CC BY
114
Сер. 10. 2010. Вып. 3
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ХРОНИКА
В. И. ЗУБОВ
(к 80-летию со дня рождения)
Эта статья посвящается памяти В. И. Зубова, выдающегося ученого, математика и механика, одного из ярчайших последователей академика А. М. Ляпунова, внесшего неоценимый вклад в развитие теории устойчивости движения и теории оптимального управления в конце XX столетия.
1. Краткая биография В. И. Зубова. Выдающийся русский ученый Владимир Иванович Зубов в течение 32 лет возглавлял кафедру теории управления Санкт-Петербургского государственного университета. Он был избран по конкурсу 25 декабря 1967 г., с 1 января 1968 г. вступил в должность заведующего кафедрой и оставался в этой должности до конца своей жизни, последовавшего 28 октября 2000 г. Умер Владимир Иванович в свой юбилейный год — 14 апреля 2000 г. ему исполнилось 70 лет. Многочисленные поздравления, в том числе от Академии наук, губернатора города, президента страны, а также многочисленные выступления на чествовании юбиляра оставили значительный материал для составления биографии этого выдающегося человека.
В соответствии с документами В. И. Зубов родился в г. Кашире Московской области. Возможно, что на самом деле он родился в Москве на Тверском бульваре, д. 8. Все дело в том, что происходил он из семьи купцов 1-й гильдии, лишенной прав и состояния в 1917 г. Мать и отец Владимира Ивановича в течение 30 лет несправедливо проживали в нежилых помещениях, в том числе в течение 20 лет они были лишены гражданских прав. Детство и отрочество Владимира Ивановича прошли в Москве и Кашире, закончились же в Ленинграде. В возрасте 14 лет с Владимиром Ивановичем произошел несчастный случай. В результате взрыва гранаты, которых оставалось много со времен недавно отгремевших битв под Москвой, он повредил себе глаза. Долго лечился, но спасти зрение не удалось. В итоге он оказался в ленинградской спецшколе для слепых и слабовидящих. В год окончания ленинградской спецшколы, в апреле 1949 г., он становится победителем 15-й Ленинградской городской математической олимпиады школьников и в том же году подает документы для поступления на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. В приеме документов ему было отказано. Только после личной поездки в Москву на прием к министру и его разрешения документы были приняты, и Владимир Иванович, сдав восемь экзаменов по общему конкурсу, поступил на I курс математико-механического факультета Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова. Здесь он увлекся семинаром тогда еще члена-корреспондента АН СССР, профессора Александра Даниловича Александрова. Со II курса студент Зубов включился в работу семинара по устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений под руководством Николая Павловича Еругина. Здесь он нашел свое научное направление и получил свои первые научные результаты. Студенческая жизнь Владимира Ивановича имела и другие особенности. Ему рано стали давать на рецензию анонимные работы, на которые он писал содержательные отзывы с припиской - «Все правильно, как у Ляпунова». Позже, лет через 10, Владимир Иванович узнал, что это были статьи сидевшего в тюрьме, впоследствии видного ученого, Юрия Станиславовича Богданова. Особенности тогдашнего политического климата требовали осторожности и дипломатичности от старших коллег и учителей Владимира Ивановича — Н. П. Еругина и доцента В. П. Басова, и они
поручали это рискованное дело молодому Зубову. В итоге эта деятельность В. И. Зубова привела к тому, что Ю. С. Богданов был освобожден. (У Богданова тоже были особенности в биографии: он хотя и воевал с немцами, но в рядах западных союзников, за что и пострадал.) Этот эпизод характерен для биографии Владимира Ивановича, познавшего и недоброжелательность завистников, и христианское сострадание, и помощь простых людей. Это сделало его отзывчивым к чужой боли и благодарным за участие к своей. С особой теплотой Владимир Иванович всегда вспоминает своих учителей, сыгравших большую роль в его судьбе. Кроме работ Богданова, Владимир Иванович получал и другие рукописи для изучения. Как позже оказалось, это были работы американских ученых, написанные по заказу Пентагона для военной авиации. Уже в более поздние времена при личной встрече с американским математиком Генри Антосиевичем Владимир Иванович сказал ему, что знакомился с его работами еще студентом. Пояснил ситуацию удивленному Антосиевичу присутствовавший при этом Николай Николаевич Красовский, который заметил, что Зубов тоже работает по спецтематике в той же области, что и Антосиевич. Этот эпизод также характерен для биографии Владимира Ивановича - он со студенческих лет в течение многих десятилетий вел работы по оборонной тематике.
