Влияние проницаемости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном законе Дарси Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.5:622.276

ВЛИЯНИЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ ГРАВИЙНОГО ФИЛЬТРА НА ДЕБИТ БУРОВОЙ СКВАЖИНЫ ПРИ ЛИНЕЙНОМ ЗАКОНЕ ДАРСИ

© 2003 г, В.А. Толпаев, Ю.В. Харченко, В.В. Захаров

Exact decision of axisymmctrical problem on the discharge of bore hole with gravel filter is given. The formula for the corrective factor to the formula of Dupuit is brought out and some its numeric values are presented.

Введение

В задачах подземной гидромеханики при расчетах дебитов скважин поверхность их ствола принимается в качестве поверхности с постоянным значением приведенного давления [1] Р = р + р§1, где р - гидродинамическое давление; р — плотность флюида; g — ускорение свободного падения; г — координата, направленная вертикально вверх вдоль оси скважины, начало отсчета на которой совмещено с подошвой пласта (рисунок).

/ / / / / /

4 А,/

///////Л'

О о о о

оо 1 °

о ° к2 о

о э о

°о° о о

о о о о

7777777777

7777777777

/

/

;в,

z/////////

777777777

2гс

1 - призабойная зона скважины (ПЗС) с проницаемостью к[; 2 - фильтр из гранулированного материала с

цементирующим составом с проницаемостью к2,

(к2 » к\); 3,4 - непроницаемые подошва и кровля горизонтального пласта мощности Ь; 5 - ствол скважины с радиусом гс ; г, г - цилиндрические координаты

Так как величины напора Я = Р / pg и потенциала скорости фильтрации <р = —кР/ц (где к - проницаемость пористой среды; /л - коэффициент динамической вязкости флюида) лишь постоянными множителями отличаются от приведенного давления Р, то поверхность ствола скважины в рассматриваемых расчетах в то же время принимается и за поверхность с постоянным напором Н, и за эквипотенциальную. Между тем для скважин, эксплуатирующих пласты большой мощности и обладающих большим дебитом, предположение о эквипотенциальной поверхности ее ствола может приводить к заметным ошибкам в фильтрационных расчетах.

Впервые задача об учете градиента потенциала вдоль ствола скважины при расчете ее дебита для фильтров перфорационных конструкций ставилась в [2] и наиболее широко для совершенной скважины рассматривалась в [3]. Однако в [2, 3] вывод расчетного уравнения (схема вывода которого приведена также в [4]) для переменного вдоль ствола скважины расхода был основан на том, что напор на внешней стенке фильтра, т.е. на стволе скважины, считался* постоянным. Подчеркнем, что такое допущение о постоянстве напора на поверхности ствола скважины не совместимо с неравномерным распределением скорости фильтрации по ее высоте.

В данной статье авторы приводят решения уравнений напорной фильтрации в осесимметричной постановке для фильтров, создаваемых способом гравийной набивки [5], принципиальная схема которых приведена на рисунке. Полученное решение, в котором учитывается неравномерность распределения приведенного давления и скорости притока флюида по высоте фильтра, применено для точного расчета дебита нефтедобывающей скважины.

Уравнения и граничные условия Фильтрация флюида в областях 1 и 2 считается линейной, следующей закону Дарси [1]:

V, = grad(pl; (р1 = -к,РIр,, г = 1,2. (1)

Поскольку для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности для областей 1 и 2 имеет вид [1] сИу(у) = 0, (2)

то с учетом (1) и (2) для (р, в цилиндрических координатах получаем уравнение Лапласа

^ Э2(р,-+—^- = 0,

1 Э ( Э(Pi

г

Эг dr

dz

і = 1,2.

