Векторные аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 71-84

УДК 519.633

ВЕКТОРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

М. Х. Шхануков-Лафишев, С. М. Архестова, М. Б. Тхамоков

Посвящается шестидесятилетию Анатолия Георгиевича Кусраева

В работе построены векторно-аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа, возникающих в теории влагопереноса и в теории волн в релаксирующих средах. Доказаны устойчивость и сходимость разностных схем в классе достаточно гладких решений рассматриваемых уравнений.

Ключевые слова: волновое уравнение, уравнение влагопереноса, устойчивость, сходимость, априорная оценка, вязкость, теплопроводность, погрешность аппроксимации.

Введение

Для численного решения многомерных задач математической физики используются различные классы аддитивных схем (схем расщепления [1-2]). В работах [3-4] для решения многомерных задач предложен новый класс безусловно устойчивых схем переменных направлений полной аппроксимации. Устойчивость и сходимость таких схем исследуется на основе получения соответствующих априорных оценок. В работе [5] основные принципы построения векторных аддитивных схем на основе операторно-разностных подходов применены к абстрактной задаче Коши. В работе [6] на основе общей теории устойчивости разностных схем [1, 7] проводится исследование векторно-аддитивных схем с самосопряженными операторами. В работе [8] на основе общей теории устойчивости опера-торно-разностных схем А. А. Самарского проводится исследование векторных аддитивных схем для общих эволюционных уравнений первого порядка с несамосопряженными операторами. В [9] на основе принципа регуляризации построены новые аддитивные операторно-разностные схемы полной аппроксимации. В [10] исследуется устойчивость в произвольных нормах векторной аддитивной схемы. Показано, что устойчивость имеет место при условии, что устойчивыми являются чисто неявные схемы для отдельных компонент.

В [11] построены регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы для эволюционных задач без предположения о перестановочности регуляризующего оператора и оператора задачи, отмечены возможности обобщения предложенных регуляри-зованных аддитивных схем на задачи с несамосопряженными операторами и уравнения второго порядка.

© 2013 Шхануков-Лафишев М. Х., Архестова С. М., Тхамоков М. Б.

В данной работе проводится исследование векторных аддитивных схем для псевдопараболических уравнений (уравнение влагопереноса Аллера [12, с. 137]), волнового уравнения в релаксирующих средах (см. [13, с. 84]) и волнового уравнения с учетом вязкости и теплопроводности (см. [13, с. 22]).

Существование и единственность решений, рассматриваемых здесь краевых задач, были исследованы в работах одного из авторов [14, 15].

В уравнениях, рассматриваемых в этой работе, содержатся смешанные производные У'хахаг, ихахаи, а = 1,р. В этом случае не удается построить разностные схемы на основе понятия суммарной аппроксимации. Например, доказательство сходимости локально-

одномерной схемы проводится (см. [1, с. 528]) с помощью введения П(а) в задачу для по-

7+ а

грешности Х(а) = Ь(а) + П(а) ■ В нашем случае в правую часть уравнения для У(а) = V р ,

фа вмешиваются слагаемые Ла= 0(1), Лау = Ухаха, т. е. фа = ЛаП(а) + Лапа1 + фа, где ЛаП(а) = 0(т), фа = 0(На + т)■ При р = 2 можно получить априорную оценку не вводя П(а) (см. [7, с. 336]), но только для уравнений, не содержащих смешанные производные. Аддитивные схемы полной аппроксимации [3-10] оказываются более приемлемыми для численного решения рассматриваемых здесь задач.

1. Волновое уравнение в неидеальной среде с учетом вязкости и теплопроводности

В цилиндре Qт = С х (0, Т], основанием которого является р-мерный параллелепипед С = {х = (х1,х2, ■ ■ ■ ,хр) : 0 < ха < 1а, а = 1,р}, рассмотрим задачу

д2и Р

+ Ьи = /(х,£), Ъч =^2 Ьаи, (х^) £ Qт, (1-1)

а=1

где Ьа и = -

ч1ят = 0, и(х, 0) = ч0(х), щ(х, 0) = Ч1(х), (1^2)

а {ка(х)ди) + тш-а Ых)Ш)], С = С + г\ Ят = г х [0,Т] - боковая поверхность цилиндра Qт, 0 < с1 ^ ка(х) ^ с2, а = 1,р, ка(х), /(х,Ь) таковы, что решение задачи (1.1)-(1.2) существует, единственно и обладает требуемой гладкостью.

