ОПЕРАЦІЙНА КОМПОНЕНТА ПРЕДМЕТНОЇ МОДЕЛІ СТУДЕНТА ТЕХНІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ З ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПЕРАЦ1ЙНА КОМПОНЕНТА ПРЕДМЕТНО1 МОДЕЛ1 СТУДЕНТА ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ З ВЕКТОРНО1 АЛГЕБРИ

О. Г. Евсеева, канд. фiз.-мат. наук, доцент, Н.А.Прокопенко, асистент,

Донецький нащональний техмчний умверситет,

м. Донецьк, УКРА1НА

Розглянута побудова операщйно'г предметног моделг студента техтчного ун1вер-ситету з векторног алгебри. Вона фактично е системою вмгнъ, якг мають бути сформован пгд час вивчення цъого роздглу курсу вищог математики. Видгленг двг групи пред-метних вмтъ - простг вмтня г складенг вмтня. Операцгйна компонента предметног моделг, що побудована, дозволяе визначити характер задач, якг мають бути розв 'язанг студентом для засвоення векторног алгебри.

Ключовi слова: дгялънгсний пгдхгд до навчання, предметна модель студента, система вмгнъ з векторног алгебри.

Постановка проблеми. На сучасному етат розвитку суспшьства все бшьше вщ-чутною стае нестача у квал1ф1кованих ш-женерних кадрах. Тому пщготовщ спеща-люпв техтчного профшю зараз придшя-еться значна увага з боку уряду, доячш освгти 1 науки. Одтею з вагомих складо-вих загально! професшно! п1дготовки ш-женер1в е !х математична п1дготовка. Ура-ховуючи вимоги сьогодення 1 перспективи розвитку вищо! освгти, навчання вищо! математики студентiв техн1чних спещаль-ностей мае вийти на новий яюсний р1вень 1 вир1шення ще! проблеми е нагальним.

Питанням математично! шдготовки студентiв техн1чних спещальностей вищих навчальних закладов (ВНЗ) присвячено чимало робгт провщних математиюв-мето-диств (В.В.Гнеденка, В.1.Клочка, Т.В.Кри-лово!, Л.Д.Кудрявцева, З.1.Слепкань, В.А.Треногша, Н.Г.Яруткша та ш.). Вони одностайш в тому, що забезпечення професшно! спрямованостi навчально! дояль-носп студентiв виступае одним 1з фактор1в ефективного навчання вищо! математики. Проте вир1шення ще! проблеми на сучасному етат розвитку суспшьства можливе тшьки на засадах дояльтсного тдходу до

навчання.

Проектування 1 оргатзащя навчання математики у вищих техтчних навчальних закладах на засадах дояльтсного тд-ходу вимагае розробки спещальних техно-логш навчання, що дозволяють проектува-ти навчальну дояльтсть, метою яко! е фор-мування способ1в дай майбутньо! професшно! дояльносл.

Методики навчання, що побудоват на засадах дояльтсно! теорп навчання, спи-раються на теорш поетапного формуван-ня розумових дай, розроблену П.Я.Гальпершим [3, с. 57]. 1снуе багато прикладов того, що методики навчання, побудоват вщповщно до ще! теорп, дозволяють досягнути результалв бшьш високо! якосп, в бшьш коротк термши, з менши-ми витратами зусиль 1 матер1ально-фшансових ресурс1в. Основу цих методик навчання складають опора на психолопч-ну законом1ртсть засвоення знань, зпдно з якою знання формуються в людськш го-лов1 не до, а в процес1 !х практичного за-стосування. Для навчання математики таки методики ратше не використовували-ся.

Спос1б дай реал1зовуеться в практичнш

дкльност! через ум!ння. Знания ж висту-пають як засоби, за допомогою яких фор-муються ум!ння. Перел!к вм!нь, як! мають бути сформован! в процес! иавчаиия, складае операц!йну предметиу модель студента.

У робой [4] детально описано побудо-ву операншно! предметно! модел! студента з роздшу л!н!йна алгебра дисциплши «Вища математика», що викладаеться студентам !нженерно-економ!чних специальностей. Основою для побудови системи вм!нь е посл!довний характер формування вм!нь ! умова наявност! ран!ше сформова-них ум!нь в структур! предметних вмшь.

