Вдавливание клинового пуансона в полуплоскость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

ВДАВЛИВАНИЕ КЛИНОВОГО ПУАНСОНА В ПОЛУПЛОСКОСТЬ

Г.В. Панфилов, В.Т. Нгуен, С.Н. Михальченко

Установлены геометрические и силовые параметры процесса вдавливания клинового пуансона в полуплоскость с образованием наплыва с вогнутой свободной круговой границей. Показано, что предложенная схема процесса энергетически более выгодна, чем известное решение Р. Хилла.

Ключевые слова: плоская деформация, аналитический метод линий скольжения, операционное исчисление, вдавливание клинового пуансона.

1. Вдавливание клинового пуансона с образованием наплыва,имеющего прямолинейную свободную границу

Задача о внедрении клина в полубесконечное жесткопластическое тело методом линий скольжения решена Хиллом [1] и соответствующие поле линий скольжения и годограф скоростей приведены соответственно на рис. 1 и 2. Угол d равен половине угла клинового инструмента. Особенностью этого решения является сохранение подобия, т.е. независимости формы пластической области и годографа скоростей от глубины H внедрения клина. С увеличением глубины внедрения пластическая область только увеличивается в масштабе, не изменяясь по форме. На рис. 1 длина прямолинейной свободной границы пластической области обозначена /1, а длина контактной границы клинового инструмента с деформируемым материалом - /^. Безразмерное контактное давление p определяется по зависимости

p = Р = 1 + w. (1)

2k w

Здесь w представляет собой угол центрированного веера, соединяющего

области 2 и 3 равномерного напряженного состояния (рис. 1). Величина

данного угла определяется из соотношения

~ с* f p w^

2d = w+ arc cos tg — - — J. (2)

На рис. 3 представлена графическая зависимость угла раствора веера w от угла d клинового инструмента [1], рассчитанная по уравнению (2). Безразмерная величина технологической силы, действующей на грани клинового инструмента при его внедрении и приходящейся на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (рис. 1), определяется по зависимости

— P -

P =-= 2• p• /k • sinw . (3)

2 • k

У ® у _^ч К -—Л. X

6 / 0) а УУ ф Шр' \сЛг ® у

о \р N

Рис.1. Поле линий скольжения с образованием наплыва с прямолинейной свободной пластической границей при внедрении гладкого клина

Рис. 2. Годограф скоростей при внедрении гладкого клина

со, град

Рис. 3. Зависимость угла раствора веера поля линий скольжения от половины угла гладкого клинового инструмента

18

Зависимость, полученная Р. Хиллом [1] и устанавливающая связь между ¡k и w

¡k ■ cosw-H = ¡к - (5-ю),

преобразуется в выражение, позволяющее определить длину контактной границы клинового инструмента с деформируемым материалом и равную ей длину свободной прямолинейной границы пластической области

¡k = ¡1 = 5 H (5 ю) . (4)

cos о-sin (о-w)

Горизонтальная проекция длины контактной границы AD

¡AD = ¡1' sin 5.

Горизонтальная проекция длины свободной границы AB ¡AB = ¡1' cos y = ¡1' cos (5-ю).

Тогда горизонтальная проекция поля линий скольжения N определится из зависимости

N = ¡1' [sin 5 + cos (5-ю)]. (5)

Приведем методику последовательности проведения расчета геометрических и силовых параметров процесса. Для удобства практических расчетов и сравнения полученных результатов с другими решениями полученные зависимости целесообразно представить в параметрах, отнесенных к глубине внедрения клина H , как масштабному фактору:

- известным и варьируемым в расчетах параметром является половина угла клинового инструмента 5 ;

- для заданного значения угла 5 по зависимости (2) определяется величина угла веера w;

- по зависимости (1) рассчитывается соответствующее значение безразмерного контактного давления;

- по зависимости (4), преобразованной для практических расчетов, определяется относительная длина линии контакта клинового инструмента с деформируемым материалом

-* ¡t -* 1 ¡* = £=¡* = 5 • (5 ); (6) H cos5-sin(5 -w)