Уравнение вида (1.1) возникает в теории волн (см. [12, с. 85]). Оно учитывает потери энергии, связанные с вязкостью и теплопроводностью. Третий член в левой части уравнения (1.1) описывает затухание звука из-за вязкости и теплопроводности, обычно перед ним стоит диссипативный коэффициент. Ради простоты мы положим его равным единице.

Задачу (1.1)-(1.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши

Ж + АЧ + = /(*)- А = ^ Аа• Аа = -дк (к°(х)дк) • (13

а=1

и(0) = и0, щ (0) = и1, (1^4)

с линейным самосопряженным положительно-определенным оператором А : Н ^ Н, действующим в некотором гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (и, V) = т (1х, Аа — положительно-определенные операторы в Н■

Краевые условия учитываются включением и(Ь) £ О(А), где О(А) — область определения оператора А. Вместо одного скалярного решения и(Ь) вводится вектор решений

и(Ь) = (п(Ь), п2(Ь),..., пР(Ь)) (см. [3-10]). Вместо исходной задачи (1.3)-(1.4) запишем систему однотипных подзадач:

й2п Р Р

^ + Е Авив + Е Авпег = f (Ь), (1.5)

в=1 в=1

па(0) = По, паг (0) = пь а = 1,р. (1.6)

2. Устойчивость по правой части и начальным данным решения вспомогательной системы

Заметим, что дифференциальные операторы Аа, а = 1,р, порожденные дифференциальными выражениями Ь^п = — (ка(х)и условиями

п(Ж1, . . . ,Жа_1, 0, Жа+1, . .. ,х p,í) = п(Х1,. . . ,Ха-1,1а, Ха+1,. . . = 0, Ь £ [0,Т],

ка (х) ^ с1 > 0, а = 1,р,

являются постоянными (не зависят от Ь), самосопряженными и положительно определенными.

Утверждение. Задача (1.5)-(1.6), полученная в результате перехода от скалярного решения задачи (1.3)-(1.4) к вектор-решению, поставлена корректно, причем па(Ь) = п(Ь), а = 1,р, для Ь £ [0, Т] и справедлива оценка

р Р 2 / Р \

Е \\П**Л2 + Е АаПа < м( ||f ^ + ||Апо||2 + Е \\щХа ||М

а=1 а=1 ^ а=1 '

(2.1)

г

2

2,3*

= J f2 (х) йх.

2 и л|2 I 2,

0 О

< Пусть га = па — п. Подставляя па = га + п в уравнение (1.5), находим

д 2 г Р Р _

-оЦа + ^ Авгв + Е Авгвг = 0, а = 1>Р>

в=1 в=1

¿а (0) = га г (0) =0.

Каждое из уравнений (2.2) умножим скалярно на Ааи просуммируем их по а = 1,р. Тогда получим

(2.2)

(2.3)

Р /д2 га , дг,

Е

=1

дь2

_а » 1 д

дЬ ) ' 2 дЬ

) +

А

=1

+

А

=1

дга дЬ

0.

(2.4)

С помощью интегрирования по частям, с учетом граничных условий и вида оператора Аа, а = 1,р, из (2.4) находим

1д

2 д^(ка'

=1

+

1 д_

2 дЬ

А

=1

+

Ел дга

Аа~дГ

=1

(2.5)

2

2

г

2

2

0

г

Проинтегрируем (2.5) по т от 0 до Ь с учетом условий (2.3). Тогда получим

1

2Е (k

a=1

ba, zaxat

+

Ea

a=1

+

E dza

a=1

2

dT = 0.

Откуда с помощью (2.2) получаем

d2 z,

dt2

= 0, za(0)= zat(0)=0, a = 1,p.

(2.6)

Из (2.6) находим, что га(Ь) = 0 или иа(Ь) = и(Ь), а = 1,р.

Для получения априорной оценки (2.1) умножим уравнение (1.5) скалярно на А и просуммируем полученное равенство по а, а = 1, р:

диа

a~ST

Р

Е

a=1

Так как

д2 ua &Ua\ + 1 д dt2 ,Aa dt +2 dt

a=1

'У ^ Aa ua +

Aa Uat\\ = [f^A

a=1

a=1

dUg ' dt

(2.7)

тА ( d2 Ua ÖUa\ = 1 ^ (k

2Л dt2 ,Aa dt 1=2. dt \ka'

a=1

a=1

2

a, Uaxat

f, A

a=1

dUa\ . 1 \\ f\\2 + 1 a dt ^ 2"f" +2

A

a=1

dUa

dt

то из (2.7) имеем

C1 У] II Uaxat У 2 + E A'

a=1

\Un

a=1

<

\,Qt + IIAUoI2 + ||U1x

a=1

откуда следует неравенство (2.1). >

3. Устойчивость разностной схемы

Для приближенного решения задачи (1.5)-(1.6) будем использовать трехслойную векторную аддитивную схему

