Вариация аэродинамической формы тела, приводящая к уменьшению его сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕН ЫЕЗАПИСКИ Ц А Г И То м III 197 2

№ 2

УДК 629.7.015.3

ВАРИАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ТЕЛА, ПРИВОДЯЩАЯ К УМЕНЬШЕНИЮ ЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Н. Н. Глушков, Д. П. Кроткое, J1. М. Шкадов

Предлагается прямой градиентный метод улучшения аэродинамических характеристик летательного аппарата путем малой вариации его поверхности. В рамках линейной теории с использованием теоремы обратимости потока получено выражение для вариации местных углов атаки, приводящей к уменьшению сопротивления давления летательного аппарата при сохранении объема, подъемной силы, продольного момента и т. п. Распределение давления по поверхности определенным образом подобранных тел, которое необходимо знать для построения улучшающей вариации, предлагается находить экспериментально. На отдельных примерах плоского потока анализируется влияние сил вязкости и нелинейной зависимости давления от местного угла атаки. Показано, что во всех рассмотренных случаях полученное в рамках линейной теории выражение для улучшающей вариации обеспечивает деформацию поверхности в направлении, соответствующем уменьшению сопротивления.

Пусть произвольное тело обтекается невозмущенным потоком со скоростью Ух. Определим сопротивление тела выражением

= Р\Х> У, z> a] sin а (л:, у, z) + x[x, у, Z, а] COS а (х, у, z),

а(х, у, z) — угол наклона элемента поверхности тела dS к скорости набегающего потока, а — распределение местных углов атаки, р — давление, t — касательное напряжение.

Для проверки возможности улучшения аэродинамических характеристик летательного аппарата в окрестности выбранного прототипа необходимо найти способ вариации углов наклона поверхности 8а, заведомо приводящий к уменьшению сопротивления тела при ряде ограничений вида

(1)

где

(/= 1, 2, . .ti).

(2)

s

В соответствии с методами вариационного исчисления в этом случае следует рассмотреть функционал

где X; — множители Лагранжа, и найти выражение для вариации 8а, обеспечивающей отрицательное значение первой вариации функционала (3). Если вариацию функционала можно представить в виде

то, приняв 8а = — (л. , где [х (х, у, г) — некоторая достаточно

малая по величине положительная функция, получим заведомо отрицательное значение 8/. Произвольность в выборе функции ^ дает возможность выбирать наиболее эффективный способ изменения углов наклона поверхности тела для достижения поставленной цели. При этом следует иметь в виду, что первая вариация функционала дает лишь указание о рациональном направлении изменения поверхности и не содержит информации о выборе абсолютной величины деформации поверхности. Для определения величины р в нелинейных задачах, к которым относится и рассматриваемая задача, обычно прибегают к „экспериментальному“ выбору величины р путем вычисления функционала для ряда значений р.. Основную трудность при решении поставленной задачи представляет отыскание функций Фг[х, у, г, а].

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В РАМКАХ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ

ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Рассмотрим произвольное тело, удовлетворяющее условиям применимости линейной теории (фиг. 1) [1]. Согласно теореме обратимости потока [1], справедливой в рамках этой

Здесь а1 и ръ а2 и р2 — местные углы наклона поверхности тела

5 к скорости набегающего потока и отвечающие им распределения давления по поверхности тела соответственно в прямом и обратном потоке*.

* Поскольку теорема обратимости обобщается и на случай обтекания нескольких тел, то необходимые соотношения, полученные с ее помощью для изолированного тела, могут быть найдены и в случае исследования системы тел [1].

П

(3)

(4)

П

теории как при дозвуковом, так и при сверхзвуковом режиме обтекания,

(5)

5

Фиг. 1

В рамках линейной теории выражение (1) для сопротивления произвольного тела принимает вид

- X X ■■

Я

00

jjpadS, (6)

где дао — скоростной напор набегающего потока, а вариация х записывается в виде

8л: = j j (pba + а.Ьр) dS. (7)

5

Полагая в формуле (5) а1 — 8а, рх = 8р, а2 = а и р2 — р*, где р*— распределение давления по телу в обратном потоке, получим

Jj aS/?dS =— j* j* p* 8a dS. (8)

s s

С учетом выражения (8) вариация сопротивления

8л: = j j {р — /?*) 8a ¿5. (9)

Выпишем некоторые типичные для рассматриваемой задачи ограничения вида (2).

Условие замкнутости поверхности. Для тел, представляющих собой комбинацию слабоизогнутых тел вращения и несущих поверхностей, условие замкнутости поверхности удовлетворяется отдельно на каждой части:

Гкр t(Zj)= — <§> adlj = 0. (10)

. О

/

Здесь Zj — координата вдоль размаха для поверхности типа крыла и полярный угол 6 для поверхности, близкой к поверхности тела вращения. Интеграл берется по контуру в некотором сечении Zj = const.

