CC BY
6ВЕКТОРНА АЛГЕБРА - ОСНОВА СУЧАСНО1 МАТЕМАТИЧНО1 ОСВ1ТИ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Л.Л.Креш, М.В.Працьовитий, доктор фiз.-мат.наук, професор, Нащональний педумверситет iм. М.П.Драгоманова,
м.Кшв, УКРА1НА
Обговорюються деяк проблеми вивчення векторног алгебри в кура аналШичног геометри студентами математичних спещальностей у nедагогiчному ушверситеть
Векторне числення (векторна алгебра i векторний аналiз) зародилось в 19 ст. i спочатку розвивалось тд впливом потреб мехашки. Шзтше воно знайшло рiзнома-нiтнi застосування в рiзних роздшах математики. Бiльше того, сьогодт iснують аксiоматики евклiдовоi геометри, одним з первинних понять яких е вектор. Це точково-векторна аксюматика евклщово! геометри Г.Вейля [4], А.Д.Александрова [1]. Поняття вектора е центральним в афiннiй геометри [6]. Вектори на протязi багатьох десятилiть вивчаються в шкшь-ному курсi математики. Векторний та координатно-векторний методи - потужт методи елементарно! математики. В зв'яз-ку з цим, грунтовш знання векторного числення - обов'язковий елемент надежно! професшно! пщготовки вчителя математики [6, 8, 9].
Векторна алгебра вивчае операци над векторами (лшшт операци - додавання векторiв i множення вектора на число, рiзнi добутки векторiв: скалярний, псевдо-скалярний, векторний, мiшаний, подвш-ний векторний тощо). Лише скалярний з вказаних добутюв векторiв вивчаеться в шюльному курсi математики. Векторна алгебра - традицшний роздал аналгтично! геометри, який е надiйним мгстком мiж:
1) елементарною математикою i вищою;
2) геометрiею i алгеброю; 3) синтетично-конструктивною геометрiею i геометрiею аналiтичною; 4) математикою i фiзикою.
Вiн створюе мщний фундамент для розбудови методу координат (введення афшних та барицентричних координат [23]). Традицшно в педагогiчному утвер-
ситет1 роздал «Елементи векторно! алгебри», який вивчае вшьт вектори, включае наступн1 теми: 1) Лшшт операцп над векторами; 2) Лшшна залежнють векторiв; 3) Векторний проспр, його базис i розмГр-тсть. Координати вектора; 4) Скалярний добуток векторiв; 5) Векторний добуток векто^в; 6) Млшаний добуток вектор1в; 7) Векторт п1дпростори; 8) Векторний метод розв'язання задач.
Вивчення цього роздалу мае бути тдпорядковане загальним щлям курсу з урахуванням фундаментальностi ще!' дисциплiни, мiжпредметних зв'язюв, практично! та професшно! спрямованостi. Вiдведеного навчальною програмою часу на вивчення роздалу замало для глибокого оволодання координатно-векторним методом розв'язання задач, для доведення до автоматизму багатьох дай та найпрослших алгоритмiв. В зв'язку з цим виникае проблема оптишзацл навчального процесу, п1двищення його продуктивносп та резуль-тативностi. Все це складае основу педаго-пчно!' проблеми - створення ефективно! методично! системи навчання векторно! алгебри в сучасних умовах п1дготовки вчителя математики в педагопчному утверси-тетт Ця проблема мае сво! складов! На деяких з них зупинимось.
Традицшно векторна алгебра е першим модулем аналгтично! геометрГ! i вивчаеться першокурсниками у вересш -жовтн1. А це перюд, коли вчорашнiй випускник школи ще не повнютю адаптувався до нових умов - умов лекцш-но-семшарсько! системи вузу, умов, в яких самостшнш робой вводиться значна
© КгезИ Ь., РгаееуШу М.
роль, а контроль за дшльшстю студента не е щоденним. Тому для ефективносп та результативносл навчання мають надзви-чайно велике значення мотивацшш основи, якТсне дидактичне забезпечення, даев1 орга-нТзацшнГ форми, вдалий контроль за само-стшною роботою 1 структурно продумана система по навчанню студента навчатися.
