CC BY
33
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, А. В. Калинина, Е. Н. Калинин, М. Б. Семенов
ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНОГО ТУННЕЛИРОВАНИЯ НА ЭНЕРГИЮ СВЯЗИ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ Л(-)-СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВОЙ МОЛЕКУЛЕ
Аннотация. В рамках теории о квантовом туннелировании с диссипацией методом потенциала нулевого радиуса исследовано влияние параметров диссипативного туннелирования на среднюю энергию связи квазистационарных Д(-)-состояний, на ширину примесного уровня и фотоионизационные спектры квантовой молекулы.
Ключевые слова: квантовая точка, квантовая молекула, диссипативное туннелирование, частота фононной моды, константа взаимодействия с контактной средой, квазистационарные .0(-)-состояния.
Abstract. The article investigates influence of the dissipative tunneling parameters on mean binding energy for quasi-stationary D(-)-states as well as on the width of impure level and photo-ionization spectra in quantum molecule. The investigation is carried out according to the theory of quantum tunneling with dissipation by the method of zero-range potential.
Key words: quantum dots, quantum molecule, dissipative tunneling, frequency of phonon mode, constant of interaction with a heat-bath, quasi - stationary D(-)-state.
Введение
Как известно [1], квазистационарные ^(-)-состояния возникают в случае расположения примесного уровня между дном квантовой точки (КТ) и уровнем энергии ее основного состояния. Интерес к таким ^(-)-состояниям в квантовой молекуле (КМ) (две туннельно-связанные КТ) обусловлен дополнительными возможностями управления энергией связи примесного электрона за счет варьирования параметров диссипативного туннелирования. Действительно, квазистационарные ^(-)-состояния формируются состояниями размерно-квантованной зоны проводимости КТ. При этом влияние прозрачности потенциального барьера проявляется в уширении энергетических уровней зоны проводимости AE = ЙГд (Го - вероятность диссипативного туннелирования), что приводит к модификации волновой функции ^(-)-состояния и, соответственно, зависимости энергии связи квазистационарных ^(-)-состояний и их оптических свойств от параметров диссипативного туннелирования. Теоретические исследования ^(-)-состояний с примесным уровнем, расположенным ниже дна КТ, выполнены в работе [2].
Настоящая работа посвящена квазистационарным ^(-)-состояниям в КМ. Теоретический подход основан на рассмотрении квантового туннелирования с диссипацией применительно к электронному транспорту в КМ, моделируемой двухъямным осцилляторным потенциалом, с учетом взаимодействия с локальной фононной модой при конечной температуре [3]. Продуктивность такого подхода обусловлена тем, что в пространстве наномасштабов физика и химия электронных процессов имеют много общего и появляется возможность для изучения взаимодействия примесного электрона с контактной средой в рамках науки о квантовом туннелировании с диссипацией.
1. Спектр и волновые функции квазистационарных -состояний
Для описания одноэлектронных состояний в КТ используется потенциал конфайнмента в виде потенциала трехмерного гармонического осциллятора:
у0 ((у,z) =
* 2/ 2 2 2 \ т ю0 (х2 + у2 + z2 )
2
(1)
где т - эффективная масса электрона; Юо - характерная частота удерживающего потенциала КТ.
Решение соответствующей спектральной задачи с потенциалом (1) хорошо известно:
Епи п2, пз = ЙЮ0 (п1 + п2 + п3 + 3 / 2) ; (2)
П1, п 2, пз
(( У, г ) =
( 3 \
3„о і і пп1+п2+п3 аол2пі !п2 !пз !2
-1
ехр
( 2,2,2 \ х + у + г
2а0
X
Ґ .. Л Ґ . Л ( \
ХНп1 х Нп 2 у Нп3 г
а о а о а о
(3)
где « = 0, 1, ..., п2 = 0, 1, ..., п3 = 0, 1, ... - квантовые числа; Нп (х) -
полиномы Эрмита; Оо =Л1 ^/(т юо) - характерная длина удерживающего потенциала КТ.