- по зависимости (5), преобразованной для практических расчетов, определяется относительная горизонтальная проекция поля линий скольжения N

—* N sin5 + cos(5-w) , ч

N = —=-7-'z; (7)

H cos 5- sin (5-w)

- по зависимости (3), преобразованной для практических расчетов, определяется относительная безразмерная технологическая сила

19

=* P 2 • p • sinw

P =-=----т . (8)

2 • k • H cosd-sin (d-w)

2. Вдавливание клинового пуансона с образованием наплыва, имеющего вогнутую свободную круговую границу

Анализ экспериментальных результатов показывает, что для большинства материалов и сплавов наиболее точной является аппроксимация свободной границы вогнутой дугой окружности (рис. 4), приводящая к конструкции поля линий скольжения, обеспечивающей логичное непрерывное возрастание контактных давлений от точки от точки A к вершине клина D. Соответствующее распределение скоростей в пластической области (рис. 5) позволяет сделать вывод о независимости годографа от глубины внедрения H (рис. 4), что обеспечивает автомодельность предлагаемого решения. При этом материальные точки круговой свободной границы перемещаются относительно своего центра, расположенного на грани клина, с одинаковыми скоростямио^ (оа2) (рис. 5), и AB остается дугой окружности в течение всего процесса внедрения.

Наличие разрыва скорости вдоль жесткопластической границы BD приводит к появлению угла y между касательной к AB в точке B и свободной границей полуплоскости.

Рис. 4. Предлагаемая конструкция поля линий скольжения

Рис. 5. Годограф, согласованный с полем линий скольжения

20

2.1. Принятые допущения при построении предлагаемой конструкции поля линий скольжения

1. Для того, чтобы угол подхода свободной круговой границы материала к гладкому инструменту превышал к/2, необходимо, чтобы центр дуги аппроксимирующей окружности лежал внутри изображения клинового инструмента. Предельным является случай, при котором этот угол становится равным к/2, это вариант, когда центр окружности лежит непосредственно на грани этого клина.

2. При неизменной величине радиуса круговой свободной границы удаление его центра от грани клина внутрь к оси симметрии соответствует увеличению площади вытесняемого материала. Данное удаление завершается при соблюдении условия равенства площадей внедряемого клина и вытесняемого материала тогда, когда свободная граница наплыва сопрягается с прямолинейной свободной границей недеформируемой полуплоскости без излома (у=0).

3. Исходными варьируемыми параметрами являются: Щ - величина радиуса окружности, аппроксимирующей свободную границу наплыва; Хщ и Ущ - соответственно абсцисса и ордината положения центра этой окружности.

4. Предварительные расчеты значений среднего напряжения вдоль линий скольжения показывают, что в вершине В клинового инструмента наименьшему значению среднего напряжения соответствует наименьший угол поворота касательной вдоль граничной линии скольжения ВВ , разделяющей жесткую и пластическую области, при перемещении от точки на свободной границе В до точки В .

5. Аналогично, в верхней точке А контакта инструмента с пластической областью меньшее значение среднего напряжения соответствует меньшей величине угла веера вырожденной начальной характеристической задачи (на рис. 4 не показано). Следовательно, энергетически более выгодной является конструкция поля, в которой этот угол равен нулю, данный пластический участок отсутствует, и среднее напряжение в точке А соответствует значению на свободной границе о А = о а/ 2к = - 0,5.

6. Соблюдение п. 4 и 5 соответствует варианту формы и положения свободной границы, когда центр аппроксимирующей ее окружности лежит на продолжении грани клина АВ .

7. Очевидно соотношение между геометрическими углами схемы предлагаемой конструкции поля линий скольжения у = 8 - 2 • ю.

2.2. Определение радиусов кривизны линий скольжения

Определение радиусов кривизны граничных линий скольжения для

преодоления математических трудностей проведены с использованием интегрального преобразования Лапласа-Карсона (операционного исчисления), где операции интегрирования в плоскости изображений сводятся лишь к простым арифметическим действиям [2, 3].