1. Проблема змгсту. Теоретичний матер1ал мае утворювати повну 1 замкнену систему, що грунтуеться на властивш саме аналГтичнш геометрГГ методологи. Вш мае бути по максимуму звшьнений вщ прийо-м1в та методов синтетичних та конструк-тивних. Домшуючим мае бути виключно метод координат. Тому питання вираз вщношень та операцш над векторами в координатнш форм1 мае розглядатися в кожнш з тем якомога ратше. АлгебраГчн властивосл операцш слщ обгрунтовувати уже з використанням Гх виразу в координатной форм! Зазначимо, що переважна бшьшТсть гснуючих навчальних пойбникТв не задовольняе цю вимогу. Наприклад, обгрунтування виразу векторного добутку в координатной форм1 практично в усГх посбниках використовуе невластив1 дедуктив-нш наущ прийоми 1 правила (правоГ руки, правого гвинта тощо), тода як це можна зробити математично строго з використан-ням алгебраГчних засобГв, вщношення однаковоГ ор1ентованост1 базисГв та самого означення векторного добутку.
2. Компромгс мгж науковгстю I дос-туптстю, який реалГзований в багатьох навчальних поабниках з аналгтично'Г геометрГГ, е незадовшьним для вивчення аналГтично'Г геометрГГ саме студентами математичних специальностей. Наприклад, часто при означенш скалярного добутку вектор1в пропускають слова "двох ненульових вектор1в", а це приводить до некоректносл, коли принаймн1 один з вектор1в нульовий, оскшьки поняття кута м1ж векторами в цьому випадку невизна-чене. Аналопчна ситуацш мае мгсце для векторного добутку вектор1в, в означенн якого пропускають слова "двох неколь неарних вектор1в", без яких поняття "права тршка вектор1в" стае беззмгстовним. Список некоректностей, як фкурують в багатьох поабниках можна було б довго продовжувати. Стропсть викладу теоре-
тичного матер1алу для математиюв мае бути принциповою вимогою. Тод як продуктивна самостшна робота студента без яюсного дидактичного забезпечення неможлива. Виклад теоретичного матер1а-лу мае бути бездоганно строгим 1 супро-воджуватись достатньою кщьюстю вдало шдобраних прикладов та розв'язками задач, як не лише допомагають краще зрозумГти сутшсть понять, змют фактГв, взаемозв'я-зок тверджень 1 теорш, а й виробити практичнГ навики, створювати математичнГ модел1, дослщжувати Гх 1 висновки тлума-чити в початкових термшах.
3. 1снують альтернативи викладу теоретичного матергалу. Можна вивчати спочатку вектори на площиш, а полм у тривим1рному просторГ Або ж спочатку у тривим1рному простор^ а полм в пГдпро-сторах: двовимГрному 1 одновим1рному. Якому з тдходов вщдати перевагу? З першим шляхом ознайомляться в шкшь-ному курс математики, коли вивчають спочатку планГметрГю, а полм стереомет-рГю. Ми вщдаемо перевагу другому пГдхо-ду, осюльки вш вщкривае нову, ранТше не вщому, дорогу з тривимрного простору в двовимГрний 1 одиовишрний, а також дозволяе зекономити час, бо формули для двовишрного простору е наслщками формул для простору тривимрного.
1снують модел1, коли спочатку вивчаеться мГшаний добуток, а полм векторний (наприклад, [2]). Такий пГдхГц може дати часову економГю, але 1 деякТ втрати. Векторний добуток як 1 скалярний е операщею бшарною, вивчення цих тем здайснюеться за единою схемою, специ-ф1чшсть кожноГ з операщею тзнаеться в пор1вняннГ. Тому доцшьним е послщовне вивчення спочатку скалярного, а потам векторного добутюв. МГшаний добуток е специф1чною, тернарною, не алгебраГчною операщею, тгсно пов'язаною з поняття компланарност вектор1в 1 об'емами многогранник.