Пусть ^()-центр расположен в точке Яа =(ха,уа,za). Потенциал примеси моделируется потенциалом нулевого радиуса мощностью
у = 2лй /(ат ):
(4)
где а определяется энергией Ег- связанного состояния этого же 0( )-центра в объемном полупроводнике; 5(х) - дельта-функция Дирака.
В приближении эффективной массы волновая функция (г;К-а)
^()-состояния в КТ с параболическим потенциальным профилем удовлетворяет уравнению Шредингера:
(5)
где Ех =
Й2Х2
*
2т
- собственные значения оператора Гамильтона Н
а до
Одноэлектронная функция Грина О (г, гх; Е^) к уравнению Шредингера (5), соответствующая источнику в точке г1=(ух1,у1,z1) и энергии Е^ > 0 (примесный уровень расположен выше дна КТ), запишется в виде
о(,пЕ)= 2
«1, п2,«3
(г1 )Т«1, «2,«3 (г )
«1, «2, «3
( - Е« - /ЙГ0 )
(6)
Используя известную процедуру метода потенциала нулевого радиуса [2], получим дисперсионное уравнение электрона, локализованного на ^()-центре в КТ:
а = -
2 к й
т
ТО
V у
(а, Ка; Е) .
(7)
Далее необходимо получить аналитически замкнутое выражение для одноэлектронной функции Грина. Используя явный вид одночастичных волновых функций Т«1 «2 «3 (г), для функции Грина в (6) будем иметь
(
О ( К; Е^)="
[а0'1 К)
ехр
Н
2
«1
Н
«1
2 а
Аи0 У «1, «2,«3
2«1! «1!
Н
« 2
Н
« 2
Н
« 2
у
Н
« 2
Уа
Н
«3
Л
Н
«3
2«%!
2«2! «2!
-X-
-X
X[Е^ - ЙЮ0 («1 + «2 + «3 + 3/2)- 7ЙГ0 ] .
2 «3! -1
(8)
Суммирование в (8) по квантовым числам «1, «2, «3 можно выполнить, воспользовавшись формулой Мелера [4]:
н,, (х)Н« (у)
1
„V 2 у «!
«=04 у
В результате получим
1
ехр
(9)
О(, (а;£а):
(а0^к) е0
-ехр
2а
0 У 0
3 7ЙГ 0
-еА + - +------------0
Л 2 £0
X
х(1 - ехр [-2/]) 2 ехр
ехр(-2/)(г2 + яО ) - 2ехр(-/)(г,(а) а0 (1 - ехр[-2/])
(10)
где £0 = ЙЮ0, = — .
е0
Для выделения в (10) расходящейся части воспользуемся интегралом Вебера [4]:
*
ехр
1 Г Л
. *2 * Ґ>/Ґ (2л) 0
В результате будем иметь
г
1
\
( 2 V
-—-Рґ 2ґ
V У
2пг
ехр
(~г^).
(11)
(л/л) Ео
2л| г - Яа
Г ехр
— /—2ел + 3 + -
2іЙГ о
V - Яа
Е0
* & ехр
( 3 ІЙГ0 ^
- -ЕЛ ^ + ґ
V 2 Ео у
\3/2 (2л) 0
Подставляя (12) в (7), получим
X
ехр
-3/2
яд1 -ехр(-/)
а^ 1 + ехр (-ґ) (-ехр [-2/])
1
. (12)
-Л2 + | Р 1 + 4 іг0 -Лі I & ехР
-1 -Рл2 + +4іГор |ґ
X
X
2іЛ |~1 - ехр(-2ґ)^3/2
ехр
Яд1 1 - Єхр(-Ґ)
2Р 1 + ехр (-/)
(13)
где
л2 - ел / Еа, Л -л/еі / Еа , Р- я / ^ 4^ |, я - 2Яо / а&, ио - ио/ Еа
К-а = Ка / ad , Го = ЙГ0 /(4Ed); Е^ и - эффективная боровская энергия и радиус соответственно.