Владимир Иванович окончил университет с дипломом с отличием на год раньше срока. Поскольку с 1952 г. он был членом КПСС, то дальнейшая его судьба в подавляющей степени зависела от парткома университета, который рекомендовал В. И. Зубова в аспирантуру по философии. Владимир Иванович в заявлении в партком писал, что его обучение в аспирантуре на философском отделении будет более содержательным, если он в течение полугода завершит математическую кандидатскую диссертацию «Границы области асимптотической устойчивости». К счастью для многочисленных претендентов на философскую вакансию, партком согласился. Работа была подана в указанный срок, но научный руководитель Н. П. Еругин сказал, что эта диссертация должна быть защищена так, чтобы о ней узнал весь научный мир. Защита состоялась в ноябре 1955 г. Оппонентами были известные ученые Е. А. Барба-шин и Н. Н. Красовский. Буквально после защиты приказами ректора А. Д. Александрова по университету и директора академика В. И. Смирнова по НИИММу Владимир Иванович, уже как кандидат физико-математических наук, был зачислен в НИИММ в качестве исполняющего обязанности старшего научного сотрудника с последующим избранием по конкурсу. Тогда ученая степень присуждалась сразу решением совета, на котором проходила защита. Через полгода после защиты кандидатской диссертации Владимир Иванович принес директору рукопись по устойчивости инвариантных множеств динамических систем. Перелистав ее, академик Смирнов сказал: «Давайте издадим ее в виде книги и будем по ней защищать докторскую диссертацию». Так в 1957 г. в Издательстве ЛГУ появилась монография В. И. Зубова «Методы Ляпунова и их применение». Она была посвящена 100-летию А. М. Ляпунова и открывалась портретом этого выдающегося ученого и предисловием академика В. И. Смирнова. После выхода в свет этой монографии к Владимиру Ивановичу стали обращаться с вопросами инженеры, конструкторы и руководство различных конструкторских бюро, с которыми он плодотворно сотрудничал и после многие годы. Докторскую диссертацию Владимир Иванович защищал в апреле 1960 г. в Ленинградском политехническом институте по названной монографии. К этому времени В. И. Зубов выпустил в свет еще одну книгу - «Математические методы исследования систем автоматического регулирования», явившуюся результатом его сотрудничества с инженерами. Следует сказать, что, оставаясь в университете, он уже являлся штатным заместителем Генерального конструктора Чарина Николая Авксентьеви-ча, в ведомстве которого также издал книгу под названием «Один метод интегрирования дифференциальных уравнений движения на участке самонаведения». Оппонентами на защите у Владимира Ивановича были известные ученые Е. А. Барбашин, В. Г. Болтянский, А. М. Летов. Отзыв сторонней организации давал Н. Н. Красовский, а с места работы - В. И. Смирнов, который с 1957 г. уже не был директором НИИММа. Председательствовал на защите профессор Г. Ю. Джанелидзе, декан профильного факультета ЛПИ, в качестве членов совета были известные ученые: вице-президент АН СССР Б. П. Константинов, профессора
Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье и др. Решение совета в пользу защищающегося было единогласным. Столь подробное описание защиты Владимира Ивановича уместно, хотя бы для того, чтобы объяснить читателю, что провести в доктора Владимира Ивановича, несмотря на его очевидные достижения и заслуги, было очень трудно без усилий научного сообщества и почему в личном деле защищающегося в графе «место работы и должность» стояло «штатный заместитель Генерального конструктора», а не университет, где он действительно работал. 12 ноября 1960 г. ВАК присвоил В. И. Зубову степень доктора физико-математических наук. Представлял диссертацию на пленуме ВАК известный ученый, специалист в области автоматического регулирования Евгений Павлович Попов. Поскольку уже с 1957 г. Владимир Иванович вел городской семинар по процессам управления и устойчивости, то вполне понятна, особенно после защиты докторской диссертации, государственная поддержка, а позднее и государственные полномочия, данные ему в этой области. Так, в 1962 г. Владимир Иванович становится заведующим лабораторией теории управляющих устройств и механизмов в НИИММе. В 1963 г. он получает звание профессора. В 1967 г. открывает кафедру теории управления и становится ее заведующим. Эту кафедру он возглавлял до своей смерти. В 1968 г. Владимир Иванович становится лауреатом Государственной премии СССР. По этому поводу Президент АН СССР академик М. В. Келдыш писал в газете «Правда» от 9 ноября того же года в статье «В авангарде технического прогресса»: «Широкую известность у нас и за рубежом получили работы В. И. Зубова. Проведенные им глубокие исследования по теории устойчивости движения, теории автоматического управления и теории оптимальных процессов позволяют решать важные прикладные проблемы, в частности, в области конструирования управляющих автоматов, стабилизации программных движений. Методы В. И. Зубова эффективны и в приложении к задачам управления, возникающим в промышленности, математической экономике, биологии и медицине, судовождении».
