CC BY
51
Mitin Oleg Nikolaevich, candidate of technical sciences, doctoral, [email protected], Russia, Tula, OPC "SPA "SPLAV",
Nguyen Quoc Huy, postgraduate, mpf-tula @rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539. 374
ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ПОЛЕЙ, ПРИМЫКАЮЩИХ К ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ СВОБОДНЫМ ГРАНИЦАМ, В ЗАДАЧАХ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
Г.В. Панфилов, С.В. Недошивин
Установлены правила построения полей линий скольжения, примыкающих к прямолинейной свободной границе и состоящих из двух ортогональных семейств логарифмических спиралей, при осесимметричном пластическом течении.
Ключевые слова: осесимметричная деформация, аналитический метод линий скольжения, операционное исчисление.
В работе [1] обоснована правомерность совместного решения условия «полной пластичности» с системой дифференциальных уравнений равновесия при анализе напряженно-деформированного состояния в технологических задачах обработки металлов давлением. Получаемая в результате система двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно среднего напряжения и характеристического угла относится к гиперболическому типу и методом характеристик может быть сведена к двум системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Одна из них, как и в случае плоского пластического течения, представляется уравнениями линий скольжения (характеристик), а другая - соотношениями для среднего напряжения вдоль этих линий скольжения. Таких систем достаточно для численных расчетов, позволяющих построить поля линий скольжения, схематизирующие пластические области, и найти распределение в них напряжений при осесимметричном течении деформируемого материала. При этом использование для расчетов рекуррентных соотношений и наличие итерационных процессов последовательных приближений, необходимых для соблюдения определенных геометрических зависимостей в исследуемых технологических
операциях, способствуют накоплению погрешностей счета.
Для удобства практического использования в работе [2] в качестве примера конкретизирована форма записи условия «полной пластичности» на свободной границе некоторых простейших технологических процессов в основных режимах А и В пластического течения.
1. Соотношения для определения нормальных средних напряжений вдоль линий скольжения. В работе [3] получены результирующие интегральные соотношения, позволяющие в осесимметричных задачах анализировать изменения средних напряжений при интегрировании вдоль граничных линий скольжения как в зависимости от изменения характеристического угла, так и от изменения радиальной координаты.
Для удобства практического использования эти зависимости целесообразно представить раздельно для режимов А и В осесимметричного пластического течения:
- режим А ( уг < 0 - радиальная составляющая скорости материальных частиц направлена к оси симметрии):
Ф
Го + I ^(ф)-^Ф-ф
о = о0 - 2 - к - (фо - ф) + к■
Фо
Ф
-1
го + | Яа(ф)-С08 Ф-Ф
Фо
вдоль а- линий; (1)
о = о0 + 2 - к - (фо - ф) + к -
Ф
\
Го - I ЯрЫ-соэФ-dф
Фо
Ф
-1
вдоль (5 - линий, (2)
г0 + | Л(( ф)-Бт ф- dф Фо )
- режим В ( уг > 0 - радиальная составляющая скорости материальных частиц направлена от оси симметрии):
Ф
о = о0 - 2 - к - (фо - ф) - к -
о = о0 + 2 - к - (фо - ф) - к -
Го - | ^(ф)-^Ф-ф
Фо__
Ф
Го + I ^х(ф)-ф-dф
Фо ' ф
г0 + I ^р(ф)- С0Б ф- dф
Фо_
ф
го + | Л(( ф)-Бт ф- dф
V Фо
1
вдоль а-линий; (3)
вдоль 5 -линий, (4)
1
где о0 и о - начальное и текущее значения нормального среднего напряжения; ф0 и ф - начальное и текущее значение характеристического угла; Го - начальная радиальная координата; к - пластическая постоянная материала.
