Априорные оценки решения нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 3, С. 19-36

УДК 519.635

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1

М. Х. Бештоков

В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами в одномерном и многомерном случаях. Для нелокальных задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

Ключевые слова: краевая задача, нелокальное условие, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, гиперболическое уравнение третьего порядка, псевдопараболическое уравнение.

Введение

В настоящее время весьма активно изучаются локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений третьего порядка. Указанный класс задач вызывает большой практический и теоретический интерес из-за того, что прикладные задачи физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3, 4], влагопереноса в почво-грунтах (см. [5], [6, с. 137]) приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка:

Ь(п) = (ц(х, )х + (к(х, г)пх)х + г(х, ¿)пж + й(х, г)щ - д(х, г)п = f (х, ■£). (*)

Уравнение вида (*) часто называют псевдопараболическим. Краевые задачи для различных уравнений третьего порядка псевдопараболического типа изучались, например, в работах [7-11].

В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи третьего порядка для псевдопараболического типа с переменными коэффициентами в одномерном и многомерном случаях. Для нелокальных задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

© 2013 Бештоков М. Х.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 1.6197.2011.

1. Постановка задачи

В замкнутом цилиндре <3т = {(х,4) : 0 ^ х ^ I, 0 ^ 4 ^ Т} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу

и* = (к(х,-£)иж)ж + (п(х,-£)иж*)ж + г(х,4)иж - д(х, ¿)и + / (х,4), 0 < х < I, 0 <4 ^ Т, (1.1) г *

И(0,4)^У в(х,4)и(х,4) ^х ^У р(4,т)и(1,т) ^т - 0 < 4 < Т, (1.2)

0 0

П(1,4) = 0, 0 < 4 < Т, (1.3)

и(х, 0) = и0(х), 0 < х < I, (1.4)

где

г(0,4) = го < 0, г(М) = гм ^ 0, 0 <со < п(х,4), к(х,4) < С1,

1п*(х,|г(х,4)|, |д(х,4)|, |к*|, |г*|, |в(х,4)|, |р(4,т)| < С2, (1.5)

и е С4'3(<т), п е С3'2(<т), к е С3'2(<т), г,д,/е С2'2(<т), в(х,4) е С[0,Т],

= {(х,4):0 < х < I, 0 <4 < Т}, П(х,4) = киж + пи^, 0 < т < ио(х) е С2[0,1],

р(4,т) — функция, непрерывная на [0,Т], с0, С1, с2 — положительные числа. Заметим, что нелокальное условие (1.2) можно заменить условием

а *

00

где а — глубина корнеобитаемого слоя [12] или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны также тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученный А. И. Кожановым [10].

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные М», г = 1, 2,..., зависящие только от входных данных задачи (1.1)—(1.4).

2. Априорная оценка в дифференциальной трактовке

Допуская существование решения дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) в замкнутом цилиндре <т, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1.1) скалярно на и:

(и*,и) = ((киж)ж,и) + ((пиа*)я,и) + (г(х,-£)иж,и) - (д(х,4)и,и) + (/(х,4),и), (2.1)

где (и, у) = /0 иу^х, ||и||2 = (и, и).

Пользуясь неравенством Коши с е, из (2.1) получим

I I

|||п||2 + | / 7/и2 (1х + 2 I к(х,1)и1

пих , + 2 / *

0

(2.2)

< 2(п(М)и(М) - П(0,4)и(0,4)) +3С2||и*||§ + (3с2 + 1)||и||0 + ||/1|§.

Имеет место оценка [13, с. 124]

п2(1,г) ^ е\\пх\\1 + се||иц0,

(2.3)

где е > 0, се = \ +

Оценим первое и второе слагаемое в правой части неравенства (2.2), пользуясь неравенством Коши с £ и граничными условиями (1.3) и (1.4),

I £

-п(о,г)и(о,г) = -и(о,г)^ в(х,г)и(х,г) йх + у р(г,т)и(1,т) йт - ^(г)

00 Г '' 21 *

^Мг и2(0, + ^ У /3(х,г)и(х,г)йх^ + М2 У и2(1,т)<1т.

00

Из (2.4), пользуясь (2.3) и неравенством Буняковского, получим

£

П(7,¿)и(7,¿) — П(0,¿)и(0,¿) ^ Мз(||пж||^ + ||п||^+М4 У (||гхх||о +Мо) + ^

0

Учитывая (2.5), из (2.2) находим

I

й|| и 2 й [ 2 7 и 112 -у /г (\ \ ц2 и м2\

(й"и"° + (й / Г?и^СгЖ + С°1< + И^II0

0

£

+ 2М4у (к\\2 + \\и\\2) йт + ^2(г) + \\0. 0

Проинтегрировав (2.6) по т от 0 до г, тогда получим

(2.4)

(2.5)

(2.6)

222 1и\\0 + \ \ их \ \ 0 + \\их\2,^4

t т

< Мб У (\\их\\0 + \\и\0 )йт + М7 У У (\ихН0

+ \ \ и \ \2 | йт 1 йт

О 0 0

(2.7)

+ Мв

2 + ^2(тЯ йт + \\и0(х)\\2 + \\и0(х)\\2 ),

2 , I|л./ ||2

где

\их \\2jQt = \\их \\о йт.

