Математические модели работы скважинных фильтров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.24 + 532.5

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАБОТЫ СКВАЖИННЫХ ФИЛЬТРОВ © 2004 г. В.А. Толпаев, А.А. Петухов, В.В. Захаров

This article proposes approximate analytical method for calculation of wellsite fluid seepage with most familiars well designs filters: wire-wound screen, ring filter and perforated well screen. These calculations are given by uniform computational procedure using weighted average value method.

Введение

В практике эксплуатации скважин применяют фильтры различных конструкций. Наибольшее распространение получили каркасно-стержневая, кольчатая и перфорационная конструкции. Каждая из перечисленных конструкций требует своего индивидуального подхода для точного расчета фильтрационного потока к скважине. В данной статье для приближенного аналитического расчета течений к указанным фильтрам используется единообразный подход - метод средневзвешенного потенциала (СВП) [1], который в технической электродинамике известен как метод Хоу [2]. Этот подход всегда дает заниженное значение [1, 2] дебитов на 5-10 %. Однако, зная эту особенность метода СВП (метода Хоу), можно получившийся теоретический результат для дебита скважины с данной конструкцией фильтра увеличить приблизительно на 7 % и тем самым приблизиться к точному результату. Кроме знакопостоянства ошибки метода СВП, другим его достоинством является простота применения, что объясняет его широкое использование в инженерной практике.

1. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой конструкции

Каркасно-стержневой фильтр состоит из чередующихся вертикальных щелей и непроницаемых стенок (рис. 1). В силу симметрии ЛБ и ВС будут поверхностями тока. Круговая цилиндрическая поверхность СБ является эквипотенциальной. На ней потенциал скорости фильтрации р = -кР / /и (где к - коэффициент проницаемости пласта в призабойной зоне скважины; Р - приведенное давление; /и - коэффициент динамической вязкости жидкости), равный заданной постоянной.

Рис. 1. Схема каркасно-стержневого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах [3]: гс - радиус скважины;

Р - половина раствора угла щели; а - половина раствора угла непроницаемой стенки; Я - радиус контура питания

Как известно [3] потенциал р плоскопараллельной линейной фильтрации в изотропной однородной среде с проницаемостью к удовлетворяет уравнению Лапласа

±( r Щ+-Ц1 i*i =0

dr ^ dr ) д0 ^ r д0 )

Граничные условия для (1) применительно к схеме фильтра на рис. 1 имеют вид

ф|г=R = Фп , где Фп = -kPn / М = const,

lr =R др ~30

= 0.

0=0

др

~30

= 0 , где в0 = a + в .

0=00

др

3r

= 0 , p

o<0<a

r=rc = pc •

a^^o

(2)

(З)

где pc =

= const .

Точное решение задачи можно получить методом конформного отображения. Однако, сохраняя едино-образность подхода к исследованию работы фильтров всех рассматриваемых конструкций, на примере этой задачи покажем, как применяется метод СВП [1]. Суть его в том, что вместо точного граничного условия (3) будем удовлетворять приближенному граничному условию др

Зг

r=rc

a^^o

= -V0 = const ,

(4)

где У0 - некоторая пока что неизвестная постоянная (знак минус в (4) поставлен из-за того, что течение жидкости направлено к центру скважины). Эту постоянную будем подбирать так, чтобы среднее значение потенциала на границе ВЕ удовлетворяло условию

<Р>\

r=

Оъ <00

= ^ |°p(r

pay'

,0)0=

pc

(5)

Таким образом получится, что (3) окажется выполненным приближенно для среднеарифметического значения потенциала р.

Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (4), находится методом разделения переменных и имеет вид:

p(r ,0)= ( 0 rc /00 )•( в In T +

-Лп - ТЛП

+ 2 Z-

П=І

где Лп =

] • sin (Л, a)

Л • [Т0Л +ТЛ ]

cos1

+ рп

(6)

R

R

00

и To =■

- безразмерные вели-

чины.

