CC BY
16
УДК 532.5 + 622
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ К КАРКАСНО-СТЕРЖНЕВОМУ ФИЛЬТРУ МЕТОДОМ ОСОБЫХ ТОЧЕК
© 2006 г. В.А. Толпаев, А.А.Петухов
In this article authors suggest method of simulation tang of oil wireframe filter by doublet. Authors match this method with method suggested by Pilatovsky V.P. Tang of oil wireframe filter simulated by impermeable arc in Pilatovsky V.P. method. Result of analysis of these two methotds is that method suggests in article is better. Because show nature of flow of fluid in that method the most correct.
Исследование течений жидкости к центральным несовершенным скважинам имеет важное практическое значение. Одной из распространенных конструкций фильтров является каркасно-стержневая (рис. 1).
Изучением течений к скважине с таким фильтром ранее занимался В.П. Пилатовский, который моделировал стержни как непроницаемые дуги (рис. 2) и получил формулу для расчёта удельного дебита скважины с таким фильтром [1, 2]: q _ ln (R/rc)
qo ln (Rrc ) + Ä
(1)
„ k PП - Pc где qo = 2п----¡——г ; гс - радиус скважины; R -
И 1п ЩГс )
. 2, ПЭп _ радиус контура питания; Я = — шсов-; О0 - поп 2
ловина угла раствора непроницаемой дуги; N - количество стержней; Pп и Pc - приведённые давления на контурах питания и скважины соответственно; k -проницаемость пласта; и - коэффициент динамической вязкости жидкости (нефти).
И И 71 7\
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
< / / /
У к / /
/ / /
f / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
стержни фильтра
Рис. 1. Схема каркасно-стержневого фильтра
Рис. 2 Модель каркасно-стержневого фильтра (вид сверху) по В.П. Пилатовскому (р - половина угла раствора щели; 6>о - половина угла раствора непроницаемой дуги)
Исследования по формуле (1) зависимости дебита каркасно-стержневого фильтра от скважности (отношения суммарной площади всех щелей к общей площади поверхности ствола скважины) показывают, что со стремлением скважности к нулю, дебит, как и должно быть, уменьшается. Однако «скорость» убывания дебита при уменьшении скважности по формуле (1) оказывается «малой» и не соответствующей реальному поведению.
Цель настоящей статьи - вывод формулы для удельного дебита каркасно-стержневого фильтра, когда каждый стержень рассматривается как цилиндрическое тело с поперечным сечением, близким к круговому. Решение этой задачи в статье строится по методу особых точек С.А.Чаплыгина, который в теории фильтрации для моделирования овальных непроницаемых включений и каверн в окрестности скважины применял В.П. Пилатовский [1].
Гидродинамические особенности течения жидкости к каркасно-стержневому фильтру изучаются в предположении, что грунт изотропный и однородный, а течение плоскопараллельное. Плоскость течения ХОУ перпендикулярна оси симметрии фильтра.
Для создания потока к центру фильтра в начале координат поместим точечный сток с комплексным потенциалом
q
w1(z) = —— ln z + C . 2n
(2)
Для моделирования препятствий в виде п круглых стержней, в их центрах расположим точечные диполи с моментами, направленными строго навстречу радиальному потоку (2). Поскольку комплексный потен-
циал точечного диполя имеет вид
Ak
то потенци-
z - zk
п Aк
ал от суммы диполей будет £ —~— • При этом точ-
к=0 г - zk
ки должны располагаться в соответствии с рис. 3 равномерно по окружности г = го. Учитывая, что такое расположение точек соответствует распределению простых корней уравнения гп -г0 = 0, суммарный потенциал от всех п диполей можно будет представить в виде:
W2(z)=
A
у" г" z - r0
(3)
где А - некоторая, пока неопределённая действительная постоянная.
Накладывая на течение к стоку (2) течение от п диполей (3), придём к комплексному потенциалу, моделирующему в главных чертах течение к каркасно-стержневому фильтру
w( z) = --П 2п
ln z + Л--
r0
у" г" z - r0
+ C.
(4)
(При записи формулы (4) неопределённую посто-
q
Стержни (имитируемые диполями) j
■ У |Z2
^Лч4 z1\
// // / / rcX\ \
x
\\ -QZn-1/
му < ф >\
= Фс .
Для расчёта средних значений потенциала скорости фильтрации ф на окружности С :| г - го |= Я будем применять формулу В.П. Пилатовского [1] 1 ^(г)сЬ
<ф>= Re
(5)
2п/ с г — го
В соответствии с (4) и (5) среднее значение < ф > на окружности Со с радиусом г = гс будет вычисляться по формуле
< ф >1 = —— 1пгс + —- + С = фс . (6)
1г=гс 2п с 2п с
Среднее значение < ф > на окружности С с радиусом г( > го в соответствии с (4) и (5) будет вычисляться по формуле
<Ф>\ =—— ln r + C = фП . Ir=ri 2п
(7)
Из системы (6), (7) можно вычислить удельный дебит q скважины с каркасно-стержневым фильтром:
q = 2п (Фс -Фп ) 4 ln(ri/rc) + Л •
(8)
янную А обозначили как А = —— Л • го , где Л -
2п
новая неопределённая безразмерная постоянная).
