Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 1, С. 3-12

УДК 519.633

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА

А. К. Баззаев

Посвящается девяностолетию со дня рождения Глеба Павловича Акилова

В данной статье рассматриваются локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности с незнакоопределенным оператором в эллиптической части. Получена априорная оценка для их решения. Доказаны устойчивость и сходимость решения разностной задачи.

Ключевые слова: локально-одномерная схема, третья краевая задача, уравнение теплопроводности, устойчивость и сходимость разностных схем.

1. Локально-одномерная разностная схема

В цилиндре <т = С х (0, Т], основанием которого является прямоугольный параллелепипед С = {ж = (х1, х2,..., хр) : 0 < ха < £а, а = 1, 2,... ,р} с границей Г, рассмотрим задачу:

ди

— = Ьи + /(х,1), (1)

| ка дха — Р—а. 0 и^Х] а (ж, , Ха — 0,

(2)

и(х, 0) = (ж), (3)

ка(х^) — /3+а(ж, ¿) и(х, ¿) (ж, ¿), Ха —

где

ьи = ^ьаи, ьаи = -^-(ка(-да(х,г)и,

а=1 а \ а/

ка(х,Ь), да(х,Ь), /(х,Ь), в±а(х,Ь) — заданные функции ж и Ь такие, что

0 < Со ^ ка (х,Ь) ^ С1, |в±а | ^ С2,

ка(х,г) е с3,1 (<т), яа(х,г),/(х,ь) е с2,1(<т), а = 1,2,...,р,

где <5т = С х [0,Т], С = С + Г, Ст,п — класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядков т и п по х и по Ь соответственно. Такие несколько завышенные условия гладкости потребуются при построении разностной схемы второго порядка аппроксимации.

© 2011 Баззаев А. К.

Задача (1)-(3) рассматривалась в работе [1] в случае, когда ^ д* > 0, в±а ^ 0, в-> 0, а = 1, 2,... ,р. А в работах [2] и [3] рассматривались локально-одномерные схемы (ЛОС) для нагруженного уравнения теплопроводности и для уравнения диффузии дробного порядка соответственно.

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Оха с шагом На = 1а/Ма, а = 1,2,...,р.

ш„ = < x

) = iaha : ia = 0, 1,...,Na} , Wh = jj Wa,

a=1

Wa

P

= {xiia) = iaha : ia = 1, . . . , N - l} , Wh = Д

Wa

a=1

ha =

h

ia = 1, 2,...,Na - 1,

ha/2, ia = 0, Na

ша — множество внутренних по отдельному направлению ха узлов, 7а — множество граничных по отдельному направлению ха узлов, ша — множество всех внутренних и граничных по отдельному направлению ха узлов, — множество всех внутренних узлов, — множество всех внутренних и граничных узлов (по всем направлениям вместе). На отрезке [0,Т] также введем равномерную сетку Шт = {¿^ = ^т, ] = 0,1,...,^о| с шагом т = Т/^'о. Каждый из отрезков [¿^ , ¿¿+1] разобьем на р частей, введя точки

tj+s. =tj + ^r, а = 1,2,... ,р — 1, и обозначим Aa = (t-. a-i. tj+s.

J р J Р \ г p J 1 p

Уравнение (1) перепишем в виде

а = 1,2,... ,p.

р 1 d p

T^aU = 0, ^aU=-^-LaU-fa, Tfa=f.

' p at '

a=1 a=1

Будем последовательно решать задачи [6]

1 dv(a)

^°<v(<x) = pQt ~ LaV(») ~ /« = t e Aa, a = 1,2,..

,P,

„ ~ka Qxa = ~ №+OLl X

— P—a v(a) ^—a, xa — 0,

(4)

(5)

a, aja ^a,

полагая при этом

V(1) (x, 0) = uo(x),

V(a) (ж, tj+o^i j = u(a_i) (ж, tj+o^ j, a = 2,3,...,p, (6)

v(i) (x,tj) = v(p) (x,tj).

Аппроксимируем каждое уравнение (4) номера а двухслойной неявной схемой на по-

тогда получим цепочку p одномерных разностных уравнений

луинтервале 11-. a-i, tj+°L \ р р

У р ~У р д j+s. j+f у--у--= Лay3+v +(fia р,

а = 1,2,... ,p,

(7)

ЛaУ = (aayxa )Ха - ^

где коэффициенты аа — сеточные функции, которые выбираются из условий второго порядка аппроксимации на равномерной сетке. Можно использовать следующую аппроксимацию коэффициентов ка (х,Ь) [6]:

аа = ка(х1, • • • ,ха-1,ха , ха+1,хр,5) , 5 = tj+1 /2.