Указанные соотношения можно привести к более простому интегральному виду, используя осевую и радиальную проекции участка рассматриваемой линии скольжения между исходной (нулевой) и текущей точками в поле:
- режим А:
о
оо - 2 •к-(фо-ф) + к
о = о0 + 2 • к • (ф0 - ф) + к • режим В:
2 • к-(фо-ф)-к
г0 + Дz V Го +Дг
Го -Дг Го + Дг
1
о = Ог
г0
Дz
о = о0 + 2 • к • (ф0 - ф) - к •
V Го + Дг
у
г0 + Дz
V Го +Дг
1
вдоль а- линий; (5)
вдоль (5 - линий, (6)
вдоль а- линий; (7)
вдоль (- линий. (8)
Очевидно, что в отличие от аналогичных зависимостей, установленных для плоской деформации, дополнительные слагаемые (вычитаемые) в скобках правой части уравнений (1) - (4) определяют влияние радиальной и осевой координат. Интеграл в знаменателе - изменение радиальной координаты, интеграл в числителе - изменение осевой координаты.
2. Правила построения полей линий скольжения, схематизирующих пластические участки, примыкающие к прямолинейным свободным границам. Правила построения полей линий скольжения при схематизации пластических областей в осесимметричных задачах теории пластичности, в основном осуществляются по тем же правилам, что и для условий плоской деформации. Однако для соблюдения условия постоянства среднего напряжения вдоль свободных от контакта и внешних нагрузок пластических границ пластические участки, примыкающие к этим границам, следует описывать отличительными конструкциями полей линий скольжения. Это связано с тем, что, как уже отмечалось, в условиях осевой симметрии значение среднего напряжения в любой точке поля зависит не только от характеристического угла (как в плоских задачах), но и от значения радиальной координаты в цилиндрической системе координат.
Анализ построенных численными методами участков полей линий
1
1
скольжения в осесимметричных задачах, схематизирующих пластические области, примыкающие к прямолинейным свободным границам в режиме пластичности В, которые приведены, в частности, в работах [1, 3, 4], позволяет сделать следующие утверждения (рис. 1):
1. Граничная линия скольжения криволинейного треугольного поля АС, расположенная со стороны оси симметрии, является выпуклой, а противоположная СВ - вогнутой.
2. Радиальная проекция АгАС выпуклой граничной линии скольжения АС больше осевой проекции AzAC.
3. Радиальная проекция АгСВ вогнутой граничной линии скольжения СВ меньше осевой проекции А^СВ.
4. Очевидно, что при увеличении начальной радиальной координаты г0 ® ¥ (удалении пластической области от оси симметрии) радиусы
кривизны граничных линий скольжения также должны стремиться к бесконечности, величины радиальных и осевых проекций обеих граничных линий скольжения сравниваются, и конструкция поля приближается к симметричному треугольному, состоящему из отрезков ортогональных прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации. При этом угол 5 изменения углового параметра вдоль граничных линий скольжения (рис.1) должен стремиться к нулю.
Рис. 1. Схема формирования пластической области, примыкающей к прямолинейной свободной границе, при режиме В осесимметричного
пластического течения
О г
2м
Изложенное выше позволяет предположить, что граничные линии скольжения АС и СВ можно аппроксимировать логарифмическими спиралями. При этом предлагается схема формирования пластической области (в частности для режима В пластического течения), приведенная на рис. 1. В соответствии с этой схемой и с учетом предварительных утверждений можно сформулировать следующие правила аналитического построения линий скольжения, ограничивающих пластическую область, примыкающую к прямолинейной свободной границе в осесимметричных задачах с режимом В пластического течения деформируемого материала.
1. Указанная пластическая область схематизируется полем логарифмических спиралей, определяемых образующей окружностью (рис. 1), центр которой расположен на линии, совпадающей с прямолинейной свободной границей, (в данном частном случае - с радиальной координатой г).
2. Положение (радиальная координата) центра О и величина радиуса образующей окружности (а, следовательно, и вся конструкция исследуемого пластического участка) зависят лишь от радиальной координаты г0 и длины 1 свободной прямолинейной границы.
3. Очевидно, что минимальное значение и соответственно максимальное значение угла 8 должны соответствовать положению, когда точка А примыкает к оси симметрии z, т.е. при г0 = 0.