(3)

В классической постановке задачи о дебите скважины круговая цилиндрическая поверхность АА1В1В (рисунок) принимается за эквипотенциальную: (Р\\г-К=(Рп=с°пМ. Давление внутри проницаемого

стакана АА^В (рисунок) по всей мощности пласта подчиняется гидростатическому закону. В результате для дебита скважины получается следующая хорошо известная формула Дюпюи [1]:

. 2лкхЪ{Рп -Рс)

Qo =

МІп(я/гс)

(4)

На самом же деле цилиндрическую поверхность AAiB]B фильтра считать эквипотенциальной нельзя. Действительно движение флюида вдоль вертикальной оси z внутри фильтра (область 2 с проницаемостью к2) обеспечивается за счет градиента потенциала и, следовательно, (Pi и (р2 на цилиндрической поверхности AAiBtB постоянными не являются. Цель настоящей статьи - вывод точной формулы для объемного дебита скважины в уточненной постановке (когда граница раздела ki и к2 не считается эквипотенциальной) и последующая оценка погрешности приближенной формулы (4).

Сформулируем граничные условия для уравнений (3) в точной постановке задачи о дебите скважины. На круговой цилиндрической поверхности питания с радиусом R скорость фильтрации параллельна подошве и кровле пласта и не зависит от координаты z. Поэтому

<Pi\r=R =Фп = const. (5)

Поскольку кровля и подошва пласта непроницаемы, то

d<Pi

Э z

_д <р,

z=0

dz

= 0 при rc<r<R .

(6)

г=Ь

dr

= 0.

г=0

Э г

= 0 при 0 < г < гс.

(7)

г=0

dz

= v0= const,

0<r<r„

(8)

z=b

Фі

<P 2

r=rc

9<Pi

dr

Э <p2

dr

(10)

(11)

После того как сформулированные краевые задачи для уравнений Лапласа (3) будут решены, можно будет подсчитать среднее значение {(р2) потенциала ср2 в круговом сечении А1В1 ствола скважины:

{(Рг)=-^2 /ММ)-г-йгс1& = ^\(р2{г,Ь)-г-с1г. (12)

^с 0

Величина (ф2), найденная из (12), будет зависеть от*у0. С другой стороны, в круговом сечении А,В, бывает известным приведенное давление Рс, по которому (ф2) будет определяться в соответствии с (1) по формуле

(13)

Во второй зоне области фильтрации ось Ог ствола скважины является линией тока течения. Поэтому д<Р2

Внутри фильтра подошва пласта тоже непроницаема д<р2

Поэтому на основании уравнений (12) и (13) через известное значение Рс удастся вычислить скорость фильтрации Уо, а затем по (9) - и объемный дебит скважины <2.

Перейдем теперь к решению сформулированных краевых задач.

Расчет потенциала ф!(г,г)

Решение уравнения (3) для функции ц>], удовлетворяющее граничным условиям (5) и (6), находится методом Фурье и имеет вид:

^1(^,2)= £л„(г)со5(Яиг), (14)

п=0

где Нп (г) - решение дифференциального уравнения ^ - (15)

-^{rRn(r))-tfnrRn(r)= 0,

Скорость фильтрации в сечении А1В1 ствола скважины будем рассматривать как строго вертикальную, имеющую постоянную величину у0. Поэтому d(p2

п = 0,1,2,...

Чему равна величина Уо - этот вопрос пока остается открытым, но если Уо будет найдена, то объемный дебит скважины (отнесенный к единице времени) найдется по формуле

й = лг\. (9)

Решения двух уравнений Лапласа на границе круговой цилиндрической поверхности АА1В1В областей 1 и 2 должны удовлетворять условиям непрерывности давления и нормальной к АА|В,В составляющей скорости фильтрации. Эти условия в силу формул (1) будут иметь вид:

Если в формуле (14) выделить отдельно слагаемое для и=0, то с учетом граничного условия (5) получим:

<Р\{г,г) = срп +С0 1п(д/г)+ £Я„(г)со5(Лпг). (16)

л—1

В (16) функции Яп (г) должны удовлетворять уравнению (15) и, чтобы удовлетворялось (5), - граничному условию

Я„| =0. (17)

1г=Я

С помощью подстановки % = Лпг (п = 1,2,3,...) уравнение (15) приводится к виду

о,

которое представляет собой уравнение для функций Бесселя [6] мнимого аргумента /</£) и Е). Поэтому общее решение уравнения (15) будет иметь вид [6] £пМ=СгиЯпг)+С2-К0(А„г), « = 1,2,3,.... (18)

