Верхние грани наилучших приближений некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в l 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

С.Д.Темурбекова

ВЕРХНИЕ ГРАНИ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ В СМЫСЛЕ ВЕЙЛЯ

ФУНКЦИЙ В Ь2

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 03.12.2013 г.)

Решена задача отыскания точных констант в неравенстве типа Джексона-Стечкина для

классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве Ь2. Найдены

верхние грани наилучших приближений тригонометрическими полиномами на некоторых классах дифференцируемых в смысле Вейля функций.

Ключевые слова: неравенство типа Джексона-Стечкина - наилучшее приближение - модуль непрерывности - дробные производные - производные в смысле Вейля.

Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ = N ^ {0}; М+ - множество положительных чисел вещественной оси; := [0,2я] - пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу 2я -периодических функций / с конечной нормой

' 2 Я" 1/2

1 I

- J I f (x) |2 dx I < ю,

П о

а ряд

— + ^ (a cos kx + bk sin kx) 2 k=1

является рядом Фурье функции f е L2.

Через LL^^ (L-°0 = L) обозначим множество функций f, у которых существует производная Вейля f(a) е L (f(0) = f). Если х( fa); x)(a > 0) - частичная сумма порядка n —1 ряда Фурье функции fa), то, как хорошо известно, наилучшее приближение функции fa) е L тригонометрическими полиномами Ти1 степени не выше n — 1 равно

K-i(f(a)) - Eff(a);^2n—11 = inf { — Т—ill: Tn—1 е

L

2

oo

Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]

л1/2

f(а) — sjw(а)) = Ек 2apl

(1)

где pp := + Ьр, к > n, а 32n_j - (2n — 1) -мерное подпространство тригонометрических полиномов в L. Равенством

(m(f, t) = suP <

Е (—i)m—к

к=0

С m^

V к

f (х + kh)

:| h |< t

определим модуль непрерывности порядка т функции / е ¿2.

В данной работе мы решим задачу отыскания точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве ¿2

En—1f) (f(a), t / n), f e Li t > 0,

(a)

в котором погрешность приближения функций / е оценивается через модуль непрерывности

(От (fa), t / n) производной f(a) в смысле Вейля в L2.

(a)

Сформулированная задача для целых а е N рассматривалась во многих работах (см., напр.,

[1-5])

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. Пусть а е IR+; т eZ+; п е N; 0 < р < 2; (pit) > 0 - произвольная суммируемая на отрезке [0,/z] (// е М+) функция. Если при некотором а> I, 1 / а < р < 2 при всех t е [0,/г] выполняется дифференциальное неравенство

(ap — 1>(t) — t^'(t) > 0,

(2)

то справедливо экстремальное равенство

2mnaEn—i(f )

sup

f eL

(a) f h

f(a)Lonst I ( (f(a), t)p(t)dt

N1/p

h f fltXP I

JI sin y) (p(t)dt J

-1/p

(3)

Существует функция f0 (х) e La), f0(a)(х) ^ const, которая реализует верхнюю грань в (3). Из теоремы 1 вытекают ряд следствий.

Следствие 1. Пусть (p(t) = sinr (fit / h), 0 <Р<ж, 0 < t < h, 0 < h <n / n, 0 <y<ap — 1, \! a < p<2, ael+, a> 1.

2mnaEn ,(f) sup --T-

f J* f h V7P

f M*Const I J (f («); t) sin^ (pt / h)dt

sin — | sinr( — I dt

0 V 2 J I h J j

J

4-1/p

(4)

Равенство (4) непосредственным вычислением получено в [1].

Следствие 2. Пусть (р^) = 1, 0<^</г, 0<к<71 / п, 0<р<2, ае!+. Тогда имеет место равенство

2тпа-1/рЕ .(/) Г "г Г ' Г. Г^

М») I h p 1Н 2

I J<(f(a);t)dt

V 0 у

Соотношение (5) при целых aeN ранее доказано в работе [4].

Следствие 3. Пусть выполнены все условия следствия 2. Тогда при p = 1 / m справедливо равенство

22mna-mE .(f) ( nh Vm sup -n-1W 7 = |1 - cos—I .

Mp Г h. Лm V 2 J

f(«)*const I J^1/m (f («) ; t)dt

V 0 J

Следствие 4. Пусть (p{t) = i, 0 <t<h, 0 <h<7i/n, 0<p<2, о;ё1+. Тогда справедливо равенство

С , Л -1/p

nm а-2/p ^ i s\ \ nh f , \mP 1

2n En-i(f) I r,t

м-) г h Л1/p

fw*const I J t< (f(a); t)dt

V 0 J

= jJ 11 sin - I dtl . (6)

В частности, при p = 1 / m из (6) следует, что

22mn"-2mE .(f) Л n^ , nhN sup -" = I sin--nh cos —

f(«)*const\ Jtdnm(f(a); t)dt

(«) А Vя I 2 2

В экстремальных задачах теории приближения периодических функций / е с заданным классом функций М ^ £2, часто связывают следующие его характеристики аппроксимации:

■.= Е{Ж-Т2п_1) = ы? Ц/-^! (7)

m

— наилучшее приближение класса 9Л множеством Т2п ] тригонометрических полиномов Тп1 порядка п -1;

уп_1(Ш)Ь1 = sup(|| f\\Li : f е M^j, (8)

где M^ - множество функций f е M таких, что

2? f sin Ах 1

| /(0 j U = 0, к = 0,1,...,n —1.