К уравнению (7) надо присоединить граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (5):

а(1а)Ух+а,0 = /3"«У0+Р - »-<*, = О,

— а " Уха^Ча = в+аУNaV — Д+а> ха = .

Условия (8) имеют порядок аппроксимации 0(Иа). Повысим порядок аппроксимации до 0(Иа) на решениях уравнения (4) при каком-либо а [7]:

а(1а1%)1а,о = Р-^о - +

V1 \ — V0 N и

(а) (а) / // иа . ^ /т2\

а(1<"4«)*-. о = *<<%),„ + + 0(Н1);

к(а)у{а) = а^^о - 0.ЪК{к^у[а))' + 0{Ь1)

1+—

(ди \

+ 9*4°) - и) +0{ЬЦ

ЄР- „// _ д2^) I,/ _ дк(а> у) _ д2к(а>

(а) — &;а ' и(а) — ' Л — ' Л —

Итак,

°(1а)г,(а)®а>0 " 0Ма ( '"(а)! + ^И " ) = ^-"^(а)^ " + ^а) + (9)

Отбросив величины порядка малости 0(Иа) и 0(Иат) и заменив У(а) на у, перепишем (9)

в следующем виде:

а Уа;ао ~ 0.5/гау-о р =/3-ау0 р - ц-а -0.5Л,а/а>0, жа = О,

или

-Р-аУо+Р

У+()Р — Г, Г г. + Д—а> жа — О,

1,0 0.5Иа

Д—а = „ _ , Ь /а,0) Р—а = Р—а ~Ь 0.5На(1^ ^. 0.5Иа

Аналогично при ха = имеем

- Я--^ 1 р , /-» ^ 1 р

% лг„, —--^т--Д+1

0.5И

а

где = + /3+а = Р+а + 0.5ка(1^а\

Итак, получили разностный аналог задачи (4)-(6):

уг Р =М»)У р +(Рс

а = 1, 2, . . . ,р, Ха € Ша,

4-1-2. (1 а)у Р

Уг, о ~~

хУ0

0.5/го

+ /l—а, ха — 0,

у Р + Д, у Р 1 УИа,Ма +в+аУМа

0.5/га

+ /+а, ха — 1а,

У (х, 0) = ио(х)

или в краткой записи

4а)=Лаг/(а)+Фа+Р, « =1,2,

У(х, 0) = ио(х),

,р, х € Шь,

(10)

где

Л аУ(а)

У 7 =

, Ч о(«а )У(а) + Я,

— 0.5 /га ' -^а — -с-,

(а)

ЛаУ(а) = (йауХ^) ^ - ЛаУ(а), ха € Ша

ха = 0,

аауХ0! I Лау

Ха

, , „(1 а)У(а) —Я У(а)

Л-„(а) _ а Уха,О

~~ 0.5/га.

аа

Я--

&а Р

з+т

<£а , ха € Ша,

—а, ха — 0,

/'+а, ха ^а.

2. Погрешность аппроксимации ЛОС

Характеристикой точности решения ЛОС является разность г р = у р — и р,

-7 -I- — -7 -I- —

где и р — решение исходной дифференциальной задачи (1)-(3). Подставляя у р =

7 + — 7 + —

г р + и р в разностные уравнения (7), получим для погрешности уравнение

7 + — 7+"-1

-=Ааг3+р + фа р

где гра р = Ааи>+р + </7 Обозначая

р + м р —

р сЖ )

1ра = Ъаи + /„---1

о j+ — ° *

и замечая, что ^«=1 Ф« = если /« = /> представим фа = фа р =фа + гфа• Тогда

фа Р = Лаи'+Р Р

•+а Я" —

и р — и р

т

+ фа — Ф

и3+р -и3+ар1 1/5пу+2

т

р \ дй /

= Фа + ф,

где фа = (Ааи3+р - Ьаи]+^ ) + (ср^р - /,

и р _ / 2

а

Очевидно, что

и р —и р

Га = 0(Иа + Т), С = 0(1).

Р

Р

ф = Е фа = £ ^а = 0 (|Л|2 + т).