Расчет вероятности диссипативного туннелирования Го сводится к следующему [3]. Так как состояние реакционной системы в среде характеризуется многомерной потенциальной поверхностью, возникает проблема выделения координаты туннелирования. Вводится так называемый адиабатический потенциал вдоль координаты туннелирования. Определяется вероятность туннелирования электрона в единицу времени в квазиклассическом приближении с учетом диссипации. Далее в одноинстантонном приближении вычисляется квазиклассическое действие Бд как функция температуры и параметров потенциала, находится траектория дд (т) (инстантон), минимизирующая функцию действия Бд . Предэкспоненциальный множитель Во определяется вкладом траекторий, близко расположенных от инстантона. В приближении идеального инстантонного газа вероятность туннелирования Го
можно представить в виде Го = Во ехр (-Бд), где Во определяется как [3]
В -■
й
у[к
X
* А Р*еЬ V " * Р* 2 Л —1 * + Б р2‘ь Г р2 1 1 2 V У
* еЬ Р* р* Л р1 ** т— х01 ч У — 1 * + Б *еЬ Р2 р2 х* Л 112 т—х 02 V У 1 .
2 зЬ [ Р* 2 Л 2 зь Г р2 1 2
V у J _ V у
1 -
Р*
еЬ
зЬ
Р*
+ Б
еЬ
Р2
2
Г р2 ~* Л Л
у — *02
■-1
зЬ
р2 л 2
V
*еЬ * Р* '* Т- — х 01
Р* 2
2 зЬ * Р*
2
— 1
+ Б
еЬ
Г р2
Р2
2
Л Л
'т 02
зЬ
Р2Л 2
V
— 1
(14)
где
2р*2 *2 — у(—) Л* 2 А 2ЕЬа У8р
А* = Юо -
Б* 2 б 242а*2 —
Б* = Юо - -
рГ=^р=^^. р5^,Я7р^:^^*^?0- V
о Е'р а ет ’
0 'у £
*01 = ^%/тГ^0 ^'*2 = 21/у7'о=-/у!р'о^-
Выражение для имеет следующий вид:
^а *у ^0 ^ +1)(3—М'0—Ь+1**)2 — ^ X / (1 - *2)
2Р
2у
л/^
X
еШ
зь ( Д) ^ Р —т0^^)—еЬ (Р"^)1'
1
+сЬ
((Р* “т0 )лЩ
сШ
(№)■
8Ь (р*^)
X
х{сЬ ((Р* - { )^) - сЬ (Р* (Щ ) +сЬ ((Р* - х0') ^
(15)
(
где ід = аігаЬ
•8ЬР
+ р ; Ь = —; р =
а а &т
* * ; єт
кТ
Еа
У =,
■Х1 =_ 1 2
Х2 = — 2
( *2 *2 є та Ега
. +1 + с
4 *2 ^2 *2 *2
" єт а
4и,
0
*2 *2 Єт а єга
. +1 + с
4Єь2ио
4 *2
Итт
и0
* ? ^с
и
о
( *2 *2 єта
+ 1 + -
*2 *2 4 *2
Єт а 2 , єса
. +1 + с
4и
о
*2 * 4єт ио
( *2 *2 єта
*
4ио
+1 + ■
Есі
4 *2 Л єс а 2 *2 *2 єта
*2 * 4єт ио J 1 1
4 *2 Л єс а 2 *2 *2 єта
*2 * 4є*°ио , * ио
При численном решении дисперсионного уравнения (13) было учтено, что Е = Яе Е^, АЕ = 21т Е^ , где Е - средняя энергия связи квазистационар-ного ^()-состояния; АЕ - ширина примесного уровня; Е^ - комплексный корень уравнения (13).