Також показано, що операщйна компонента предметно! модел! студента уяв-ляе собою !ерарх!чну багатор!вневу систему вмшь, в як!й для кожного вмшня ви-значено спектр знань. Предметн! умiиия розподшен! на дв! групи - простi i складен!; показано, що предметы! вмшня можна поставити у в!дпов!дтсть висловлюван-ням семантичного конспекту; визначено поняття спектр знань, спектр ум!нь ! склад предметного вмшня. Показано, що спектр знань простого умшня може складатися з р!зно! к!лькост! семантичних факт!в, а спектр знань складеного вмiиия е сумою спектр!в знань ум!нь, як! складають це ум!ння.

Метою статтi е побудова операцшно'г компоненти предметног моделг студента техтчного утверситету з роздшу «Век-торна алгебра» дисциплти вища математика, що викладаеться студентам т-женерно-економгчних спецгальностей.

Виклад основного матерiалу. Засвоен-ня якого-небудь навчального предмету означае посл!довне засвоення вм!нь з деюль-кох 6лок!в, що складають систему вмшь. Ц! вмшня можуть бути розподiленi за рубриками: базов!, методолог!чт, загальн!, предметн!. Базов! вмшня мають самий за-гальний сенс ! визначаються людською природою студента. У свою чергу, вони визначають його когн!тивн! (п!знавальн!) здабносп. Методолог!чн! вмшня визначають п!дх!д до тзнання. Загальн! вмшня виконують орган!зац!йн!, забезпечуючи !

виконавч! функцп. Предметн! вм!ння та-кож в!дносяться до одного певного навчаль-ного предмета. Предметн! вм!ння визна-чаються, насамперед, характером предмета, що вивчаеться, хоча !снують предметн! вмшня, загальн! для р!зних предметов.

На основ! базових, методолог!чних ! загальних вм!нь будуеться система пред-метних вмшь, яка ! являе собою операц!й-ну предметну модель. З векторно! алгебри були видшен! так! вм!ння:

1. Для наданих геометричних вектор!в визначати:

- чи е об'ект вектором;

- чи е вектори кол!неарними;

- чи е вектори однаково спрямованими;

- чи е вектори протилежно спрямованими;

- чи е вектори перпендикулярними;

- чи е вектори р!вними;

- чи е вектор протилежним наданому;

- чи е вектор рад!ус-вектором точки;

- чи е вектор сумою двох вектор!в;

- чи е вектор р!зницею вектор!в;

- проекц!ю вектора на в!сь, або !нший вектор.

2. За наданими координатами вектора на площин!, чи у простор!:

- визначати модуль вектора;

- визначати напрямн! косинуси вектора;

- записувати розвинення вектора за декартовим базисом;

- знаходити добуток вектора на число;

- знаходити орт вектора;

- визначати, чи е вектор одиничним;

- визначати, чи е вектор нульовим.

3. Визначати координати вектора на площин!, чи у простор!:

- за наданими координатами начала ! к!нця вектора;

- за наданими напрямними косинусами та модулем;

- за наданим розвиненням вектора за декартовим базисом;

- за наданими координатами орта вектора та модулем.

4. За наданими координатами двох век-тор!в на площин!, чи у простор!:

- визначати, чи е вектори р!вними;

- знаходити суму та р!зницю вектор!в;

- визначати, чи е вектори колшеарними;

- знаходити скалярний добуток векторш;

- визначати, чи е вектори перпендикулярними;

- знаходити проекцдо одного вектора на шший;

- визначати косинус кута м1ж векторами;

- знаходити векторний добуток векторш;

- знаходити площу паралелограма, що побудовано на цих векторах;

- знаходити роботу сили з перемщен-ня матер1ально'1 точки вздовж вектора;

- знаходити момент сили, що прикла-дена до тша, вщносно деяко'1 точки.

5. За наданими координатами трьох ве-кторш у простор!