Второе слагаемое в правой части (2.7) оценим следующим образом:

£ т

У У (\\их\\0 + \\и\°)йт1 йт ^ ^ (\\их\\0 + \\и\\2) йт. 0 0 0

(2.8)

2

£

£

£

£

В силу (2.8) из (2.7) находим

||и||0 + ||иж||0 ^ М^ (||иж||0 + ||и|^ ^т * 0 (2.9)

+ М8 ( У (||/12 + ^2(т)) ^т + |Ых)||2 + ||и0(х)|0 0

Применяя к неравенству (2.9) лемму Гронуолла (см. [13, с. 152]), из (2.7) с учетом (2.8) получим

< М(¿^ (||/1|2 + р2(т)) ^т + ||и0(х)У^1 (0,1)) , (2.10) 0

где М (4) — зависит только от входных данных задачи (1.1)—(1.4).

Из априорной оценки (2.10) следует единственность решения исходной задачи (1.1)— (1.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства ^21(0,1).

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (1.1)—(1.4) применим метод конечных разностей. Для этого в замкнутом цилиндре т введем равномерную сетку [14]:

ш^т = х Шт = {(х»,^-), х е ш^, 4 е шг},

= {х, = гл, г = 0,1,...,N жл = г},

шт = "¡Л' = ¿т, ^ =0,1,..., т, тт = Т}.

На сетке ш>ьт дифференциальной задаче (1.1)-(1.4) поставим в соответствие разностную схему:

У*,» = Л(¿)У((ст) + ¿у + (х, 4) е ш^т, (3.1)

N 7 Л

а1ХоуЗ +71^,0 = 2 + -¥>о), * е ¿V, (3.2)

5 = 0 5=0

, .Л _ к(„. .. , л..»

- (амхму^м + 1мУхь,м) = 2 (У^М + ЛмУ^ ~ , t е шт, (3.3)

У (х, 0) = и0 (х), х е шь, (3.4)

где

„±

йу= Ы**)х,1> У{а) = аУ+(1~а)У' У = у1 =у(хг,^), г = г++г , Ъ± = Г—+0(Ь2),

|г| = г+ - г-, г+ = 0.5 (г + |г|) ^ 0, г- = 0.5 (г - |г|) ^ 0, а» = к(х»_0.5,?), 7» = п(х,-0.5, , ^ = = / (х»,?),

т = Е+05 = tj + 0.5т, жг-0.5 = ж» — 0.5Н, Н, т — шаги сетки. 1

X = Хо =

1 + Я 1

о 0-5/г|г | „ К = —;--разностное число геинольдса,

1+

0.5 /г|гр | ко.б

к

если г0 ^ 0, х^ =

1

1+

0.5/г|гдт|

км-о.ь

если гм ^ 0,

т =

если з = 0, з = ^

т, если 8 = 1,..., ] — 1,

если 5 = 0, 8 = М] Н, если т = 1,..., N — 1.

Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Тогда задачу (3.1)-(3.4) перепишем в другой форме

УМ = Хгх>г + Ыхь)х^ + + Ь- — йцфр +

N j

а1ХоУХ"0 — 0.5Л4у0СТ) — N Й — Е тр^у^М + ^

5 = 0 5 = 0 , 71 ух^0

=-—--Ь

0.5Н

—ам хм — 0.5Н^м уЙ° Тм ух*,м

0.5Н '

0.5Н

0.5Н '

у(ж, 0) = зд(ж).

Полагая а = 0.5 и обозначая у + у = У, перепишем задачу (3.5)-(3.8)

у* = 0.5Л * (Т)У + ту + Ф, у(ж, 0) = П0(ж),

где

Л *(Т)У = <

Л У = Хг (аУХ) хг + Ь+аг+1Ух,г + Ь- агУХ,г — ¿¿У», при Ж £

Л-У = Л+У =

. а

N ]

«1X0УХ,0-0.5Ь^0ваУ> 'Ь-12 три,]

_3 = 0_£=0_

0.5/г -

0.5/г '

при ж = 0; при ж = I,

¿у =

= (тух*)х,г, при Ж £ Шь; 5~у =

и+у = —

71 Ухь, 0

0.5Ь '

7 N

ф =

Хт =

V = V»,

V- _ М 0.5/г

= 0,

Н\г\ ^ 2к , -1 •

при ж = 0; оЖ~> приж = /,

при ж £ ш^;

Х = 1 +

у- - I 1 + ^

X - I 1 + 2^0.5

Х+ = 1 +

2&ЛГ-0.{

при ж £ ш^; при ж = 0, г0 ^ 0; , при ж = I, гм ^ 0.

