Расчет аэродинамических характеристик тонких тел в околозвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997

№2

УДК 629.7.015.3

РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКИХ ТЕЛ В ОКОЛОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

К. Г. Саядян

Проведены расчеты околозвукового обтекания моделей реальных летательных аппаратов под небольшими углами атаки на основе совместного численного решения внешней и внутренней краевых задач теории тонкого тела. Получены распределения коэффициента давления как на исследуемых телах, так и в попе потока для различных чисел Маха.

С помощью интегральной теоремы сохранения количества движения проведен расчет подъемной силы и сопротивления летательных аппаратов.

Сравнение результатов расчета аэродинамических характеристик с экспериментальными данными показало высокую эффективность и точность расчетной методики.

Быстрое и надежное прогнозирование нагрузок на современные летательные аппараты (ЛА), проводимое в темпе эксперимента коррекции режимов обтекания в аэродинамических трубах, требует развития численных методов, сочетающих в себе простоту, физическую наглядность и экономичность.

Для трансзвуковых скоростей полета наиболее привлекательной является комбинация асимптотической и численной модели, основанной на теории тонкого тела [1].

Эта теория позволяет свести сложную трехмерную задачу околозвукового обтекания тел, максимальный размер поперечного сечения которых мал по сравнению с их длиной, к двум краевым задачам, каждая из которых является двумерной и существенно более простой. Формулировка этих краевых задач, кроме подстановки асимптотических разложений теории тонкого тела в исходное трехмерное уравнение, и граничные условия [2] требуют в качестве замыкающего условия сращивания асимптотических разложений для ближнего и дальнего полей.

Дифференциальным уравнением для ближнего поля, представляющего собой поле несжимаемого течения в сечениях, перпендикулярных оси ЛА, является уравнение Лапласа; его решение должно удовлетворять условию непротекания на теле. Дальнее поле оказывается

осесимметричным околозвуковым течением около тонкого тела вращения, распределение площади поперечного сечения которого эквивалентно аналогичному распределению для исследуемого аппарата; при этом внешнее решение удовлетворяет дифференциальному уравнению трансзвуковой теории малых возмущений.

Для решения краевой задачи ближнего поля используется метод граничного элемента, подробно изложенный в работах [2], [3], где он применен и исследован для различных моделей ЛА. Внешняя краевая задача решена с использованием метода расчета осесимметричных трансзвуковых течений [4], успешно апробированного как для случаев безграничного обте1сйниятел вращения [2]/так и для течений в трубах с цилиндрический рабочей частью [5]. ) '

После совместного численного решения внешней и внутренней краевых задач при различных числах М и углах атаки получено распределение коэффициента давления по поверхностям различных моделей ЛА, при этом получено удовлетворительное соответствие расчетов экспериментальным данным работы [6].

На основе. результатов численного решения задач для дальнего и ближнего полей было построено композитное представление для возмущенного потенциала, справедливое во всем поле течения. Оно эффективно использовалось при определении режимов малоиндукционного обтекания модели в трубе.

В настоящей статье на основе упрощений, допускаемых теорией тонкого тела, применения сращиваемых асимптотических разложений, асимптотического представления дальнего поля [7] и с помощью инте-1ральной теоремы сохранения количества движения получены суммарные характеристики удлиненных тел, обтекаемых трансзвуковым потоком газа.

1. Тонкие тела под малыми углами атаки в трансзвуковом потоке газа. Пусть поверхность тонкого тела (рис. 1), толщина и размах кото-

Рис. 1. Системы координат и контрольная поверхность около тонкого тела

рого имеют один и тот же порядок малости 5 «1, представляется в следующем виде:

Здесь л» С — декартовы координаты, связанные , с телом, длина тела принимается за 1, fB>H — уравнение врехней и нижней поверхностей тела.

Малость угла атаки а — = А = о( 1) существенно упрощает пе-

8

реход от системы координат {£, л, к декартовой системе координат {jc, у, z}, связанной с потоком:

£ = * ( 1- 2 а ~2 -у Г а 3 ^ а 7Г + ... ,

V и /

ц = у / 1- 2 а ~2 > + X а 3> а "Т + ... .

V

В этой системе координат разложение уравнения поверхности тела с точностью до членов 2-го порядка запишем в виде

0.