Условие постоянства объема:

v = j [ j dv = j J J div (x • г) dv = f \j(n-x-i)dS= f j л: cos nx dS, (11)

A

л: cos i

v~ ~v~ ~s ~s~

т. е.

V = — // х^Б,

где« — внешняя нормаль к поверхности тела, /—единичный вектор по оси х.

Условие постоянства подъемной силы. Суммарная подъемная сила, действующая на рассматриваемое тело,

—= — ИР cos tiydS. Я* 5

Положив в соотношении (5) ai = a, pt—p и a, = — -[0 cos пу, p-i=p\ , получим удобное для дальнейшего использования выражение для подъемной силы

У =-------L Г Г (12)

• То 5

Здесь р\ — распределение давления в обратном потоке по телу с

■. Л

местными углами наклона поверхности а2 = — f0cos пу. Постоянный

2 ^

положительный коэффициент То должен иметь порядок Моо д ,

г

2 ^

чтобы обеспечить требование линейной теории а2 <М00у<С1, где

т — малый параметр линейной теории, ^ = V\M2co— 11.

Условие постоянства продольного момента. Коэффициент продольного момента относительно начала координат

М,

М,

л

I \ хр cos пу dS. "s

Снова воспользуемся соотношением (5), полагая в прямом потоке

. _ А __ _jj.

at = а, рх = р, а в обратном — а2 = -j-х cos пу, р2 = р2. Коэффициент -у > 0, где I — длина тела, должен обеспечить выполнение 2 ^

условия I а21-<УИоо-р-1. Выражение для коэффициента продольного момента примет вид

М,

— (* (* pladS.

То

(13)

Рассмотрим решение задачи при ограничениях (10) — (13). В этом случае функционал (3) равен

/ = х -(- Х4 (2у) Г + Х2 V -Ь Х3 Ь 4- Х4 М„ (14)

а его первая вариация с использованием выражений (9) — (13) может быть записана в виде

6/=Я

Р~р*-—К (z,)—х2*—х3^-/^ + Х4^- р*2 . То То

SaxS.

Если теперь положить

8a — — {1

• h (*/) -h* — ^3 ~~ Pi +

То То

(15)

(16)

где |а(л:, у, г) — положительная функция, заданная на поверхности тела 5 и обеспечивающая выполнение условия |8а 1<Мио-С 1. т0

Г

Ы-

1 -* I -* Хх (Zj)—Х2 X — х3 — Pi + K — Pi То То

dS. (17)

Если выражение в квадратных скобках в уравнении (15) не равно нулю, т. е. уменьшение функционала (14) возможно, то путем выбора ц можно добиться отрицательного приращения функционала I. Множители Лагранжа Xx(Zj), Х2, Х3 и Х4 определятся из соотношений (10) — (13) при условиях 8Г = 89‘ = 8Z, =ЬМг — 0.

Как было отмечено выше, вопрос выбора функции jj. требует специального исследования. Остановимся лишь на выборе рациональной величины (х в случае f* = const.

Для плоского сверхзвукового течения справедливы соотноше-

— _ — — 2сс ________—---

ния р—р* = ‘2р, p=-j-, где р = К j М|о — 1 | [2]. Покажем, что

при

, а Р а

‘ 2р (а) 4 р (а) _ р* (а) ’

где

р-р* — \ 1 — Х2Л — Х3 —- ~р\ + Х2 —- ~р\

. *° *° .

любой профиль при первой же итерации переходит в оптимальный при заданных ограничениях. Убедимся вначале, что при = множители Лагранжа зависят лишь от заданных ограничений и не зависят от формы профиля. Действительно, в этом случае

~ - Р

8а = — ¡¿а, а 8а = а —- ¡а [р — р* — = -\—/%

где

с- II' , ^ 1 —* I —*

/• — X, -)- х + Х3 — Р\ — Х2 -—рч-10 10

Система уравнений для определения Хг имеет вид

<6/чИ= - — Г,

7 р

фрхй1=-----1»,

I р

§рр\а1=,-^т,

фРр1с11= + ^М2.