а=1 а=1

Запишем граничное условие при ха =0 следующим образом:

1(ди\3+2 р\с№ )

0.5Иа у}а) = а(1а )уХ'а)п — 5—аУ0 + 0.5Иа /а,0 + Д—а

з+- з+- з+-

' р - (1 ' р (1 I ° ' р

(11)

Пусть г р = у р — и р, где и — решение исходной задачи (1)-(3). Подставим

7 + — 7 + — 7 + —

у р = х р + и р в (11). Тогда получим

0.5 каг+ р =а^а)хХар - /3-аг0 р -0.5 р - (3-аи0

1а ^Ха,п

и I р

-0.5кайау0и0 р -0Мащ р +а{аа)иХар + 0.5Л,а/а,о + ¡л-а-

К правой части полученного выражения добавим и вычтем

о

0.5Иа ф—а = 0.5ИС

5 ( ди

к а

дх

дха

1 ди

- даи+ /а - - — р дЬ

Тогда

Ж

j+

ф_а = 0.5/га ( /а - щ' р ) + р - /3-аи0' р - 0.Ыга(1арио' р +

Ж

Ж

— 0.5Иа

д дха

ди

дха

1 ди

~даи + ¡а ~ 7Т7

р дЬ

о

а ф—а

= 0.5/га ( /а - ) + С1(аа)1/х'а,о - Р-аЩ ' р - 0.5ка(1а>оио' Р + ¡Л-с

+ 0.5Иа ф—

j+

— 0.5Иа

д

ка

ди

о I '"(Л о

дха \ дха ^ 1 р

— 0.5Иа /а — % р +0.5Иа9аи0 Р + 0(ИаТ) + 0.5Иа ф—

о

■'а ф—а

Я"-

р

— аа а иха,о Р—аи0 + Д—а 0.5И,

= ка

д ди к.

дх

дха

о

+ 0.5Иа Ф—а +0(ИаТ)

5n:'+г, „ 5 (ди \

—--Ь 0.5/га——( /га-

дха дха V дха

Я-— в—аи0 р + Д—а — 0.5И

д ди к,

а .. I " п .

дх^ дх

^ 1 р

о

+ 0.5Иа ф—а +0(иа) + 0(ИаТ) =

+ Р

3 + f

в—аи0 + Д—

ха=0

о

+ 0.5Иа ф—а +0(ИаТ) + 0^).

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в квадратных скобках, есть нуль.

о

Поэтому ф—а = 0.5Иа ф—а +ф—а, ф—а = 0(^1 + Т) + 0(ИаТ).

Итак,

0.5/га^ор =а£1а)4Го -Р-а^0+р + 0.5/1« ф_а +ф*

о» I

о» I

_ "а ^^жа,0 а^0 р

о

ьа ф—а "

а

0

а

к

а

а

к

а

а

Или

р =

Аналогично при ха = ¿а имеем

¿X? = А+г

з+-

р

а

ф—а = ф—а

Ф+а = Ф+с

Ф—с

0.5Лс

ф

*

+а

0.5Ла

(12)

(13)

3. Априорная оценка

А а , ,

Умножив уравнение (10) скалярно на у ? = у^а>, получим

(а) (а)

Уя ,У(а)

Лау(а),у(а)1 = [ф(а),У(а)

где

Ма

[и,^] = ^ иг>Я, Я = Д Па, [и,^]а = Е и*а«¿а Но Хба>^ а=1 ¿а=о

Преобразуем каждое слагаемое тождества (14):

(а) (а)

Уя ,У(а)

(а

2 ^ +-||^а)||2

Ла У(а) ,У(а^ =(ЛаУ(а) ,У(а^ +Л—Уоа)У(а) На + Л+У(а) У^ Н

J а \ /а а

= — «а,У;

а а

ха / а

2

а

а

а

((ааУХ£^Ха ,У(а))а — )У(а) ,У(а)) а + Л—У(а)Уоа)На + Л+ У(а)у(0)Но

(га) У(а), У(а) )а + а(Ма)Уха;Ма УЙ — а(1а)Уха,0 Уоа)

2

+ а(1а)У(а) У(а) — О У(а) У(а) — а(Ма)У(а) У(а) — О Л (а) +аа УХа,0 Уо Р—аУо Уо аа УХа,Ма УМа Р+а ^ УМа

2

Йа,У:

Ха

*)У(а) У(аМ —

'У^^У^'] — в—а( Уоа)) — в+а( Ум

(а)

—0.5На ^ Уоа) — 0.5На ^^И

= (Яа, а

ф(а), У(а)

га Ла Уо

¿(¿а)У(а) ,У(а)

^(а) ,У(а)

— в—а (У?) — в+а (УЙ

(а) , (а)

+ /—аУо + /+аУма.

