Электрооптические свойства квантовых молекул с резонансными донорными состояниями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322

В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев, М. А. Манухина, Е. Н. Калинин

ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ МОЛЕКУЛ С РЕЗОНАНСНЫМИ ДОНОРНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

Аннотация. В модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследовано влияние внешнего электрического поля на спектры фотоионизации D-центра с резонансным примесным уровнем в квантовой молекуле в условиях диссипативного туннелирования. Показано, что квантово-размерный эффект Штар-ка проявляется в красном смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора дипольного оптического перехода. Исследован дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанный с изменением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел. Выявлена высокая чувствительность фотоионизационных спектров к параметрам диссипативного туннелирования.

Ключевые слова: резонансные примесные состояния, диссипативное туннелирование, квантовая молекула, спектр фотоионизации D-центра с резонансным примесным уровнем, примесное электрооптическое поглощение.

Abstract. In the model of zero-range potential the authors have theoretically investigated the influence of an external electric field on the photoionization spectra of the D-center of the resonant impurity level in the quantum molecule during dissipative tunneling. It is shown that the quantum-dimensional Stark effect appears in a red shift of the photoionization threshold, as well as in increase of the oscillator strength of the dipole optical transition. The researchers have investigated an electroabsorption dichroism of the impurity, the change in selection rules for the oscillator quantum numbers. Photoionization spectra is highly sensitive to the parameters of the dissipative tunneling.

Key words: resonant impurity states, dissipative tunneling, quantum molecule, photoionization spectrum of the D-center of the resonant impurity level, impurity of electrooptical absorption.

Введение

Как известно [1, 2], примеси в полупроводниковых наноструктурах могут приводить к образованию не только локализованных состояний, энергетические уровни которых расположены в запрещенной зоне, но и резонансных (квазистационарных) состояний с энергетическими уровнями в разрешенных зонах. Интерес к резонансным примесным состояниям (РПС) связан с перспективой создания новых источников стимулированного излучения на примесных переходах [1]. Исследованиям РПС в квантовых ямах посвящено достаточно большое число работ (см. обзор в [1]). Необходимо отметить, что в полупроводниковых квантовых точках (КТ) эффект размерного квантования выражен значительно сильнее в сравнении с квантовыми ямами и, соответственно, следует ожидать более существенной модификации РПС в квази-нульмерных структурах. Между тем оптические свойства туннельносвязанных КТ (квантовых молекул (КМ)) с РПС к настоящему времени изучены не достаточно подробно. Отчасти это связано с известными трудностями учета туннельных процессов, рассмотрение которых в основном проводится в рамках численных методов. В некоторых практически важных случа-

ях использование науки о квантовом туннелировании с диссипациеи может оказаться достаточно продуктивным, поскольку, несмотря на использование инстантонных подходов, появляется возможность в сочетании с моделью потенциала нулевого радиуса для РПС получить основные результаты в аналитической форме. При этом в рамках указанного подхода возможно учесть влияние эффектов электрического поля [2] на РПС в КМ. Это актуально, поскольку в КМ с РПС имеется высокая степень свободы в управлении энергетическим спектром и оптическими свойствами с помощью внешнего электрического поля. Теоретическое исследование резонансного ^-состояния в КМ в условиях туннельного распада во внешнем электрическом поле проведено нами ранее в работе [2]. Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании особенностей примесного электрооптического поглощения в КМ, связанных с влиянием внешнего электрического поля и параметров диссипативного туннелирования на РПС в туннельно-связанных квантовых точках.

1. Расчет вероятности фотоионизации ^--центра в квантовой молекуле при наличии внешнего электрического поля

Рассмотрим процесс фотоионизации ^-центра с резонансным примесным уровнем в КМ при наличии внешнего электрического поля Е = (Е, 0,0) в рамках тех же модельных представлений, которые использовались в [2].

Энергетический спектр электрона в КТ при наличии внешнего электри-

ческого поля Е

п1,п2,п3

даются соответственно выражениями вида

и собственные волновые функции

ПЪИ2 ,«3

е2 Е2

Е = Й®0 І Пі + П2 + П3 +--------------------I-------------—

п1,п2,п3 01 1 2 3 2 ) Т„„*™2

X ехр

ХУ,г) = ( Х 'п1/п2!п3-

< \2 2

(х - х0) + У + г

2т Ю0

2Пі +П2 +П3

(х У,г)

(1)

-1/2

X

2а0

( . Л ( Л

• Нп1 X 1 0 п У • Нп 3 г

1 а0 V а о а о

где

ао =^1Й/(т*Юо); х0 = \e\Ej(т*®2); п1, п2, п3

(2)

осцилляторные квантовые

числа; Нп (х) - полиномы Эрмита.

