CC BY
10
Список литературы
1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С. 5—247.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139—189.
6. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 4. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие для вузов. М., 1988.
7. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
K. Polyakova
Dual methods of investigation of differential-geometric structures
We proceed the studying manifold carried out by means of covariant method in [7] and based on derivation formulae and structure equations.
УДК 514.75
Ю. И. Попов
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград Связности на оснащенной регулярной гиперполосе БИт
Данная статья является продолжением работы [1]. На оснащенной полем нормалей 1-го рода гиперполосе 5Нт[1] введены внутренние аффинные и нормальные центроаффин-
© Попов Ю. И., 2014 104
ные связности соответственно в касательных и нормальных подрасслоениях, ассоциированных с гиперполосой БНт .
Ключевые слова: оснащение, подрасслоение, связность, гиперполоса, формы связности, тензор кривизны, 2-формы кривизны.
Во всей работе использована следующая схема индексов:
],¥, К = 1,п; а,р,у = т +1,п -1; к,I, ], к = 1,т; а,р = т +1,п;
р,ц,э,Ь = 2,т; р,ц,э,í = {2,т;п}; а,Ь,э,й = {1,п}; а,Ь,с = {1,а;;}; и,и,т = {р;п}; й,и,т = {р,а,п}.
§ 1. Задание внутренней аффинной связности на оснащенной регулярной гиперполосе SHm
1. Известно [1], что относительно репера К1 гиперполоса SHm ^ А; задается уравнениями
К = 0, < = 0, К = 0,
п щ „а п ^.а „ц „п щ „ 1
Кр = ЬрцК , К = Ь11К , Кр = ЬрцК , К = Ь11К ,
к=§р1, к=кр1 , к=а', к=кк1,
ль; = ь;к , щх = КК, (1)
ль;,+ьппкп = ь;к, ЛЬ- + ЦК = цк, Ч+ь;К =А к, ла? + ь;к = АК,
ла\ = А1К, ла =лрау
и соотношениями
ЬР] = О' К*] = 0- Л[Л". =0 '
лауп ^л^ = га1ь1%. (2)
1
Адаптируем репер Я полю нормалей Ып_т (А) = А) 1-го рода гиперполосы БНт , выбирая вектор вп е Ы(А). В этом случае
а* = ЛЛа1- < =ЯЛУ, - (3)
а поле нормалей 1-го рода №п_т (А) задается уравнениями
^лл = лла, ллр = лла. (4)
Отметим, что все тензоры {Л}, {Л}- {Л} определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка.
Таким образом, уравнения (1), (3), (4) вместе с соотношениями (2) задают оснащенную полем нормалей 1-го рода N(А) гиперполосу SHm ^ Ап.
йв/
2. При фиксации точки А = X базисной поверхности Ут ^ ёНт плоскости Ых (нормаль 1-го рода гиперполосы в точке X еУт) и Тх (касательная плоскость базисной поверхности Ут) остаются неподвижными. Следовательно, на базисной поверхности Ут возникает нормальное N(Vm) и касательное Т(Ут) расслоения [2].
Структурные уравнения касательного расслоения Т(Ут) в
силу формул (1—4) и дифференциальных уравнений структурных форм аффинного пространства имеют следующий вид
[2; 3]:
dai = СЛ&'к; daqp =aspAaqs + Qpp>
dal = ; da{ = co[Aeof + Q®> (5)
С=a л®1+Qp>
где
Q = c л + c + cP л c = (äp[ä]+bffit] + +hnptöt[lÄу л® = Щс'л®1> (6)
Ql = cPp л с® + С л С + cP л cP = (ÄÄ] + bhöÄ + +bpiÖÄ ])®лС = Х^СлС> (7)
Qp = ®1 л ®CP +®P лСр = (bauÖÄ] + bPiölÄ№ л с =
= RPC л С> (8)
QP = с® лС +®С лср = (bppqÄ ] + b"ppSÄ ])С л С =
= RРС лС> (9)
R% =Ä Ä ] + + bPtiÄ (10)
Rlj = ÄÄKm + blAÄn + bPAÄrn > (H)
RPj = bhöÄlm + bPrtÄPm > (12)
R1m = VPÄv] + VPÄn - (13)
Следуя работам [2; 3], приходим к выводу, что в касательном расслоении T(Vm) возникает аффинная связность у без
кручения с формами связности {С > сС }> которую назовем согласно работам [4; 5] внутренней (касательной) аффинной связностью оснащенной гиперполосы SHm.
Итак, справедлива
Теорема 1. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперполоса ВНт (полем нормалей 1-го рода N(А)) индуцирует внутреннюю аффинную связность у в касательном расслоении Т(Ут) с формами связности [С, сок.}
(5) и 2-формами кривизны (6—9). Компоненты тензора кривизны = [Щ^, Е.^, , Е.^} связности у имеют строение (10—13).
Внутренние аффинные связности, порождаемые связностью у в слоях Д-подрасслоения и А -подрасслоения, обозначим соответственно уА и уА*.
Согласно этому замечанию в силу теоремы 1 имеет место
Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка связность у порождает в А-подрасслоении (соответственно в А*-подрасслоении) связность уд(уд) с формами связности [С, юр} (соответственно [С, сЦ} и 2-формой кривизны (6) (О (7)). Тензор кривизны связности уА имеет вид (10), а для связности уА* соответственно (11).
