CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983
№ 4
УДК 533.6. 01].5
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАДИЕНТНОГО МЕТОДА К МИНИМИЗАЦИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
И. Н. Глушков, А. С. Тимонин
Рассмотрен градиентный метод нахождения срединной поверхности тонких крыльев, обладающих при заданной подъемной силе минимальным сопротивлением давления в сверхзвуковом потоке. В методе, основанном на теореме обратимости линейной теории, для построения улучшающей вариации используются расчетные распределения давления в прямом и обращенном потоке. На примере расчета треугольных крыльев показаны эффективность метода и его хорошая сходимость к оптимальному решению независимо от исходной формы поверхности крыла.
В работе [1] разработан градиентный метод оптимизации поверхности крыльев в сверхзвуковом потоке, основанный на линейной теории с использованием теоремы обратимости. Для реализации этого метода необходимо уметь рассчитывать распределение давления по поверхности крыла. В данной работе для этой цели выбран метод [2]. Представляет интерес исследование сходимости предложенной в [1] итерационной процедуры. Надо выяснить, сходятся ли последовательные приближения к искомому решению, насколько быстро достигается минимум сопротивления, зависит ли получающееся решение от начального приближения. Эти вопросы рассмотрены в данной- работе на примере минимизации сопротивления давления тонкого треугольного крыла с заданной подъемной силой в сверхзвуковом потоке.
Итак надо найти форму срединной поверхности крыла 5, при которой достигается минимум сопротивления давления
2 Г Г _
сх= ~),] Р1С18
при заданной подъемной силе
Су = ~ | ] р л э .
Здесь Сх— коэффициент сопротивления, С\, — коэффициент подъемной силы, 5— площадь крыла, р —коэффициент давления, 1 — местный угол атаки.
Следуя работе [1], рассмотрим функционал
3 = Сх + X Су ,
где X —множитель Лагранжа.
Как показано в работе [1], вариация углов атаки
оа = —¡1 (р-р*) ^ (1)
обеспечивает уменьшение сопротивления крыла. Здесь р*— распределение давления в обращенном потоке на крыле с углами атаки а = яисх +_ X; ¡л. — положительный множитель, аисх— исходное распределение углов атаки. Условие сохранения величины подъемной силы при варьировании срединной поверхности крыла
Я
позволяет определить константу X. Множитель ¡л выбирается из условия получения максимального выигрыша в сопротивлении на данном шаге итерационного процесса. При изменении ¡л в формуле (1) приращение функционала определяется квадратичной зависимостью:
â J = — [л j" j" (8а)2 dS -Ь (J-2 ,
2
где 5 а = р — р*, а ор—распределение давления, соответствующее распределению углов атаки о и. Отсюда получаем оптимальное значение ц:
(8 а)2 dS
¡•’•орг — 2 «р • (2)
\ ] оа 5pdS
5;
Множители X и [л. определяются на каждом шаге итерационного процесса.
В случае плоского сверхзвукового потока по формуле Аккерета:
— За«™ — 2
Р = —р . Р* = ~ у («исх + Ь) .
где р=Ум*о — j.
Подставляя эти соотношения в (1), получим
2
Bot = — [А-р- (2аисх -f X).
Оптимальное значение множителя ;х находим из (2)
JL
^opt — 4 •
Распределение углов атаки после первой итерации
X
“ = 5исх + ” ■
Таким образом, независимо от формы исходного профиля аисх, после первой итерации получаем плоскую пластину, которая, как известно, при заданной подъемной силе дает минимум сопротивления давления Сх. Можно показать, что одна итерация позволяет сразу получить оптимальное решение в плоском сверхзвуковом потоке и в случае других ограничений.
Исследуем особенности итерационного процесса для пространственных течений. Необходимые для расчета эпюры давления будем вычислять по программе [2].
Рассмотрим три исходных варианта крыльев. Крыло 1 — плоское треугольное крыло с прямой передней и стреловидной задней кромкой (рис. 1), где
Vœ — вектор скорости набегающего потока (?/tg х3. к = 0,8). Крыло 2—плоское треугольное крыло СО стреловидной передней (P/tg-¡(.„.к = 0,8) и прямой задней кромкой. Здесь Хз. к и Хп к — углы стреловидности задней и передней кромок соответственно. Крыло 3—по форме в плане совпадает с крылом 2, но имеет предварительную деформацию сечений в виде параболической дужки с относительным прогибом /=2%, т. е. в случае крыльев 2 и 3 взяты разные исходные приближения.