21

Поскольку АВ - дуга окружности, то линии скольжения АС и ВС являются логарифмическими спиралями, радиусы кривизны которых оп-

ределяются экспонентами

ЪВС (Х,0) = ЯвСМ = -1/2 . ехрX

Я

(9)

если система криволинейных координат Михлина - Христиановича помещена в точку В и

Яас (0, л) = = -/2. ехр л,

Яг

(10)

если система криволинейных координат Михлина-Христиановича [4] помещена в точку А, где X и л - всегда положительные криволинейные (угловые) параметры.

Начальные условия для пластической области 2 в операторнй плоскости интегрального преобразования Лапласа - Карсона [5] запишутся в виде

Я? (X, 0) = --(2 ■ ехрX ^ -/2

Р -1

яЬ2 (0, л) = --/2 ■ ехр л ^ -/2 ■-. р q -1

(11)

(12)

Пластическая область 2 по комбинации знаков радиусов кривизны линий скольжения соответствует варианту 3 (рис. 5), для которого выражения для определения радиусов кривизны после подстановки начальных условий (11) и (12) принимают вид

Яа\ Р, ^ = -/2 —Р

= -Л ■

pq

р .+

pq -1

л

q

pq .+. q

ур -1 q -1

pq -1 р -1 pq -1 q -1

Яр2)( p, q) = -/2 ■-*

-Л ■

ф4 (X, л)+ф14 (л, X)

= -/2 ■

pq

+^

pq -1

л

p

/ л

pq + p

q -1 p -1

/

pq -1 q -1 pq -1 p -1

-/2 ■

ф4 (л, X)+Ф4 (X, л)

где ф4 (X, л), ф4 (л, X) и др. - специальные цилиндрические условные ф -функции [6].

Окончательно, с учетом установленных соотношений между условными ф - функциями, выражения для радиусов кривизны линий скольжения во 2-й пластической области принимают вид

22

Л2) (p, q) = --/2 • [ф4 (X,л) + Ф14 (л, X)] = ->/2 • ехр (X + л);

Я^ (p,q) = -/2 • [ф4 (л,X) + Ф14 (X, л)] = -/2 • ехр (л + X). Радиус кривизны граничной линии скольжения СВ

Ясв (X, ю) = -(2 • [ф4 (X, ю) + Ф14 (ю, X)] = ^72 • ехр (X + ю). (13)

2.3. Вывод условия несжимаемости вытесняемого материала

Для расчета площадей составляющих фигур составим схему расчета (рис. 6). Площадь треугольника ВЕР определяется по зависимости 1 2

вер Н • tg8. Определим длины некоторых отрезков:

АВ = 2 • Я0 • бШ ю;

АВ' = АВ • соб

к-5-

0

к-2 ю

2

= 2 • Яо • бШ ю^ БШ (8-ю);

ВВ' = АВ • бШ

К-(8-ю)

= 2 • Яо • бшю-соб(8-ю);

ВВ' = АВ '• tg8 = 2 • Я0 • бш ю^ tg8 • бш (8 - ю); £дАВВ = 1 • ВВ • АВ' = 2 • Яо • Б1п2 ю^ бш2 (8- ю) • \jctg(8-ю) + tg8] ;

сегм.АВ

= 1 • яо ^(2•ю-бш2•ю).

Рис. 6. Схема для расчета условия несжимаемости

Общая площадь вытесняемого материала

ю^ [^(8-ю) + tg8] -—• Я0 • (2 •ю-23

2 2 2 Г" и 1 2

X = 2• Я0 • бш ю^бш (8-ю)^[^(8-ю) + tg8] -—• Я0 ^(2•ю-бш2•ю)

Приравнивая площадь внедряемой части клина и общую площадь вытесняемого материала, получим условие постоянства объема вытесняемого материала (несжимаемости)

H2 • tgd = R0 '{4'sin2 wsin2(5- w)• [ctg(5-ю) + tgd]-2• w+ sin2• w}. (14)

2.4. Расчет геометрических параметров поля линий скольжения и силовых характеристик исследуемого процесса

Определим горизонтальную проекцию предлагаемой конструкции поля линий скольжения, для чего составим расчетные схемы установления составляющих горизонтальных проекций.

