CC BY
12
ВВЕДЕНИЕ АФФИННЫХ И НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА
ГИПЕРПОЛОСЕ н -(ä}
Попов Юрий Иванович
канд. физ.-мат. наук, профессор Балтийского федерального университета
имени И. Канта, РФ, г. Калининград, E-mail: AndreyBudylkin@rambler. ru
INTRODUCTION AFFINITY AND NORMAL CONNECTION ON
HYPERBANDS н -(ä}
Popov Yuri
candidate of Science, professor of Baltic federal university of I. Kant, Russia,
Kaliningrad
АННОТАЦИЯ
Данная статья является продолжением работы [5], в которой
рассматривается геометрия специального класса регулярных гиперполос н - (ä ^
проективного пространства n. Вводятся аффинные (касательные) и нормальные (центропроективные) связности на гиперполосе. Найдены тензоры кривизны (кручения) этих связностей. Работа выполнена методом Г.Ф. Лаптева [1]. Во всей работе индексы принимают значения
I,J,K,... = 0 ,n;I, J, K,... = 1 ,n;p,q,s,...= 1,r;i, j, k,... = 1 ,m; a,b,c,...= r + 1 ,m; a,ß,y,...= m + 1, n — 1;i,j,k,...=(a,p);ä,ß,f,... = m + 1, n ; d, ß, f, ... = r + 1, n; ф, -q, ... = (p, a).
ABSTRACT
This article is a continuation of [5], which deals with the geometry of a special class of regular hyperbands projective space. We introduce affine (tangential) and normal (Centroprojective) connections on hyperstrip. Found curvature tensors (torsion) of these connections. Work performed by G.F. Laptev [1]. Throughout the paper the indices take values I,J,K,...= 0, n;I, J, K,,,,= 1 , n;p,q,s,..=1 , r;i, j, k,...= 1 , m; a,b,c,...= r + 1 , m;
a,ß,y,...= m + 1,n — 1;i,j,k,...=(a,p);ä,ß,f,... = m + 1,n; &, ß, f,... = r + 1, n; ф, q,... = (p, a).
w created by free version of
S DociFreezer
Ключевые слова: гиперполоса; афинная связность; нормальная связность. Keywords: hyperbands; affinity connection; normal connection.
§ 1. Касательная и нормальная связности гиперполосы Нт (Л^
1. Следуя работе [1] формулы инфинитезимального перемещения репера
{j
запишем в виде
dA- =0KA-
J J K, DQf = (1)
~ {A-} {A A-} p
Так как реперы J и J в проективном пространстве
n
отождествляются, то для проективной группы (п ^) существенна лишь разница
J J, (2)
— — 0 — п
где ^ и К одновременно не равны нулю; очевидно, что ~ .
Для форм ю~ь из (1), (2) вытекают следующие структурные уравнения [2]:
DcoJ0 = соЦл coJK,Da)^ = ш1клш°, DcoJK = со^лсо^ + (SJKco0 + 8;ксо^)лсо0.
2. Известно [5], что гиперполоса Н m (Д ^ с Pn задается уравнениями
< = = 0,OJa = О,0)р = = q,
wa = ^аЬшО,а)р = о,ШР = ¿pi^O^a = (4)
, SP — TtP , Л , sa _ та .А ..а _ ла .A . .а _ ла . А
ша = AaiШ0, ша = Аа^0,шп = Ani^0,шп = Ашш0.
VApg + = ApqiMo^A-ab + = + ЛаЬШ0 = Л^biШlо,
VApq + = + Л^ш0 - Sfap = Apijш0,
+ - ^Г^а - ^аО'^О' + - - ^аО'^О' (5)
а.1]
Пусть гиперполоса нт(а) [5], заданная уравнениями (4), (5), оснащена в
N
смысле Нордена [3], то есть оснащена полями нормалей п -т 1-го рода и полями
нормалей "т-1 2-го рода. Адаптируем репер Я [5] полям нормалей 1-го и 2-го рода, т. е. точки ^} с , } с ^^ ,{4«} с Мп-т-2,А е к(А).