Неопределённые постоянные q, \ и С в комплексном потенциале (4) будем находить по граничным условиям, характеризующим течение. На окружности радиуса г (рис. 3) потенциал ф = Яе[^(г)] скорости фильтрации должен принимать некоторое заданное постоянное значение фц. Поэтому потребуем, чтобы < ф >| г=г = фп .
Величину Л в формуле (8) называют дополнительным фильтрационным сопротивлением, связанным как с количеством, так и с диаметром стержней. Координаты критических точек, в которых линии тока разветвляются и комплексная скорость течения равна нулю, удовлетворяют уравнению
&А> сЪ
q
2п
1 -Л. "z"-1 ro" "ч 2
(z" -r0)
= 0
(9)
Для отыскания корней уравнения (9) применим подстановку г = го • т, где т - комплексный безразмерный параметр. Тогда для т из (9) получим уравнение т2п - (2 + !• п)тп +1 = о.
Далее ограничимся поиском только двух критических точек т и Т2, указанных на рис. 4. Для них
т2 =
2 + Л-" (2 + Л-")2 -4
2
2 + Л-" +у /(2 + Л-")2 -4
2
Из рис. 4 видно, что диаметр стержня равен: с = го(Т2 -Т1), т.е. ± = Т2-Т1.
го
(10)
Рис. 3. Сечение каркасно-стержневого фильтра: г -радиус «невозмущённой эквипотенциали», принимаемой в расчётах за контур питания; го - радиус окружности, проходящей через центры стержней
Окружность с радиусом гс является внутренней границей скважины, на которой потенциал ф должен принимать другое постоянное значение фс, поэто-
Если ввести подстановку 2 + Л" = 2ch —, то из (10) найдём
т1 = ch[ —| - sh| —|, т2 = ch| —| + sh[ —| , (11)
" )
следовательно
d
= т2 -т1 = 2 shl — r0 v"
(12)
Значение параметра т находим из условия соприкосновения стержней с внутренним крепёжным коль-
"
и
с
цом фильтра с радиусом гс . Из рис. 4 видно, что
г
Т = —. Используя (11), получаем уравнение
г0
4)
(13)
а = гс ,
Iп г0 '
1= In Г T0 ]
п V Гс ,
стержни (имитируемые диполями)
Рис. 4. Изображение критических точек Х1 = гот и х2 = Г0Т2 и определение угла раствора 0о
Подставляя далее £ из (13) в формулу 2 + Л п = 2 , для дополнительного фильтрационного сопротивления Л получаем выражение
2 =
(кп -1)2
Если размер ё задан, то (15) будет уравнением для определения радиуса го . Решая (15) получим, что
г0 = к = 1 + d
(16)
Таким образом, для расчёта дополнительного фильтрационного сопротивления Л по заданным техническим параметрам ё и гс нужно найти к по формуле (16), а затем по найденному ж и заданному количеству стержней п найти Л по формуле (14). Левое равенство в (16) позволяет вычислить значение радиуса го = к гс , который нужен для построения гидродинамической сетки течения в призабойной зоне скважины с каркасно-стержневым фильтром и для оценки длины ё' и 2г0 • tgв0 диаметра стержня АХА2 (рис. 4).
Для построения гидродинамической сетки течения выделим в комплексном потенциале (4) действительную и мнимую части. Тогда для р = - кР// и функции тока ц в полярных координатах (г, в) получаем выражения
р(г,в) =
2п I I г.
+ 2
¥(г,в) =
Г
в-2--
q
2п
г0и (гп ■ cos( пв) - Г0 ) г 2" - 2 г" ■ г" ■ cos( пв) + г02"
г" ■ г" ■ sin( пв)
(17)
г2п - 2г" ■ г" ■ cos(пв) + г02
2 п
(18)
, где К = -
(14)
Используя (12) и (13), находим размер d стержней фильтра
d = iL -Гс . (15)
г0 гс г0
г
г
с
с
У
d
d
и
Г
0
п
Г
п К
с
Заметим, что в критических точках Х1 и Х2 на рис. 4 функция тока у принимает значение у = о, так как для этих точек в = о. Это позволяет вычислить угол 2 • во, под которым видна дуга АА на рис. 4 из центра скважины. Для этого решаем уравнение у (го, во) = о , которое в соответствии с формулой
» 2,0 - 2,5 радиуса скважины, так как эквипотенциали на этом расстоянии приобретают вид, близкий к окружностям.
Для оценки влияния несовершенства скважины с каркасно-стрежневым фильтром на её дебит q рассчитаем отношение q / q0, где qo - дебит совершенной скважины, вычисляемый по формуле Дюпюи
y / Гс 1.81
x / Гс
0.5 1 1.5 2
Рис. 5. Гидродинамическая сетка течения (пунктирными линиями изображены окружности)
sin(w0o)
= 0.