Суммарная горизонтальная проекция конструкции поля линий скольжения определяется выражением

N = — = Xbc + Xcd

Ro

w

/ \ w , . = V2 • JexpX-cos — — y — X • dX + V2 • Jexp(X + w)^cos —-y-w-X • dX

o ^4 o

(15)

4

Вычислим отдельно интегралы, входящие в зависимость (2.10), используя интегральное преобразование Лапласа - Карсона [2, 3, 5] и, в частности, теорему о свертке функций в операторной плоскости.

Рис. 7. Расчетная схема для граничной линии скольжения BC

Рис. 8. Расчетная схема для граничной линии скольжения CD

Для определения проекций граничных линий скольжения ВС и СВ на ось х (рис. 4, 7, 8) воспользуемся установленными стандартными соотношениями [7], сведенными в таблицу.

Общие зависимости для нахождения проекций граничных линий скольжения на ось х

Линия скольжения ВС Линия скольжения CD

dX = RbC (X,0)^ cos ф^ d j; w (J XВС = j RBC (X,0) • cos ^ -y-X) • dX = w = V2 • j exp X^ cos ^ -y-X) • d X. dX = Rcd (X, 0) • cos ф^ dф; — w_ ( J Xcd = j Rcd (X,0^ cos l —-y-w-XI • d X = 0 V 4 ) w = Л • j[j4(Xw) + j4(w,X) • cos(— -y-w-Xj• dX

Предварительно преобразуем подынтегральные функции к виду, позволяющему применить теорему о свертке [1, 2, 7]:

cos

--y-X V 4

= cos

тс , i

—y-w+w-X

v 4

cos

—-8+2w-w+w-X

v4

cos

—+ w-8 J + (w-X)

(16)

Для упрощения преобразований введем следующее обозначение:

—+w-8= A, 4

тогда правая часть выражения (16) может быть преобразована к виду cos [A + (w- X)] = cos A • cos (w-X) - sin A • sin (w-X).

cos V— -8J + (w-X)

cos

Введем обозначение

(— J (— ^

— y-w-XI = cos —8 + 2w-w-X

U ) V 4

(17) . (18)

—-8 = B 4

тогда правая часть выражения (18) может быть преобразована к виду

cos [В + (w-X)] = cos B • cos (w-X)-sin B • sin (w-X). (19)

Подставим выражение (17) в (15) и вычислим первый интеграл этого выражения

w (— J 1. jexp(X + w)• cos--y-w-X • dX =

w

w

= cos A • j exp X • cos (w - X)- d X - sin A • j exp X • sin (w - X) • d X

0

0

0

cos A •

1 Р

2

Р

Р Р -1 p2 + 1

- sin A •

1Р

Р

Р Р -1 p2 +1

Ü

ü — • cos A (sin w-cos w + exp w)-—sin A • (exp w-sin w-cos w) =

2

2

=1 (exp w- cos w)-(cos A - sin A) +1 • sin w(cos A + sin A) =

2

2

(20)

= • (exp w - cos w) • sin (8 - w) + • sin w- cos (8 - w).

Подставим выражение (19) в (15) и вычислим второй интеграл этого выражения:

w / Л

Г p \

2. I exp(X + w) • cos--y-w-X • dX = (21)

„ V 4 у

w

expw^ |expX^ [cosB• cos(w-X)-sinB • sin(w-X)] • dX:

w

w

= exp w^ cos B • | exp X • cos (w-X) • dX - exp w^ sin B • | exp X^ sin (w-X) • dX =

exp w^ cos B • — (sin w-cos w+ exp w)- exp w^ sin B •1 (exp w-sin w-cos w)

2

2

1 • exp w^ [sin (B + w) - cos (B + w)] +1 • exp2w (cos B - sin B)

2

• exp2w^ sin 8-^ • exp w^ sin (8-w).