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9) (3.10)

Введем скалярное произведение

Г 1 V- * * /I' г = 0, г = Ж, и, V = > и^П, П = < 2

1 ] ^ |Л, г = -1,

г=о V. ' 11 1

и норму

N

|2 _ „,2

= [и, и], 11 и] |2 = ^ и2П =(и, и].

г=1

Умножим теперь разностное уравнение (3.9) скалярно на У = у + у :

[у*, Г] =0.5 [А *(^)У,У] + [ <5у,У] + [ Ф, У]. (3.11)

Преобразуем суммы, входящие в (3.11):

[1,у2] - [1,у2]

[у* ,У] =

-(у -У)ЛУ + У)

т

= [1,у2] *, (3.12)

[А *(Г)У, У] = (АУ, У) + 0.5ЛУо Л-Уо + 0.5 ^ Л+УN = — (ах, УХ2] - (аУ,Х*У*) + (6+а^У*,У) + (6-аУ*,У)

N

— [й, У2] — Уо &У*П — Уо ^ тр^ УN,

5=0 5=0

(3.13)

[¿у, У] = (5у,У) + 0.5 ЛУо 5-у + 0.5 ЛУм 5+у = — (7у** ,У*] , (3.14)

[ Ф,У] = (р,У ) + 0.5Лр-Уо + 0.5 УN = (р,У)+ рУо. (3.15)

Учитывая (3.12)—(3.15), из (3.11) находим

[1, у2]* = —0.5 (аХ, Ух2 ] — (ту**, У*] — 0.5 (ах*У, У*) + 0.5 (6+а+1Уж, У)

2 Л ^ (3.16)

+0.5 (6-аУ*, У) — 0.5 [й, У2] — 0.5 Уо ^ вУП — 0.5 Уо ^ г р^УN + (р, У) + рУо.

5 = о 5 = о

Оценим суммы, входящие в (3.16):

[1,у2 ]* = (|[у]|2 )*, (3.17)

(ах, У*2 ] ^ М1(1,У*2]= М1^У*]|2, (3.18)

(ту**, У*] = (1,7(у*)*] = (1, (ту*)*] — (1,7*у2], (3.19)

— (ах*У, У*) + (6+а+1У,У*) + (6-аУ,У*) < М2||У*]| |[У]| < М3(||У*]|2 + |[У]|2), (3.20)

— [^,У2] < С2[1,У2]= С21 [У] |2, (3.21)

+ (3-22)

Справедлива следующая

Лемма [15]. Для любой функции у(ж), заданной на сетке Шь, справедливо неравенство

шаху2(х) < е\\ух}\2 + ( - + у х&шь, \£ I

где £ — произвольная положительная постоянная, I — длина интервала, на котором введена сетка Шь-

С помощью этой леммы и неравенства Коши получаем оценку

N Е

—У0 Е А-УтЙ — У0^ ТРЕ^У^ + рУ0

5=0 5=0

2 Е

< ^ + М4(||ГЙ]|2 + |[Г]|2) + М5 Е (||ГЙ]|2 + |[Г]|2)т.

5 = 0

(3.23)

Учитывая оценки (3.17)-(3.23), из (3.16) находим:

(|[у]|2)* + (1, (ту2)*] + М1 ||Ух]|2 < С1 ||ух]|2 + Мв(|[У]|2 + ||Ух]|2

Е (3.24)

+ М5^ (|[У]|2 + ||Ух]|2)Т + М7(|[V]12 + .

5=0

Умножим обе части (3.24) на т и просуммируем по ] ' от 0 до ] :

|[уЕ+1]|2 + ||ух+1]|2 + Е ||УхЕ']|2т

Е '=0

Е 12т + Е I |[УЕ'] 12 + ||УЕ] 12 1

< М8 Е ||ух]|2т + М9( Е (|[УЕ']|2 + ||у£']|2)т (3.25)

Е'=0 Е'=0

+ ЕЕ (|[УЕ' ]|2 + "УЕ' ]|2 )тт) + Мю( Е (|[V]|2 + ^2)т + |[у0 ]|2 + ||уТ ]|2) .

Е'=0 5=0 ' ^ е '=0 '

Обозначая ^(tj) = Мю( '=0 [V]12 + т + |[у0]|2 + ||у0]|2), из (3.25) получим

|[уЕ+1]|2 + |уГ]|2т + Е ||УЕ']|2т < М8 Е ||ух]|2т , Е '=0 е Е '=0 (3.26)

+М9 ( Е (|[УЕ']|2 + |УЕ']|2)т + Е Е (|[УЕ']|2 + ||УЕ']|2)тт) + ^(Е).