Неизвестную У0 найдем, вычисляя осредненное на дуге ВЕ значение потенциала. Для этого подставим полученное значение потенциала (6) в формулу (5), из которой найдем

=

r

r

c

V0 =

00

Pc -Рп

Р2 • lnTo -2У

Т~Л т Лп

00

Л, . Лn

П=І т + т

n ^0 ^ *0

sin2 (Ka)

ЛП

Дебит скважины через найденное значение скорости фильтрации У0 рассчитывается по формуле

кН Р - Р

О = N 2¥0 £Н = 2л —---------------------П-с-, (7)

0 и 1п(Я / гс) + 2/2

где N - количество щелей; £ - площадь щели; Н - высота фильтра,

81И

'■(( [I N-в]

ЛП

(В)

л =------У

р2 п=1 (гс /Я) + (я /г)

лп = N ■ п .

Для практических расчетов по формуле (7) полу чающееся значение дебита О нужно в силу особенно стей метода СВП увеличить приблизительно на 7 %.

Иное приближенное решение задачи о каркасностержневом фильтре в [3] получено другим способом.

Это другое решение тоже приводит к формуле (7), но с коэффициентом

Л Л 4 1 • N в

Л = ЛПл =- N 1п81п—•

Сопоставительный анализ этих двух приближенных решений (рис. 2) показал, что полученные различными методами результаты совпадают с удовлетворительной точностью и отображают одну и ту же тенденцию роста дебита при увеличении скважности

[4].

В обоих случаях с ростом скважности увеличивается удельный дебит. Однако, что не маловажно, при увеличении скважности прочность фильтра уменьшается. Поэтому необходимо выбрать такую скважность, при которой фильтр имеет достаточно большую пропускную способность и обладает необходимой прочностью. По расчетам по формуле (7) с коэффициентом Л (8) и по формуле (7) с коэффициентом ЛПл работы [3] получается, что дебит приближается к максимальным значениям начиная со скважности 50 %.

Поэтому на основании проведенных расчетов можно рекомендовать использовать в практике фильтры каркасностержневой конструкции со скважностью 50-60 %, так как дальнейшее увеличение скважности уже значительного прироста дебита не дает, зато резко снижает прочностные качества этой конструкции. Заметим, что на практике [4] действительно применяют фильтры

каркасно-стержневой конструкции со скважностью от 50 до 63 %.

2. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции

Кольчатый фильтр состоит из чередующихся горизонтальных щелей и непроницаемых колец (рис. 3).

В силу симметрии поверхности ЛБ и ВС можно рассматривать как поверхности тока. Круговая цилиндрическая поверхность СБ является эквипотенциальной поверхностью, на ней потенциал скорости фильтрации равен некоторой заданной постоянной. Задача сводится к решению уравнения Лапласа отндсительно потенциала р (г,1) в цилиндрических координатах

І 3-(r^ІРР, 0.

r 3r у 3r J 3Z

(9)

Стжность

Рис. 2. Анализ работы фильтров каркасно-стержневых конструкции по формулам, полученным в данной статье (7) с коэффициентом Л (8) (графики 2, 4) и в работе [4] с коэффициентом ЛПл (графики 1, 3)

Рис. 3. Схема кольчатого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах [3]: гс - радиус скважины; 1щ - половина высоты щели; 1с - половина высоты непроницаемой стенки; Я - радиус контура питания; 70 = 1щ + 1с

r

c

Граничные условия в области ЛВСБ (рис. 3) для уравнения (9) имеют вид:

3p

3z

где pIj = -

= 0,

3p

3z

= 0

p

r=R

kP,

п

M

= const ,

3p

3r

= 0.

г=rc

Іщ <z<zo

(10)

p

г = rc

o< z <l„

= pc , где pc = -

= const .