4. Посттний акцент на мгжпред-метн1 зв 'язки. Оскшьки чимало фГзичних величин мають векторну природу 1 практично вс1м операщям над векторами можна дати фГзичну штерпретащю, то питання фГзичного тлумачення дай над векторами е обов'язковою складовою
кожно! з тем даного модуля. Це дозволяе робити акценти на природносп операцп, вказувати на застосування 1 тдкреслювати взаемозв'язок ф1зики та математики. При цьому слщ пам'ятати, що висл1в "прийнято вважати, що ф1зичним змгстом скалярного добутку е робота по перемщенню мате-р1ально! точки щд даею певно! сили" е бшьш вдалим, н1ж висл1в "ф1зичним змгстом скалярного добутку е робота ...". Також вдатшим е висл1в "прийнято вважати, що ф1зичним змгстом векторного добутку е момент сили ...", тж виств "ф1зичним змгстом векторного добутку е момент сили ".
5. 1снують iншi шляхи поглиблювати ткний зв'язок фiзuки i математики в навчальному процеЫ. Наприклад, розвивати гармотю ф1зичного 1 аналгтичного мислен-ня допомагае оволодння майбутн1ми вчителями ф1зики та математики ктема-тичним методом розв 'язання задач, початки якого лежать уже у векторному числент та векторнш алгебр! Грат цього геометрично-ф1зичного методу можна тзт-ше формувати у курй математичного аналiзу.
6. Ткний взаемозв'язок лшйног алгебри i аналтичног геометрп мае бути наскрвною iдеею роздшу. Його слщ тдкреслювати не лише при виклад теоретичного матер1алу (геометричного тлумачення теорп матриць та !х визначниюв, використання методов розв'язання систем лшшних р1внянь тощо), а й при розв'язант алгебра!чних задач засобами векторного числення та векторно! алгебри. Наведемо клька приклад1в.
Задача 1. Розв'язати систему р1внянь Гх + 2 у2 + 2 74 = 8,
[у/х + у + г2 = х2 + у2 + 2 72 + 2 уг - 8х + 2 7 + 21.
Розв язання. Розглянемо
a
= ((; yV2; z 2V2) задаш
СВ01МИ
вектори
b = fr—■—
координатами в ортонормованому базис1 Тодi | a |= 2V2, | b |=V2, a ■ b =y[x + y + z2. Оскшьки a ■ b <| a | ■ | b |, то система мае розв'язок, коли Vx + y + z2 < 4, а отже, x2 + y2 + 2 z2 + 2 yz - 8 x + 2 z + 21 < 4
Остання нер1вн1сть р1вносильна нер1вносл (x - 4)2 + (y + z)2 + (z +1)2 < 0, яка мае единий розв'язок x = 4, z = -1, y = 1. Перев1ркою пересвщ-чуемось, що ц числа утворюють розв'язок.
Вгдповгдь: x = 4, y = 1, z = -1.
Задача 2. Використовуючи вектори, довести, що
2п 4п 1
cos--+ cos— = —
5 5 2
(1)
Розв'язання. Розглянемо правильний п'ятикутник A1A2 A3 A4A5, вписаний в одиничне коло з центром O. Нехай
i = OA1 . Оскшьки
^ ^ ^ ^ ^ ^
OA1 + OA2+OA3 + OA4 + OA5 = 0 . За властивгстю проекцш
^ ^ r
idT(OA1+... + OA5) = idT0 i id T OA1+... + id, OA5 = 0,
cos
OA1, i
+... + cos
OA5, i
= 0,
У V У
4п 6п 8п
— + cos— + cos—
5 5 5
2n
1 + cos--+ cos
5
, „ 2п „ 4п л 1 + 2cos— + 2cos— = 0. 55 Звiдки й отримуеться рiвнiсть (1). Задача 3. Вщомо, що a + b + c = 1.
Довести нерiвнiсть: a2 + b2 + c2 > 1.
Розв 'язання. Оскшьки a + b + c = 1, то (a + b + c)2 = 1 ^
^ a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 1. (2) Розглянемо вектори x = (a, b, c) i y = (b, c, a), задаш своши координатами в ортонормованому базист Оскшьки x ■ y <| x | ■ | y |, то
ac + bc + ac <\la2 + b2 + c2 л/b2 + c2 + a2 , тобто ab + bc + ac < a2 + b2 + c2. (3) Використовуючи (2) i (3), отримуемо a2 + b2 + c2 + 2(a2 + b2 + c2) > 1, тобто
a2 + b2 + c2 >-1, 3
що й вимагалось довести.