Поскольку при г=Я должно выполняться условие (17), то С/ и С2 в (18) должны быть подчинены требованию С[ •/0(Я„й)+С2 •АГ0(Яя/г)=0, откуда

= А-£0(Ап/?), С2 = -А-/0(А„я), где А - произвольная постоянная. Таким образом, функция (р^г.г) в первой зоне области фильтрации будет иметь вид:

Ч>\ {г, г)=Фп + Со 1п(к / г)+ х • Ч, (г)- со^« г), (19)

п=1

/0(Алг); Ка{Хпг)

/0(Аля); ’

10иК0 — модифицированные функции Бесселя нулевого порядка.

Расчет потенциала ф2(г,г)

Решение уравнения Лапласа для ф2(г,г) во второй зоне области фильтрации с проницаемостью к2 ищется в виде

где wn(r) =

Vilr.zhffi-r42]*U<r.z).

(20)

После подстановки (20) в уравнение Лапласа (3) для {/(г,г) снова получим уравнение Лапласа:

ІІL

г д г

д U ' дг

д2и

Эг2

= 0.

(21)

тт дср2 у0г Эи

Поскольку, как следует из (20), —— = + ——,

Эг Ъ Эг

для выполнения условий (7) и (8) придется потребовать, чтобы

д£

Эг

= <Ю

z=o &

= 0.

(22)

г-Ь

так, чтобы

дг

г=0

Для обращения в нуль

при г=0 потребуем,

о г

чтобы ДрО и С, •/, (о)- С2 • К1 (о)= 0.

Так как 7^0)=0, а ЯГ|(0)=«>, то С2=0, а С( - произвольная постоянная. Таким образом, окончательно для ф2(г,г) получаем следующее представление:,

<Р2(г-г)=^(г2-/-2/2)+

+ £А,-/0(Айг) •cos(A„z)+conrf,

Л=1

(25)

где Dn - произвольные постоянные.

Алгебраизация граничных условий сопряжения

Произвольные постоянные С0, С„, v0, D„ и const в (19) и (25) подберем так, чтобы оказались выполненными граничные условия сопряжения (10) и (11). Граничное условие (10) приводит к равенству

А) + £ К «к(А„ z) = , (26)

Л=1

2к2Ь

где

<рп+С01п

■ ,27)

Ак2Ъ

K=T-wArc)~hbnre)-

К j «2

Если функцию

Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям (22), ищем в виде (г Л “

и(г,г) = D0 In — + ^con(r)cos(Xnz)+const, (23)

\rJ "=>

Где Dg и const — произвольные постоянные.

Подставив (23) в (21), для функций соп(г) получаем

1 d ( d(On Л 2

уравнение------г------- -Апа>п = 0.

г dry dr J

Решение последнего уравнения, совпадающего с (15), уже известно и имеет вид

“>п(г)=С1 ■/0(V)+C2-К0{Хпг). (24)

Произвольные постоянные Do, Cl и С2 подберем д(р2

Ур2 2 k2b

разложить в ряд Фурье по

cos(Anz), то величины Ао и Ап станут известными, и поэтому (27) будут уравнениями относительно С„, D„, Со и const. Недостающие уравнения дает граничное

условие (11). Вычисляя —— и

---- и ——, получим:

дг дг

^- = -—+ £cn .(A„>Wn(r>coS(AnZ), (28) or г „=1

где = %Dn ■ (Ал)• /](A„г)-cos(А„г), or 2b „=і

Wn{r)-

= 0, так как ось Oz является лини-

/,(Аяг); -К^г)

/0(Алд); к0М'

С учетом формул (28) граничное условие (11) можно будет переписать в виде

ей тока. Из (20), (23) и (24) следует, что д(р2 _ у0г Р0 |

Эг 2 Ъ г

+ -[С, -/1(Я„г)-С2 •К,(Алг)]-со5(А„г).

л=1

(Были использованы известные [6] правила дифференцирования модифицированных функций Бесселя /0 и К0).