Просуммировав (16) и (17) по всем is = га, 5 = 1, 2,... ,р, получаем

/ Ма \

ЛаУ(а) ,У(а^ = Е I ]ТЛаУ(а) У(а) На Я/На

¿а=» а V ¿а =о /

Е {(«а,У2Я а ] а + Ка )У(а) ,У(а^ а + в—Ч У(а)|^а =о)'

^ =г а

+в+а( У(а)|га =Ма Я/На,

ф(а) ,У(а) = ^

=г а

^(а) , У(а)

+ /—аУ(а) . + /+аУ(а) . )Я/На. (19)

а г а =о г а =Ма

/(а)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

О

—а ч

О

2

2

2

а.

Подставляя (15), (18) и (19) в тождество (14), получаем

<

¿2(0^/ i

+ т (ö>h) +C0

¿2(öh)

E (^-«У

=i а

(а)

*=0

+ /+аУ

(а)

> = Na/

я/йа

daУ(а) ,У(а)] " E (Va(y(a)L=0)2 +

s=i

(a)

Оценим слагаемые, стоящие в правой части (20):

^(a) ,y(a)

1

(а)

2 1

L2 (öh) 2

(а)

i а =Na

2

Я/Йа

(20)

(21)

Е ^-аУ

is =i а

(а)

i а =0

+ /+аУ

(а)

i а —N а

Я/йа

£ Е (^ф + ф + ^И- + (y(a)|r""r №

s=i

22

2

2

s=i

+ £

is =i а

у(а)

11 + Ьг + ~

L2(«) £

(а)

L2 (а)

Я/йа

Е tj) + 4а (tj))Я/Йа + £

s=i

(а)

11 , г- + -

L2(öh) £

(а)

2

¿2 (öh)'

(22)

¿аУ(а) ,У(а) (а)

< С2

(а)

¿2 (öh )

Е (/-«(У(а) а=0) + в+«(У(а)|. N ) )я/йа

¿s =i а

=М

t а —N а

< 2C2£

(а)

2 /11 + 2 с2 — + -

¿2(öh) £

(а)

¿2(öh)

где || • ||ь2(а) означает, что норма берется по переменной ха при фиксированных значениях остальных переменных,

(а)

¿2(öh)

е

is =i

(а)

¿2 (а)

Я/йа

(а)

Ма

¿2 (а)

У2 а Й®'

Подставляя неравенства (21) и (22) в (20), находим

2

(а)

¿2 (öh)

+ С0

i

У(а)

Уж а

21 ^ -

¿2(öh) 2

(а)

¿2(öh) 2 ^^

(а)

2

¿2(öh) 2

¿2(öh )

s =i а

2

2

а:

2

2

2

£

1

2

а:

2

2

а:

2

2

2

а:

а:

а:

Положим

£ = WТъу C3 = 12+C2+(i + -e]il + 2C2)-

Тогда неравенство (23) можно переписать в виде

yJ p

2

¿2 (Wh )

yp

+ — r

L2 (üih) 2

,(a)

¿2 (Wh)

<

(a)

2

¿2(w>h)

+ СзТ

,(a)

2 T-

¿2 (Wh) 2

=ia

Просуммируем (24) сначала по а = 1, 2, . . . , р:

I i+ll|2 ,£0 V-Il (a)

IIL2 (Wh) 2 ||Ужа

a=1

< ||У5 II

L2(Wh) "У "L2(Wh)

+ сзII У

(a)

a=1

¿2 (Wh)

(a)

a=1

2 T P

+ ö E E +

¿2 (Wh) 2

a=1 is=ia

а затем по j' от 0 до j:

+ 2

j'=0 a=1

2

¿2 (Wh)

< 11У

0I 2

3 P

l^2(wh)

+сзЕ TE F

j'=0 a=1 3 P

2 1 J P L2(ä>h) 2 f- ^ V

j'=0 a=1

2

¿2 (Wh)

(24)

(25)

+ 2 Е т Е Е +

j'=0 а=1 га=га

Из (25), пользуясь дискретным аналогом леммы Гронуолла (см. [4, с. 171]) при малых т ^ Т0, находим требуемую оценку

3P

p

¿2(Wh )

< M ||y'

0I 2

3P

1^2 (wh)

|y3+1|L2(Wh) + E TE ||y

j'=0 a=1

3 P

+ E T E E (Д—a(tj') + ))H/П,

3'=0 a=1 is=ia

где M зависит от размерности области.