(1.1)

Обтекание тонкого тела потоком невязкого безвихревого газа под малым углом атаки моделируется следующим уравнением:

(а2 -Ф^Фх* + (а2 -ф2у)фуу +(а2-Ф$Фа = = 2ФхФуФ„у + 2ФуФ1Фп + 2ФХФ1ФХ1,

1 у -1

1--

и*

(1.2)

Здесь Ф — потенциал скорости течения, а — скорость звука, IIх — скорость набегающего потока, у — отношение удельных теплоемкостей.

При 5->0 тонкое тело вырождается в линию. Следовательно, необходимо введение внутренней области, решение в которой с заданной точностью будет учитывать форму тела и граничные условия на нем.

Во внутренней области координаты х, у* = у/5, г* = я/5 фиксированы при 5->0, М«, -»1, кроме того, фиксированы величины А = а/8 и * =(1-М2)/82.

Внутреннее разложение для потенциала имеет вид

Ф' = иЛх + 82 log8(251(x)) + 52ф!(дс, y*,z*) +

/ \ / \-| (1-3)

+ 54 log 5 ф2 (х, у*, z*) + 54ф3 (дс, у *, z* )J,

а уравнение поверхности тела (1.1) переписывается в виде

Л*(х, у*, Z*) = У* - Ах - FB>n(x, z*\ (1.4)

Подстановка соотношений (1.3) и (1.4) в уравнение (L2) и ipa-ничное условие непротекания (УФ • VJ? = 0) позволяют поставить для приближения первого порядка следующую краевую задачу:

ду 1 dz

bAx,F-Ax,z*)-F.%. =FX~A-

(1.5)

іу ' ’ ' г тіг

Здесь и в дальнейшем нижние индексы функций ґ(х, z*) - (в, н), соответствующие верхней и нижней поверхностям тела, могут быть для простоты опущены. . , ,

Внешнее разложение строится Следующим образом: при 8-»0 фиксируются величины {х, у, К, А], іде у = 8у, і = 8г.

Тогда для потенциала вйешней области течения справедливо соотношение

Ф° =£/Л{х + 82Ф1(х,у,£;^,Л) + 841о§8Ф21 + 84Ф2}. (1.6)

Подстановка соотношения (1.6) в исходное уравнение (1.2) приводит к известному уравнению ,

[К - (у + і)Фіх]Фі« + % + % =0- (1-7)

Исследование уравнения (1.7) при г->0 показало, что условию затухания скорости при г-»0, г = -¡¡у2 + Ї2 удовлетворяет только осесимметричная асимптотика внешнего решения:

Фх •=5'1(х)1о8Г + §(х) + о(г21оаг2).

г->0

Интенсивность источника ^(х) определяется с помощью рассмотрения поведения внутреннего решения при Г* = т]у*2 + г"2 ->00 й краевого условия задачи (1.5). Представление гармонической функции в виде формулы Грина при г* -> оо имеет следующий вид:

Л 1 I , л < \ ( О

дд>1 _ (&Р1 _ д^в,н 5ф^

1

дп* дт.* Эг*,

Ш* = '¡¿у*2 +с11*2 = (11*

Использование граничного условия (1,5) приводит к соотношению

Обозначив В*{х) = §Ръ Лх, I* \с1г*, соотношение можно переписать в

внешней краевой задачи.

2. Коэффициент давления. Подъемная сила и сопротивление тонкого тела. Для определения как распределенных, так и интегральных аэродинамических характеристик аппарата необходимо численно решить две двумерные краевые задачи — о ближнем поле и о дальнем поле.

Вначале решается задача о дальнем поле потока (1.7) — (1.8), представляющая собой задачу околозвукового обтекания осесимметричного тела под нулевым углом атаки.

Для решения внешней краевой задачи используется метод релаксации [4], основанный на схеме Мурмана — Коула, успешно применяемой как для случаев безграничного обтекания тела [2], так и для случаев обтекания тонких тел в аэродинамических трубах [5].

Улучшения сходимости численной схемы удалось достигнуть с помощью варьирования коэффициента релаксации в процессе расчета [5].

Итак, в результате решения задачи об обтекании эквивалентного тела вращения получено поле потенциала Ф1(х, у, К, А), являющегося главным членом асимптотического разложения потенциала возмущения (1.6) дальнего поля течения. Краевая задача (1.5) для потенциала ч>1(х, у*, z*', К, А[) — главного члена асимптотического разло-

(1.8)

Отсюда следует выражение для интенсивности источника

с _ 1 *В?