- знаходити мшаний добуток вектор1в;

- знаходити об'ем шрамщи i паралеле-тпеду, що побудован1 на цих векторах;

- визначати, чи е вектори компланар-ними;

- визначати, чи можуть три вектори утворювати базис у простору

- переходити до нового базису у простор!

Серед наведених вмшь е проста i скла-денi вмшня [3]. Розглянемо, наприклад, предметне вмiння з векторно'1 алгебри «визначати векторний добуток векторгв». Сформувати це вмшня фактично означае сформувати щлу низку вмшь:

- визначати, кут мгж векторами;

- визначати, модуль вектора, який е векторним добутком векторгв;

- визначати напрям вектора, який е векторним добутком векторгв;

- визначати визначник третього порядку;

Таким чином, умшня «визначати векторний добуток вектор1в» е складеним, i вс! перераховаш вище вмшня складають його спектр вмшь.

Умшня же «визначати координати вектора» теж е складеним вмшням, тому що його виконання хоч i передбачае виконан-ня одте1 предметно! до, але це дя з пев-ного перелжу вмшь. Щоб вмгти визначати координати вектора на площин!, чи у простор!, фактично необхщно вмгти викону-вати цю дю за р!зними даними:

- наданими координатами начала i кЫ-

ця вектора;

- наданими напрямними косинусами та модулем;

- наданим розвиненням вектора за де-картовим базисом;

- наданими координатами орта вектора та модулем.

Яке саме вм1ння з цього перелжу буде реал!зоване при знаходженн! координат вектора, залежить в!д умов задач!, але студент повинен волод!ти вс!ма ними для ви-конання предметно! д!! «визначати коор-динати вектора».

Для того, щоб скласти спектр знань предметного вм!ння, необх!дно вид!лити семантичну компоненту предметно! моде-л! студента. Вона е безпосередньо предме-тними знаннями, структурованими у ви-гляд! окремих висловлювань, що виража-ють одну зак!нчену думку, ! як! розташо-ван! в послщовносл !х вивчення. Ц ви-словлювання носять назву семантичних факпв. Зазвичай семантична модель пода-еться у вигляд! так званого семантичного конспекту. Семантичний конспект - це повний наб1р лаконiчио поданих думок предметно! область Виданий окремо, вш е дуже тонкою брошурою, тому що в н!й немае викладень, доведень ! пояснень. Проте, вона м!стить ус! положення курсу, що вивчаеться. Дидактичну суттсть семан-тичного конспекту передае його шша назва - опорний конспект, оскшьки вш мютить думки, на як! необхщно спиратися при вивченш предмету [1, 2].

Вс! висловлювання семантичного конспекту пронумерован!. Кожне висловлю-вання мае номер, що складаеться з двох частин, роздшених крапкою. Перша час-тина - це номер розд!лу, до якого нале-жить даний висловлювання, друга частина - його номер в даному роздш. Семантич-ний конспект з векторно! алгебри описаний у робот! [5].

Для вид!лення спектру знань предметного вм!ння необх!дно поставити йому у вщповщтсть певн! висловлювання семан-тичного конспекту. Причому кожному вм!нню може в!дпов!дати р!зна к!льк!сть семантичних факт!в.

(35)

Так, наприклад, просте вмшня «визна-чати, чи е об'ект вектором» вщповщае двом семантичним фактам:

1.1. Спрямованим вгдргзком називаетъ-ся вгдргзок, один кгнецъ якого - початкова, а гнший кгнецъ - кнцева точка.

1.2. Вектором називаетъся спрямова-ний вгдргзок.

А для вмшня «визначати суму векторгв за правилом трикутника» спектр знань складаеться з п яти семантичних факлв:

2.1. Сума двох векторгв - це вектор, який можна одержати за правилом три-кутника або за правилом паралелограма (1.2). _ _

2.2. Сума векторгв а и Ь у символгчнгй формгмаевигляд а+Ь (2.1).

2.3. Вектор, що е сумою векторгв а г Ь , знаходятъ за правилом трикутника, якщо вектор Ь свогм початком ствпадае з ктцем вектора а.