а Р а Р

УаИ + Е Ане У в + Е Ане У в + Е Ане Урь + Е Ане Увь = /, (3^1)

e=1 e=a+1 0=1 0=a+1

Уа (0) = Uo, Vat(0) = U1, a = 1, 2,... ,p,

(3.2)

где

Ahayia — (aayxa )x,

— (a(ia +1) yia+1 - yia fl(ia) Via - yig-1

a / xa ,ba

ha V ha ha

a

(ia) = ka(x1 ,...,xia 1/2,...,Xp), yt = (y — v)/t, yatt = (yia — 2yia + yia) /t 2, a = 1,p,

разностные операторы, аппроксимирующие на сетке

Р

Uhr = Lüh X UT, Lüh =П Шha ,

a=1

Lüh = {x(ia) = ia ha : a =1,p ; ia = 0, 1,... ,Na, ha = la/Na \ , Ut = {tj = jT : j = 0,1,...,jo}

дифференциальные операторы AaU = — dx— \ka (x)

du \ d2

dt l ka (x) dxa h dt2, v = vj+1, V = Vj , V = V

j-1

t

2

2

z

2

2

2

а

Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы

N1 — 1 N2— 1 Na — 1 Np-1 (V,v)—^ E ■■■ E ■■■ E yil i2-ia-ip Vil i2 ...ia...ip h1 h2 ■ ■ ■ ha ■ ■ ■ hp = E V{x)v{x)H,

i 1 =1 Í2 =1 ia = 1 ip = 1 Wh

P

H =П ha, \\y\\2 = (y,y),

=1

N1-1 N2-1 ма N-1

(У,ъ]а = Е Е ... Е ... Е У*1 <2Уг1Ъ2 ...га ,.ЛР Н, Уу^ = (у,у]а.

¿1=1 <2=1 га=1 <р=1

Из контекста будет ясно о какой норме идет речь, поэтому, чтобы не загромождать изложение, индекс а при написании нормы будем опускать, например, ||уаХаг]| = ||уаХаг]|а. Вычитая из уравнения (3.1) уравнение для нахождения уа-1, получим

УаЫ + тАа Уаг + тАаУаЫ = Уа-1,Ш а = 2V. (3.3)

Здесь и далее в обозначении А^а будем опускать Н. Рассматривая уравнение для определения у1 и уР, из (3.1) находим

Уш + тА1уи + тА1 уцг = + УрЦ . (3.4)

Умножим уравнение (3.3) скалярно на уаг:

||у«й ||2 + т (Аа уаг, уай) + т (Аа уаЪь, уац) = (уа-1>й ,уаи) . (3.5)

Так как

1

(Aayat, yatt) = (aa yaxat ,yaXatt ] = 2 , У« XaJ í + 2 (a», yaXaít] ,

то из (3.5) в силу положительности операторов Aa, а — 1,p, имеем

\\yatt\\2 + (aa, ylxat] < (aa, y2Xat] + \\у»— 1,tt\\2 , (3■6)

aa — ka (x1, ■ ■ ■ , xa—1, xa ha, xa+1, ■ ■ ■ , xp) ■

После умножения на т просуммируем сначала (3.6) по j' от 2 до j:

Е tó*\\2т < С2\\у»Xat]|2T + Е llyí—1,ttH2T, j'=2 j'=2

а затем по а' от 2 до а:

j a j

Е \\yaVt\\2т < ^t ]|2т + е \jyv (3^7)

j'=2 a'=2 j '=2

Умножив равенство (3.4) скалярно на y^, получим

0^5 \\у1п\\2 + т(Amt, yut) < 0-5 \\т/ + Урй\2■ (3^8)

Пользуясь формулой суммирования по частям и определением оператора А1, второе слагаемое в (3.8) запишем в виде

т (А1Уи,Ут) = -т ((а1 У1х^)х1 ,Ут) = т {атхгг,У1х1и] = Т {а1,У^х1 *] * + у (а1,У^х1 й] ■

Умножим (3.8) на т и просуммируем полученное неравенство по ]' от 2 до ]:

3 3

т

2

2

или

Так как

Е 11У7'«Н2т + (аь 7í)2\ т < (а1, (у^)2] т + т ^ \\т/ + Урй\\

3'=2 7'=2

Е 7\\2т < сП^\\2 + т Е \/ + Урй\\2, 0 < С1 < а2 < С2^

7'=2 7'=2

\\т/ + Урй\2 < (т\/\\ + \\УрйЮ2 = т2\\/\\2 + \\ -уМУМ + < т2\\/\\2 + т\\/\\2 + т\\Урй\\2 + \\Урй\\2 = (1 + т)т\/\\2 + (1 + т

то из (3.8) после суммирования по ]' от 2 до ] получаем

£\\3\\2т < С2\\У\^ ]|2 т + (1 + т )т£ -1\2т

3'=2 з'=2

+(1 + т)т\У^\2 + (1 + т) Е \\7\\2т^

3'=2

Оценим последнее слагаемое (3.9) с помощью неравенства (3.7):

Е \\6\\2 т < С2 Е \Уа хл2 т+Е \у1й\2 ^

7'=2 а=2 7'=2

Из (3.9) с помощью (3.10) находим

Е \\7\\2т < (1 + т) С2 Е \\УахЛ^

7'=2

а=1

з 7-1

Г1"2-

+ (1 + т)т £ /-1 \\2т + (1 + т)тЩ2 + (1 + т) £ 3\\2т^

7'=2 7'=2

(3^9)

(3*10)

(3^11)

Продолжая неравенство (3.11) вправо с помощью аналогичной процедуры, найдем

Е 3\\2т < М1 (Т)(\У1Й\\2 + \У^\2 + Е \\//'-1\\2т + Е ПуОха*^) , (3>12)

7'=2 7'=2 а=1

где М1(Т) = СзТет, Сз = max(1, С2)■

2

2

Из (3.7) и (3.12) следует

Е iij \\2т < м2 (т) (\\уУ2 + iiyptt \\2 + Е f"-1 н2 т+Е i^ л 2) • (3.13)

j'=2 ^ j'=2 a=1 '

Так как из (3.6) при j = 1 следует

ilypttI2 < С2 Е \\ylat]2 + ||yi«I2

a=2

то для получения необходимой оценки достаточно оценить ||у1й|| и ||yaXat], a = 1,p. Для чего положим в уравнении (3.1) a = 1, j = 1. Тогда получим

Уш(т) + TAi(yit (т) + у1й(т)) + Aui + A(u0 + тщ) = f (т). (3.14) Умножая (3.14) скалярно на y1tt(т), находим

||Уш||2 < С2||u1xi]2 + ||f (т) - AU11|2, U1 = u0 + (1 + т)u1. (3.15) Из (3.6) с учетом (3.15) имеем

p p 1

Е ы**t]2 < гЕ |ySxet]2 + 1 U ||u1xiII2 + ilf(т) - AuU||2). (3.16)

о C1 о C1

a=2 a=2

Аналогично c помощью (3.14) оценивается и Ну^t]2. С помощью (3.15), (3.16) из (3.13) получаем

Е jН2т < M(T)(Е Hfj'-1w2т + Е Hu1x-„ II2 + ||f (т) - AU1 ||2) , a = (3.17)

j'=2 j'=2 a=1 '

Из оценки (3.17) следует устойчивость разностной схемы (3.1)—(3.2) по правой части и начальным данным.

3.1. Погрешность аппроксимации. Обозначим через za = ya — ua, a = 1,p, и подставим ya = za + ua в (3.1)-(3.2). Тогда для погрешности получим задачу

а p а p

Zatt + Е AhßZß + Е AhßZß + E AhßZßt + E AhßZßt = 'фа, (3.18)

0=1 e=a+1 0=1 e=a+1

Za(0) = 0, Zat(0)= V1, a = 1,2,...,p, (3.19)

где

(a p a p \

uatt + E Ahßuß + E Ahe uß + E Ahe ußtt + E Aheu^^ I + f

0=1 e=a+1 0=1 e=a+1 /

'dF + Е Ahe ue + Е Ahe ^ ) + O(|h|2 + т) + f = O(|h|2 + т),

ч 0=1 0=1 /

= (О2 = 0(т), 0 < с < т, |К| = К2 + Н2 + ■■■ + Кр, 0(|К|2) — погрешность аппроксимации оператора А. Кроме того, если иа £ С4[0, Т], /(Ь) £ С2[0,Т], то

фа,- = -(Си + Е + ±А,Щ + 0(|К|2 + т)+ Л (3 20)

V в=1 в=1 / (3^20)

= - / + /- + 0(|К|2 + т ) = 0(|К|2 + т),

Сп[0,Т] — класс функций, имеющий п производных, непрерывных по Ь на [0, Т].