4. При увеличении го значение радиуса образующей окружности растет, и при значительных удалениях свободной границы от оси симметрии конструкция пластической области стремится к известному треугольному полю равномерного напряженного состояния, построенному из отрезков прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации.
5. Для рассматриваемого варианта (рис. 1) известными заданными величинами являются го и 1; искомыми величинами - угол 8 и радиус ^0 . Величина г0 обычно определяется из схемы исследуемого процесса или предшествующих построений прочих пластических участков. Если длина свободной границы 1 не определяется однозначно схемой процесса, то аналитическое решение следует проводить с точностью до неизвестной 1, а на заключительных этапах составлять дополнительные геометрические соотношения с ее участием для последующего совместного решения.
6. Для определения указанных неизвестных величин необходимы уравнения, связывающие эти неизвестные и имеющие определенный физический смысл. При этом можно использовать, в частности, следующие:
- зависимость, устанавливающую постоянство вдоль прямолиней-
ной свободной границы AB величины среднего напряжения s = -k, т. е. значения 5 и R должны быть такими, чтобы изменение среднего напряжения из точек A и B свободной границы вдоль соответствующих граничных линий скольжения по каким-либо уравнениям из (1) - (8) давали одинаковое значение среднего напряжения в точке C;
- зависимость, упорядочивающую геометрические параметры конструируемого поля, т. е. сумма горизонтальных проекций граничных линий скольжения Лгас и Л^св должна быть равна длине отрезка свободной границы l;
- зависимость, утверждающую, что вертикальные проекции граничных линий скольжения Azac и AzcB должны быть равны между собой и равны R0 • sin 5.
При использовании перечисленных в последнем пункте зависимостей следует учитывать, что если удовлетворить хотя бы одному геометрическому соотношению, то все прочие будут соблюдены автоматически, из правил построения тривиальных полей логарифмических спиралей, а самостоятельной зависимости, упомянутой первой в этом пункте и касающейся совпадений значений средних напряжений в точке C, необходимо удовлетворять обязательно.
Интегрируя вдоль граничных линий скольжения и определяя их проекции на координатные оси, можно получить следующие зависимости: Лгас = AD = R •(exp5-cos5); Azac = CD = R0 • sin5; (9)
ArCB = DB = R0 • [cos5-exp(-5)]; AzCB =Azac = R0 • sin5. (10)
Заявленное ранее утверждение о взаимосвязи геометрических соотношений в поле линий скольжения можно подтвердить соответствующим выводом с использованием интегрального преобразования Лапласа-Карсона (операционного исчисления) [5]. В частности, для этого определяется вертикальная проекция линии скольжения CB. Текущее значение характеристического угла при интегрировании от точки C к точке B устанавливается выражением j = К + 5 - X, где X - текущий угловой параметр
криволинейной системы координат Михлина-Христиановича [6]. Радиус кривизны логарифмической спирали CB - Rcb(X) = Ro • exp(-£,). Тогда вертикальная проекция CB (рис. 3) определяется интегралом
5 (К \
AzCB = íR0 • exPН)-sin 7 + 5-X •dX.
0 V4 J
Тригонометрическую часть подынтегральной функции требуется преобразовать к виду, позволяющему применить теорему операционного
112
исчисления о свертке [5],
í
sin
V
Р + 8"X) = 72 ^(6"X) + sin(S-X)].
С помощью математического аппарата операционного исчисления вычисляется интеграл
V2-jjexp (-X)--J--Ro-[cos (S-X) + sin (8-X)]}-dX= R0 - j[exp (-X)-cos (8-X)]-dX +
5
+R0-j[exp(-X)-sin(S-X)]- dX^ Ro -
S A 2 Л
8 ' 1 p p2 +1 p p
■ +---
o Ü
v p p+1 p2 +1 p p+1 p2 +1 j
1- R - [sin5 + cos8- exp(-5) + sin 5- cos8 + exp(-5)] = R - sin 5,
где p - изображение углового параметра X в операторной плоскости интегрального преобразования Лапласа-Карсона; ^ и ü - условные знаки соответственно прямого и обратного интегральных преобразований.