2.4. Сумою двох векторгв а г Ь, що знаходитъся за правилом трикутника, називаетъся такий третгй вектор, початок якого ствпадае з початком вектора а , а кгнецъ - з ктцем вектора Ь (2.1), (2.3),(1.4),(1.6). _

2.5. Знаходження суми векторгв а I Ь за правилом трикутника у геометри-чному виглядг:

Ь

а

Вмшня «визначати проекцт одного вектора на вгсъ тшого вектора» е скла-деним вмшням, спектр вмшь якого складаеться з двох простих вмшь:

1) визначати скалярний добуток ве-кторгв, якг заданг координатами;

2) визначати модулъ вектора, який заданий координатами;

Кожне з цих вмшь мае свш спектр знань.

Так вмшня 1) мае такий спектр знань:

6.3. Скалярним добутком двох век-

тор1в, якг заданг координатами, зветъ-ся число, яке доргвнюе сум1 попарних добуткгв вгдповгдних координат.

6.4. Скалярним добутком у тривимгр-ному просторг двох векторгв

а=(Ха,Уа,2а) * Ь=(Хг,Уг,2ь) зветъся число

а • Ь =Х- ХГ+ У- УГ + 2- 2Т .

а Ь а Ь а Ь

6.5. Скалярним добутком на площинг двох векторгв а=(х~,у~) г

Ь =(х^, у^) зветъся число

а • Ь=х- Х¥ + Уй У¥. А вмшня 2) мае такий спектр знань:

5.17. Модулем вектора, який задаетъ-ся координатами, називаетъся число ргвне кореню квадратному з суми квадратгв йо-го координат..

5.18. Модулъ вектора

а =(х-, у- ,2-) у символгчному виглядг

записуетъся

а

I 2 , 2

Л Х~ + у- + ^ .

\ а у а а

а у а а

Спектр знань складеного вмшня е сумою спектр1в знань вмшь, яю складають це вмшня. Таким чином, спектр знань предметного вмшня «визначати проекцт одного вектора на вгсъ гншого вектора» мае спектр знань, що складаеться з семан-тичних факлв 6.3; 6.4; 6.5; 1.6; 5.17;5. 18.

Операцшна компонента предметно! модел1 студента являе собою 1ерарх1чну багатор1вневу систему вмшь, в якш для кожного вмшня визначено склад 1 спектр знань вмшня. Спектр вмшь складеного предметного вмшня вказуеться у вигляда щдпунклв того пункту операцшно! компонента предметно! модел1, що описуе певне вмшня. Просл предмета! вмшня спектру вмшь не мають.

Спектр знань кожного предметного вмшня вказуеться в дужках наприкнщ кожного вмшня у вигляд! номер1в вислов-лювань семантичного конспекту, яю скла-дають спектр.

Наведемо фрагмент операцшно'! компонента предметно! модел1 студента з век-торно! алгебри:

5.1. Виконувати лгнгйнг операцгг з гео-

метричними векторами.

5.1.1. Визначати суму векторiв за правилом трикутника (2.1;2.2;2.3; 2.4;2.5).

5.1.2. Визначати суму векторiв за правилом паралелограма (2.1;2.2;2.6; 2.7;2.8).

5.1.3. Визначати рiзницю векторiв за правилом трикутника (2.9;2.10;2.11; 2.12; 2.13).

5.1.4. Визначати рiзницю векторiв за правилом паралелограма (2.9;2.10;2.14; 2.15;2.16).

5.1.5. Визначати добуток вектора на число (2.17;2.18).

5.1.6. Визначати лтйну комбшацт векторiв (2.19;2.20).

5.2. Виконувати лтшт операцп з векторами, якi задан координатами.

5.2.1. Визначати суму векторiв (5.1;5.2).

5.2.2. Визначати рiзницю векторiв (5.3;5.4).

5.2.3. Визначати добуток вектора на число (5.5;5.6).

Операцшна модель дае змогу побуду-вати систему задач, або тестових завдань, спрямованих на послщовне формування предметних вмшь. Наведемо приклад тестових завдань закритого типу, спрямованих на формування простих вмшъ «для наданих геометричних векторiв визначати: чи е об'ект вектором; чи е вектори колшеарними; чи е вектори однаково спрямованими; чи е вектори протилежно спрямованими»:

1. Який з об'екпв, наведених на рис. 1, е вектором?