Поскольку рХ и Рч не зависят от формы профиля, то и множители Лагранжа, а стало быть и величина Р от нее не зависят. После

„ , — 2 (а + 8а) 1с.-*

первой итерации давление на профиле р\ — —15-------=-о- г, р 1=

р 1

— вариация функционала согласно (15) 8/1 = р\—А] X

' 1 1

X мйБ или 8/^ [У7—8ай5 = 0, так как /7 = ^1, поскольку Т7 не 1

зависит от формы профиля. Таким образом, выбор ¡л.=-------— =

2/7 (а)

Р -

= 4 в плоском случае после первой же итерации приводит к оптимальному профилю. Можно предположить, что и для трехмерного случая в первом приближении в качестве рационального значения

О

}1 целесообразно использовать ц==-||-.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЛУЧШАЮЩЕЙ ВАРИАЦИИ ФОРМЫ ТЕЛА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Решение задачи об обтекании тел сложной формы даже в рамках линеаризованной теории сопряжено с определенными трудностями. Поскольку, как было показано выше, для построения улучшающей вариации поверхности исходного тела 8а необходимо знать лишь распределение давлений р, р*, р\, р\ по поверхности определенным образом подобранных тел, то эту информацию можно получить и экспериментальным путем, продувая специальные модели в аэродинамической трубе. Для этой цели в аэродинамической трубе следует провести испытания: _

модели 1 исходного тела для определения р\ модели 2, позволяющей измерять распределение давления на модели 1 в обращенном потоке, для определения р*‘,

модели 2 при углах атаки ^ == и Т — О Для определения рх по разности давлений р* = р*ъ — /7*о=0; .

модели 3 в обратном потоке при углах_атаки 7 = и 4 = 0 для определения р\ по разности давлений р*2 — р1ъ — /?зТо=о-

Углы наклона поверхности модели 3 должны удовлетворять

закону а3=:То — сое яу + ят=0. .

При наличии других ограничений для решения поставленной задачи могут потребоваться испытания дополнительных, специальным образом профилированных моделей.

Следует иметь в виду, что в рассматриваемом методе в соотношении (16) будут использоваться экспериментальные значения давлений ри р*, р\ и р\. Это приведет к тому, что значения За, найденные по линейной теории и с использованием экспериментальных данных, будут различны. Вопрос о том, какая из этих двух вариаций 8а предпочтительнее, требует специального исследования. Здесь в качестве примера такого анализа рассмотрим лишь простейший случай двумерного потока.

В реальном потоке газа распределение давления по поверхности тела отличается от рассчитанного по линейной теории в основном из-за нелинейности зависимости р от углов наклона поверхности а в потоке идеального газа и из-за влияния сил вязкости.

Рассмотрим влияние этих двух факторов на примерах параболического профиля под нулевым углом атаки [у = 2сх{\—х), а(х) = 2с{\ — 2а:)], имеющего в рамках линейной теории минималь-• ное сопротивление при заданном объеме, и пластинки под углом атаки 7 = Хо> являющейся оптимальной поверхностью при заданной подъемной силе.

Распределение давления по профилю в потоке идеального газа, как известно [1], достаточно хорошо аппроксимируется теорией

_ 2

третьего приближения: р — -р- (а + ¡За2 4- Ба?). В этом случае сопротивление исходного параболического профиля

^. = -£¿41 +0,60 (Й)а],

8у (*) = -/} (2с)8 {-1(1 -2х)*

0,6-

1

(1 — 2х)2

— 0,025

I

Г

Для значения параметра £)(2с)2 = 0,1, что соответствует числам М=1_,5-:-2 и с-<0,15, изменение исходного профиля весьма мало:

Ъу(х)

У(х)

10 2, и приводит к неболь-

шому относительному изменению сопротивления:

Д^~ — о,207 [О (2с)2]2.

Для пластинки под углом атаки в этом случае улучшающая вариация 8я = 0 и Асх — 0.

Влияние сил вязкости на тонком профиле можно учесть, добавив величину Д/?вязк = р — /»идеал, которая хорошо аппроксимируется степенной зави-

— 2

СИМОСТЬЮ Д/?вязк = -¡э" кхп от коорди-

наты х, где /г и п — некоторые параметры. Для примера на фиг. 2 сопоставлены значения Ар = /?эксп — /7иде ал для 6%-ного профиля, полученные из эксперимента при числе М = 3, с величинами Д/7, полученными по приведенной выше формуле при п = 4, к = 0,0255.

С учетом сказанного коэффициент давления представляется _ 2 _

в виде /7 === -р- (а -{- Для параболического профиля такое отли-

чие давления от линейной зависимости приводит к малой вариации формы профиля

5а (х) ■ гу(х)=-

к

Т

6 п

(п 1) (п + 2)

(1-2*Жлв-(1-х)»]

- О 09^ — —

(2с)3 {0,3 [1 — (1 — 2^с)2] — 0,25 [1 — (1 — 2хУ\),

16 с

откуда при ¿=0,0255 и п — А

Ъу(х)

У (■*)

1,5-10-3.

Сопротивление модифицированного таким образом профиля оказывается в точности равным сопротивлению исходного параболического профиля (Дс* = 0).