В этом случае формы
0 0 р 0
р а п п 0
у , становятся главными:
с0 сс 0,0 г р ,р г 0 ,0 г
- Л>1' (6)
где
УЛ0.+л0С =л0.С ул0+л0С0=л0.С улр.+лр.С=лр.С
рг рг 0 рг] аг аг 0 аг] пг пг 0 п]
УЛп1 +Лп1С0 =Лп]С
Я^аЬ + 0 - ^аИ0*1 ■ (7)
Таким образом, уравнения (4)—(7) являются уравнениями
нормализованной по Нордену гиперполосы Нт (А) в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кроме того, из (6) следует, что
0 о0 ]
г г] , - - Л^' (8)
и из формул (4) и (6) находим, что
г ^г ]
Л п] , й)? = Я^7 , (9)
где Л^р = 0 и = 0 в силу сопряженности плоскостей Л и Ь [5]. Из задания гиперполосы (4)—(7) следует, что при фиксации точки А0 = х базисной поверхности ^ с Нш касательные плоскости Тш(х),Лг(х),15(х) и нормальные плоскости ^-ш(х), ^-г(х), ^-5(х), Д(х) остаются неподвижными. Тогда в силу [3], [6] на базе ^ = V возникают нормальные Nn-Ш( V), Nn-r( V), V), Д( V) и касательные расслоения Тш( V),Лr( V),LS(V) плоскостей. В силу (3), (6), (7), (8), (9) структурные уравнения касательного
(аффинного) расслоения Тт ^ гиперполосы Нт (Л^ принимают вид
¿1юг ло>1. йо>\ лю1 +П\
0 ], ] ] к ], (10)
где
= (ЛЛ&Л|а|Ц + ЛЛ&Л|п|Ц + Лл&5ц - = Д^^м*, (11)
^ I = ЛЛ&Л|а|Ч + ЛП[^Л|п|1] + Лл&^г| - (12)
Согласно теореме Картана-Лаптева [7], [1] следует, что в касательном расслоении Тт ^ гиперполосы Н т (Л ^, нормализованной по Нор дену, определяется аффинная связность У без кручения. Впервые эту связность ввел и
со7
подробно исследовал А.П. Норден [3]. Формы г будут ее формами связности,
а формы — ее формами кривизны, а — тензор кривизны связности У. Теорема 1. В дифференциальной окрестности 3-го порядка на
нормализованной по Нордену гиперполосе Нт (Л^ с Рп в ее касательном
расслоении Тт ^^ определяется аффинная связность У без кручения с 2-
формами ^ (11) кривизны, тензор кривизны которой имеет строение (12).
3. Структурные уравнения нормального расслоения -т ^^ (расслоения нормалей 1-го рода гиперполосы) с учетом (3), (8), (9) можно представить в виде:
тл 1 1 1
Ою = Ю ЛЮ . ^ ^ ( ]г В /?п\ - ' У б
я < = ^¿л^;: + - Ом) ю1^ = +
п*
п а,
тл п к п п к о п 1 1
=юа ЛЮп =ЯаЦ*\к|]]ю ЛЮ =пп
п а,
я^а = ы;лыа+яп[1я|^|у]^1л^;' = ш^лша+^а, = = = пп,
=^ ^+ЯаАя=^ ^+па с:
= + (ЯП[1Я|к|Л + Яп[1Я0а|Я)^1л^7 = шплшП + Пп
где
ОП =&к АП (О1 АО)!
п2 = (ЯарЯ(^1Л - Я^) ^л^, а" а[Пк1] , па = ЯП^^л^',
пп = (ЯП[^пС|Л-Я^.])^л^, а а[1^к ] ,(14)
г
[¿Я|с
пп = ИпАш +Яп[1Яга|;])^1лш7',
О/ И*1/ ]-Яа [1*]к\] ]
а [ ]
¡г,а _л к п а т?п _п к ^п
Кпу -\[Ак м ], Кпг] -\[Ак и ], (15)
пП _ пк лН
а1] ~ а[Лк11 ] по _ тО , та тО
, ^п ¿7 = Яп[1Я|ад + Яп[1Я|а|У] •
Согласно работам [4], [6], получаем, что в нормальном расслоении возникает центропроективная связность ? с формами связности{ ^а, ^а] и 2-формами {п а, П-] кривизны, [6] компоненты тензора кривизны {яа ¿у,^^],
которой имеют строение (15). Связность У будем называть нормальной
Н (а)
проективной связностью оснащенной гиперполосы т 4 ). Таким образом, имеет место
Теорема 2. В дифференциальной окрестности 3-го порядка на базисной поверхности ~У гиперполосы нт (а) с Рп определяется нормальная
связность У в расслоении ее нормалей 1-го рода ^-т ^). Компоненты
тензора кривизны связности У имеют строение (15), а 2- формы кривизны соответственно (14).