Иры по 1
/\р
V 1,2
0,8
V
ч
1,2
о,8 ол
г=[7
\ 10-я итерации
Л--------давление В прямом
V потопе
\\-------давление боВращен-
ном потопе /\ с
\| X
(\ 0,1
О а,15 0,5 0,75 х а
2=0 Ч-я итерации
Ар
0,8
0,4
’ а 0,15 0,5 0,75 х
г = 0 0~я итерация
О 0,25 0,5 0,15 х
Рис. 1
г = 0,25
^Ч-я итерация
На рис. 1 приведены распределения перепада давления Ар между нижней и верхней поверхностью по центральному сечению (г = 0) крыла / в прямом и обращенном потоке для различных итераций при значении Су = 1 и р = ¡. Здесь и на рис. 2 продольная координата х отнесена к местным хордам, а поперечная координата г — к полуразмаху крыла. Выделено центральное сечение г — 0, так как расчеты показали, что в этом сечении итерационный процесс сходится медленнее, чем в остальных. Видно, что эпюры давления в прямом и обращенном потоках сближаются между собой, а величина градиента, пропорциональная раз-
нице этих давлений, уменьшается. Относительный выигрыш в величине сопро-
— СX пл Сх деф „
тивления характеризуется величиной АСХ= --------—--------, где Схпл— сопро-
^X пл
тивление давления исходного крыла 1, а Схлеф — сопротивление того же крыла с деформацией срединной поверхности, соответствующей Д^-й итерации. Величина сопротивления от 4-й до 10-й итерации уменьшилась на 2%, в то время как за одну 1-ю итерацию уменьшение составило 12%, а к 4-й итерации — 18% (см. рис. 1).
Сравним полученные выигрыши в сопротивлении с результатами других авторов. Задача построения крыльев минимального сопротивления решалась в работах [3, 4] методом Ритца. Например, в работе [4] оптимальная форма сре-
пт
динной поверхности находилась в классе полиномов вида у (х, г) = ^ ^ аЧ х' '
¡-о /=о
При использовании первых шести членов полинома выигрыш в сопротивлении составил 14%, а при использовании первых восьми членов полинома — 17%. Видно, что в рассматриваемом случае выигрыш в сопротивлении после 1-й итерации примерно такой же, как был получен в работе [4] при использовании шести членов полинома, а выигрыш после 4-й итерации несколько превышает эффект, полученный при использовании восьми членов полинома.
Таким образом, применение градиентного метода, в котором заранее не ограничивается класс функций, описывающих деформацию крыла, позволяет за сравнительно небольшое количество итераций получить существенный выигрыш в сопротивлении давления.
На рис. 2 сравниваются формы сечений крыльев 2 и 3 (плоского и предварительно деформированного) после 4-й итерации. Здесь координата у отнесена к местным хордам. Видно, что после выполнения 4-й итерации формы сечений этих крыльев уже очень близки, т. е. различия в форме сечений, обусловленные разницей в исходных приближениях, исчезают довольно быстро. Следующие итерациии для формы сечений крыльев 2 и 3 практически совпадают. Таким образом, выбор начального приближения в рассматриваемом примере не повлиял на ход итерационного процесса. Относительные выигрыши в сопротивлении по итерациям для крыла 2 совпадают с зависимостью, приведенной на рис. 1 для крыла 1.
Проведенное исследование показывает, что градиентный метод построения оптимальных крыльев на базе расчетных распределений давления в прямом и обращенном потоке является эффективным способом нахождения форм поверхностей тонких крыльев с минимальным сопротивлением давления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глушков Н. Н., КротковД. П., Ш к адов Л. М. Вариация аэродинамической формы тела, приводящая к уменьшению его сопротивления. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 2, 1972.
2. Тимонин А. С. Метод расчета аэродинамических характеристик крыльев сложной формы в плане в сверхевуковом потоке газа. Труды ЦАГИ, вып. 1743, 1976.
3. Гладков А. А. Расчет аэродинамических характеристик крыльев в сверхзвуковом потоке. Труды ЦАГИ, вып. 1235, 1971.
4. Л о г и н о в И. П., Якимов Г. Л. Расчетные исследования характеристик сопротивления и особенностей обтекания неплоских крыльев при сверхзвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 1198, 1970.
Рукопись поступила 26/11 1682 г.