Волновая функция резонансного ^-состояния в КМ во внешнем электрическом поле имеет вид [2]

, Яа ) = С<2Пп 2ехР | & ехр

2а0

X

( 3 іЙГ0 е2 Е2 Л

-1 -ех+ 2 + —--------* 2

1 2 е0 2т ю0е0

X

х(1 - ехр [-2^]) 2 ехр

/п£

где Сдр определяется как

ехр(-2^) (г2 + Е° ) - 2 ехр(-) (Г, (

а0 (1 - ехр [-2^])

(3)

Сдр =

Г

2^'ка^ ■

7 /ЙГ о

+ - 0

е2 Е 2

+

еХ

4 2ео 4т ю2е0 2

3 /ЙГ0

+ - 0

е2 Е 2

еХ

4 2е0 4т 2

(

-х

3 /ЙГ,

2

0

е2 Е 2

е0 2т ю2£0

‘еХ

X

( ( ¥

V V

1+ /ЙГ0

е2 Е2

еХ

Л А

4 2е0 4т о>2£0

7 + /ЙГ0

е2 Е 2

еХ

4 2е0 4т

+1

Г

1 /ЙГ 0

- + - 0

е2 Е2

еХ

4 2е0 4т ю0е0

(4)

где ¥(х ) = Г'(х )/ Г (х) - логарифмическая производная гамма-функции [3];

Г0 - вероятность туннельного распада Р-состояния [2].

Выражение для вероятности фотоионизации Р(-)-центра в КМ при наличии внешнего электрического поля имеет вид

2 ЙГ,

М} х

0

( - Ех) + Й2 Г2

(5)

где Мех - матричный элемент рассматриваемого оптического перехода, определяемый выражением

М}х=('*/пIт |Нпй|¥х) . (6)

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны

Л

Нш, характеризуемой волновым вектором д и единичным вектором поляризации еХ, запишется следующим образом:

2пЙ2а*

*2 т ю

^0 ехр (¥)

еХ Р

(7)

где Х0 = Ее^^ / Е0 - коэффициент локального поля, учитывающий увеличение амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле Р(-)-центра Ее^^ превышает среднее макроскопическое поле в кри-

п

сталле £0; а* = |е|2/(4пе^л/ёЙс) - постоянная тонкой структуры с учетом

статической относительной диэлектрической проницаемости е (с - скорость света в вакууме; |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона); 1о - интенсивность света; ю - частота поглощаемого излучения.

Выполняя последовательно замены переменной в (3) в виде X = ехр[-2^], а затем ^ = %/(1 -%) и используя известный интеграл [3]

» у-р-1 р-у-1 Рц

|ху-1 (х + Р)-р e-цxdx = Р^ц^е^Г(у)^1-у-р у-р (Рц), (8)

0 2 , 2

получим для волновой функции начального состояния ¥^(х, У,2) в случае, когда Р()-центр расположен в точке Яа =(0,0,0), следующее выражение:

^(х, .У, 7) = С£

Л.2 Л

2 \- ‘0

ехр

2

\Л0 у

"РЛ2 + - + 4/'ГоР-

2 2

х0 а

Л Г 2 Л

ЙГ 2 2 £х гЙГ0 + х0 ай 1 Г а,2

У 2 £0 2а0 ,4 \ы0 у

(9)

где Се= -2Сдрп 2; Жар(х) - функция Уиттекера [3].

Волновая функция конечного состояния Iт (х,у, 2) имеет вид (2).

Рассмотрим случай, когда е^ У Е . В дипольном приближении матричный элемент (6) с учетом (7) запишется в виде

2па І

ю

¥

/ п I т

(10)

Подставляя (2) и (9) в (10) и вычисляя интегралы по переменным х, у и г, получим для матричного элемента в случае е^ У Е следующее выражение:

Ф - І2па І0 2 4 п 4 в 4 Еа 2Са5/2п1!ехр

М/Х - г'^0

ю

3х0

4а0

П1-2т

х У С* (-1)пг

щ-2т V >

к-0

N ( —1)т 2П1 -т

X л ^ '_______х

_0 т!( -2т)!

Л

т-0

^ 2 2 -Рл2 + 2 + 4іГ0в- ° 2 + п1 + п2 + п3

х

х2п2 +Пз (п2 !п3!) 1/2 Г Г ^ + 1ІГ Г ^ + 1І (к +1)! У-----2-

^ ' \ 2 У \ 2 / ’ р-0( +1 -2р)!)!