§ 2. Задание аффинных и нормальных связностей, индуцируемых Л - ь ,-Д — подрасслоениями
1. Структурные уравнения касательного Л -подрасслоения имеют вид:
Вы* = ^л^ + = ^л^ + ^Л^.^л^7 = ^^л^Ц + , (17)
ОшЦ = + + Л?рЛ]гП|У] + Лр[1Л(\а\п - = + П*
где совокупность величин
= 5оЛЮ\л (18)
образует тензор кручения [Я*- }, а 2-формы кривизны П* имеют структуру:
= (Л*[ I5/] + Лр[1Л\п\П + Лр[1Л(\а\П - (19)
Следуя работам [4], [6], утверждаем, что в слоях касательного Л -подрасслоения индуцируется аффинная связность ^ [3] с кручением {Я* } (18),
компоненты тензора кривизны [Я*. }, которой имеют вид:
I)
. . } ТГОТОПОЙ 1ЛЛ/ГРТПТ РП/ГТТ*
QIJ
Rqij = ЛP[iSf\ + + + ^p[i^\a\j\ - Sptfij]-(20)
created by free version of
В результате справедлива
Теорема 3. Гиперполоса Нт (Л^ в касательном Л-подрасслоении в
дифференциальной окрестности 3-го порядка индуцирует внутреннюю
Л Од
аффинную связность ' с кручением (18) и с 2-формами кривизны { р} (19),
тензор кривизны { рг} которой имеет структуру (20).
2. Структурные уравнения нормального расслоения ^п-г ^^ (расслоение нормалей 1-го рода Л-подрасслоения) имеют вид:
= + (Л£[£Л°рШ + Л^ь5^5[Ь'Л0п|Л) ^л^' = + Д^'л^',
Я^П = + (ЛП['Л|Р|Л + ЛП['Л|а|л) = + ^П'у^^^7,
= + (л^['л[р|7'] + ^ПЬ5а5[Ь1Л[п|Я + + +
^л^' = + Д^'л^', (21)
= (ЛаЬЛП['5Л +ЛР^ЛП[15Л -Л0'7])^1л^7 = = ^Пл^? + (л^л^у] + ЛП['5у]) = + ^¿¿у^'л^7,
Где
П о = Д^'л^ПП = Д^^л^7,
П£ = Д^'л^7, ПП = Д^у^'л^7, (22)
по = яПх/^люЛ по = дП'/^'л^л
2-формы кривизны, а компоненты тензора кривизны (Д- Д~у}имеют строение:
^ сгеа1ес1 Ьу ^ее уетоп of
^ РооРгеегег
п0 _ лР i0 I in ^a^biO п0 _ i0 I i0
Raij — Ao\iA|рШ + Àab°a°[iÀ|n|7], Rnij — Àn[iÀ|p|7] + Àn[iÀ|a|7], Rlij — Àa[iÀ|p|7] + ^nb5a5a[i^[n|7] + À°[i5T] + + 5aÀp[i5j],
Rniy — ÀabÀn[i^/j + ÀpqÀn[i^^] - À[W ^nO" — + ¿n[i^/], (23)
pn _ in
Raij — ApqAa[i°j]' Резюмируя, получим предложение
Теорема 4. ГиперполосаНm (Л^ в нормальном расслоении Nn-r(V) (в расслоении нормалей 1-го рода Л — подрасслоения)в дифференциальной окрестности 3-го порядка порождает внутренним образом нормальную
связность V со слоевыми формами связности ) и 2-формами
кривизны (22). Компоненты тензора кривизны (R^j, R^j} имеют вид
(23).
3. Структурные уравнения касательного L -подрасслоения представим таким образом:
Do)1 = ûj^AOjp
(24)
Dœ( — œc + — + Rbij^1 AœJ,
где компоненты тензора кручения
Rij — 5pÀiP|7], (25)
а тензор кривизны {R^y} имеет строение:
Rai7 — À°a[iSj] + + ¿([iÀ^u] - (26)
Теорема 5. В дифференциальной окрестности 3-го порядка в касательном L -подрасслоения гиперполосы Нm (Л^ œ Pn индуцируется аффинная связность V с кручением (25) и с 2-формами кривизны
^ created by free version of
ê DociFreezer
а , тензор кривизны которой имеет вид т] (26).