Рис. 1

2. Як позначаеться вектор, зображений на рис. 2?

А В •-►

Рис. 2

А: АВ; Б: (АВ); В: AB ; Г: | AB |; Д: BA

3. Як позначаеться модуль вектора, зображеного на рис. 2?

А: АВ|; Б: (АВ); В: AB ; Г: | AB |; Д: BA

4. Як! з вектор!в, наведених на рис. 3, е колшеарними?

7/ / 7/ 7 Д: L

Рис. 3

5. Як! з вектор!в, наведених на рис. 3, е однаково спрямованими?

6. Як! з вектор!в, наведених на рис. 3, е протилежно спрямованими?

7. Як! з вектор!в, наведених на рис. 3, е р!вними?

Послщовний характер формування вмшь вимагае, щоб в систем! завдань було наведене окреме завдання, яке спрямоване на формування кожного простого вмшня.

Висновки. Таким чином, побудовано операцшну компоненту предметно! модел! студента з векторно! алгебри. Вона уявляе собою !ерарх!чну багатор!вневу систему вм!нь, в якш для кожного вмшня визначено спектр знань i спектр вмшь. Предметн! вмшня розподшеш на дв! гру-пи - прост! i складен!. Показано, що предметн! вмшня можна поставити у вщпо-вщтсть висловлюванням семантичного конспекту, спектр знань простого вмшня може складатися з р!зно! юлькосл семан-тичних факпв, а спектр знань складеного вмшня е сумою спектр!в знань вмшь, як! складають це вмшня.

Оскшьки вмшня формуються шляхом розв'язання задач, то операцшна предметна модель дае змогу визначити характер задач, як! треба розв'язати студенту, щоб засво!ти певний роздш дисциплши.

1. Атанов Г. О. Знания як засгб навчання. - К., Кондор, 2008.

2. Атано в Г. О. Теоргя дгячъшсного на-

. - ., , 2007.

© Yevseyeva O., Procopenko N.

3. Гальперин П.Я. Основные результаты исследования по проблеме «Формирование умственных действий и понятий». - М.: Педагогика, 1965.

4. . .

предметног моделг студента техтчного ушверситету з лттног алгебри / Дидактика математики: проблеми г дослгдження:/

мгжнар. зб. наук. pooim. - Bun. 31. - До-нецък: ТЕАН, 2009. - С. 28-34.

5. Прокопенко НА. Семантична компонента предметног моделг студента з векторног ачгебри /36. наук. npaifb. - №1. - Бердянск: БДПУ, 2010. - С.80-86.

Резюме. Евсеева Е.Г., Прокопенко Н.А. ОПЕРАЦИОННАЯ КОМПОНЕНТА ПРЕДМЕТНОЙ МОДЕЛИ СТУДЕНТА ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ. Рассмотрено построение операционной предметной модели студента технического университета по векторной алгебре. Она фактически является системой умений, которые должны быть сформированы при изучении этого раздела курса высшей математики. Выделены две группы предметных умений - простые умения и составные умения. Операционная компонента предметной модели, что построена, позволяет определить характер задач, которые должны быть решены студентом для усвоения векторной алгебры.

Ключевые слова: деятельностный подход к обучению, предметная модель студента, система умений по векторной алгебре.

Abstract. Yevseyeva O., Procopenko N. A VECTOR ALGEBRA OPERATING COMPONENT OF SUBJECT MODEL OF TECHNICAL UNIVERSITY STUDENT. The operating subject modeling of a technical university student in vector algebra is given in the article. In fact, it is a system of skills which are to be formulated in the course of this higher mathematics course. Two groups of subject skills are singled out, including simple and compound skills. Simple skills concern skills that require one subject act while implementing them. Compound skills being implemented include several subject acts. An operating subject model gives us the opportunity to determine the character of assignments that are to be solved by a student studying the vector algebra.

Key words: activity approach to teaching, student subject model, system of skills in vector algebra.

Стаття представлена професором О.1.Скафою.

Надшшла до редакци 14.04.2010р.