На рис. 1 показана зависимость средней энергии связи ^()-состояния Е и ширины уровня в КТ на основе 1пБЪ от координаты Яа для различных
*
значений параметров диссипативного туннелирования = кТ / Е^ ,
£С = Й\/с / Е^ и е^ = / Е^ , определяющих соответственно температуру,
константу взаимодействия с контактной средой и частоту фононной моды. Как видно из рис. 1,а, с ростом температуры происходит уменьшение величины Е , при этом ширина примесного уровня растет (см. рис. 2,а). Это свя-
*
зано с тем, что с ростом параметра еТ увеличивается вероятность туннелирования Гр, а следовательно, уменьшается время жизни т примесного электрона (Г0 =1/т).
*
Аналогичная ситуация имеет место и с ростом параметра е^ (см. рис. 1,б и рис. 2,б). С увеличением «вязкости» контактной среды (см. рис. 1,в) величина Е растет за счет уменьшения вероятности туннелирования (см. рис. 2,в).
132
а) б) в)
Рис. 1. Зависимость средней энергии связи О' -состояния Е от координат яа На при |я;| = 1.38*10 1 эВ,7?0 = 70 им, 110= 0,42 эВ: а - для различных значений параметра е^ (е^ = 1, ¡-!. =і): 1 - к]- 1. 2 е^. = 4; б - для различных значений
параметра г', : 1 ■- 1. 2 = 4 і в - для различных значений параметра е^ : 1 — ес = 1, 2 - е^, =;4
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а) б) в)
Рис. 2. Зависимость ширины примесного уровня ДЕ от координат д* =Ка!аА при |^| = 1,38-1С Г2 эВ, Я0 = 70 нм, и0 = 0,42 эВ: а - для различных значений параметра (є^ = 1, = 1): 1 - = Ь 2 - = 4; б - для различных значений
параметра : 1 - £¿=1,2- = 4; в - для различных значений параметра : 1 - £*с = і, 2 - = 4
Л? 1 (17), 2011 Физико-математические науки. Физика
Волновая функция 0( -'-состояния в КТ с параболическим потенциалом конфайнмента согласно (12) имеет следующий вид:
3 ^ г2 + д2
2а,
ТА(г,Яа ) — С®>я 2ехр _ 3
х(-ехр[-2/]) 2 ехр где С^® задается выражением вида
С&> —
— Л Ж ехр
о У о
3 іКГ 0
-сх + - +-----------0
2 Єо
Л
х
ехр(_2/)(г2 + Я^ ) - 2ехр(_)(г,( а0 (-ехр[-2/])
(16)
2>/яа0-
Г ' 7 , іЙГо с ^ + £Х| ІЇ 4. + іЙГо с ^ Єх
V4 2со 2 У [V4 2со 21
х
(
3 іЙГ о
2 +-----0_єх
2 Єо
Л2
х
V V
4 2е,
о
(
-Т
7 + /ЙГо _ел 4 2єо 2
у
+1
уУ
Г
4 2е,
о
-1/2
Г(г)
где ¥(х) = —- логарифмическая производная гамма-функции Эйлера.
Г (х)
2. Расчет спектров фотоионизации .0(-)-центра в квантовой молекуле
Рассмотрим процесс фотоионизации ^()-центра в КМ в условиях диссипативного туннелирования. Вероятность соответствующего оптического перехода электрона определяется как
ЙГо
Pfх(ю) — — У \мгх \2 —
Й f ' (E Е , *2Г2 п ( _ Ех) + Й Го
(17)
где Mfх — матричный элемент рассматриваемого оптического перехода X ^/.
ыгх=(Т
(<
/ п £ m
Hті| .
(18)
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны
Л
Hіпі , характеризуемой волновым вектором q и единичным вектором поляризации ¿х, запишется следующим образом.