4. Структурные уравнения нормального расслоения - * ^ ^ (расслоение нормалей 1-го рода Ь-подрасслоения) можно представить в виде:
= + (яуч + Яа^Я1т + яи^з^пт - ^яу) ЫлЫ (27)
ОыП = (ЯП[1ЯПк\п - Я[ц])м1лш},ОшП = + (яП[1Я\а\п +
п -¡а гЬ
Ч = + ЯаЬЯ%[1°П
ОыП =
где
= (яаАш + Ягряз5 ^Ап) ы1 = {ЯП[1Яш +
ЯПцЯ°\а\]]) Ы,
К = (Я^ЯПт - О0 = ЯПьЯ^б^лЫ, (28)
^ = (4 +ЯаАл+яр^Ця\П\л - зИт)
= (Лп[ 3 ] 1^3]) ^^
являются 2-формами кривизны, а компоненты тензора кривизны имеют такую структуру:
„О ;0 2а ;0
■ = Я^-Я^п+Яп 8Р8*Я0 , -п 3 п[П3\Л п[Аа\3]
= Я^[1Я\а\Л + ЯРЧ°^°ЦЯ\п\]], ,
пЛ _ тО сЛ I та лЛ | лп хРхЯ^ ХЛ 1° рп _ -\к лп тО
= ЯП1°Я + Я%[1Я\а\П + ЯРЯ°5°[1Я\п\Я - > = Яп[1Я\к\П - Я[Ч]'
(30)
=Лп[г'Ла|^^^1 +Лп[г'д]-] Д*. -Лп Ла
В результате справедлива
Теорема 6. В нормальном расслоении -*) гиперполоса Нт (А) порождает в дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним
образом нормальную связность ^ со слоевыми формами связности (ш®, )
и 2-формами кривизны (О|,О|). Компоненты тензора кривизны имеют строение (30).
5. Структурные уравнения нормального Д - подрасслоения можно представить в виде:
- - ^л^п + - + п],^] - + п],
- - ^пл^Г + п^^р - Цл^п +
где
Пп - (ЛХ[ ¿Л°к|7] + Лп[1ЛИЛ)^1л^7'ПР - (Лр[1Л°оШ +ЛГ[1Л|п|Л)^1л^7' ПГ - (лГ[ ¿Л|О|7] + ЛГ[^Л|^|У] - 5РЛ[)17]+ЛГ[^5/^]) (30)
пп - (Л£[ ¿Л|/с|7] - ^у]^1^^ пп - (Лп[1Л|а|7] + Лп[1й/])
п
являются 2-формами кривизны, а компоненты тензора {ДЦу Др^у} кривизны имеют такое строение:
пО _ чк тО 1« тО пО _ ло тО тО
КШ7 - Лп[1Л|к|У] + Лп[1Л|«|У]' Кр17 - ЛГ[^Л|О|7] + Лр[£Л|п|У]'
П^ ]О , 1Я лЦ Я^О I -аО пп _ эк тО /01Ч
Др17 - ЛГ[^Л|О|7] + ЛГ[^Л|п|7] - °РЛ[0"]+ЛР[«°У]' - Лп[1Л|к|7] - Л[17']'(31)
Г О Г О Г п а п
ДШ7 - Лп[1Л|о|7] + Лп[1°7]' Др17 - Лр[1Л|а|7']-
^ сгеа1ес1 Ьу ^ее уетоп of
^ РооРгеегег
Таким образом, имеет место
Теорема 7. В дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперполоса
Hm (А) порождает внутренним образом в А- подрасслоении нормальную связность S1, 2-формы кривизны и компоненты тензора кривизны которой
(Rpij, Я-;] имеют соответственно вид (30) и (31). Список литературы:
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциальных геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1953 — т. 2. — с. 275—382.
2. Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей. Матем. сб. — 1973, 91(133), — N° 2(6), — с. 211— 233.
3. Норден А.П. Пространства афинной связности. М., 1976.
4. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева. Труды Геометрич. семинара. ВИНИТИ АН СССР, — 1973, — т. 4, — с. 7—70.
5. Попов Ю.И. Нормализации, ассоциированные с гиперполосой Нт( Д). VII Международная научно-практическая конференция «Современные концепции научных исследований» (часть 2), г. Москва, 30—31 октября — 2014, — № 7, — стр. 45—49.
6. Чакмазян А.В. Номальная связность в геометрии подмногообразий, Монография; Ереван, 1990. — 116 с.
7. Cartan E. Les è spaces à connexion projectiveZ/Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., — 1937. — Вып. 4 — с. 147—159.
^ created by free version of
ê DociFreezer