2—Ученые записки № 2

17

Для упрощения вычислений представим распределение давления на верхней поверхности пластинки под углом атаки т = То

_ 2 - — 2

в виде /?в = -у (То + ^2). а на нижней— рн = у Такое распределение давления приведет к улучшающей вариации поверхности

к /_ - 1

8«н= — 8ав = — х + -0-требующей изгиба пластинки по за-

_ к _ _ _ кону Ьу = (2л;3 — Зх2 4- х). При фиксированной подъемной силе

относительное изменение индуктивного сопротивления составляет

4_

Р

180 р _ 1 / А

откуда при р = ¡3/4 величина Дсд. = 0; при ¡л = р/8, £/тг0 = 0,1 и [3 = 2 величина Дс^~—10-5.

Таким образом, в плоском случае использование в формуле для улучшающей вариации (16) выражения для давления с учетом нелинейных членов вплоть до третьего порядка включительно, а также аппроксимация влияния сил вязкости на распределение давления

- 2 - ' степенной зависимостью вида АрВЯЗК =— кхп позволяют определять

деформации поверхности тел, способствующие уменьшению сопротивления.

ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ПОСЛЕ ПЕРВОЙ ИТЕРАЦИИ

Остановимся теперь на вопросе построения новой поверхности тела Si (а 4-8а) по известным значениям 8а и S(а) как для несущих поверхностей тела, так и для частей тела, близких к телам вращения. В рамках линейной теории можно считать, что точки исходной и модифицированной у-й несущей поверхности тела соответствуют друг другу, если они имеют одинаковые координаты (л;, г) л .

и общий знак cos пу. Для частей тела, близких к телам вращения, для такого соответствия достаточно, чтобы совпадали их координаты (х, 6), где 6— отсчитываемый для определенности от плоскости симметрии полярный угол с вершиной, лежащей на срединной линии. Если рассматривать связанную систему координат х0Уого (°сь х0 направлена параллельно корневой хорде крыла) й скоростную систему координат х у z, то распределение местных углов наклона поверхности в скоростной системе координат в пределах точности линейной теории равно

л

1 яУо = аТо=° То со® пу0, (18)

где — угол атаки тела. 18

( д-Уо ) , ( ) , То/» заданным в связанной системе координат,

\ дх0 }] \ дг0 )]

можно определить, используя (18),

ду0

дх0 ) , i0'

aYA . : '

j / / Л1 * \ 2 / А м \ 2

у i +

dxjj ' \дг0//

д

sign (cos ny0)j. (19)

Зная величину вариации углов поверхности 8а;- в скоростной системе, можно построить модифицированную }-ю поверхность:

(1т),=+u")<V'+{%)]+{Ш sign(cos"А"(20)

Поскольку в линейной теории давление зависит от распреде-

Л

ления только одной компоненты местной нормали cosпх, то по известному значению 8а можно определить лишь эту составляю-

д

щую cosra^opt, и несущая поверхность в соответствии с выражением (20) определяется неоднозначно. Для однозначного построения модифицированной ;-й несущей поверхности можно, например, задать пространственную кривую, направленную вдоль размаха этой поверхности. В качестве такой кривой может быть взята линия передней или задней кромки несущей поверхности, а также любая линия, лежащая на верхней или нижней поверхности вдоль

всего размаха рассматриваемого элемента тела. Зная величину

на выбранной кривой, по уравнению (20) можно определить .

на этой кривой в каждом сечении z = const, сделать сдвиг по оси х

л - ду „ „

на Ах, наити значения ^ на новой кривои и последовательно

построить всю несущую поверхность.

Построение тела, близкого к телу вращения. Если _у0/ = /ог (-^о)

— уравнение срединной линии г-ro тела, близкого к телу вращения, в связанной системе координат и т = 7о~Угол атаки рассматриваемого тела, то из равенства (18), используя выражение

— {) sin 6 -f cos 6

Л Гп I дв 1

cos (ЯУо)г

/1 + (i *.-v , <».

дгп \2

Го до I

При условии ( 1 получим

дг0\ /1 дг0 Л ( df0

Зная величину улучшающей вариации ЗаДя, 6), строим г-е модифицированное тело в скоростной системе координат. Для этого сначала находим новое положение срединной линии

д/\ 1

1. —-2 1а](И (х, 0) + 8аг (х, 0) аТог (л:, и) — 8аг (х, я)]

и из выражения (21) — зависимость радиуса г1 от продольного расстояния

(ж); -(ат“‘ +8аг) V1 + (т -ж)* - (т ж51п 6 +с08 6

Построение тела следует начинать с носка, считая его конусом,, т. е. полагая =0. Построив первое сечение, определяем

1 дг 1

г Ж 1 й делаем переход к следующему сечению по оси х, пока не будет построено все тело.

ЛИТЕРАТУРА

1. Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред. У. Р. Сирса. М., Изд. МО СССР, 1968.

2. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А. Миеле. М.* „Мир“, 1969.

Рукопись поступала 18/ХИ 1970 г~