2-2 р

х

3

к + 2 - р —

2

-рл2 + 2 + 4/Г0Р- Х

2 ап

\

+ «2 + п3

х

к + 2 - р — 2

-рл2 + .2+4/Г0Р- х222

2 а2

х0

+ «2 + П3 + к - 2 - р,—

(11)

где Сп - биномиальные коэффициенты [3]; В(а,в) - бэта-функция; ^(а,в,х)- вырожденная гипергеометрическая функция [3]; N =[«1/2]; N2 = [(к +1)2] .

В процессе вычисления в (10) появлялись интегралы вида

I dy ехр

- t

Н«

0, если «2 = 2к +1,к = 0,1,2,...

«2^ (1 + «2

«2 1

2 2 а0 (-1)2 ГI------2 I(сШ t-1)2 (СЬt) 2 2, если «2 = 2к;

(12)

-сШ t

н«

0, если «3 = 2к +1,к = 0,1,2,...

— «3 (1 + «31 «3 «3 , 1 (13)

2 2 а0 (-1)2 Г|----------3 I(с1Ь t -1)2 (СЬ t) 2 2, если «3 = 2к.

Как видно из (12) и (13), оптические переходы из резонансного Р-состояния возможны в размерно-квантованные состояния КТ с четными значениями осцилляторных квантовых чисел «2 и «3 соответственно в у-и 2-направлении. Подставляя (11) в (5), после преобразований получим для вероятности фотоионизации Р-центра с резонансным примесным уровнем в КМ

Рд5) (®) при наличии внешнего электрического поля следующее выражение:

N N N3

Рх’ (ю) = V-'ехр(-»« )Е Ё Ё («1!)2 2-«

«1=0 «2 =0 «3 =0

2 + г'ц«

1/2

г1/2 (4+гц« -^« +^«

X

X

ГI 4+гц« ^«

1/2

4 + гц« Х«

+1

«

2

Ni (-i)m 2„i-m n-2m

x--------------г У Ck-Q (-i)

m=oni!(„i-Qm)! к=о ni-2m

„і -2т-к

x

X К -a;,, + Q + 2V„ - tt^-2 + „ + „2 + «3 ] x

x2”Q +„3 („о'пз')-1'2 Г Г f + i] Г К f- + i] (к + 1)!x

N

2 Q-2 p

x ^ (к + i - 2 p)! p!)

„1-2m-2 p+2

x

xB Кк + 2 - p, „2 + „3 -;„ + '4 + zMn - QX„a0 2 Л x

3 о 2 I Л

F(к + 2 - P,„2 + „з + к - 2 -p-;„ + 4 + z'M, - 2X„a0 ,2V^n I

x

x

2Ц„

„1 + „2 + „3 + Q - 4X„a0 2 - 2;n - Xвj + (2^„ )2

(14)

где

Р- = Q-^V^a^adao-3!-, X = йш / Ed , в = R /1 ^>/U- j, R = 2 R- / ad, u- = Uo /Ed , ;„ = П2в/2 , Ц„ = 2Г-в , x„ = x-2/(4a-2), Г- = ЙГ- / (4Ed),

= a0/ad , N1 =

2;„ + 4^„a0 2 - Q + Xв

NQ=[Cq ], N3 =[Cq ], С2 = Сі - „ь

Рассмотрим случай, когда ^ Е. В дипольном приближении матричный элемент (6) с учетом (7) запишется в виде

Mf Х= i^O^POr- ('f і m

(15)

где ) = Уcos 5 + zcos Y, cos 5 и cos Y - направляющие косинусы вектора

поляризации света eх •

Подставляя (2) и (9) в (15) и вычисляя интегралы по переменным х, у и z, получим для матричного элемента в случае ex ^ E :

M.A = z'^oi

2na I

5+2n, 3 1

2 4 л 4 в 4 Ed 2c<x>J’1„i !exp

3x0

4a0

Ni (-i)m 2„i-m

S m!(„i-Qm )!x

2

«1-2т

X Е С‘-2т (-1)

к=0

«1-2т-к

( 3 2 2 1

-вп2 +------------------+ 4/Г0в - х°У + «1 + «2 + «3 X

V 2 а02 )

х2n2+«3 («2 !«3!) 1/2 к!

V а0 ) (

к+2 - р,2

-вп2 + 2 + 4/г0Р- ^

2 ап

+ «2 + «3 -1

X

к + 2 - р — 2

-вп2 + 2+4/г 0в - х0 а2

+ГI —2 +11Г(+1]2 ( 2~2р X

1 2 И 2 ) р=0 ( -2р)!р!