1 2 и (Их ’

Функция интегрирования g'(x) определяется в ходе решения

жения (1.3) возмущенного потенциала ближнего поля — может быть переписана в виде

^Ф1 . ^<Pi Л Эд>] Ух -А

Ъ'г Ъ’г ’ Ji+y2'

В случае когда краевая задача решается в цилиндрической системе координат (х, г*,О), правую часть граничного условия следует умножить на выражение sign (у* ~z* У*+) •

Методом численного решения задачи (1.5) — краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа — является метод граничного элемента, при котором возмущенный потенциал ф! представляется в виде потенциала простого слоя. Контур поперечного сечения тела при этом моделируется ломаной линией, причем каждый отрезок ломаной есть совокупность точечных источников с интенсивностью, постоянной для каждого отрезка. Величины этих интенсивностей определяются из условия выполнения в некоторой точке каждого отрезка ломаной условия непротекания. Метод граничного элемента подробно изложен в работах [2], [3].

Заметим, что главный член разложения (1.3) может быть получен из решения задачи (1.5) с точностью до аддитивной переменной g{x). Для того чтобы определить величину g(x), необходимо провести сращивание асимптотических представлений для ближнего (1.3) и дальнего (1.6) полей. , ,

В результате такого сращивания получим

g(x) = linviOiix.rJ-^Wlnr), (2.1)

; ...

где _ .if" . , .. .

Следующим шагом в решении задачи является определение коэффициента давления. Для тонких тел коэффициент давления имеет

вид . ;, .. .

СР= ~2фх ~ Ц*)2 " (ф'г*)2’ •. ‘

где ф' (х, у*, z*) — возмущенный потенциал ближнего поля:

Ф* (*, У *, Z*) = 82 [^фХ (у*, z*) + g(x) + log 5(2^ (х))j.

Иначе, с учетом соотношения (2.1), получим

= -ф^.. (2.2)

Для проверки достоверности полученных аналитически и численно результатов проводился расчет околозвукового обтекания тонкого модельного тела, а затем полученный результат сравнивался с экспериментальными данными работы [6].

В качестве модельного тела взято чечевицеобразное тонкое тело, поперечное сечение которого представляет собой эллипс (рис. 2). Эллиптическое сечение S(x), показанное на рис. 2, имеет большую полуось а = /(х) 5 и малую полуось Ь = 8f(x)B; здесь 5 —

параметр малости тонкого тела,

Дх) — функция, вносящая изменение формы тела по координате х. Для чечевицеобразных тел зависимость от х задается В виде тела эллиптической формы в плане

параболической функции, например, /(х) = 4(х-х2), где 0 ^ х < 1. Согласно трансзвуковому правилу

эквивалентности, распределение радиусов соответствующего тела вращения имеет вид

Лг.вр = 8 /"(■*) ■'/л .

Итак, в программу расчета было введено аналитически заданное тело, что позволило избежать значительных трудностей по описанию поверхности и аппроксимации краевых условий. С экспериментом сравнивался расчет обтекания модельного тела с параметрами 8 = 0,083, В = 1, потоком с М«, = 0,9 и углом атаки а = 4°. На рис. 2 сплошная кривая и маркеры в виде кружков относятся соответственно к результатам расчета и эксперимента для верхней поверхности тела; штриховая линия и маркеры в виде треугольников — к аналогичным параметрам для нижней поверхности. Соответствие между теорией и экспериментом весьма удовлетворительное, что позволяет считать надежной программу расчета пространственного обтекания удлиненных тел на основе трансзвуковой теории тонкого тела.

Вследствие того что решение внутренней краевой задачи (1.5) не зависит от числа М, основной характер влияния изменения числа М на течение дает решение внешней краевой задачи. Ниже описываются результаты решения внешней краевой задачи для гиперзвукового JIA.