В 1969 г. в ЛГУ открывается факультет прикладной математики-процессов управления, и Владимир Иванович назначается его деканом. В том же году в семье Владимира Ивановича (женат с 1950 г., его супруга Зубова (Хитрина) Александра Федоровна - доктор технических наук, профессор, лауреат Государственной премии Республики Мордовия) рождается шестой ребенок. Отступая от хронологии, следует сказать, что в настоящее время семья В. И. Зубова имеет двадцать одного внука. В 1971 г. при активном участии Владимира Ивановича в ЛГУ создается НИИ вычислительной математики и процессов управления, с определенной правительством тематикой работ. Возглавлять все эти работы поручается В. И. Зубову. До самой своей смерти Владимир Иванович был лидером и неформальным руководителем факультета и НИИ, ныне носящего его имя.
Владимир Иванович в течение ряда лет был членом редколлегии журнала «Дифференциальные уравнения» и рецензировал по поручению Н. П. Еругина наиболее трудные рукописи по профилю журнала. В 1981 г. Владимир Иванович избирается членом-корреспондентом АН СССР. В 1998 г. получает звание «Заслуженный деятель науки Российской Федерации».
Глубокие знания Владимира Ивановича, его большая эрудиция, любовь к жизни, чуткое отношение к людям делали притягательной его гостеприимную квартиру для многочисленных учеников, начиная со студентов и кончая седыми профессорами. Недаром у него одна из самых сильных научных школ в мире по теории устойчивости и процессам управления.
2. Основные направления научных исследований В. И. Зубова. Одним из широко известных результатов В. И. Зубова является его теорема об области асимптотической устойчивости. Эта теорема не только строго решает сформулированную проблему, но востребована также конструкторами и специалистами в области теории управления. Отправной точкой для исследований В. И. Зубова была работа А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». В 50-е годы прошлого века в работах В. И. Зубова и других ученых было доказано существование функций Ляпунова в случае устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенных движений, что позволило с уверенностью искать функции Ляпунова, решающие вопрос об устойчивости, для различных классов систем дифференциальных уравнений. В. И. Зубов первым решил проблему оценки множества начальных
данных, находящихся в области притяжения асимптотически устойчивого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предположим, что система уравнений в отклонениях от частного (невозмущенного) асимптотически устойчивого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений описывается векторным уравнением относительно возмущений
^ = /(*), /(0) = 0, feC\En).
Теорема 1. Для того чтобы наперед заданная инвариантная область, содержащая точку, была областью асимптотической устойчивости нулевого решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V(х) и р(х), обладающие следующими свойствами:
1) функции V(х),^(х) заданы в А, вещественны, непрерывны и V(х) непрерывно дифференцируема;
2) функция V(х) определенно-отрицательная и функция ^(х) определенно-положительная;
3) в области А справедливы условия:
— 1 <V(х) < 0 при х е А, х = 0,
= <р(х) ■ лЛ + /20) • (1 + ^0))-
Следствие. Уравнение границы области асимптотической устойчивости задается 'равенством V (х) = —1.