Окончательно ÁzCB = R0 sin 8, что очевидно из геометрических соотношений рис. 1.
Найденные проекции граничных линий скольжения целесообразно использовать для составления соотношений, позволяющих найти формулы для расчета численных значений искомых параметров R0, 8 и 1, если последний из них неизвестен.
Длина прямолинейной свободной границы рассчитывается как сумма радиальных проекций граничных линий скольжения
l = ArAC + ArCB = R ■ [exp8 - exp (-8)] = 2 ■ R ■ shd. (11)
В технологических задачах осесимметричного пластического течения, где длина прямолинейной свободной границы известна (задана), уравнение (11) может быть использовано, в частности, для нахождения радиуса образующей окружности
R =-1 , ч =—1—. (12)
exp8 - exp (-8) 2 ■ shd
Еще одно важное соотношение может быть получено использованием условия необходимости равенства среднего напряжения в точке C при оценке его изменения вдоль обеих граничных линий скольжения от свободной границы (точки A и B). Выражение для среднего напряжения в точке C при перемещении вдоль AC (b -линия) устанавливается с помощью зависимости (7):
Oq =-k - 2 • k5-k •
r0 + RQ • sin 5
r0 + RQ • (exp 5- cos 5)
1
(13)
Для правомерности использования зависимости (8) вдоль CB (a -линия) необходимо в качестве начальной точки отсчета среднего напряжения принять точку C (как точку с наименьшей радиальной координатой), тогда получится выражение (о в = -k)
í , л
r0 + RQ • sin 5
-k = Oq - 2 • k • 5 - k •
Г0 + RQ • [cos5 - exp(-5)]
1
(14)
Важно иметь в виду, что при расчете изменения напряжения вдоль СВ, в данном случае является координата точки С, т. е. в зависимости (14)
I
Го = Го + Агдс. Следует, также, отметить, что при определении знака второго слагаемого (вычитаемого) правой части (13) и (14), помимо соответствующих знаков в формулах (7) и (8), необходимо учитывать по схеме процесса (рис. 1) знак разницы характеристических углов (ф) -ф), вместо которой записывается всегда положительный угол 8.
Выражение (14) целесообразно разрешить относительно о с:
Oq = - k + 2 • k ^5 + k •
Г0 - R0 • sin 5
r0 + RQ • [cos5- exp(-5)]
1
(15)
У
Приравнивая правые части полученных уравнений и переходя к относительным величинам го = — и Яо = —, можно получить соотношение
1
1
4 5=2
r0 + R0 • sin5 ro + Rq(exp5-cos5-sin5)
ro + Rq (exp 5 - cos 5)
ro +1
(16)
Переход к относительным величинам здесь обоснован, поскольку длина пластического участка 1 свободной границы АВ является в общем случае масштабным фактором, определяемым из дополнительных геометрических соотношений схемы исследуемого процесса, а относительные величины позволяют заблаговременно получить и графически интерпретировать некоторые обобщенные зависимости.
После подстановки (12) в (16) с учетом того, что ехр 8- ехр (-8) = 2бИ8 , получается результирующее трансцендентное уравнение, позволяющее для заданного значения го устанавливать соответствующее значение угла 8 и далее по зависимости (16) - величину Яо:
j
г
. 0 _ 2 • rо • shd + sin 5 2 • ro • shd + exp 5 - cos 5 - sin 5 4-5= 2--=-0---0-í-p-г-. (17)
2 • ro • sh5 + exp 5- cos 5 2 • sh5-( r0 +1)
Анализ уравнения (17) показывает, что максимальное значение угла 5 и соответственно минимальное значение радиуса Ro будут наблюдаться, когда Го = 0, при этом зависимость (17) приводится к виду 4 5=2 sin5 exp5-cos5-sin5 exp 5- cos 5 2 • sh5
Анализ уравнения (12) показывает, что при значительном увеличении радиальной координаты (r0 ® ¥) величина угла стремится к нулю (5 ® 0), тогда значение экспоненты exp 5 ® 1 с положительной стороны, а exp (-5)® 1 с отрицательной стороны. Тогда разность exp 5- exp (-5) будет стремиться к нулю, оставаясь малой положительной величиной и соответственно при некотором фиксированном значении длины свободной границы l = const радиус образующей окружности R будет стремиться к бесконечности, что приводит проектируемую конструкцию поля линий скольжения к треугольному симметричному полю прямых линий скольжения, соответствующему условиям плоской деформации.