При полностью дозвуковом обтекании изменения числа М вызывают лишь количественный рост величины с* при сохранении общего

качественного характера эпюры с* (х). На рис. 3, а характер дозвуковой

Рис. 2. Распределение давления на поверхности чечевицеобразного тонкого

• Рис. 3. Гиперзвуковой ЛА: '

обтекание эквивалентного тела вращения

эпюры показан для М«, = 0,7. Однако по мере приближения к критическому числу Мм = наблюдается более резкий нелинейный рост разрежений при обтекании центральной и хвостовой частей тела. Как показало сравнение с уровнем критического коэффициента давления с* (штриховые линии на рис. 3), критическое число М дня данного

Р !ф

эквивалентного тела вращения равно 0,85. В этом случае впервые на теле появляется точка, где местное число М = 1 (рис. 3, б). При дальнейшем увеличении числа М в диапазоне 0,85 < Мю 5 0,97 около средней части тела появляется и развивается местная зона сверхзвукового течения, замыкающаяся скачком уплотнения. Образующийся за ним поток снова ускоряется, и в хвостовой части тела появляется вторая сверхзвуковая зона. На рис. 3, в показано распределение коэффициента давления при Мм = 0,925. Начиная с Мю = 0,973 эти зоны сливаются и обтекание большей части поверхности тела становится сверхзвуковым. На рис. 3, г показан результат расчета для М«, = 0,99. Согласно [8], наряду с критическим числом Мцр для профиля большое значение имеет так называемое второе критическое число М„, начиная с которого наступает трансзвуковая стабилизация местных чисел М в сверхзвуковой зоне. Именно при М > М, происходит резкий рост сопротивления. Как следует из асимптотического анализа [9], для тонких тел вращения стабилизация имеет место в более узком диапазоне чисел Мж, чем для профиля.

Полученные данные о коэффициенте давления позволяют судить о наличии стабилизации в местной сверхзвуковой зоне. На рис. 4 для точки с координатой х = -0,1 показано поведение отношения статического давления к полному р/р0 в зависимости от М«. Эта величина является функцией местного числа М, а с другой стороны, вычисляется через функции с* и Мда:

Из рис. 4, а видно, что начиная с Ми = 0,9 отношение р/р§ практически постоянно вплоть до Ми = 0,975. Именно в этом узком диапазоне изменения М. и наблюдается трансзвуковая стабилизация на эквивалентном для гиперзвукового ДА теле вращения. При более ^

тщательном рассмотрении функ-

Дни р/р0 в пределах этого диапазона (см. рис. 4,6) обнаруживаются две более узкие области 0,91 й Мте < 0,93 и 0,96 < Мв <, ¿0,975, где условие постоянства (стабилизации) значений р/р0 щполняется с гораздо большей степенью точности. Таким образом, рассмотрение обтекания эквивалентного тела вращения дает интересные результаты, связанные с зависимостью аэродинамических характеристик от числа М. Безусловно, эти результаты должны быть уточнены с учетом реальной формы поверхности JIA, т. е. решения краевой задачи (1.5). Следует отметить, однако, что поправка с* (ж) при 0 = const не зависит

о,г 0,1

а)

0,8

1,1 Мае 1,2

Рис. 4. Выполнение закона трансзвуковой стабилизации дня эквивалентного тела вращения

от числа М и для каждого из сечений 0 = const может быть еде-

лана один раз. Так, для трансатмосферного ЛА проведено сравнение реального ср{х) и с* (х) для эквивалентного тела вращения. На рис. 5

для различных сечений 0 = 18,36,54е получено распределение коэффициента давления по телу (сплошная и штрихпунктирные линии), а также распределение с* по х для эквивалентного тела вращения

(штриховая линия). Из рисунка видно, что наиболее значительные отличия Ср(х) от с*(х) наблюдаются у периферии модели. Для вычисления коэффициента давления на реальном удлиненном теле используется приближение ближнего поля. ,

Однако в ряде задач необходимо вычислять давление в доле потока, где приближения как ближнего, так и дальнего поля не пригодны.

Рис. 5. Сравнение результатов расчета обтекания эквивалентного тела вращения с расчетами для пшерзвукового ЛА в рамках теории тонкого тела:

---- 0 - 18*;---в - 36*;-------0 - 54";

----- - эквивалентное тело вращения

Для того чтобы построить решение во всей области течения, пользуются композитным представлением решения. Для возмущенного потенциала скорости течения оно имеет следующий вид:

Фк = ф° + ф' - ф8т. (2.4)

Здесь Фк — композитное решение, Ф° и Ф' - решения справедливые соответственно для дальнего и ближнего полей, Ф**" — их общая часть, а именно, функция, получающаяся из процедуры сращивания. Эта функция, очевидно, выражается следующим образом:

Ф8еп = 51(х)1пг* + #(*).