«3

2

2 0

N

2

р=0

+ «2 + «3 + к + 1 — р, —°-

\

008 5 +

X

/ \«1-2т-2 р 1 - <N1 +

х0 В

V а0 ) 2 V

+ «2 + «3 -1

X

хF

к + 2 - р — 2

-вп2 + 2 + 4/Г0в-^

2 а2

х0

+ «2 + «3 + к + 2 — р, —

008у,(16)

где N3 = [к/2] - целая часть числа к/2.

В процессе вычисления появлялись интегралы вида

У

■сШ t

н«

0, если «2 = 2к,к = 0,1,2,...

«2 -1 1

' «2

«2 3

2«2 а0 (-1) 2 Г| -2 +1| (сШ t -1)2 (Ь t) 2 2, если «2 = 2к +1;

(17)

н«

0, если «3 = 2к,к = 0,1,2,...

«3-1 (« 1 «3-1 «3 ,3 (18)

2«3 а0 (-1) 2 Г1-2 +11 (сШ t -1) 2 (Ь t) 2 2, если «3 = 2к +1.

Из (17) и (18) видно, что оптические переходы из резонансного Р-состояния возможны в размерно-квантованные состояния КТ с нечетными

значениями осцилляторных квантовых чисел «2 и "з соответственно в у-и ^-направлении КТ. Подставляя (16) в (15), получим для вероятности фотоионизации Р-центра с резонансным примесным уровнем в КМ Р^Х) (ю)

в случае ёх 2Е:

Р%) (ю) = А)X-1 ехр(-6Х«)£ І І («1!)2 2-”1

«1=0 «2 =0 «з =0

2 + ^и Хи ^и

1/2

Г1/2 I 4 + *'Ми -Хи + ^и

X

X

1/2

4 + ІЦи ^и

+ 1

X

N1 ( — 1)»г 2и1 -т щ—2т

х і ( 1) 2 ч і Ск 2 (—1)

т=0 "1!( — 2т)! к=0 "1-2т

и1-2т-Л .

X

хI -2^и + 2 + 2/Ц" - 4Хи°0 2 + и1 + и2 + и3 іх

х2и2+из (и2!и3!)-1/2 к!

\"1-2т-2 р-1

Г| ШИ1Гf1 £ ( 2-2р х

2 1 р=0(-2р)!р !

В| к + 2-p,и2 + из -^и + + /Ци - 2Хиао 2|х

х^ | к + 2 - р, и2 + из + к - р +1 - ^и + 4 + /Ци - 2Хиа* 2, 2^J'k"| со8 5 +

-Iі-+11Г f І+111 № Г2"2 Рв (к+2 - р, и2+

з 0-21 f 3

+и3 -1 -^и + — + ІЦи - 2Хиа0 і ^I к + 2 - p, и2 + из + к - р + 2 -^и + 4 + 4

-2Хиа0 2,2^Кі )У

2

2Ми

"1 + "2 + "з + — - 4Х"ао 2 - 2^" - Хр] +(2ц" )

. (19)

В следующем разделе с использованием полученных аналитических формул (14) и (19) будет исследовано влияние внешнего электрического поля и параметров диссипативного туннелирования на фотоионизационные спектры для КМ с резонансным Р-состоянием.

2. Зависимость фотоионизационных спектров от величины внешнего электрического поля и параметров диссипативного туннелирования

На рис. 1 приведены рассчитанные спектральные зависимости вероятности фотоионизации Б- -центра с резонансным примесным уровнем в КМ

* * *

для различных значений параметров гТ , гс, . Они рассчитаны с помощью

формул (14) и (19) для случаев е^ || Е (рис. 1,а) и ± Е (рис. 1,б). Как видно из рис. 1, квантово-размерный эффект Штарка проявляется в красном смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора дипольного оптического перехода (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 1,а и на рис. 1,б). Видно также, что в КМ с РПС имеет место дихроизм примесного электрооптического поглощения (сравн. кривые на рис. 1,а и на рис. 1,б), связанный с изменением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел в у-и г-направлении КТ. Из рис. 1 видна высокая чувствительность фотоионизационных спектров к параметрам диссипативного туннелирования: с ростом

параметров гт и £*^ имеет место красное смещение порога фотоионизации, что обусловлено уменьшением средней энергии связи РПС (сравн. кривые 2,

3 и 4 на рис. 1,а и на рис. 1,б), связанное с ростом вероятности туннельного распада (уменьшением времени жизни РПС).

