютивное преобразование ^(1) индуцировало инволютивное преобразование 3(* необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (VII), (VIII).

Геометрическая интерпретация теоремы 3 такова: инволютивное преобразование ^ при условиях (VII), (VIII), не только преобразует трехсоставное распределение Н в двойственный ему образ н, но и ассоциированное с ним Н(Л)- распределение преобразует в двойственный ему образ н(Л) с Н.

3. Преобразуем формулы (!е) соответственно следующим образом:

к = -ляилл\, лр + лщ л* л-j = -л\лp л\, ла+лрщ л«я ка+лр ля л\а=-л\ л:л\а, лр + лр ля л; + л л. лпы + ла л^ лр = -лщ лпл ;

=-л; л л;, лр л,; л; = -л; лп tt4,

лр „ + л:' л:„ + лр ляп л\а = -л; л* л\а, л^я + л,; л; + лр ляп ляп + л, а ларплр = -л; лп л^.

(X)

Аналогично, следуя работе [7], утверждаем, что инволютивное преобразование J (® ^ ), заданное системой из (n +1) форм Пфаффа

тт a a к ab к я а — а а д ар д я я

-я Л я Ь -я к я р

та =-л bam0 > т а = -А ра®р '

то =л\атЪп, m = л>„р, ^rn P-SPSmK +лР:л"ГаКтК,

т; = лра л*тр, rn = ^ л^р, (I*)

тр =тр +л* л-ртК-spsmK,

— Ь Ь , \Ьс \я K оЬ о K

mь =®ь +л„ л -ôbSrтп ,

a a я caK 0 a K 0 '

—я я —0 0 —0 0 о K —я я о K

преобразует гиперполосное распределение Н(М) (Н(М)-распределение) в двойственное ему гиперполосное распределение н (М) . Пусть преобразование индуцирует преобразование Л1*), тогда выполняются

равенства

шр = +др jœK, rn; = rnp

которые (в силуф) преобразуем, соответственно, в следующие соотношения:

Ар = Ар + Арк А"

А .д А .д ^ Ап А Шд ,

Ц + Ащ А" А", =АР + А? АЫ], АР1а + К К Аш + Ар А* Ака = Арш + А" А"и в, Ар" + АРд Ад: А; + АI А" А" + А^ А" А" = А" + А"к А"*,;

А! =А! ,

рд рд'

А; в + А^д лд: а в + Ар Акп Ак а =ар а, Ар + Ард Ар: а; + Ар" А" Ак" + Ар, А" А" = Арп.

(XI)

(XII)

Теперь из соотношений (IX) и (XI) непосредственно получаем условия

Ар; =-АыА:Ащ-АкА^, Ару =-АХА,-АкА",

А'« = -Ак.АрАка -Арка;. в, А" = -А"йА"Акп -А"АШп,

(XIII)

а из соотношений (X) и (XII) — условия

Ар = -а; Ак Ад, лр =-а; А2к Ак",

л, в =-а; А л^, А'рп =-а; А ,

(XIV)

Соотношения (XIII), (XIV) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями, чтобы преобразование порождало инволютивное преобразование J(II*). Действительно, если выполняются соотношения (XIII), (XIV) для ^распределения, то из (XIII) и (IX) следуют соотношения (XI), а из (XIV) и (X) следуют соотношения (XII). Это означает, что преобразование порождает преобразование J(II*).

Итак, справедлива

Теорема 4. Для того, чтобы инволютивное преобразование Щ1) порождало инволютивное преобразование 3(П*) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (XIII) и (XIV).

Теорему 4 можно геометрически интерпретировать следующим образом: инволютивное преобразование ^ при выполнении условий (XIII), (XIV) не только переводит трехсоставное распределение H в двойственный ему образ H, но и ассоциированное с ним ЩМ)-распределение преобразует в двойственный образ h (M) с H.

Список литературы:

1. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях H(A,L)-распределения. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, Калинингр.ун-т, — 1993. — Вып. 24. — с. 28—37.

2. Волкова С.Ю. Двойственные аффинные и проективные связности S-распределения. /БВМИ. 2001. — 70 с. — Деп в ВИНИТИ РАН. — 15.08.01.

— № 1871-В2001.

3. Елисеева А.В. ЩП)-распределения проективного пространства // ВИНИТИ РАН. — 01.02.2002. — 49 с. — № 206-В2002Деп.

4. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного

пространства. Монография. Санкт-Петербург. Из-во С-Петербургского унта, 1992. — 172 с.

5. Попов Ю.И. Трехсоставные регулярные распределения H ^ проективного пространства. Калининградский гос.ун-т. Калининград. 1982. — 126 с. — Деп в ВИНИТИ, № 6192-82Деп.

6. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. Науки). Чебоксары,

— 1996. — № 6 — С. 9—14.

7. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. \ Чуваш.пед.ин-т. Чебоксары, 1994. — 290 с.

Инволютивное преобразование трехсоставного распределения проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Попов Юрий Иванович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Попов Юрий Иванович

INVOLUTIVE CONVERSION THREEFOLD PROJECTIVE SPACE DISTRIBUTION

Текст научной работы на тему «Инволютивное преобразование трехсоставного распределения проективного пространства»