---£СЛ • (А„ ) • W„ (гс )• cos (Ал г)=

п=1

УпГ

—^+1£>л.(Ал>/1(Алгс)-со5(Апг).

26 „=1

Из этого равенства для коэффициентов С0, С„, Оп, Ао, А„ получаем следующие недостающие уравнения:

С„=-

УпГ.

О'с

26

Г . Л (Я./-,) _

Л ... / \ * ^0 /Г7 *

К\гс) 2

'*.“7

к2п п

(29)

Коэффициенты А0 и Ап определены из тригонометрического ряда Фурье (26).

Из формул (27), (29) видим, что

const _ 1 к2 кх

Г RW

D„ =

С. =

<Рп + со1п

2УрЬк{ • Wn (гс )• (-1)” ;

л2п2 F(n,kltk2) 2v0bkx •/1(Я„гс)-(-і)л л2п2 F(n,klyk2)

)(згс2-2fe2)

12 k2b

(ЗО)

R

* г

\ /

+ £ і” ‘ 71 Ге )‘ W» (Г)' C0S^« ■г)

Я n=1

і *2 где Я =,— и

К

n F(n,X,\)

cp2{r,z)=X

v0 rc 1

+~2Г

| у0(згс2 -262) | v0 126 26

n

XI

я=1

(-1)” • (rc )• /0 (Я„г)- cos^„z)

и 2 -F(n^,l)

(31)

Вычисление дебита скважины

(p2{r,b)=X

m -u У°Гс In (Dr\ +.........."ІП

n 26

| у0(з/-с2 +462) v0r2 [ 2v06;; ~Wj£ch_o(V) 126 46 я2 n=i /і2-^(и,Я,1)

Поскольку Ґ.

lr-Io{Kr)-dr = h 2 • Jx-/0 (*)•«& =

о о

<Pn +-^-ln

П 26

то

R

rc \ c JJ

у0гг2(згс2 +462) у0гс\2у0Ь 246 166

Wn{rc\h{Krc)

+ -^x n

х У

я=1 «3^(и,Я,1)

Теперь на основании формулы (12) получаем, что

(<р2) = Я

<Рп +'

УпП

°'с ІПІ

26

чГ‘,

+

о 'с . vob 4vn62 ґ

v0rt

+ _<L£_ + _ii_ +

яДА

6 я

^(«. «1. «2) = К(гс)- Л(Лггс)«1 ~К(гсУ к{Кгс)ч)-После подстановки (30) в формулы (19) и (25) для потенциалов <р/(г,г) и <р2(г,г) получаем следующие выражения:

где Ґ г Г N

К—.—

Ь R

= уК. , _wn(rc)-h{Krc) tin3 ’ " Fin,К,1) •

(32)

(33)

С другой стороны, (ср2) вычисляется по формуле (13) через заданное значение давления Рс в сечении АД добывающей скважины. Это позволяет из (32) найти уравнение для оставшейся неизвестной величины у0:

^2 (^/7 - _

И

26

Я In

4 Зг2 я3 г?

Г Ґ

я.-f А

6 /г

• (34)

С 'с

Вычислив из (34) величину у0 и подставив ее затем в (9), для объемного дебита скважины, эксплуатирующей пласт с мощностью 6, получим: б= (35)

2пкх{Рп-Рс)-Ъ

/

и

In +

гс \ с V

1 26"

4 Зг2 я3/-3

6 /г

•я

-і

Для завершения расчетов остается вычислить среднее значение (ф2) по формуле (12). Для этого предварительно запишем <р2(г,Ь). Согласно (31), имеем

Отметим, что в частном случае, когда к2=к\ (т.е. Я=1), (35) даст формулу дебита скважины, плоским дном вскрывающей продуктивный пласт с конечной мощностью.

Из (35) вытекает, что влияние неравномерного распределения потенциала вдоль фильтра АА1В1В (рисунок) можно учесть, если в классическую формулу Дюпюи ввести поправочный коэффициент Р <2 = ОоР , где 1п(Я/ гс)

Р=-

1п

/

— +

V

1 262 863

(36)

-+—

4 3г2 ’ я3 г?