Н ій —Хг
I 2 *
2яй а
*2 т ю
7о ехр(щг)
(
Л
\
ех р
V у
(19)
где Хо = Ееу ^ / Ер - коэффициент локального поля, учитывающий увеличение амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле ^(-)-центра Ее^у превышает среднее макроскопическое поле в кристалле Ер; а* = |е|2/ (4 ле ^л/ё % с ) - постоянная тонкой структуры с учетом
статической относительной диэлектрической проницаемости е ; с - скорость света в вакууме; - интенсивность света; ю - частота поглощаемого излу-
чения; |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона.
Волновая функция начального состояния для центрированного случая ( =(0,0,0)
запишется как
( r 2 V 4
Л
v~ <0 j
exp
( 2 \ ( r
2
V0 j
3 ihr о
-eÀ+- +--------0
Л 2 Єо
£x+ іПТо 1 2 Єо 4
2
v~ 0 j
(20)
где С = —С@°л 2 ; Жа р(х) - функция Уиттекера [4].
Волновая функция конечного состояния Vуп I т имеет вид
f
ni
exp
x
i+ x Ln 2
2i +1 (i - m )! І 4л (i + m)!
P™ (cos 9)exp(/тф).
(21)
где P™ (cos 9) - присоединенные функции Лежандра первого рода; Щх) -
обобщенные полиномы Лагерра; Cn f 2п!Г ^ f + n + | 0оГ ^ ^ + |
множитель нормировки; г, 9, ф - сферические координаты; n, f, m - радиальное, орбитальное и магнитное квантовые числа соответственно.
С учетом (19)-(21) для Mбудем иметь
MfX - ^0«
2ла
ю
І0 (Ef -EÀ)CCni-
n i+2
[2i +1 (i - m)!
Г(i + „ + 3IV 4л (i + m)! 0
J dt x
xl 1-(
3 ^л2л ( r ^ f ( r 2 ^ i+1 ( r 2 'ï
2 JJ J r2sin 0drd0dф r exp r 2 Ln 2 r 2
0 0 0 v a0 j v a0 j V a0 j
3
3
х ехр (-£а/)ехр
г ехр(-2ґ) а0 (і-ехр[-21])
( Г)Рт (со80)ехр(-/тф), (22)
где Е^ = Еп£ = Йю0 ^ 2п +1 + -3|.
В силу сферической симметрии рассматриваемой задачи для оптических переходов в дипольном приближении действует обычное правило отбора: переходы идут из основного £-состояния примесного центра в возбужденные ^-состояния КТ. В результате для (22) получим
3ю
х
Г| п + — | 0
3
| & ехр (-єа/ )і-ехр [ -2ґ]) 2 X
( 3 Л
п ^
х£ (-1)* П + 2
к=0 ^п-к J
где было учтено, что
\2к+4 Г 2 Л Г
Г2
ехр
V а02 у
ехр
г ехр(-2ґ) а0 (і-ехр[-2ґ])
% (х )=2 (-О*
к=0
(
п + а кп-ку
к
к!
(23)
(24)
После вычисления интегралов в (23) для Мд получим
М
/ м
I2 = 2а м210 т?2 2
12^
Е0 а0
лю
п!
5 /ЙГ 0
2п + Т +---------------
2 е0
Л
2
3 /ЙГ0
2 +-------0 - ем
у V2 Є0 у
Г| п + - IГ
5 7 + /йГо +емЛ
V4 2е0 2
Г 1 + іЙГ0 Л Г2 Г 3 + і ЙГ0 Л
X-
4 +'2ео
4 +'2ео
х
4 2е,
0
¥
Г1+іЙГ0- емЛ
4 2е0 2
¥
4 2е,
0
+1
х
2 (-і)к
к=0 к!2к(п-к)!Г| к + 2 |Г
11 + к +
4 2е0 2
(25)
Вероятность рассматриваемого оптического перехода определится как
N
Р/ м(ю) = Р0 X-12
п=0
Цпп!