J0 [cos кх\

Помимо величин (7) и (8), часто будет полезным отыскание величины

£n_imL2=mfsup\\f-Af\\ (9)

Л * /GOT ^

где L - совокупность всех линейных операторов, переводящих функции f е L2 в тригонометрические полиномы порядка п — 1.

Из определения сразу следует, что

E^vn^íy^vn^íS^m). (10)

Второе неравенство в (10) вытекает из того факта, что если f е Ми, то Af = 0, и потому мы имеем

supf : f е »ф sup^f — AfL : f е Ч

В ряде важных случаев для конкретных классов функций все выведенные выше аппроксима-ционные характеристики совпадают.

Задача состоит в отыскании значений величин (7) - (9) для некоторых классов функций естественно возникающих из утверждении теоремы 1 и их следствий 1-4.

Пусть ), 0 < ^ < да — непрерывная неубывающая положительная функция такая, что

Ф(0) = 0. Для г е , теК, 0 < р <2, ае и 0 < к < 2 ж введём в рассмотрение следующие классы функций:

(\ ъ ^17 Р I К>,Ф) = ^ / е ¿2а): (1(/(а), < )ь* J < Ф(^) |

f 2 h Vp

'2

I rnp (f(а), t)Ldt <Ф(Л)

Vh о J

Для введённых классов функций справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть меМ, Г<^Ъ+, «ёМ+ и 0<р<2. Тогда при любом / п\ спра-

ведливы равенства

р

Ф(Г);

2-т-1/р -а

рп

( пГ/2 ^-1/р

— Г 81п"р tdt

VпГ о J

¿2

2-"-2/ р -а

рп

¿2

^ ^ пГ/2

\-1/р

ТГ t s1пmptdt Ф(Г). (пГ)2 Г J ( )

Следствие 1 При выполнении всех условий теоремы 2 имеют место равенства

Е

г г

ш(а) ", р

V V

Я,Ф

п

Л

= Уп

г г

ш(а) ", р

V V

2-т „„-п 1/2 р

п Я «

Я,Ф

и

тр

Л

= £

JJ¿2

Л А

т,р

V V

Я,Ф

и

Л

тр -1

1/р

^ Ф

Я

п

% (й,Ф)) = (й,Ф)) = (А,Ф))

(п Г)2

¿2 Г 1 ^ т,1/т \ ^ '/

пГ пГ пГ

¿2

б1П---СОБ— IГ Ф(Г), 0 < пк <я.

2 2 2

Вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье ак (/) и Ь (/) на различных классах функций в различных пространствах рассматривались в работах многих математиков (см., напр. [1-5]). Для классов функций, введенных в этом параграфе, данный вопрос также представляет определенный интерес. В самом деле, из утверждения теоремы 2 сразу получаем

Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2.Тогда для коэффициентов Фурье ап (/) и Ьп (/) при любом пе N имеют место равенства

8ир{|а„(/) |,| Ь(/) |: / еШ"а;(Г,Ф)}

( л пГ ,

= 2-тп -

2 ГШ / ^ \тр

— Г | б1п — 1 а ф(г),

пГ Го V 21 ] (л

р

Ф(Г).

N-1/р

= 2-т+1/ р п~а

Г 2 пГ ( . 11т" ^р

Г tl Бт— dt

(п Г)2

Поступило 05.12.2013 г.

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из Х2[0,2ж] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Мат. заметки, 1999, т.65, №6, с.816-820.

2. Вакарчук С.Б., Зубутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина в L2 и поперечники функциональных классов //Мат. заметки, 2009, т.86, №3, с.328-336.

3. Вакарчук С.Б., Зубутная В.И. Неравенство типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 //Мат. заметки, 2012, т.92, №4, с.497-514.

4. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2п] // Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.

5. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучших полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п -периодических функций и точные значения их поперечников // Мат. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.

С.Д.Темурбекова

САРХДДХОИ БОЛОИИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ БА МАЪНОИ ВЕЙЛ ДИФФЕРЕНСИРОНИДАШАВАНДА

ДАР Li

Институти математика ба номи А. Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Масъалаи ёфтани доимии аник дар нобаробарии намуди Ч,ексон - Стечкин барои синфи

функсиях,ои ба маънои Вейл дифференсиронидашаванда дар фазои L2 хдл карда шудааст.

Сархдди аники наздиккунии бех,тарин бо ёрии бисёраъзогих,ои тригонометрй барои баъзе синфи функсиях,ои ба маънои Вейл дифференсиронидашаванда ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: нобаробарии намуди Цексон-Стечкин - наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - уосилауои касри - уосила ба маънои Вейля.

S.D.Temurbekova

UPPER BOUNDS OF THE BEST APPROXIMATION OF CERTAIN CLASSES OF PERIODIC DIFFERENTIABLE WEYL FUNCTIONS IN L2

A.Juraev Institute of mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan The problem of finding the exact constants in the inequalities of Jackson-Stechkin type classes of periodic differentiable Weyl functions in the space L2. The upper bounds best approximations by trigonometric polynomials on some classes of differentiable Weyl functions were found.

Key words: the inequality of Jackson-Stechkin type - the best approximation - the modulus of continuity -fractional derivatives - derivatives in the sense of Weyl.