(18) примет вид во - Л ■-
2(1 - СОБ(пво ))
Далее угол во используется для расчёта скважности каркасно-стержневого фильтра. С помощью формул (17) и (18) построена гидродинамическая сетка течения, из которой видно (рис. 5), что в расчётах радиус контура питания можно принимать Результаты расчётов безразмерного удельного дебита q / qo по формуле (19) для различного числа стержней и их диаметров для скважины с радиусом
qo =
2я (срс-рп)
ln(l/ rc)
получим, что
q=_L_
qo 1+Z
. В соответствии с формулой (8)
где Z =
ln(l/ rc )
(19)
10 см и радиусом контура питания 25 см приведены в таблице.
2
Отн. Рас- Количество стержней
диаметр стержня d / г, четные данные 2 80 160 240 320 400 480 558
I 0,99967 0,98533 0,97124 0,96376 0,95984 0,95747 0,95590 0,95481
0,05 II 0,99870 0,93397 0,75497 0,38797 0,10672 0,02076 0,00360 0,00063
III 1,00017 0,96559 0,74286 0,53056 0,40186 0,32194 0,26833 0,23083
IV 0,98447 0,40026 0,07720 0,01140 0,00163 0,00023 0,00003 0,00000
Количество стержней
2 40 80 120 160 200 240 286
I 0,99869 0,97172 0,94482 0,93050 0,92302 0,91854 0,91557 0,91320
0,1 II 0,99506 0,88258 0,62876 0,26660 0,06685 0,01313 0,00237 0,00032
III 1,00066 0,96886 0,75518 0,54256 0,41151 0,32976 0,27487 0,23067
IV 0,96966 0,41251 0,08415 0,01305 0,00195 0,00029 0,00004 0,00000
Количество стержней
2 21 42 63 84 105 126 150
I 0,99496 0,94419 0,89411 0,86861 0,85558 0,84786 0,84278 0,83877
0,2 II 0,98214 0,79604 0,46641 0,15696 0,03512 0,00666 0,00118 0,00016
III 1,00242 0,97005 0,75429 0,54138 0,41054 0,32898 0,27423 0,23037
IV 0,94197 0,41029 0,08285 0,01274 0,00189 0,00028 0,00004 0,00000
Количество стержней
2 15 30 45 60 75 90 104
I 0,98901 0,91512 0,84462 0,81103 0,79428 0,78446 0,77804 0,77378
0,3 II 0,96360 0,72192 0,35842 0,10170 0,02057 0,00365 0,00061 0,00011
III 1,00502 0,96915 0,74207 0,52909 0,40065 0,32099 0,26756 0,23156
IV 0,91649 0,39596 0,07486 0,01086 0,00153 0,00021 0,00003 0,00000
Количество стержней
2 10 20 30 40 50 60 85
I 0,98100 0,90460 0,81980 0,77356 0,74997 0,73622 0,72729 0,71454
0,4 II 0,94130 0,71995 0,40467 0,15182 0,04206 0,01008 0,00227 0,00005
III 1,00825 0,98795 0,82087 0,61161 0,46859 0,37644 0,31397 0,22171
IV 0,89290 0,47524 0,12768 0,02537 0,00477 0,00089 0,00017 0,00000
I - значение q /по формуле В.П. Пилатовского (1); II -по формуле (19); III - отношение ё'/ё взаимно-перпендикулярных диаметров стержней; IV - скважность фильтра
Расчёты, представленные в таблице для ё / гс = 0,05; 0,10 и 0,40, также приведены в виде графиков на рис. 6.
(Для графиков с номером 1 - d / rc = 0,05; 2 - d / rc = 0,10; 3 - d / rc = 0,40)
Из вычислительных экспериментов, представленных в таблице и в виде графиков на рис. 6, можно сделать следующие выводы.
1. Формула В.П. Пилатовского (1) приводит к завышенным значениям удельного дебита скважин с кар-касно-стержневым фильтром. Существенные значения погрешности в расчётах дебита формула (1) имеет для скважностей < 0,5.
2. Предложенная формула (19) для расчётов дебитов скважин с каркасно-стержневым фильтром точнее отражает зависимость дебита от его скважности.
3. Отношения диаметров стержней d'/d (таблица, III строка) для реальных конструктивных параметров (а? / гс = 0,05 - 0,10 при скважности и 0,5 - 0,7) практически равны 1,0. Поэтому сечение стержней в
расчётах дебитов по формуле (19) с реальными конструктивными параметрами каркасно-стержневых фильтров можно считать круговыми. 4. Эквипотенциали течения к каркасно-стержневому фильтру на расстояниях, примерно равных 2 - 3 радиуса от центра скважины, в приближённых расчётах можно принимать за окружности с центрами, совпадающими с центром скважины.
Литература
1. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М., 1996.
2. Гаврилко В.М., Алексеев В. С. Фильтры буровых скважин. М., 1985.
Северо-Кавказский государственный технический университет_26 апреля 2005 г.