2п + ■~-2^пХ | + 4^
X
2п + 5 + 2/Цп - 2^п | 2 + 2іЦп - 2^п I ГI 3 + 7'^п - ^п
¥I 4 + ^п-1п I-¥I 7 + /-Цп Чп | + 1
-X
X
п (2к + 3)!!г( п + -|Г(к + 2)
2 (-1)к—к---------------Гятл:--------------
к=0 к!2к(п-к)!ГIк + ^ IГI- + к + і^пЧ*
(26)
где Р0 =
М,
48
0 І0а&, X = -ЙЮ, Цп = 2Г0Р , ^ = 1 Л2Р, N = [С ] Е&
- целая
часть числа
С =
2Р(Х + Л2 )-5
4
На рис. 3 представлена спектральная зависимость вероятности фото-() * * ионизации О-центра в КМ для различных значений параметров е^ , еС, рассчитанная с помощью формулы (26).
Как видно из рис. 3,а, уменьшение средней энергии связи Е квазиста-
(—) * ционарного П' -состояния с ростом сопровождается увеличением вероят-
ности фотоионизации О()-центра, в то время как рост «вязкости» контактной
*
среды (параметр еС) (см. рис. 3,б) приводит к уменьшению величины Рд (ю) за счет увеличения времени жизни примесного электрона.
Таким образом, в работе продемонстрировано существенное влияние параметров диссипативного туннелирования на среднюю энергию связи и фотоионизационные спектры квазистационарных О()-состояний в КМ. Показано, что следствием прозрачности потенциального барьера является конечное время жизни примесного электрона, которое уменьшается с ростом вероятности диссипативного туннелирования. Выявлена высокая чувствительность фотоионизационных спектров к температуре и константе взаимодействия с контактной средой. Полученные результаты открывают определенные перспективы для управления квазистационарными примесными состояниями в массиве туннельно-связанных квантовых точек.
*10"*, с'1
5
4
3 2
1
0
>= 10“5, с“'
2.5
2
1.5
1
0.5
О 0.03 0.09 0.15 о.21 °-27 ¿®,эВ
б)
Рис. 3. Спектральная зависимость вероятности фотоионизации _0()-центра в КМ при Е = 1,38-10-2эВ, К0 = 70 нм, и0 = 0,42 эВ: а - для различных значений
параметра еТ (є*^ = 1, еС = 1): 1 - еТ = 1, 2 - еТ = 4; б - для различных
и _ * 1 ^ /ч *
значений параметра еС : 1 - еС = 1, 2 - еС = 4
Список литературы
1. Кревчик, В. Д. Анизотропия магнитооптичекого поглощения комплексов «квантовая точка - примесный центр» / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Р. В. Зайцев // ФТП. - 2002. - Т. 36, № 10. - С. 1225-1232.
2. Кревчик, В. Д. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев // ФТТ. - 2001. - Т. 43, № 3. - С. 504-507.
3. Жуковский, В. Ч. Изучение управляемости диссипативного туннелирования в системах взаимодействующих квантовых молекул / В. Ч. Жуковский и др. // Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2007. - № 2. - С. 10-14.
4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. - М. : Наука, 1973. - Т. 1, 2.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Калинина Алла Владимировна аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Калинин Евгений Николаевич
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики, Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
E-mail: [email protected]
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head sub-department of physics, Penza State University
Kalinina Alla Vladimirovna Postgraduate student,
Penza State University
Kalinin Evgeny Nikolaevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics, Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinsky
Semenov Mikhail Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322 Кревчик, В. Д.
Влияние диссипативного туннелирования на энергию связи и оптические свойства квазистационарных .0(-)-состояний в квантовой молекуле / В. Д. Кревчик, А. В. Калинина, Е. Н. Калинин, М. Б. Семенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 126-139.