Точное решение данной задачи найти довольно сложно, поэтому применим метод СВП [1] для приближенного решения. Потребуем вместо выполнения граничного условия (11) выполнение нового граничного условия

3p

3r

г = rc

0< z <Іщ

= -Vo = const,

(12)

где У0 - некоторая пока что неизвестная постоянная (знак минус в (12) снова поставлен из-за того, что течение жидкости направлено к центру скважины). Постоянную У0 в соответствии с методом СВП подбираем так, чтобы среднее значение потенциала на границе ЛЕ удовлетворяло условию

Вычислительные эксперименты показывают, что дебит возрастает при увеличении скважности фильтра и приближается к асимптотическому значению при 20-30 % скважности (рис. 5). Поэтому нет практической необходимости в фильтрах кольчатой конструкции с более высокой скважностью. На практике, действительно, применяют фильтры кольчатой конструкции со скважностью от 20 до 30% [4].

3. Математическая модель работы фильтра перфорационной конструкции

Фильтры перфорационной конструкции содержат отверстия, сделанные на непроницаемой круговой цилиндрической поверхности и расположенные в шахматном или рядном порядке (рис. 4). В данной статье рассмотрим решение задачи расчета дебита для рядного расположения перфорационных отверстий, имеющих две перпендикулярные оси симметрии, одна из которых параллельна оси скважины. К таким отверстиям относятся прямоугольник, круг, эллипс и другие (рис. 4). В силу этой симметрии поверхности ЛВСБ, Л1В1С1Б1, ЛЛ1В1В и ВБ1С1С будут поверхностями тока. Круговая цилиндрическая поверхность ЛЛ1Б1Б, является эквипотенциальной поверхностью, на которой потенциал скорости фильтрации р равен заданной постоянной.

<p>|

r=rc

0<z<l,.

=j-

rc, z

)z =

pc

(1З)

Решение уравнения Лапласа (9) удовлетворяющее граничным условиям (10), (12), находится методом разделения переменных и имеет вид:

p(r, z) =

z

ад

-2У

an (r) ^

»=1 а П (rc )

пп

0

81П

l і R

rc1щ ln--------

r

1п(л,1щ )cos(^z)

+ Pп, (14)

z

0

1 nn I \

где Лп = — , an (r) =

а П (r ) =

K 0 (Л,г ) к 0 (ЛnRR

10 (Лпг);

10 (ЛпЯ);

ЛпЬ (ЛпГ); Л„КХ (ЛпГ)

10 (ЛпЯ); К0 (ЛпЯ) ’

10, 1\ - модифицированные функции Бесселя;

К0, К1 - функции Макдональда [5].

Подставляя полученное значение потенциала (14) в формулу (13), найдем

■ [рс -рп ] _____

2 (пЩ ) .

Vo =

lщ z 0

Рис. 4. Схема фрагмента фильтра перфорационной конструкции с рядным расположением перфорационных отверстий. Слева - сегмент фильтра элементарной области притока жидкости; ВВ1С1С - область Б поверхности фильтра; ОС»! - ось симметрии ствола скважины; И - высота сегмента; 00 -угол раствора сегмента; ст - четвертая часть перфорационного отверстия

Как и в двух предыдущих частях статьи, задача сводится к решению уравнения Лапласа в цилиндрических координатах г, 0, г

rJl lnR - 2 У ап ( )-

81И

. а'п (гс) Л2п

Дебит скважины для горизонтально-щелевого фильтра через найденное значение скорости фильтрации У0 рассчитывается по формуле

кН

О = Ш02ягс 21 щ = Ж0 £ = 2л —

1 _Ё_( г Ё*)+А. д^+^р = 0

г дг у дг ) г2 дв2 ді2

при следующих граничных условиях:

3p =0, 3p =0, 3p

3z z=0 3z z=h ~33e

=0,

0=0

0=00

(15)

(16)

Pп - Pc

и 1п( / гс )+Л/2’

где N - количество щелей; £ = 2 л гс-21щ - площадь щели; Н - высота фильтра;

kPu

p(R,0,z)=pп, где pп =------— = const

Л=-

4 “ аn (c) sln2 (лп1щ )

p(rc,0, z ) = pc 3p(r,0, z)

rc^ n

.=1 а

П (rc )

Л2,

внутри

М

области

3r

= 0, вне области c ,

где pc =- kPc/ m = const.