Для определения горизонтальной проекции предлагаемой конструкции поля линий скольжения подставим выражения (20) и (21) в зависимость (15):

N = — = Xbd = (exp w - cos w) • sin (8 - w) + sin w • cos (8 - w) -

R0 (22)

- exp w • sin (8 - w) + exp 2w • sin 8 = exp 2w • sin 8 + sin (2 w - 8).

Окончательно

N = — = exp2w^ sin 8 + sin (2w-8). R0

(23)

По аналогичному алгоритму определяются все прочие геометрические и силовые параметры.

Глубина внедрения клина

H = — = exp2w^ cos 8-cos (2w-8).

Ra

Длина линии контакта

0

0

0

lk = — = exp2w-1. (25)

Ro

Вертикальная составляющая безразмерной относительной технологической силы

= Py

Py =--— = 2 w-exp2w-sin5. (26)

y 2-k-R0

Для формирования алгоритма расчета геометрических параметров предлагаемой конструкции поля линий скольжения и соответствующих проверок установлен ряд промежуточных геометрических соотношений.

1. Ранее было получено условие постоянства вытесняемого материала (14).

2. Условие соответствия N - горизонтальной проекции длины граничной линии скольжения BD сумме горизонтальных проекций длины контактной границы X¡ и свободной границы Xab

sin 5 - sin (5 - 2 w) +

cos (5- 2w)- cos 5+ H

• tg5 =

(27)

Ro

= exp 2w • sin 5 + sin (2w - 5).

3. Условие соответствия глубины внедрения клина вертикальной проекции длины линии скольжения BD

H = Ro • [exp2w-cos w- cos(2 -w-5)]. (28)

2 / 2

Разрешим зависимости (14) и (28) относительно отношения H / Ro и приравняем их правые части:

2

[exp2w-cos ю-cos (2-w-5)] • tg5 =

(29)

= 4• sin2w- sin2 (5-w)-[ctg(5-w) + tg5]-2 w+sin2w.

Решение этого трансцендентного уравнения позволяет определить значение угла w. Уравнение (28) можно разрешить относительно радиуса Ro:

Ro =—к-О H (о-*. (30)

cos о • exp 2w - cos (2 w - о)

Полученные аналитические зависимости для определения геометрических и силовых параметров исследуемого процесса (23), (25), (26), (3o) представлены в канонической, наиболее простой форме записи, позволяющей более легко оценивать характер взаимосвязей между ними. Для удобства практических расчетов и сравнения полученных результатов с другими известными решениями данные зависимости целесообразно представить в параметрах, отнесенных к глубине внедрения клина H ,

1. Горизонтальная проекция предлагаемой конструкции поля линий скольжения

—* N exp2w-sin 5 + sin (2-w-5) H exp2w-cos5-cos(2 -w-5)

2. Радиус круговой свободной границы

R0 = ^> =-1 -(32)

H exp2w-cos 5-cos (2w-5)

3. Длина линии контакта грани клинового инструмента с пластической областью

= k=-exp^zi-. (33)

H exp2w- cos 5- cos (2w-5)

4. Вертикальная относительная технологическая сила

=* Py 2 -w-exp2w-sin 5

Py =--=-1-г . (34)

2 -k -H exp2w-cos5-cos(2w-5)

5. Осредненное безразмерное контактное давление на грани клина

Р = — = . (35)

1 Ir -*

2 - k Ik - sin 5

Построены сравнительные графические зависимости геометрических и силовых параметров процесса вдавливания гладкого плоского клина с аналогичным решением Р. Хилла.

На рис. 9 приведена графическая зависимость, иллюстрирующая нелинейное уменьшение относительного радиуса круговой свободной границы при увеличении угла клинового инструмента.

Рис. 9. Зависимость относительного радиуса круговой свободной границы от угла клинового инструмента

28

На сравнительной графической зависимости рис. 10 представлен очевидный в соответствии со схемой операции рост относительной горизонтальной проекции поля линий скольжения при увеличении угла клинового инструмента.