Заметим, что все функции уравнения (2.4) должны быть выражены в одних и тех же переменных. Таким образом, композитное решение для задачи обтекания тонкого тела

Фк =б2^Ф1(х,у*,г*) + Ф1(х,>'*,г*)-5,(д:)1пг*]. (2.5)

Здесь ФА и ф! — решения краевых задач для дальнего и ближнего полей соответственно. Коэффициент давления в потоке выразится с помощью композитного решения следующим образом:

ср = -б2

2Фхх +^ВФ1 ~ 5М1пг*) - Ф?у, - Ф?г,

(2.6)

Для модели, представляющей собой комбинацию фюзеляжа и крыла, исследовался коэффициент давления в потоке. Как и следовало ожидать, внутреннее решение оказывает большее влияние на распределение давления при малых числах М, при достаточно развитом околозвуковом режиме течение мало отличается от обтекания эквивалентного тела вращения. Проведено также исследование влияния угла ата-

ки на распределение перепада давления на прямой в плоскости симметрии z = 0; у = 0,13. Несмотря на то что угол атаки мал и дальнее поле остается осесимметричным, распределение давления в поле потока заметно реагирует на изменение угла атаки.

На рис. 6 показаны распределения давления в поле потока как в случае обтекания модели реального ЛА под различными углами атаки (сплошная и штрихпунктирные линии), так и в случае обтекания эквивалентного тела вращения (штриховая линия) Для М«, =0,88 и углов

атаки а = 0, ±4°.

Выражения для подъемной силы и сопротивления получены из интегральной теоремы сохранения количества движения во внутренней системе координат х,г*, 9 (см. рис. 1). Для этого выбирается цилиндрическая контрольная поверхность около удлиненного тела во внутренней области гс = 5 г*.

Подъемная сила, действующая на участок тела до сечения х = const, определена через силу давления и вертикальный поток количества движения на торцевой площадке Sc - S(x). Следует подчеркнуть, что контрольная поверхность расположена во внутренней области гс =8 г*, так что возмущения в плоскости х = 0 отсутствуют. Применяя

Рис. 6. Комбинация крыло — фюзеляж: влияние угла атаки на распределение давления при околозвуковом обтекании

закон сохранения количества движения в направлении оси у, можно получить

/(*) = Jí/jc Jrcrf0(-/>(x, Гс,0)со8б)-

х 2п 0 _ <27>

-jd*jrcdQ(p4r)Qy - \\{p9x)bd^-

О 0 i

Здесь qy = qr cos0 - qQ sin б = 8-^í- + ..., x, S — переменные интегриро-

ду*

вания.

Подстановка в формулу (2.7) асимптотических выражений для

компонент потока массы , определяемых из

Р«Дсо Р«Доо РооЬ'оо асимптотического представления потенциала ближнего поля (1.3), использование предельного выражения для потенциала q>i при стремлении г* -> оо приводят к формуле для подъемной силы участка тела от

с

носка до сечения х

/(*)

= fa(x;F-Ax,z')áz’- (2.8)

В данной системе координат обход контура происходит по часовой стрелке. Аналогично для подъемной силы всего ЛА можно получить

Ь

pJJL s

2 я3

= ^Pi(x = 1;F - Ax,z*)dz*. (2.9)

Здесь интегрирование проводится по контуру донного среза. Очевидно, что для замкнутых тел вращения Ь — 0, так как теоретически подъемная сила у таких тел связана с отрывом потока. В работе [7] для таких тел получено выражение

= (2'10>

г во 00

здесь А = а/5, г*р(х) — уравнение образующей тела вращения.

Для замкнутых тел вращения гвр (1) = 0.

В качестве тестовой для про1раммы расчета была решена задача определения подъемной силы модельного тела (рис. 2). На рис. 7 показано распределение /(х)/р«Д^53 при различных углах атаки; углу

а = 2е соответствует сплошная линия, углу а = 4° — штриховая, случаю а = 0 соответствует распределение в виде отрезка прямой, совпадающей с осью х. Эти расчеты, проведённые при самых общих предположениях, полностью соответствуют соотношению (2.10).

О 4,2 ал 0,8 0,8 х

Рис. 7. Расчет подъемной силы чечевицеобразного ‘! '

’ тонкого тела >

Применяя интегральную теорему сохранения количества движения в проекции на ось х к цилиндрическому контуру г* =гс, продолженному до сечения х = 1, можно получить выражение для сопротивления носовой части П*: ,

= Я ^ + Рд* 1=о^ ~ Я ^ + “ Яр9*дгаЯ’

¿с ^£~^Д . Г = ГС

где 5Д — площадь донного среза.