z=0

z=z

a

r=r

Вновь применим метод СВП [1], так как точное решение для данной задачи найти сложно. Заменим точное граничное условие (17) на новое граничное условие

др(г,0, г)

3r

дpR,в, z)

= -V0

внутри области ст

3r

(1В)

= 0, вне области с,

отверстия. Дебит скважины с фильтром перфорационной конструкции через значение скорости фильтрации ¥0 рассчитывается по формуле

кН Р — Р

О = N¥0 4СТ = N¥0 4£ = 2л---------—П--------, (21)

/и 1п Я / гс +Л/2

где N - общее количество перфорационных отверстий; £ = гс - площадь перфорационного отверстия;

8 ® ® W (г ) 2

° у у тпх с / £2

H - высота фильтра; Л = - -

в котором ¥0 - некоторая, пока неопределенная, постоянная (знак минус в (18) поставлен потому, что течение жидкости направлено к оси скважины). Затем постоянную ¥0 найдем из равенства среднего значения потенциала в области ст заданному значению рс:

~~ II р(гс, 0,2)0 йг = рс , где = Ц й0йг . (19)

(а) (а)

Решение уравнения (15) с перечисленными граничными условиями (16),

(18) находится методом разделения переменных и имеет вид:

£ Я 4¥ р = Vгс-ст 1п- - —0- X (20)

г к00

У У Кп(г) _

Х У У К ( ) £тп ^

т=\ п=\ Ктп \ГС )

rcSc m=1n=1

W' (r)'

mn c

Вычислительные эксперименты, выполненные на основании формулы (21), показали (рис. 5), что дебит приближается к асимптотическому значению при 2025 % скважности. Поэтому практической необходимости в создании фильтров перфорационной конструкции со скважностью большей чем 20-25 % нет.

(ЛП z)cos(/?m в)+(рп. |

, пп _ mn

где лп =—; Pm =^~;

h 00

Sc = Ц d0dz ; SD = Ц d0dz ;

(с) (D)

Smn = IIC0s(ЛnZ')cos(Pm^dzd0 ;

W (r ) =

mn

IPm (?Lnr); KPm (?Lnr)

Ipm (ЛnR); K „ (Л,,r)

Скважность

Рис. 5. Сопоставление фильтров различных конструкций

кт п (г )=

вгт1рт М + Л/вт +Л) ; ^Квт (Л^ЛКв.М

Г 1Рт (ЛпЯ); Г КРтЛ)

1, К - модифицированные цилиндрические функции Бесселя и функции Макдональда соответственно [5]. Подставляя полученное значение потенциала (20) в формулу (19), найдем

рс -рП

Vo =-

Sc ln R -

4

У У

Wmn (rc )S 2 mn

Sd rc H00 Sc m=1 n=1 wmn (rc )

Заметим, что для области Б = {0 < 0 < 00; 0 <2 < к} и для прямоугольного перфорационного отверстия постоянные £б, £тп и имеют вид:

*1п(ЛпН отв )п{Рт0отв )

SD = h0o ■

S=

mn

Лп Рп

и £ =0 ■ к

т ^ ст ^ отв отв >

где котв - половина высоты перфорационного отверстия; 0отв - половина угла раствора перфорационного

Этот вывод соответствует практике, в которой действительно фильтры данной конструкции применяют со скважностью от 17 до 23 % [3].

Заключение

По данным вычислительных экспериментов можно рекомендовать на практике использовать фильтры перфорационной конструкции. Для данной конструкции (рис. 5) характерна высокая пропускная способность при малой скважности, что позволяет обеспечить фильтру необходимые прочностные качества.

Литература

1. Николаевский В.Н. // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. № 10. С. 102-105.

2. Фихманас Р.Ф., Фридберг П.Ш. // ЖТФ. 1970. Т. 40. Вып. 6. С. 1327-1328.

3. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М., 1966.

4. Гаврилко В.М., Алексеев В.С. Фильтры буровых скважин. М., 1985.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М., 1980.

r=r

rr

адад

r

c

Северо-Кавказский государственный технический университет (г. Ставрополь)____________________13 октября 2003 г.