N

/

9

^ \

0 10 20 30 40 50 60

Рис. 10. Зависимость относительной горизонтальной проекции поля

линий скольжения от угла клинового инструмента: 1 - по известному решению Р. Хилла; 2 - по предлагаемой конструкции

поля линий скольжения

Сравнительный анализ по значениям данного параметра с решением Р. Хилла показывает, что при одних и тех же величинах угла клинового инструмента относительная горизонтальная проекция предлагаемой конструкции поля линий скольжения существенно меньше, что уже показывает предпосылки к тому, что данная предлагаемая конструкция может быть энергетически более выгодной.

На рис. 11 представлена аналогичная зависимость относительной длины линии контакта инструмента с пластической областью от одностороннего угла клинового инструмента, показывающая, что с увеличением указанного угла клинового инструмента длина линии контакта нелинейно возрастает, что очевидно. За исключением весьма малых углов клинового инструмента (до 120) у предлагаемой конструкции длина линии контакта меньше.

На рис. 12 представлены сравнительные графические зависимости осредненного контактного давления на инструмент от угла клинового инструмента, уже непосредственно показывающие, что предлагаемая конструкция поля линий скольжения энергетически более выгодная.

Зависимость интегральной (а не осредненной) безразмерной силы, приложенной к единице длины клина и необходимой для реализации процесса вдавливания, от угла клинового инструмента представлена на рис. 13.

3 2.5 2

1.5 1

0.5 О

Н

* 7

\ N. А

•— с

д, град

ю

20

30 40

50 60

Рис. 11. Зависимость относительной длины линии контакта от угла клинового инструмента: 1 - по известному решению Р. Хилла; 2 - по предлагаемой конструкции поля линий скольжения

Рис. 12. Зависимость осредненного контактного давления на инструмент от угла клинового инструмента: 1 - по известному решению Р. Хилла; 2 - по предлагаемой конструкции поля линий скольжения; 3 - полученная экспериментально

30

' у

2кН 9

7.5

6.0 4.5 3.0 1.5

О

1 \ / у

/

3

10 20

30

40

50 60

д,град

Рис. 13. Зависимость интегральной безразмерной относительной силы от угла клинового инструмента: 1 - по известному решению Р. Хилла; 2 - по предлагаемой конструкции поля линий скольжения; 3 - полученная экспериментально

Очевидно, что при одной и той же глубине вдавливания инструмент, имеющий больший угол конусности, а следовательно, большую контактную границу и больший смещаемый объем вытесняемого материала, требует приложения большей технологической силы. Как следует из сравнения данных графических зависимостей, при вдавливании клинового инструмента в полуплоскость предлагаемая конструкция поля линий скольжения с круговой свободной границей образующегося наплыва требует приложения меньшей технологической силы и в соответствии с экстремальными принципами жесткопластического тела наиболее точно описывает исследуемый процесс.

Список литературы

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности / пер. с англ. М.: ГИТТЛ, 1956. 408 с.

2. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 328 с.

3. Панфилов Г. В., Недошивин С.В., Хвостов Е.Ю. Применение интегрального преобразования Лапласа-Карсона для решения краевых задач математической физики // Изв. Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2011. Вып. 1. С. 51-60.

31

4. Христианович С. А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Математический сборник. 1936. № 4. Т. 1. С. 511.

5. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.

6. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Судаков П.В. Разложение специальных цилиндрических функций по степеням переменных аргументов при интегральном преобразовании Лапласа-Карсона// Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 1.С. 130— 140.

Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проффесор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Нгуен Ван Тинь, аспирант^тщиуепуап1003@ятаИ.сот, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Михальченко Сергей Николаевич, магистрант, Gol tsu a mail.ru,Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE INDENTATION OF A MAPLE PUNCH TO THE HALF-PLANE G.V. Panfilov, V.T. Nguyen, S.N. Mikhalchenko

The geometric and force parameters of the process ofpressing the wedge punch into the half-plane with the formation of an influx with a concave free circular boundary are established. It is shown that the proposed scheme of the process is energetically more advantageous than the known solution of R hill.

Key words: plane deformation, analytical method of slip lines, operational calculus, pinch V-punch.

Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Nguyen Van Tinh, postgraduаte, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Mikhalchenko Sergey Nikolaevich, magistrant, Gol_tsu@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University