3.2. Сходимость разностной схемы. Для погрешности га = Уа — иа оценка (3.17) принимает вид

Е \\3\\2т < м(Е \\ф£-\\2т + Е \\*1хв \\2 + \\фа(т) + (1 + т)М \\2) ■ (3,21)

7'=2 7'=2 а=1

Из оценки (3.21) с учетом (3.20) следует

Теорема. Пусть задача (1Л)—(12) имеет единственное непрерывное в (т реше-

/ , \ д4п, Я4п, сРи д2 f д2 f -

ние и(х,Ь) и существуют производные д-ц, д.*, ^^, , дхОг, а = 1,р, непрерывные в (т. Тогда схема (1^1)—(1^2) сходится со скоростью 0(|h|2 + т) в норме

3 .' \ 1/2 72

7'=2

№ = ( Е llzOttII2т)

d2 u | X д d2u | X д2 д2 u дх2 + X1 dt дх2 + X2 dt2 дх2

4. Волновое уравнение в релаксирующих средах

В цилиндре Qt рассмотрим задачу для волнового уравнения в релаксирующих средах

д2 u Р

+ Lu = f (x,t), Lu = 22 Lau, (x,t) e Qt, (4.1)

a=1

u|s = 0, u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), ХъХ2 = const > 0, (4.2)

где Lau = -

Структура третьего члена слева уравнения (4.1) такая же как у диссипативного члена в (1.1), описывающего затухания звука из-за вязкости и теплопроводности, четвертый член описывает слабые дисперсионные эффекты (см. [13, с. 87]). Задачу (4.1)-(4.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши

d u . . du . d u „, . . ^ > . . д ,. _ ч

dF + ^ + ^dt + X 2Ad2 = f (t), A = £ Aa, Aa = - dxa, (4.3)

a=1 a

u(0) = u0, ut (0) = u1. (4.4)

Вместо исходной задачи (4.3)-(4.4) запишем систему подзадач

d2ua р р р _

+ Y1 Ae up + X1YI Ae upt + X^Yl Ap uptt = f, a = 1,p, (45)

в=1 e=1 в=1

ua (0) = uo, uat (0) = u. (4.6)

Как и выше, обозначим через га = па — п. Подставляя па = га + п в уравнение (4.5), получим

д2 г

дЬ2

+ Е Авгв + Х1 Е Авгвг + Х2 Е Ав= 0,

в=1 в=1 в=1

г« (0) = гаг (0) = 0, а = 1,р.

дга

(4.7)

(4.8)

Умножив каждое из уравнений (4.7) скалярно на Ааи просуммировав их по а

1,р, получим Р ' д2

а=1

Е!^ + Е ( £ ** А'-дг ) + X, £ ( £ Авгвг А ^

дга дЬ

РР

а=1 \3=1 Р / Р

дга дЬ

РР

а=1 чв=1

дга дЬ

ЕАвгвгг,А

а=1 ^в=1

^ ] =0

а дЬ 1 =

(4.9)

После интегрирования по частям в первом интеграле равенства (4.9) находим

Р Р 2 г Р

Е^ахагУ2 + Е Аага +2Х1 ||Аагаг||2йт + %2 ^ ^ Аагаг а=1 а=1 п а=1

0.

Р Р Р

Откуда следует, что ^ Аага = Е Аагаг = Е Аагагг = 0, т. е. задача (4.7)-(4.8)

а=1 а=1 а=1

принимает вид

д 2 г

-д^т =0, г« (0)= г«г (0) = 0. (4.10)

Из (4.10) имеем, что для любого Ь £ [0,Т], га(Ь) = 0 или, что тоже самое, па(Ь) = п(Ь), Ь £ [0,Т], а = 1~р.

Покажем, что каждая из компонент вектор-решения непрерывно зависит от входных данных. Умножим уравнение (4.5) скалярно на Аапаг, затем просуммируем их по а = 1,р. В результате получим

1 д 2 1 д 2дЬ ^ || дЬ А

а=1

+

Х2 д 2 дЬ

£а

а=1

па

а=1 1

< -

4е

+ Х1

У ^ Аа паг

а=1

+ £

£а

а=1

па

Положив £ = Х-, затем проинтегрировав (4.11) по т от 0 до Ь, получим

(4.11)

Е ||пахаг||2 + Е Аа

па

а=1

а=1

+ Х2

У ^ Аапаг

а=1

1 2 2 2 2

< - llf П2,з* + ||п1х||2 + ||Апо||2 + ||Ащ

Х1

(4.12)

2

2,Яь

йт.