^ Е'=0 е '=0 5=0 '

Третье слагаемое в правой части (3.26) преобразуем следующим образом

Е Е (|[УЕ']|2 + ||УЕ']|2)тт < Т Е (|[УЕ']|2 + ||уе']|2)т. (3.27)

Е '=0 5=0 е '=0

В силу (3.27) из (3.26) находим

|[у3>1]|2 + 11у*+1]|2 + Е Г*"]|2т

3 '=о

3 3

< М^ ||у*]|2т + Мп£ (|[У3']|2 + ||У|']|2)т + ^(¿3).

з'=о 3'=о

Учитывая неравенство |[у3 '+1 + у3']|2 ^ 2 |[у3'+1]|2 + 2 |[у3']|2, преобразуем выражение М8 £3'=о 1Ш12т + М11 £3'=о (|[У3']|2 + ||У3']|2)т. Тогда

3 3

М8Ё ||у*]|2т + Ми£ (|[У3']|2 + |У3']|2)т 3'=о 3'=о

= Мц ¿(|[у3'+1 + у3']|2 + ||у|'+1 + у3']|2)т

3 '=о

+ М8 Е ||у3'+1]|2т < М12(|[у3+1]|2 + ||у5+1]|2)т 3 '=о

3

(3.29)

+ М1^ (|[у3']|2 + ||у3']|2)т + Мм(|[уо]|2 + ||у°]|2)т. 3 '=1

Подставляя (3.29) в (3.28), получим

|[у3+1]|2 + ||у5+1]|2 + Е |(у3'+1 + у3')з]|2т

3 '=о

< Ми(|[у3+1]|2 + ||уГ]|2)т + М15 Е (|[у3']|2 + ||у5']|2)т + £(3).

(3.30)

Выбирая т таким образом, что для всех т ^ то, го = 2м12, и обозначая через ^(¿з) = М1^ £3'=о (V']|2 + Р?'2 + р2'2)т + |[уо]|2 + ||уо]|2), из (3.30) получим

|[у3+1]|2 + ||у3+1]|2 < М17 Е (|[у3']|2 + ||у3']|2)т + М18^.). (3.31)

3'=1 4 у

Оценивая первое слагаемое в правой части (3.31) с помощью леммы 4 из [16, с. 171], из (3.28) с учетом (3.29), (3.30) получим априорную оценку

3

|[у3+1]|^1(о,0 + £ || (у3 '+1 + у3% ]12т

3 '=о

(3.32)

< М( £(>3' ]|2 + Р3'2) т + |[уо ]1т^21(о, , '

3 '=о

где М — положительная постоянная, не зависящая от Л и т.

Из полученной априорной оценки следует

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.5). Тогда при а = 0.5 существует такое то, что если т ^ т0, то для решения разностной задачи (3.9)-(3.10) справедлива априорная оценка

IIкм + Е И(у3'+1 + ')*]I2т < м( Е ( 1 1 1 2 + '2)т +1[У0] I^ (0,1)),

3 '=0 Ъ' '=о ^

где М — положительная постоянная, не зависящая от Н и т.

Таким образом, доказана устойчивость решения разностной задачи (3.9)-(3.10) по начальным данным и правой части в сеточной норме | [у3+1] | ^1(0г) на слое.

Пусть и(ж,4) — решение задачи (3.1)-(3.4), уЕ — решение разностной задачи (3.5)-(3.8). Обозначим через г = у — и погрешность. Подставляя у = г + и в (3.5)-(3.8) и считая и(ж, ¿) заданной функцией, получим задачу для г:

^ )х, + Ы**)_.. + б+а,;^ + б"«^

Ы = Хг(* + ,, + ^«г+^й + «¿¿Й — ^¿й + (3.33)

N Е н

а1Хо4Го + 71^,0 = ^Ал^й+^^.я!!« + 2 + сг°4'т)) - "1, (3-34)

5=0 5 = 0

- (+ Тлг^Й.ЛГ) = ^ (ч^ + ~ (3.35)

¿(ж, 0)=0, (3.36)

^ = 0(Н2 + т2), = 0(Н2 + т2), = 0(Н2 + т2) — погрешности аппроксимации на решении исходной задачи при каждом фиксированном в силу построения оператора Л при а = 0.5.

Применяя априорную оценку (3.32) к задаче для погрешности, при а = 0.5 получаем оценку

I [*з"+1] 12 +114+1 ] 12 + Е 11^ '+1 + ')*] 12т < М Е (I'] 12 + <'2 + ^2'2)т,

з '=0 з '=0

где М — положительная постоянная, не зависящая от Н и т.

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (3.33)-(3.36) при а = 0.5 со скоростью 0(Н2 + т2) на слое.

4. Априорная оценка решения задачи в многомерной области

В замкнутом цилиндре = О х [0, Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед О = {ж = (ж1;...,жр) : 0 ^ жа ^ 1а, а = 1, 2,...,р} с границей Г, О = О и Г рассматривается нелокальная краевая задача

ди

— = Ьи + /(х,Ь), (ж ,г)£<Эт, (4.1)

1а

Иа(ж,-£)=У в—а 0

г

+ У р—а Т)и(х1, . . . ,ха—1,1а> жа+1 , . . . , Т) ёт а (ж > жа — °

(4.2)

-а^? ' Vt^'1 ? • • • ? л-'а—1 ? ''а?