+ Е т£ F

3'=0 a=1

p

2

¿2 (Wh)

(26)

4. Сходимость ЛОС

По аналогии с [5, с. 528] представим решение задачи для погрешности г р :

= Äa Z(a) + Ф

p

a j

где

Л a

^a j xa G Wa, Л_ j xa — 0j

Ф

^a, Xa G Wa,

xa — 0j

„ Л+j xa — ^aj ^ j xa — ■

о * о *

^a — ^a + ^a, ^a — O(1), ^a — O^ + T),

2

Lü

2

2

2

2

a

ф—а = Ф°

Г-а

0.5кг

Ф*

+а 0.5Л. '

Ф±а = О(й0) + О(ЛаТ )^Ф±а = 0,

а=1

в виде суммы г^ = г>(а) + г/(а), = г р , где г/(а) определяется условиями

У(а)-У(а-1)

= Фа, х € Шь + 7а, а = 1, 2,... ,р,

п(х, 0) = 0,

(27)

Фа =

ФО, ФО с

[Ф

О

+а,

ха € ШО

ха — ° ха ^а.

Функция «(а) определяется условиями

Из (27) следует, что = П(Р) = П3 + Л Ф1О + Ф2О +... + ФРО ) = П3 = ... = = 0

т

У (а) ~ У(а-1) т

У(а) ~ У(а-1) т

= Ла«(а) +Фа, Фа = ЛаП(а) + Ф*, ха € Ша,

Ф*

1а ^(а) 1 =■= —а; =■= —а ^а '/(а) J

- - Ф-*

= Л+«(а ) + Ф +а, Ф+а = Л+П(а) +

Ф

* +

0.5Лс

х =

а — -^-а ?

«(х, 0) = 0.

Решение задачи (28)-(31) оценим с помощью оценки (26)

з р

(28)

(29)

(30)

(31)

,,5+1П2

+ Е тЕ

у+а. 2 р

3 Р

1^2 (^) 1 А^/ ' А^/ 1ГХ а 5'=о а=1

з Р

(32)

<

^^^ ПФа|Щ^ + Е ^Е Е Ф—а (3 ) + Ф+а (3) Я/На К

аПЬ2 (а>Ь)

, 5'=о а=1 з'=о а=1 г7 =г а

где

__ *

Ф—а = Ф а +а(1 а) (^(а))Х 0 — в—аП(а ),о — ^П(а),о = О (^0 + т) ,

Ф

+

= Ф а —й(Ма) (П(а))х „ — в+аП(а ),Ма — )П(а),Ма = О 00 + т)

Так как п3 = 0, п(а) = О(т), ||,г31| ^ 1|, то из оценки (32) следует следующая

Теорема. Пусть задача (1)—(3) имеет единственное непрерывное в (у решение и(х, ¿) и существуют непрерывные в С}т производные , ^"дь' ^ ^ а> и ^ Р-

Тогда разностная схема (10) сходится со скоростью О(|Л|2 + т), так что

3+1 — из+1 П1 < М(|Л.|2 + т), |Л|2 = Н2 + Н2 +... + Нр,

где

Iу^ И1 — II IIь2{шн)+ ЕТЕ \Ух<*р

з'=о =1

О

2

Литература

1. Фрязинов И. В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—1964.—Т. 4.—С. 1106-1112.

2. Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—2009.—Т. 49.— С. 1223-1231.

3. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—2008.—Т. 48, № 10.—С. 1878-1887.

4. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—416 с.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 с.

6. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.—М.: Наука, 2001.—320 с.

7. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача.—М.: Едиториал УРСС, 2003.—784 с.

Статья поступила 5 июня 2009 г.

Баззаев Александр Казбекович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

ассистент кафедры прикладной математики РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

LOCAL ONE-DIMENSIONAL SCHEME FOR THE THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE HEAT EQUATION

Bazzaev A. K.

In this paper we study the third boundary value problem for the heat equation with variable coefficients. By the method of energy inequalities, we find a priori estimate for difference problem. Stability and convergence of local one-dimensional schemes for the considered equation are proved.

Key words: local one-dimensional scheme, the third boundary value problem, the heat equation, a priori estimate, stability, convergence.