т г

ЯА,—

6 R

■X

-\

а £2о находится из формулы Дюпюи (4). С помощью формул (33) и (36) были вычислены значения поправочного коэффициента [5 для различных соотношений II/гс, Ь/гс и кі/к2. Часть результатов расчетов представлена в таблице.

Таблица значений поправочного коэффициента Р

Отношения проницаемостей к,/кг: 1 - 1,0; 2-0,1; 3- 0,01; 4 - 0,001; 5 - 0,0001; 6 - 0,00001; 7 - 0,000001; 8 - 0,0000001

R/rc Отношение мощности пласта к радиусу скважины Ыгс

10 20 50 100 200 300 500 1000

1 ,3325 ,1863 ,0791 ,0398 ,0193 ,0121 ,0061 ,0017

2 ,6452 ,4138 ,1915 ,0996 ,0503 ,0334 ,0195 ,0085

3 ,9186 ,7638 ,4390 ,2433 ,1266 ,0851 ,0512 ,0252

1000 4 ,9905 ,9637 ,8219 ,5807 ,3326 ,2284 ,1393 ,0699

5 ,9990 ,9962 ,9767 ,9149 ,7439 ,5877 ,3886 ,2001

6 ,9999 ,9996 ,9976 ,9905 ,9633 ,9219 ,8151 ,5566

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9990 ,9962 ,9914 ,9766 ,9138

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9996 ,9991 ,9976 ,9905

1 ,3541 ,2013 ,0863 ,0437 ,0212 ,0133 ,0067 ,0019

2 ,6668 ,4372 ,2067 ,1085 ,0551 ,0366 ,0214 ,0094

3 ,9255 ,7806 ,4627 ,2614 ,1375 ,0929 ,0560 ,0276

2000 4 ,9914 ,9669 ,8354 ,6038 ,3541 ,2457 ,1511 ,0764

5 ,9991 ,9965 ,9788 ,9221 ,7617 ,6107 ,4116 ,2158

6 ,9999 ,9996 ,9978 ,9913 ,9665 ,9285 ,8291 ,5800

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9991 ,9965 ,9922 ,9787 ,9210

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9996 ,9992 ,9978 ,9913

1 ,3661 ,2097 ,0905 ,0459 ,0223 ,0140 ,0070 ,0020

2 ,6782 ,4500 ,2154 ,1137 ,0579 ,0385 ,0225 ,0098

3 ,9290 ,7894 ,4757 ,2715 ,1438 ,0974 ,0588 ,0291

3000 4 ,9918 ,9686 ,8425 ,6162 ,3661 ,2555 ,1579 ,0801

5 ,9992 ,9967 ,9798 ,9257 ,7710 ,6230 ,4242 ,2248

6 ,9999 ,9997 ,9979 ,9918 ,9682 ,9319 ,8363 ,5926

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9992 ,9967 ,9926 ,9797 ,9247

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9997 ,9993 ,9979 ,9918

1 ,3743 ,2157 ,0935 ,0474 ,0231 ,0145 ,0073 ,0021

2 ,6859 ,4588 ,2214 ,1173 ,0598 ,0398 ,0233 ,0102

3 ,9313 ,7952 ,4845 ,2786 ,1482 ,1005 ,0608 ,0301

4000 4 ,9921 ,9696 ,8471 ,6245 ,3743 ,2622 ,1627 ,0828

5 ,9992 ,9968 ,9805 ,9281 ,7772 ,6312 ,4329 ,2310

6 ,9999 ,9997 ,9980 ,9921 ,9692 ,9341 ,8411 ,6011

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9992 ,9968 ,9928 ,9804 ,9271

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9997 ,9993 ,9980 ,9920

1 ,3805 ,2202 ,0957 ,0487 ,0237 ,0149 ,0075 ,0022

2 ,6916 ,4654 ,2260 ,1200 ,0613 ,0408 ,0239 ,0105

3 ,9329 ,7995 ,4911 ,2839 ,1516 ,1029 ,0624 ,0309

5000 4 ,9923 ,9704 ,8505 ,6307 ,3806 ,2674 ,1663 ,0848

5 ,9992 ,9969 ,9810 ,9298 ,7817 ,6374 ,4394 ,2357

6 ,9999 ,9997 ,9980 ,9923 ,9700 ,9357 ,8446 ,6075

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9992 ,9969 ,9930 ,9809 ,9289