0

Па (ж, ¿) — 0, Ха = 1а, (4.3)

п(ж, 0) — и0(ж), ж е С, (4.4)

где ¿п — £а=1 ^а«,

¿а« = (ка (Ж,4)пж^ Ха + (Па(ж,4)пЖа^Ха + Га (ж, ¿)пЖа - ?а(ж,4)п,

дт — С х [0 < Т], 0 <С0 < Па (ж, ¿), ка (ж, ¿) < С1, (4.5) |Пга|ГаЫ, |в—а (ж, ¿)|, |р—а(¿, Т)| ^ С2,

Па(ж,£) — ка(ж,£)пХа + Па(ж,^)«Жаг — полный поток, 0 ^ т ^ ¿, С0, с1, с2 — положительные постоянные, а = 1 ,р.

Относительно коэффициентов задачи (4.1)—(4.4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения «(ж, ¿) в цилиндре дт.

Допуская существование решения дифференциальной задачи (4.1)-(4.4) в цилиндре дт, получим априорную оценку для ее решения, воспользовавшись методом энергетических неравенств.

В дальнейшем изложении будем пользоваться скалярным произведением и нормой

(п,у) — / пуёж, («,«) — Цп^2, Цп^2 ^У п2 ёж, «X — £

а=1

а а

I

2

п2

1а

<1||2 (0,1а) — I п2(ж,^)

Умножим уравнение (4.1) скалярно на п:

р \ / р

(4.6)

(Пг— ( £ (ММКа) Ха + ( £ ^а (ж,^)пХа^Ха ,п)

а=1 а=1

+ ( Е Га(ж,^)пЖа ,п) - ( Е 9а(ж,£)п,п| + (/(ж,4),п). Преобразуем интегралы, входящие в (4.6):

/1 ё

щийх = - — ||п||2, (4.7)

а

(Е(ка пХа )Ха — / Е(ка пХа ) ^ Н ^

а=1 а а=1

Р » Р »

— £ / каппха (о" ¿ж' / ка (п*а)2 ¿ж,

(4.8)

/ Р \ ( Р Р (

( £ (Па — / £ пёж — £ / пПа пХаг|0а

^а=1 ' а а=1 а=1а

1 р [ ё Р [

+ 2^ / Ча{иХа)2(1х - / ^(иХа)2йх.

а=1а а=1а

Далее для оценки слагаемых в правой части применим неравенство Коши с е

(4.9)

(4.10)

( (x,t)uxa,«] = / £ra(x,i)uxa«dx

^a=1 ' G a=1

P „ P „

iu^)2(Ix+|E/u2d:r>

a=1g a=1g

P \ f P P f

^qa(x,t)u, u) = — / ^qa(x,t)u2 dx ^ C2 ^ / u2 dx, (4.11)

a=1 g a=1 a=1g

(/(M),u) = J f(x,t)udx^^\\f\\20 + ^\\u\\l (4.12)

где

Ga = jx' = (X1,X2, ... ,xa-1,xa+1,... ,Xp) : 0 < xfc < ,

k = 1,2,..., a — 1, a + 1,... >, dx' = dx1 dx2 ... dx a—1dxa+1 . ..dxp. Подставляя (4.7)-(4.12) в (4.6), получаем неравенство

d d p f p f

¿¡\\u\\o + / / к»{и*а)2(1х

a=1g a=1g

p / г

^ 2^ u(k

)|„ dx' (4.13)

a=1 Ga

P f

+ 3 c^ / (uxj 2dx +(3pc2 + 1)||u||0 + II/110.

a=1 G

Первое слагаемое в правой части (4.13), пользуясь теоремой 6.5 [13], краевыми условиями (4.2), (4.3) и неравенством Коши с е, оценим так:

£ / n(kaUxa + naUxa^ ^dx'

a=1^-Y Ga

f p

/ (na(x,i)u(x,i)|xa =a — na(x,i)u(x,i)|xa =o) dx'

la

= — в—a (x,t)u(x,t) dxa

a=1G

+ У р—а )и(ж1, . . . > жа—1, 1а ? жа+1, . . . ? т) а (ж>

0

Г 1 р /■

0 а=1ео

Тогда из (4.13), с учетом (4.14), находим

а=1£ а=1£

(||и||§ + ||ихУ0) ^т + ^ J I—а ^ж' + ||/1|2.