7. Шдкреслювати взаемозв 'язок век-торног алгебри з математичним анал1зом
(Н>
© Kresh L., Pracevitiy M.
можна ргзними шляхами, зокрема з допо-могою системи вдало пщбраних задач. Розглянемо приклади.
Задача 4. Знайти найбшьше значения функцп двох змшних
/ (х, у) = ху11 - у2 1 - х2 . Розв 'язання. Легко бачити, що областю визначення функци е квадрат,
[-1 < у < 1,
[-1 < х < 1.
Функция набуватиме найб1льшого значен-ня, коли у = 0, а х буде додашГм. Тому дослдимо на максимум функцию
<р(х) = /(х, 0) = х + 1 - х2 .Для цього розглянемо вектори а = (1; 1) 1
b = (x;Vl - x2 )
в ортонормованому базисi.
, задан! сво1ми координатами
Оскшьки \а\ = 42, b = l i ((x) = a ■ b <
< а
= V2,
то залишаеться знаити при
якому значент x рiвнiсть досягаеться. А це можливо тод! i тшьки тод!, коли вектори а i
r ■ • к x Vl — 2
b ствнапрямлеш, тобто — = ——
> 0, а
саме: x = = 2^. Отже,
л/2 2
max f (x, y)
= f Д;0) =V2.
8. Прагматична проекЦя курсу на шкгльний курс математики. 1деальна подготовка вчителя математики до розв'я-зання професшних задач включае вмшня обгрунтовувати вс1 факти шк1льного курсу математики рГзними методами, зокрема векторним. Тому при вивченш векторноГ алгебри викладач мае нагоду значну частину задачного матер1алу базувати на
фактах елементарноГ геометрГГ. Практично вс1 теореми шкшьного курсу геометри мають бути доведет студентами векторним методом. Наведемо приклад.
9. Ряд фактгв елементарног геометри межуе з шкгльним курсом математики. 1м теж слГд придшити належну увагу при вивченнГ аналГтично'Г геометрГГ. Прикладом таких могли б служити теореми Чеви 1 Менелая, найпрост1шим методом доведен-ня яких е векторний.
1. Александров АД. Основание геометрии -М: Наука, 1987. - 286 с.
2. Атанасян Л С., Базылев ВТ. Геометрия В 2-х частях. 4.1. - М: Просвещение, 1986. - 336 с.
3. Бтоусова В.П., Ыын 1.Г., Сергунова О.П., Котлова В.М. АналЬпична геометр\я - Кию: Вища
, 1973. - 328 .
4. Егоров ИЛ. Геометрия - М: Просвещение, 1979. - 256с.
5. Працьовитш1 М.В. До кот^тщ розвитку
математится освти // Сучасна математика I : , ,
.
математики НАН Украти в НПУ ш. М.П.Дра-. - .: - . . . , 2007. - С. 116-121.
6. . .
геометри (I семестр). - К: Ви-о НПУ 1м. М. П. Драгаманова, 2005. - 120с.
7. . .
алгебри Л.1-7. К: Вид^ю НПУ 1м. М.П.^аго-манова, 2008. -173 с.
8. . ., . ., . . . .
Математика (1. ОКХ бакалавра 2. ОПП бакалавра). - Мтстерство освти I науки Украти Кию. - 2002. - 74 с.
9. . ., . ., -
ренко Я.В., ТребенкоДЯ. та т. Державний екзамен з математики / методики навчання . - .: - . . , 2005. - 88 .
Резюме. Креш JUL, Працевитый Н.В. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - ОСНОВА СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ.
Обсуждаются некоторые проблемы изучения векторной алгебры в курсе аналитической геометрии студентами математических спегщачъностей педагогических университетов.
Summary. Kresh L., Pracevitiy N. VECTOR ALGEBRA AS THE BASE OF THE MODERN MATHEMATICAL EDUCATION THE MATH TEACHER. We discuss some problems of learning the vector algebra in the framework of the course "Analytic geometry" by mathematics students in pedagogical universities.
Надшшла до редакцй28.05.2009р.
®