В аналитическом случае это уравнение интегрируется в виде рядов, на основе которых развиваются приближенные методы построения границы. Опираясь на свойства построенной функции А. М. Ляпунова, В. И. Зубов установил общий вид систем, имеющих наперед заданную область асимптотической устойчивости невозмущенного решения, в том числе получил необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в целом. Для управляемых динамических систем им было показано, что область асимптотической устойчивости будет наибольшая при использовании оптимального стабилизирующего управления. Следует отметить вклад Владимира Ивановича в решение проблемы стабилизации. На основе предложенного им канонического преобразования система с несколькими управляющими переменными приводится к виду, известному как каноническая форма Андерсона-Зубова-Луенбергера. Анализ этой канонической формы позволил установить критерий стабилизируемости системы и предложить конструктивный способ отыскания стабилизирующих управлений. Опираясь на метод функций Ляпунова, В. И. Зубов показал возможность стабилизации системы с помощью дискретных и релейных регуляторов. Владимир Иванович использовал второй метод Ляпунова как универсальный инструмент анализа и синтеза управляемых систем. Хорошей иллюстрацией этого служит предложенный им метод оптимального демпфирования, который открыл новые возможности для построения оптимальных и субоптимальных управлений.
Рассмотрим систему линейного приближения для дифференциальных уравнений, описывающих колебания гироскопической системы:
. й2Х ТТ . йХ . ^ „
А0 • -трг + н ■ А1 ■ -ГГ + А2 ■ X = О, аЬ2 аЬ
где Ао,А1,А2 - постоянные квадратные невырожденные матрицы порядка п; X - вектор искомых переменных; Н - величина кинетического момента.
Теорема 2. Если корни уравнения ¿е^А0 • Л + А1) = 0 все различны и корни уравнения ц + А2) =0 также различны, то 'рассматриваемая система дифференциальных
уравнений имеет 2п решений:
= ехР(л^)) ' СЛ<*), 7 = 1 ,-,п, где а = ^ образующих фундаментальную систему решений рассматриваемых уравнений.
Сравнение найденных решений с решениями, доставляемыми прецессионной теорией, позволило установить пределы применимости последней, а также выявить случаи, когда прецессионная теория дает качественно неверное заключение о развитии колебаний в гироскопических системах. Весьма существенным было продвижение В. И. Зубова при анализе динамики несимметричного твердого тела, вращающегося по инерции вокруг неподвижной точки. Им было установлено, что периоды прецессионных и нутационных колебаний являются первыми интегралами, отношение которых определяет, будет ли движение твердого тела периодическим или почти периодическим. При этом оказалось, что отношение таких интегралов может стать иррациональным при сколь угодно малых изменениях начальных данных, определяющих движение твердого тела, или при сколь угодно малых изменениях распределения масс внутри твердого тела. Это позволило сделать вывод, что определение прецизионной ориентации на наземных измерительных пунктах не может основываться на применении периодических закономерностей. Для построения законов управления (управляющих моментов) вращательным движением твердого тела В. И. Зубов применил второй метод Ляпунова. Это позволило перейти от линейных моделей к нелинейным. Удачный выбор моделей движения тел с полостями, заполненными жидкостью, и тел, несущих упругие конструкции, позволил распространить данный подход и на указанные объекты и эффективно решать научные и инженерные задачи. Следующая теорема являлась основой для решения сформулированных выше задач.
Пусть твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, описывается системой дифференциальных уравнений
где ш - вектор угловой скорости; в - тензор инерции; М - момент сил, приложенных к телу. Положим орт в - неизменным в абсолютном пространстве, а орт г - неизменным в твердом теле.
Теорема 3. Положение равновесия г = в, ш = 0 твердого тела при управлении
асимптотически устойчиво по Ляпунову при любом выборе к > 0. Любое вращательное движение твердого тела, отличное от положения равновесия г = в, ш = 0, будет обладать свойством ш —► 0, г —> в при і —> +то, при надлежащем выборе к > 0.
Особенно необходимо отметить теорему В. И. Зубова о каноническом разложении силовых полей на потенциальную и гироскопическую составляющие в нелинейном случае.
Теорема 4. Если п-мерная векторная функция f (і,х) задана при і ^ 0,х Є Еп, вещественна и непрерывна, и функция -ю(і,х) = (х, ^(і,х)) непрерывно дифференцируема по компонентам вектора х, то существует функция V(і, х), заданная при і ^ 0,х Є Еп, вещественная, непрерывная и непрерывно дифференцируемая по компонентам вектора х и такая, что векторное поле f (і,х) представимо в форме
где Р - кососимметричная матрица порядка п, элементы которой являются непрерывными функциями параметра Ь и компонент вектора х.