Из оценки (4.12) следует непрерывная зависимость решения задачи (4.5)-(4.6) от правой части и начальных данных.

а

2

2

2

п

2

2

2

2

2

г

5. Разностные схемы

Для решения задачи (4.1)-(4.2) будем использовать векторную аддитивную схему

а Р а Р

Уай + Е Ав ув + Е Ав У в + Х1Е Ав Увг + Х1 Е Ав увг

в=1 в=а+1 в=1 в=а+1 /Г1Ч

а Р (5Л)

+Х2 Е АвУвгг + Х2 Е Авувк = У,

в=1 в=а+1

У а (0) = по, Уаг (0) = п1. (5.2)

Задача (5.1)-(5.2) недоопределена. Для применения этой схемы требуется задать еще одно условие, например, значение уа(Ь) на втором слое уа(2т). Будем искать уа(2т) из соотношения

п(2т) — 2п(т) + п(0) д2 п ()+ 2)

-т2-= дЬ2(т) + 0(т ).

Определим ди (т) из уравнения (4.1), положив Ь = т. Тогда получим задачу для определения V = ди (х, т)

Аь — — V = Г, V | г =0, (5.3) Х2

Г = ±

Х2

Р д2 и, , ^ д2п, Л . дп

f (х,Ь) + Е —2 (х,т) + Е (х,т)

дх а дх а

а=1 а а=1 а

п= аЬ

Так как Х2 > 0, то задача Дирихле (5.3) однозначно разрешима.

Итак, будем считать, что задача (5.1)-(5.2) дополнена еще одним условием

УаЙ = п2 или Уа(2т) = п2, ^ = по + 2щт + ^т2.

Вычитая из уравнения (5.1) уравнение для определения уа-1, получим

Уагг + тАаУаг + Х1 тАаУагг + Х2т АаУаыг = Уа-1.гг. (5.4)

Умножим (5.4) скалярно на уац:

||Уай|2 + т(АаУаг, Уай) + Х1т(АаУаЙ, Уаы) + Х2т(АаУаШ, Уай) = (Уа-1.Й, Уаы). Откуда с учетом вида операторов Аа находим

У УаЙ||2 + УУаХаг]|2 + Х2УУахаЙ]|2 < ||уаХаг]|2 + Х2 ||у/аХаЙ]|2 + ||Уа-1,й|2 . (5.5) Просуммировав (5.5) сначала по ]' от 3 до ], а затем по в от 2 до а, получим

за а 3

Е 3||2т ^ Е llУsxaг(2т)]|2т + Х2 Е llУsxsы(2т)]|2т + Е Ц^т. (5.6)

3'=3 s=2 s=2 3'=3

Рассматривая уравнения для определения у1 и уР из (5.1), получаем равенство

Уш + тА1 уи + Х1 тА1уш + Х2т А^ й = т£ + Ури. (5.7)

7'=з

а=1

а=1

7-1

Е

7'=з

+ (1 + т) Е 7\\2т + (1 + т)т £ \\//'-1 \\2т + (1 + т)т \\У1й(2т)

7'=з

Продолжая неравенство (5.8) вправо, находим

7 ' 2 / £ \Ш\ т < м(ТИ \У1й(2т)\\2 + ||Урй(2т)|

7'=з

+ Е \\/7 -1 \2т + Е \\Уаха-(2т)]|2 + Х2^ \\Уахай(2т)

7'=з

а=1

а=1

Из (5.6) и (5.9) получаем оценку

7 2 / 7 Е \7\\ т < м(ТЯ \У1«(2т)\\2 + \\Урй(2т)\\2 + ^ /-1\\2т

7'=з 7'=з

+ Е \\Уаха-(2т)]|2 + Е \\Уахаы(2т)'2

а=1 а=1

Так как из (5.5) следует

рр ||Урй(2т)|2 ^ \\Уаха-(т)]|2 + Х2 Е \\Уаха«(т)]|2 + \\Уш(2т)

а=2

а=2

Из (5.7), как и выше, с помощью (5.6) получаем послойную оценку

7 2 р р

Е \\УШ\\ т < (1 + т ) £ \\Уаха-(2т )]|2т + (1 + т \\УахаИ (2т )]|2т

(5В)

УН- (2т) + А1У1(3т) + £ АвУв (2т) + Х1 Ат- (2т)