0 а=1Са

Проинтегрировав (4.15) по т от 0 до получаем

||и||о + |Ы0 + ||и* ||2,д,

* * т

< М5 / (||и||§ + ||и*||0)^т + М6 II (||и||0 + ||их|0)^т 0 0 0

+М?(/ (|/1|0 + Е/I—а^ж^ ^ + ||и0 (ж)|2 + |и0 (ж)|^ . 0

Оценим второе слагаемое в правой части (4.16) следующим образом:

г т г

0 а=1с

На основании леммы Гронуолла из (4.18) получаем неравенство

г

/ (||и||0 + ||их|0) ¿т 0

М(^ I (||/1|2 + I—а^ж^ ^т + |и0(ж)|0 + ||и0(ж)|2^ .

(4.14)

(4.15)

(4.16)

/ / (||и||0 + ||их|0) ¿т1 ^т < Т У (||и||0 + ||и*||2) йт. (4.17)

0 0 0

С помощью (4.17) из (4.16) находим

г

||и||0 + ||и*||0 < М8| (||и||0 + ||их|0) ¿т 0

I (||/1|2 + I—а^') ^т + |и0(ж)|0 + ||и0(ж)|§^ .

(4.18)

(4.19)

Учитывая неравенство (4.17)-(4.19), из (4.16) получаем априорную оценку

г

MIW21 (g) + IKIllQt < M (i)(| (j|/У2 + ^У dT + ||ис(ж)У^21 (G)) , (4.20)

0 a=1Ga

где М — зависит только от входных данных задачи (4.1)-(4.4).

Из априорной оценки (4.20) следует единственность решения исходной задачи (4.1)-(4.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства ^21 (О).

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (4.1)-(4.4) применим метод конечных разностей. В замкнутом цилиндре введем равномерную сетку [14]:

Ш^т = ^ х Шт = ), ж € Шь, ■£ € Шт},

р

Шь = П Ш^а, Ш^а = {жО1 = ¿аНа, «а =0, 1, . . . N На = ¿а},

а=1

Шт = {¿3 = ¿т, =0,1,..., т, тт = Т}.

На сетке дифференциальной задаче (4.1)-(4.4) поставим в соответствие разностную схему, порядка аппроксимации О + т):

yt = Л^)у + ¿(i)y + (x,i) G , (5.1)

N j

-+а1а)Уха + Y-+1a)yxat = £ + ^ P-«,s,jyiNa)Г - Р-«, Ж« = 0, (5.2)

s=0 s=0

где

- (a+аУйа + 7+«Уйа^ =0, Ж« = /«, (5.3)

У (ж, 0) = по(ж), ж G Wh, (5.4)

Лф = Е Л«(i), ¿(i) = Е ¿«(i),

a=1 a=1

Л« (i)y(a) = (a« Ух J Xa + r+Уха + Г- Ух a - d«y, ¿a (i)y(a) = ^«Ух^)Ха ,

yi - yi-1 yi+1 - yi yj+1 - yj j j+1

Уха =-7-, Уха =-7—, ш =-. У = У> y = yJ ,

h« h« T

r« = r+ + r |r«| = r+ - r r+ = 0.5(r« + |r«|) ^ 0,

r - = 0.5 (r« - |r« |) < 0, ij = jT, ij + t = (j + 1)t, где t, h — шаги сетки, i« = 1,..., N«,

a« = k« (ж-0'5« ,ij), y« = n« (ж-0'5« ,ij), d« = q« (xi,i), = / (xi,ij),

x(ia) = i h Ж = fr(i1) X(i2) x(ia) x(iP)

Ж« — iaha, xi — ^ Ж1 ? Ж2 ? . . . , Ж« ? . . . , Жр

„-0.5«

Ж — Ж1 ? . . . , Ж «-1, Ж « 0.5 h« ? Ж«+1 ? . . . , Жр> Ж(0 — °

'ж1;ж2, .

(Na) = N h = /

y() — ( Ж1, Ж2, . . . , ж(^) , . . . , Жр, T J, y( ) — ( Ж1, Ж2, . . . , Ж( ), . . . , Жр, T

Для решения задачи (5.1)-(5.4) получим априорную оценку, воспользовавшись методом энергетических неравенств. В пространстве функций определим норму следующим образом:

(п, п) — ||п||2, (п, п] — ||'"112

(п,у]^(п,у]а, Гх]|2 — £ Н^]|2.

а=1 а=1

Умножим тогда разностное уравнение (5.1) скалярно на 2ту :

2т(у*, у) — 2т(Л(4)г/, у) + 2т(¿(¿)у, у) + 2т(р, у). (5.5)

Преобразуем суммы, входящие в (5.5), с учетом условий (5.2), (5.3) и формулы 2ууг —

(у2 )г + т (уг )2:

2т(уг, у) — (1, у2) - (1, у2) + т2(1, у2), (5.6)

р \ / р

(Л(*)у,у) + (¿(¿)у,у) — ^Ла(¿)у,у + ГТ ¿а(%, у

Р Р

— £ (Ла(¿)у, у) + £ (¿а©у, у) (5.7)

а=1 а=1

£ (((«ауйа )Ха ,у) + ((7ауйаг)Ха , у) + (^Ха , у) + (Г—уйа , у) - (ёау,у)) .