Данный результат был использован В. И. Зубовым в задачах управления конечномерными голономными механическими системами. Существенное развитие в работах В. И. Зубова получило решение задачи анализа устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Для систем дифференциальных уравнений с однородными правыми частями им было доказано, что если нулевое решение однородной системы асимптотически устойчиво, то для нее существует однородная функция Ляпунова,
в——|- ш х вш = М,
йі
М = —ш + к ■ г х в
удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Он показал, что эта функция Ляпунова может быть найдена как решение специальным образом построенной системы уравнений в частных производных. С помощью полученных результатов ему удалось оценить время переходных процессов в асимптотически устойчивых однородных системах, установить критерии устойчивости и диссипативности нелинейных систем по однородному первому приближению, вывести новые условия устойчивости в критическом случае нескольких нулевых корней и в критическом случае нескольких пар чисто мнимых корней. Кроме того, он распространил указанные результаты на системы с обобщенно-однородными правыми частями и на задачу об устойчивости по обобщенно-однородному первому приближению. В. И. Зубов также сформулировал и получил ряд результатов при решении задач об устойчивости по первому, в широком смысле, приближению. Он исследовал проблему устойчивости нулевого решения при всевозможном допустимом выборе функций, входящих в первое приближение. Им был предложен способ построения решений нелинейной системы уравнений в окрестности регулярной особой точки. Данная задача была поставлена в работах Брио и Буке, а некоторые ее частные случаи были изучены Пуанкаре и Пикаром. Владимир Иванович рассмотрел до конца те случаи, которые были оставлены в стороне Пуанкаре и Пикаром. Оказалось, что эти случаи всегда имеют место в динамике самонаведения. Тем самым ему удалось решить важную задачу современной прикладной теории управления - найти полную совокупность всех траекторий на участке самонаведения.
Одним из основных направлений научных исследований В. И. Зубова являлся анализ стационарных колебаний нелинейных систем. Он исследовал вопросы существования и разрабатывал методы построения стационарных режимов, изучал поведение интегральных кривых, располагающихся в окрестности этих режимов. В его работах развиты методы построения собственных и вынужденных колебаний для систем со многими степенями свободы. При этом применялся метод малого параметра, а также им предложенный метод последовательных приближений, позволяющий в ряде случаев получить более полные результаты, касающиеся возникновения периодических и почти периодических движений и выявления их внутренней связи. В. И. Зубов установил критерий периодической и почти периодической конвергенции в нелинейных системах. Данный критерий имеет качественный характер. Им также был предложен конструктивный способ проверки выполнения условий этого критерия, основанный на применении специальных функций, подобных тем, которые были введены А. М. Ляпуновым для анализа устойчивости. В. И. Зубов разработал новый метод исследования поведения интегральных кривых в окрестности периодической орбиты. Этот метод основан на переходе от исходной системы уравнений к некоторой другой системе, которая описывает поведение изображающей точки с помощью нормальной гиперплоскости к периодической орбите. С помощью такого преобразования системы уравнений были получены новые результаты относительно устойчивости по Ляпунову периодических решений, а также сформулированы необходимые и достаточные условия того, чтобы заданное периодическое решение являлось автоколебанием.
Применение предложенного В. И. Зубовым подхода к системам дифференциальных уравнений, имеющим несколько периодических орбит, позволяет упростить решение аналитических задач в различных областях современной науки, в том числе получить принципиально новые уравнения небесной механики. В. В. Немыцким была сформулирована проблема изучения таких решений систем дифференциальных уравнений, для которых существуют предельные многообразия при неограниченном возрастании и убывании времени, но эти предельные множества не являются инвариантными множествами рассматриваемых систем. В. И. Зубов показал, что в широком классе случаев такое поведение движений сводится к появлению асимптотических положений покоя. Он исследовал условия возникновения указанных положений и доказал, что они могут иметь место в системах дифференциальных уравнений, находящихся под действием исчезающих со временем возмущений. Кроме того, им установлено, что вынужденные колебания, возникающие в возмущенных системах, могут оказываться затухающими, если вынуждающая сила представляет собой колебательный процесс с частотой,
нарастающей со временем. При этом амплитуды возмущений могут не стремиться к нулю и, более того, принимать сколь угодно большие значения.