в=2

рр

Ав Ув-(т) + Х2А1 Уш (2т) + х^ Ав Уви (т) = / (2т )■

в=2 в=2

Из (5.11) следует

Уш (2т) + тА1 У1- (2т) + тХ1 А1УШ (2т) + тх2 А1УШ- (2т) = ^ (2т),

где ^(2т) = /(2т) - Аи2 - Х1А(и1 + тщ) - Х2Аи2. Из (5.12) следует

м

(б^Ю)

(б>11)

то для получения необходимой оценки достаточно оценить \\Уш(2т)\\, \\Уахаг(2т)]|,

\\УахаЫ(2та = Т7Р.

Для этого положим в (5.1) а = 1, ] =2:

(б^12)

(б^13)

\\У1й(2т)\\2 < \У1х1-(т)]|2 + Х2\У1х1й(т)]|2 + №\\2

(б.14)

2

2

2

Аналогично из (5.5) получаем оценки

Е \\Уаха-(2т)]|2 < Е \\Уаха-(т)]|2 + Х2 Е \Уахвй(т)\2 + \\Уш(2т)\\2, (б■1б)

1 р р 1 £ \Уахвй(2т)]|2 < Х^Е \\Уаха-(т)]|2 + £ Ьахаи(т)\\2 + Х-\\У1Й(2т)\\2■ (5Л6)

а=2 Х2 а=2 а=2 Х2

Нормы \\У1х1-(2т)]|, \\У1х1Й]| оцениваются с помощью равенства (5.7). С помощью оценок (5.11), (5.14)-(5.16) из (5.10) окончательно получим

Е 7\2т < м( Е \\//'-1\\2т + Е \и1ха + и2хат\\

7'=3 7'=3 а=1

р

+ Е \\и—а]|2 + \\/(2т) - Аи2 - Х1 А(и1 + ти2) - Х2Аи2\\

(5^17)

р

а J|

а=1

Из (5.17) следует устойчивость схемы (5.1)-(5.2) по правой части и начальным условиям, а при достаточной гладкости решения исходной дифференциальной задачи сходимость схемы (5.1)-(5.2) со скоростью 0(|К|2 + т). Условия гладкости на и(х,Ь) здесь те же самые, что и в теореме из пункта 3^2.

6. Модифицированное уравнение влагопереноса

В цилиндре (т рассмотрим уравнение влагопереноса Аллера ди р

-Щ = Ьи + /(х,Ь), Ьи Ь-ч, х £ С, Ь £ (0,Т], (6Л)

а=1

и|б,т = 0, и(х, 0) = и0(х), (6^2)

где Ьаи = дхд- (ка (х) ддха) + ддлк (ка (х) ддп) , а = 0 < С1 < ка(х) < С2.

Задачу (6.1)-(6.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши

| + Аи + 4Т = /(4)" ^ = Е Аа• Аа = -д!- (ка(х)щ) ■ (6'3)

а=1

и(0) = ио ■ (6Л)

2

Введенный Аллером (см. [8]) дополнительный член хщ'дхи призван объяснить опытный факт движения влаги против градиента влажности. Коэффициент Аллера Х мал при впитывании влаги и велик при испарении (см. [12, с. 159]). Мы включаем это слагаемое в уравнение в виде (ка(х)их)х-, а = 1,р.

Вместо задачи (6.3)-(6.4) запишем систему подзадач:

( р р

+ £ Ав ив + £ Ав ив- = /(Ь), (6^б)

в=1 в=1

иа (0) = и0, а = 1,р^ (6^6)

Очевидно, что па(Ь) = п(Ь), и поэтому в качестве решения исходной задачи (6.5)-(6.6) можно взять любую компоненту вектора и(Ь) = (п1 (Ь),..., пР(Ь)). Для решения задачи (6.5)-(6.6) справедлива оценка Р Р 2

Е||паг||2 + Е Аапа < м(||1||2 + ||Апо||2) . (6.7)

а=1

а=1

Из (6.7) следует непрерывная зависимость решения задачи (6.5)-(6.6) от входных данных в норме, стоящей в левой части оценки (6.7).

Каждую задачу (6.5)-(6.6) заменим разностной схемой

а Р а Р

Уаг + Е Ав Ув + Е Ав У в + Е Ав Увг + Е Ав Увг = I, (6.8)

в=1 в=а+1 в=1 в=а+1

у а (0) = по, а = ТТр. (6.9)

Следует заметить, что задача (6.8)-(6.9) недоопределена. Для применения этой схемы требуется задать еще одно условие, например, значение уа(Ь) на первом слое уа(т). Будем искать у(х, т) из соотношения

п(х,т) — по(х)= дп (х, 0)+ о(т).