I

к

к

я

ей

со

К

К

о

к

§

-е-

т

а)

Рис. 1. Спектральная зависимость вероятности фотоионизации .О-центра в КМ при Я0 = 70 нм, и0 = 0,42 эВ (кривые 2-5 построены при Е = 35 кВ/см):

^ ^ ^ ^ * * *

а - для случая е^ У Е ; б - для случая ± Е : 1 - гт = 1, = 1, ес = 1

(Е = 0 кВ/см); 2 - гт = 1, гь = 1, гС = 1; 3 - гт = 1, гь = 0,2, гС = 1;

* * * * * *

4 - £т = 3, = 1, £С = 1; 5 - £т = 1, = 1, £С = 3

б)

Рис. 1. Окончание

На рис. 2 представлена зависимость вероятности фотоионизации Б- -центра с резонансным примесным уровнем и вероятности диссипативного туннелирования Г0 от напряженности внешнего электрического поля при фиксированной энергии фотона (кривая 1).

Как видно из рис. 2, кривая 1 содержит два характерных пика. Первый пик появляется при напряженности поля, при которой исходно асимметричный двухъямный потенциал КМ становится симметричным. Переход к симметричной форме сопровождается появлением пика на полевой зависимости вероятности туннелирования в КМ (кривая 2 на рис. 2). Природа второго пика (кривая 1 на рис. 2) связана с трансформацией огибающих волновых функций, вызванной электрическим полем.

Заключение

Теоретически исследовано влияние внешнего электрического поля на спектры фотоионизации Б--центра с резонансным примесным уровнем в КМ в условиях диссипативного туннелирования. В дипольном приближении проведен расчет вероятности фотоионизации Б--центра с резонансным примесным уровнем для случаев продольной и поперечной по отношению к направлению внешнего электрического поля поляризации света е^. Выявлены следующие правила отбора: в случае, когда е^ || Е , оптические переходы с резонансного примесного уровня возможны только в размерно-квантованные состояния КТ с четными значениями осцилляторных квантовых чисел п2 и п3

в у- и г-направлении КТ соответственно, а в случае е^ ± Е - с нечетными значениями осцилляторных квантовых чисел п2 и п3.

Е, кВ/см

Рис. 2. Зависимость вероятности фотоионизации ^-центра ^

с резонансным примесным уровнем в КМ (кривая 1) и вероятности туннелирования Г 0 (кривая 2) от величины напряженности внешнего

электрического поля Е при Е = 10-3 эВ, ио = 0,48 эВ, £Т = 1, £L = 1, ес = 1

Рассчитаны спектральные зависимости вероятности фотоионизации П~-центра с резонансным примесным уровнем в КМ для случаев е^ \| Е и

е^ ± Е. Показано, что квантово-размерный эффект Штарка проявляется в красном смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора дипольного оптического перехода. Найдено, что в КМ с РПС имеет место дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанный с уменьшением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел в у-и г-направлении КТ. Выявлена высокая чувствительность фотоионизацион-ных спектров к параметрам диссипативного туннелирования: с ростом пара* *

метров ет и еI, определяющих соответственно температуру и частоту фо-нонной моды, имеет место красное смещение порога фотоионизации, что обусловлено уменьшением средней энергии связи РПС, связанное с ростом вероятности туннельного распада.

Исследована зависимость вероятности фотоионизации ^--центра с резонансным примесным уровнем от напряженности внешнего электрического поля при фиксированной энергии фотона. Показано, что данная зависимость содержит два характерных пика. Найдено, что первый пик появляется при напряженности поля, при которой исходно асимметричный двухъямный потенциал КМ становится симметричным. Природа второго пика связана с трансформацией огибающих волновых функций, вызванной электрическим полем.

Список литературы

1. Алешкин, В. Я. Примесные резонансные состояния в полупроводниках /

В. Я. Алешкин, Л. В. Гавриленко, М. А. Одноблюдов, И. Н. Яссиевич // ФТП. -2008. - Т. 42, № 8. - С. 899-922.

2. Кревчик, В. Д. Резонансные состояния доноров в квантовых молекулах во внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик, Е. Н. Калинин, З. А. Гаврина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 131-139.

3. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Физматгиз, 1962. - 1100 с.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Семенов Михаил Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Зайцев Роман Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики,

Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Манухина Мария Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Калинин Евгений Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики, Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

E-mail: [email protected]

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of physics, Penza State University

Semenov Mikhail Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University

Zaytsev Roman Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics,

Penza State University

Manukhina Maria Alexandrovna Postgraduate student,

Penza State University

Kalinin Evgeny Nikolaevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics, Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinsky

УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322 Кревчик, В. Д.

Электрооптические свойства квантовых молекул с резонансными донорными состояниями / В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев, М. А. Манухина, Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). -

С. 118-130.