а=1

Применяя первую разностную формулу Грина в (5.7) и подставляя преобразованные таким образом выражения в (5.5), с учетом (5.6), получаем

(1, у2) - (1, у2) + т2(1, у2) + Т £ (1, (7ауХа)г ] а + Т2 £ (7а, (ухаг)2

а=1 а=1

р р р р

2^(аа,у2! - Т£(7га,у!*1 + 2т£(г+у!*+2^У"(г—уйа,у)

аа а=1 а=1 а=1 а=1

Р р N р

-2т £ (¿а, у2) - 2Т £ у^ в— а,^ + 2т Е Р—ауа

а=1 а=1 5=0 а=1

(5.8)

а(0)

а=1 5=0

2т £ уа0) Е Р—у(№'в+1т + 2т(^, у).

Оценим суммы, входящие в (5.8):

р р

£ («а, у!*] а ^ С1 Е (1, ] а — С1 (1, у! ] — С111 у X ] |2, (5.9)

^а J а -*- / ^ \ ' ^J а

а=1 а=1

Т2 Е (7а, (ух*г)^а > Т2С0||ухг]|2, (5.10)

а=1

Е (г+ух*,у) + Е (г—ух*, у) < 2С2||ух]| ||у| < С2(||у||2 + ||ух]|2), (5.11)

Р Р

' а У!а 1 У) 1 / у V'

а=1 а=1

£(^а,у2) < С^(1,у2) — С2|у|2, (5.12)

а=1 а=1

Р N -I Р

£ у^ £ Р-сюп < \ £ )2 + (£

^а / ^ /--\ 2

а=1 5=0 а=1

N

5=0

< М (Ы|2 + ||у||2), (5.13)

р р р

< ¿£ (У-« + (#)2) < ^(£|1Ы|2 + Ф)11?/||2 + £р2а), (5.14)

а=1 а=1 а=1

Р 3 1 Р / / 3 ч 2

£^0)£/' -'г<±£((Ер-а^-е^'^т) + т2

а=1 5=0 а=1 ^ 5=0

13 2

(5.15)

^ - (<АЫ\2 + Ф)1М|2) + М2 Е (£||2/1+1]|2 + с(е)||ув+1 ||2)т,

5=0

(^)^1М|2 + ^1М|2. (5-16)

Учитывая оценки (5.9)-(5.16), после несложных преобразований из (5.8) находим:

2 ну!2 + с0|ух]|2 - с0||ух]|2 + т 21 у г ] |2 + т 2с0 ||ух г]|2 + 2тс1 ||ух]|2

Р \ (5.17)

< М3( ||у |2 + ||Ух ]|2) Т + М4 Е (||у5+1||2 + ||у|+1]|2) Гт + М5( |М|2 + Е Р—а) Т.

5=0 ^ а=1 '

Просуммируем (5.17) по ] ' от 0 до ] :

||у3+1|2 + ||уГ]|2 + Е (|у3'+1]|2Т + ||у|^]|2Т + ||у!'+1 ]|2)т 3'=0

< Мб Е(|у3'+1||2 + ||у!'+1]|2)т + М7 Е Е (|у5+1|2 + ||у!+1]|2)гт (5.18)

3 '=0 3 '=0 5=0

+М8( Е(||^ ' ||2 + Е Р—а) Т + ||у°||2 + ||у°]|2) .

^3'=0 а=1 '

Оценим второе слагаемое в правой части (5.18)

Е Е (|у5+1|2 + ||у!+1]|2)гт < Т Е (||у3'+1||2 + ||у3'+1]|2)т. (5.19)

3 '=0 5=0 3 '=0

2

В силу (5.19) из (5.18) имеем

||у3+1||2 + ||уХ+1]!2 + Е (|у3'+1 ]|2т + ||у*;+1]|2т + ||уХ'+1]!2)т 3 '=0

< М9 Е(|у3'+1|2 + ||у*'+1]|2)т 3 '=0

+М8( '||2 + Е 32)т + ||у0||2 + ||уХ]|2)

3 '=0 =1

= М9(||у3'+1|2 + ||у*'+1]|2)т + М9 Е(||у3'||2 + ||у*']|2)т

3 '=1

+М10 ( Е (||^3' ||2 + Е 3)т + ||у0||2 + ||у0]|2) .

^3 '=0 а=1 '

(5.20)

3 '=0 а=1

Выбирая т таким образом, что для всех т ^ то, то = отт? из (5.20) получим

3

у3+1|2 + ||уХ+1]|2 < Ми£ (Ну3'||2 + ||уХ']|2)т

3 '=1

3 1 (5.21)

3 Р х N

3'II2 + Е 32т + ||у0Н2 + Ну*]'2

+ Ми( £ (||3||2 + £I—в2)т + ||у0||2 +

3'=0 а=1

Оценивая первое слагаемое в правой части (5.21) с помощью леммы Гронуолла для

сеточной функций [17], из (5.18) с учетом (5.19), (5.20) получим априорную оценку

3(

„3+11|2 II |у3+1] 12 + V" (||у3 '+1 ] 12 т + I ,у3 '+1] |2т + ||у3'+1]

+ ||уГ]|2 + Е (||у3'+1 ]|2т + ||у*;+1]|2т + ||уХ'+1]|^т

3 '=0

м( ' ||2 + Е I—'а2 )т + ||у0 |2 + ||у* ]|2) .