дЬ

_ к „ ищем исходя

Значение дЦ |г=о ищем исходя из дифференциального уравнения (6.1)

Е + Е д^ (х) (х, 0)) + f (х, 0),

Р

Е (ка(х)П1Ха)Ха + П1(х) = Г(х), П1 (х)|г = 0, (6.10)

дЬ

или где

а=1

Р

Г(х) = f (х, 0) + Е (каПоХа)Ха, П1 (х) = иг(х, 0).

а=1

Итак, будем считать, что задача (6.8)-(6.9) дополнена еще одним условием

Уаг (0) = П1 (у а (т) = по + тп1 = П1), а = 1~р. (6.11)

Применяя тот же прием, что и выше, получаем априорную оценку для решения разностной задачи (6.8)-(6.9), (6.11):

Е \\УЬ\?т < м(Е у/?'-1"2 + Е |п1Ха]|2 + ||УогI(т) — АП1 ||2) , (6.12)

?'=2 ?'=2 а=1 '

где П1 = (1 + т) п1 + по, М — положительная постоянная, не зависящая от Нг, I = 1,р, т.

Из оценки (6.12) следует устойчивость разностной схемы (6.8)-(6.9), (6.11) по правой части и начальным данным. Из этой же оценки следует сходимость решения разностной задачи (6.8)-(6.9), (6.11) к решению дифференциальной задачи (6.1)-(6.2) со скоростью 0(|Н|2 + т) при тех же условиях гладкости на п(х,Ь), что и в теореме пункта 3.2.

Завышение гладкости п(х,Ь) в рассматриваемых задачах объясняется присутствием в априорных оценках для погрешности га = уа — па, а = 1,р, разностной производной от погрешности аппроксимации ф?.

Литература

1. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1989.—161 с.

2. Марчук Г. И. Методы расщепления.—М.: Наука, 1989.—262 с.

3. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // Диф. уравнения.—1990.—Т. 26, № 2.—С. 314-323.

4. Абрашин В. Н., Муха В. А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // Диф. уравнения.—1992.—Т. 28, № 10.—С. 1786-1799.

5. Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные векторные схемы расщепления для решения многомерных задач математической физики // Диф. уравнения.—2006.—Т. 42, № 7.— С. 883-894.

6. Вабищевич П. Н. Об одном классе векторных аддитивных схем // Изв. вузов. Математика.— 1994.—№ 9.—С. 11-15.

7. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.

8. Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—1996.—Т. 36, № 3.—С. 44-51.

9. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Computational Modeling and Computing in Physics.—Dubna: JINR, 1997.—P. 363-371.

10. Самарский А. А., Вабищевич П. H., Матус П. П. Устойчивость векторных аддитивных схем // Докл. РАН.—1998.—Т. 361, № 6.—С. 746-748.

11. Вабишевич П. Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2010.—Т. 50, № 3.—C. 449-457.

12. Чудновский А. Ф. Теплофизика почвы.—М.: Наука, 1976.—352 с.

13. Виноградова М. Б., Руденко О. Б., Сухоруков А. П. Теория волн.—М.: Наука, 1979.—384 с.

14. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // Докл. АН СССР.—1982.—Т. 265, № 6.—C. 1327-1330.

15. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР.—1987.—Т. 297, № 3.—С. 547-552.

Статья поступила 1 июня 2011 г.

шхануков-лафишев мухамед хабалович Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, заведующий кафедрой вычислительной математики РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 E-mail: [email protected]

Архестова Сусанна Мухамедовна Педагогический колледж Кабардино-Балкарского госуниверситета им. Х. М. Бербекова, преподаватель математики

РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 Тхамоков Муслим Баширович

Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, старший преподаватель кафедры вычислительной математики РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 E-mail: [email protected]

VECTOR ADDITIVE SCHEMES FOR CERTAIN CLASSES OF HYPERBOLIC EQUATIONS

Shkhanukov-Lafishev M. H., Arhestova S. M., Tkhamokov M. B.

Vector-additive schemes for certain classes of hyperbolic equations arising in the theories of moisture transport and waves in relaxing media are constructed. Stability and convergence of difference schemes in the class of sufficiently smooth solutions are proved.

Key words: wave equation, the equation of storage, stability, convergence, a priori estimate, viscosity, thermal conductivity, approximation error.