На основании изложенного можно сформулировать следующий алгоритм аналитического описания полей линий скольжения, схематизирующих пластические области, выходящие на прямолинейные свободные границы, в процессах осесимметричного пластического течения.
Возможны два типа рассматриваемых задач, в которых:
- длина l свободной границы задана (известна);
- длина l свободной границы неизвестна и требует дополнительного определения.
При решении задач первого типа, как уже отмечалось, достаточно начального решения трансцендентного уравнения (17) для нахождения угла 5 и последующего решения уравнения (12) для расчета радиуса R0 образующей окружности.
Известными условиями для несколько более сложного решения задач второго типа являются начальная радиальная координата прямолинейной свободной границы r0, а также размеры и форма контактной границы инструмента с пластической областью (длина l свободной границы неизвестна). Тогда построение и аналитическое описание поля линий скольжения сводятся к следующим последовательно выполняемым этапам.
1. По установленным правилам строится и аналитически описывается участок поля линий скольжения, примыкающий к свободной прямо-
линейной границе:
1.1. По геометрическому эскизу исследуемой операции предполагаемая пластическая область схематизируется выбранной конструкцией поля линий скольжения.
1.2. Из анализа возможных направлений главных напряжений и скоростей течения деформируемого материала определяется режим (А или В) пластического течения (полной пластичности) и выявляются а - и (-линии скольжения.
1.3. По установленным правилам определяются относительные геометрические параметры участка поля линий скольжения, примыкающего к свободной границе (с точностью до неопределенной пока длины 1 этой границы): величина угла 8 (17); относительный радиус Я образующей окружности (12); радиальные и осевые проекции граничных линий скольжения (9), (10).
2. Остальные участки разрабатываемой конструкции поля линий скольжения строятся по общим правилам, используемым при решении задач в условиях плоской деформации. При этом определяются радиусы кривизны граничных линий скольжения, необходимые угловые параметры и требуемые радиальные и осевые проекции граничных линий скольжения.
3. Длина 1 свободной прямолинейной пластической границы определяется как сумма радиальных проекций указанных линий скольжения, ограничивающих область, примыкающую к этой свободной границе.
4. Для окончательного установления абсолютных значений геометрических параметров, позволяющих построить и аналитически описать конструкцию поля линий скольжения, необходимо дополнительно составить требуемые геометрические соотношения, схематизирующие исследуемый процесс, в том числе и трансцендентные.
Список литературы
1. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Механика 1957. № 1. С. 102-122.
2. Панов А.А., Панфилов Г.В., Шуляков А.В. Оценка интенсивности изменения напряжений в меридианальной плоскости осесимметричных задач теории пластичности // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. Вып. 2. С. 34-43.
3. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности М.: Машиностроение, 1990. 272 с.
4. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 704 с.
116
5. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа. 1965. 232 с.
6. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Математический сборник. 1936. №4. Т. 1. С. 511.
Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
CONSTRUCTION BY THE METHOD OF LINES OF SLIDING OF THE FIELDS ADJOINING RECTILINEAR FREE BORDERS, IN PROBLEMS OF AXIAL SYMMETRY
G. V. Panfilov, S. V. Nedoshivin
Rules of creation of fields of lines of the sliding adjoining rectilinear free border and consisting of two orthogonal families of logarithmic spirals are established, at an axisymme-tric plastic current.
Key words: axisymmetric deformation, analytical method of lines of sliding, operational calculation.
Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