3'=0 а=1 '

Тогда справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4.5). Тогда существует такое т0, что если т < т0, для решения разностной задачи (5.1)-(5.4) справедлива априорная оценка

Ну^Н^) + Е (||у3'+1]|2т + |у^;+1]|2т + ||уХ'+1]|2)т

3 '=0

3 Р

< Е 'п2 + Е „з'^т + цу0п2

м( Е (н*3' ||2 + Е 32) т+||уХ21(С)), '2

3'=0 а=1

где М — положительная постоянная, не зависящая от | Н| и т.

Пусть и(ж, ¿) — решение задачи (4.1)-(4.4), у(жг, ¿3) = у3 — решение разностной задачи (5.1)-(5.4). Обозначим через ¿3 = у3 — и3 погрешность. Тогда, подставляя у = г + и

в (5.1)-(5.4), получим задачу для z:

zt — Л(t)z + 5(t)z + Ф, (x,t) G whT, (5.23)

N j

a-+ï1a)Zxa + Y-+1a)Zxat — £ в-а^-Й + £ р-а>в>5ZаNа)Т - V-а, Xtt — О, (5.24)

-=0 s=0

— a^Zx-a + 7+аZйa И — -v+а, Ха — 1а, (5.25)

¿(ж, 0) = 0, ж £ (5.26)

где Ф = О (|Л| + т), = О (|Л| + т), = О + т) — погрешности аппроксимации на решении задачи (4.1)-(4.4).

Применяя априорную оценку (5.24) к решению задачи (5.23)—(5.26), получим оценку

Izj+1||W (G) + ¿ (N '+1]|2 т + tó^V + ||z^,+1]|2)' j '=0

< M ¿(|ф ' ||2 + ¿(v-'а2 + v+'а2))т,

j '=0 а=1

где M — положительная постоянная, не зависящая от |h| и т.

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (5.23)-(5.26) со скоростью O(|h| + т) в сеточной норме W21(G).

Замечание. Полученные результаты имеют место и в случае, когда уравнение имеет вид:

Ut — (k(x, t)ux)x + (n(x, t)ux)xt + r(x, t)ux - q(x, t)u + f (x, t), О < x < l, О < t ^ T, если условия (1.5) дополнить условием n G C3'2(Qt).

Литература

1. Баренблат Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика.—1960.— Т. 25, вып. 5.—C. 852-864.

2. Дзекцер Е. С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР.—1975.—Т. 220, № 3.—C. 540-543.

3. Рубинштейн Л. И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Изв. АН СССР. Сер. геогр.—1948.—Т. 12, № 1.—C. 27-45.

4. Ting T., Cooling A. Process according to two temperature theory of heat conduction // J. Math. Anal. AppL—1974.—^ 45, № 9.—P. 23-31.

5. Hallaire M. L'eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique.—1964.— № 9.

6. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв.—M.: Наука, 1976.—352 с.

7. Colton D. L. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Dif. Eq.—1972.—Vol. 12.—P. 559565.

8. Ахиев С. С., Гусейнов О. М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка.—Баку: Азерб. ун-т, 1983.—9 с.

9. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.—С. 280-285.

10. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Диф. уравнения.—2004.—Т. 40, № 6.—С. 763-774.

11. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 4.—С. 689-699.

12. Чудновский А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве // Сб. тр. по агрофизике.—1969.—Вып. 23.—С. 41-54.

13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.—407 с.

14. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1983.—616 с.

15. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.—1968.—Т. 8, № 6.—С. 1218-1231.

16. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—416 с.

17. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.—1963.—Т. 3, № 2.—С. 266-298.

Статья поступила 14 мая 2012 г. бештоков мурат хамидбиевич

Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, доцент кафедры вычислительной математики РОССИЯ, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]

A PRIORI ESTIMATES OF THE SOLUTIONS OF NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A PSEUDO-PARABOLIC EQUATION

Beshtokov M. H.

In this paper we consider nonlocal boundary value problems for a third order pseudo-parabolic equation with variable coefficients in the one-dimensional and multidimensional cases. For nonlocal problems a priori estimates in differential and difference treatment are obtained. These estimates imply uniqueness, stability and convergence of the solution of the difference problem to the solution of the differential problem.

Key words: boundary value problem, nonlocal condition, a priori estimate, difference scheme, stability and convergence of difference schemes, hyperbolic equation of the third order, pseudo-parabolic equation.