§ 2. Задание нормальной аффинной связности на оснащенной регулярной гиперполосе ВНт
1. Структурные уравнения нормального расслоения ЩУт) [2] с учетом выражений (1—4) можно представить в виде
йЮа=суаАЮ7+0а, йспа = 0, (14)
йю =ю А с л ю^1 + о, ю = О,
где
^а-ака л < = А^ ^ к®1 л а' - К^ л а , (а) пап - а л а - Аа1 л а - каа л а,
^ -А1'а1 ла' - К"ша ла',
П"п - акп лап - А'^а1 ла - КПца1 ла>,
(15)
Ках1] -Аа[' , КП' - А[ 1к , Ку -Аа[' , КП - Ап[' ■ (16)
Согласно работе [2] получаем, что в нормальном расслоении Ы(Ут) возникает центроаффинная связность у1 с формами связности [а0^} и 2-формами кривизны (15), которую
назовем нормальной центроаффинной связностью оснащенной гиперполосы БНт .
Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперполоса БНт индуцирует в расслоении
ЩУт) нормалей 1-го рода нормальную центроаффинную
связность у1 с формами связности } (14) и 2-формами
кривизны (15), компоненты тензора кривизны которой
имеют строение (16).
Так как в каждой точке х ^Ут определена характеристика
Хп_т_1 гиперполосы БНт [4], причем Хп_т_1 (х) с Ых, то на базисной поверхности Ут определено расслоение характеристик Х(Ут), которое представляет собой нормальное (п - т - 1)-мерное подрасслоение Nn_m_1(Уm) [2].
Структурные уравнения расслоения Х(Ут) определяются выражениями (12а—14а). Связность в расслоении Х(Ут ) назовем нормальной центроаффинной характеристической связностью 77 х гиперполосы БНт.
2. Аналогично можно построить нормальную аффинную связность 31 в расслоении Nn_m+1(Vm) нормалей 1-го рода А — подрасслоения гиперполосы SHm . Структурные уравнения нормального расслоения Nn_m+1(Vm) имеют следующее строение:
| йоьа = о, л о] + , йо* = оьа л о* + О*,
= оп л о[+О: , йоп =оп,
(17)
где
о:=< ла, а;=а, <}, а=а, а },
ОЬ: = Л ^ ] + ЬЛ а л а' = Т^а1 л а',
ОП = ар л а; = ЛЛ^апа л а' = ' л а',
о: = ар л аа = Лп1 ^а л а' = ' л а',
о: =ар ла: +а1 ла* = ЛШ" ла' =
= ' л а',
Та = ЛР аЬ + Ьп ¿а Л:[ Пр\] ] + и:[ Пп\' ]'
Тп = лр ярЬп Т: = ЛР Ьа
т:=лр[ +лр[
(18)
(19)
Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперполоса БНт внутренним образом порождает нормальную центроаффинную связность 31 в расслоении №п_т+1(Ут) нормалей 1-го рода А-подрасслоения с
формами связности {а\} (17) и 2-формами кривизны {Оьй} (18), компоненты тензора кривизны {гЬ} которой имеют строение (19).
3. Построим нормальную аффинную связность ц1 в расслоении Nn_1(Уm) нормалей 1-го рода Л*-подрасслоения гиперполосы БНт.
Структурные уравнения нормального расслоения Nn_1(Уm) имеют вид
йаП -а: ла1 +Ои,
а -аъп ла1+оу, а -О,
Qv 1 п , п п 1 ( 1 1 л п ( п а 1
u -аи ла1 +аи лау ; аи - {ар'аа1 а - {а1 ,а1 }■
Распишем более подробно 2-формы кривизны связности
Ц1:
о: - (АА ] + УМА а ла - К^а1 ла', оу - а1 л аП - (А[А№ л а' - ' л а', О - ау лап - (ЬпАА^а ла' - К^а' ла', (20) Оп - а„х ла + < ла"р - (Ь^А^ + Ь^А^^а1 ла'
- Ка1 ла',
(21)
где
def def def
Кг = b, 4}, Л = {Apt,К}, < = А>'■
Ruij = \[ ] + btq5u5[i^\n\i ' Ruij = bu] ],
^Kj = xl[i4\iV Rnii = bmAn[ish + b"Ai5]]■
Теорема 5. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенная гиперполоса SHm внутренним образом порождает
нормальную центроаффинную связность ц1 в расслоении
Nn_1(Vm) нормалей 1-го рода А*-подрасслоения с формами
связности [®V} и 2-формами кривизны {ОД} (20), компоненты
тензора кривизны Ru которой имеют строение (21).
Список литературы
1. Попов Ю. И. Нормализации гиперполосы SHm // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 131—141.
2. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий : монография. Ереван, 1990.
3. Остиану Н.М., Рыжков В. В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. Семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 7—70.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
5. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства : учебное пособие. Калининград, 2001.
Yu. Popov
Connections on a framed regular hyperband SHm
This article is a continuation of [1]. Internal affine and normal centeraffine connections introduced respectively in tangent and normal subbun-dle associated with hyperbands field of normals on a rigged first kind hyperstrip SHm .