При использовании модели Кирхгофа в качестве модели обтекания донного среза справедливо соотношение р = 0, следовательно, давление на донном срезе равно (~р„). Для силы сопротивления донного среза получено следующее выражение:

п

“ :

Опуская достаточно сложный вывод формулы для сопротивления тонкого тела, можно записать: ;

твт14 = -гяОовз^а) - +

Р°0 00

1 А1-1 (2.11)

0 “ 00 тело

*=1 •

Одной из моделей, для которых проводится расчет аэродинамических характеристик, является комбинация крыло — фюзеляж типового самолета.

Для определения подъемной силы, действующей на аппарат, необходимо знать распределение потенциала в плоскости х = 1. Данная

модель ЛА начиная с некоторого сечения становится телом вращения. Эго ведет к ряду существенных упрощений, позволяющих сравнить аналитические и численные результаты.

Для подъемной силы аппарата справедлива формула (2.10). После подстановки выражения для Ь в соотношение для подъемной силы (2.11) получено:

Очевидно, что зависимость от угла атаки связана только с последним членом выражения (2.12). Таким образом, подъемная сила такого аппарата в первом приближении теории тонкого тела линейна по углу атаки, а сопротивление имеет квадратичную зависимость от а.

Отметим, что расчет проводился без учета упрощений, связанных с тем, что модель в хвостовой части становится телом вращения. На рис. 8 приведены результаты расчета зависимости сопротивления и подъемной силы от угла атаки. Эти результаты полностью соответствуют выводам аналитической теории для тел вращения. Для рассматриваемой модели ЛА получена зависимость сопротивления от числа Мда набегающего потока (рис. 9). При рассмотрении этой зависимости на

52) -1^(1)5(1) +

(2.12)

0

I

Л

2° Г Г сс. Ґ

рисунке легко заметить нарушение монотонности кривой в диапазоне чисел М от М„ = 0,94 до М«, = 0,97, а именно, резкий рост ср от числа М. Эго еще одна иллюстрация действия закона стабилизации в околозвуковом диапазоне скоростей. Критический же рост числа М начинается при Мл = 0,9 и заканчивается при Мда = 1,11.

В

(К‘3'

В-1ВГ1

J_____________I____________і___________I__________1

Г Ґ Ґ Г а. г

Рис. 8. Комбинация крыло — фюзеляж:

зависимость сопротивления и подъемной силы от угла «гаки

0,6 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 М„

Рис. 9. Зависимость сопротивления тонкого тела от числа М.

Таким образом, околозвуковая теория тонкого тела позволяет быстро и надежно рассчитывать как распределенные, так и интегральные аэродинамические характеристики различных JIA. В работе использо^ валось первое приближение данной теории. Результаты могут уточняться с помощью построения приближений высших порядков.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований; код проекта № 95-01-01067а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Malmuth N. D., Wu С. С., Cole J. D. Slender body theory and фасе shattle transonic aerodynamics // AIAA Paper.— 1985, N 85-0478.

2. Саядяк К. Г. Трехмерная задача обтекания удлиненных теп //

Математическое моделирование.— 1995. Т. 7, N° 7. ,

3. Саядян К. Г. Решение внутренней краевой задачи трансзвукового обтекания удлиненных тел различной геометрии // Труды ЦАГИ.— 1990.

Вып. 2487.

4. Третьякова И. В., Фонарев А. С. Влияние проницаемых границ трансзвукового потока на обтекание тел вращения // Ученые записки ЦАГИ.- 1978. Т. 9, № б.

5. С аядян К. Г. Исследование околозвукового обтекания тонких тел пространственной конфигурации ограниченным потоком газа // Изв. РАН, МЖГ.- 1995, № 2.

6. Rajagopal К., Malmuth N. D., Lick W. J. Calculation of transonic flows over bodies of varying complexity using slender body theory //

AIAA J.- 1989. V. 27, N 8.

7. Коул Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. — М.: Мир.—

1989.

8. Христианович С. А. Механика сплошной среды.— М.: Наука,— 1981. <■■■■■

9. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Закон стабилизации для трансзвуковых течений около тел вращения // Изв. АН СССР, МЖГ.- 1974, № 5.

Рукопись поступила 18/IX1995 г.