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9997 ,9993 ,9980 ,9923

1 ,3991 ,2339 ,1027 ,0524 ,0256 ,0161 ,0081 ,0023

2 ,7080 ,4849 ,2400 ,1286 ,0660 ,0440 ,0258 ,0113

3 ,9377 ,8118 ,5107 ,3001 ,1619 ,1104 ,0671 ,0333

10000 4 ,9929 ,9726 ,8602 ,6487 ,3992 ,2830 ,1775 ,0911

5 ,9993 ,9971 ,9824 ,9348 ,7948 ,6553 ,4587 ,2501

6 ,9999 ,9997 ,9982 ,9928 ,9722 ,9403 ,8546 ,6259

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9993 ,9971 ,9935 ,9823 ,9339

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9997 ,9993 ,9982 ,9928

1 ,4167 ,2472 ,1096 ,0561 ,0274 ,0173 ,0087 ,0025

2 ,7228 ,5030 ,2535 ,1369 ,0706 ,0472 ,0277 ,0122

3 ,9418 ,8226 ,5288 ,3156 ,1720 ,1177 ,0718 ,0357

20000 4 ,9934 ,9744 ,8687 ,6651 ,4167 ,2979 ,1883 ,0973

5 ,9993 ,9973 ,9836 ,9391 ,8064 ,6715 ,4768 ,2640

6 ,9999 ,9997 ,9983 ,9933 ,9741 ,9442 ,8634 ,6428

7 1,0000 1,0000 ,9998 ,9993 ,9973 ,9940 ,9836 ,9382

8 1,0000 1,0000 1,0000 ,9999 ,9997 ,9994 ,9983 ,9933

Расчеты показали, что если отношение проницаемостей к1/к2<10"^, то практически для всех значений И/Гс и Ь/гс боковую стенку фильтра АА1В1В скважины при расчетах дебитов можно считать эквипотенциальной поверхностью. При этом если мощность пласта Ь/гс<500, то относительная погрешность в расчетах дебитов не превысит 2,4 %.

Для отношения проницаемостей к^МО-5 заметную роль начинает играть мощность пласта. Для пластов малой мощности, когда Ь/гс<50 и к1/к2<10'4 , боковую поверхность фильтра скважины снова можно считать эквипотенциальной и погрешность расчетов при этом тоже не превысит 2,4%. Для пластов с мощностью Ь/Гс> 100 в расчетах дебитов уже нужно будет учитывать поправочный коэффициент (3, приведенный в таблице. Для пластов большой мощности неучет р может привести в расчетах дебитов к заметным ошибкам.

Так, например, для к,/к2=1(Г5, Ь/гс=500 и К/гс=1000 расчет дебита по формуле Дюпюи приведет к относительной ошибке в 22,7 %.

Приведенная таблица дает представление о том, в каких ситуациях расчеты дебитов скважин можно выполнять в классической постановке задачи (считая стенку АА1В1В фильтра эквипотенциальной поверхностью), а когда нужен учет коэффициента (3.

Литература

1. Басниев КС. и др. Подземная гидромеханика. М., 1993.

2. Petersen J.S. et al. // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1953. Vol. 79. №365. P. 115-121.

3. Васильев В.А., Шульгин Д.Ф. II Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1961. № 1. С. 17-20.

4. Полубаринова-Кочина ПЯ. и др. Математические методы в вопросах орошения. М., 1969. С. 115-121.

5. Научно-технический обзор ВНИИЭгазпром. Серия: «Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений». Вып. 13: Скважинные фильтры. М., 1977. С. 17- 19.

6. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана М., 1979. С. 195 - 253.

Северо-Кавказский государственный технологический университет____________________________________26 ноября 2002 г.

\