В. И. Зубов исследовал также поставленную А. А. Андроновым проблему сохранения автоколебаний при наличии возмущений. Он определил условия, при выполнении которых траектории возмущенных систем асимптотически приближаются к автоколебательным режимам исходных систем. Такие предельные режимы были названы им асимптотическими автоколебаниями. В. И. Зубовым была решена обратная задача электродинамики - по заданному полю скоростей заряженных частиц им найдены напряженности электрического и магнитного полей, которые вызывают заданное движение, получены уравнения для всевозможных полей такого рода, установлена теорема универсальности уравнений электродинамики. Именно, каким бы поле заряженных частиц ни задавалось, обязательно существуют такие пространственная плотность тока и плотность зарядов, которые создают электромагнитное поле, инициирующее движение заряженных частиц, идентичное тому, которое происходит в заданном поле скоростей. Полученные результаты были применены для проектирования электрофизической аппаратуры различного назначения. В. И. Зубовым впервые введено понятие общей динамической системы в метрическом пространстве. От задачи исследования устойчивости отдельных траекторий им был совершен переход к задаче анализа устойчивости инвариантных множеств динамических систем. В его работах изучено качественное строение окрестности устойчивого инвариантного множества, проведено обобщение второго метода Ляпунова для решения вопросов об устойчивости инвариантных множеств общих динамических систем. Им разработан метод оценки расстояния движения до инвариантного множества, доказана теорема об области асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего инвариантного множества, предложен метод нахождения границы области асимптотической устойчивости. Особое внимание было уделено построению теории динамических периодических систем. Полученные результаты применялись для исследования устойчивости систем уравнений в частных производных.
Одной из важнейших задач теории динамических систем является задача анализа стационарных колебаний, возникающих в этих системах. Дж. Биркгофом было доказано, что наиболее общий класс стационарных колебаний динамических систем описывается рекуррентными функциями. В. И. Зубов разработал аналитическую теорию представления эргодических классов рекуррентных функций. Он показал, что пространство рекуррентных функций полно, но не является ни линейным, ни транзитивным. Предложенный им подход основан на разбиении пространства рекуррентных функций на отдельные классы функций, имеющих относительно плотное множество общих почти периодов. Для проведения такого разбиения им была обобщена теорема Кронекера о существовании совместных решений систем неравенств. Для построенных эргодических классов рекуррентных функций В. И. Зубовым была доказана теорема об аппроксимации функций из заданного класса тригонометрическими полиномами специального вида, представляющая собой обобщение известной теоремы Вейерштрасса. Кроме того, им разработан математический аппарат для аналитического представления движений, устойчивых по Пуассону. В. И. Зубов разработал теорию опорного плана, на основе которой было создано соответствующее математическое обеспечение для вычислительных машин. Построенная математическая модель позволяла связать начальное, промежуточные и конечное состояния развивающихся отраслей народного хозяйства и решить задачи первоначального распределения капиталовложений по городским отраслям народного хозяйства и перераспределения финансирования отраслей в случае возникновения непредвиденных ситуаций.
3. Прикладные исследования В. И. Зубова. Фундаментальные исследования ученого всегда носили прикладную направленность. Он принимал активное участие в работах по следующим направлениям:
1. Создание систем инерциальной навигации, где решил проблему девиации осей гироскопических систем в зависимости от нутационных колебаний и кинетического момента инерции роторов гироскопов.
2. Проектирование, создание и эксплуатация систем самонаведения крылатых снарядов (в качестве штатного заместителя Генерального конструктора).
3. Создание прецизионных систем контроля положения космических летательных аппаратов для системы «Протон» по заданию Межведомственного научно-технического совета по космическим исследованиям (МНТС по КИ, председатель - президент АН СССР М. В. Келдыш).
4. Создание систем управления вращательным движением космических летательных аппаратов для прецизионной ориентации чувствительных осей приборов на основе магнитогидродинамических систем управления движением проводящей жидкости в замкнутых контурах.
5. Решение проблемы управления пучками заряженных частиц с целью их транспортировки в заданном физическом канале, фокусировки и ускорения.
6. Передача информации с помощью привлечения аппарата рекуррентных функций, не допускающая в ограниченное время влияния противодействующих помех на процесс управления (в инженерной практике принята терминология «датчики случайных чисел» и управление с помощью этих датчиков).
7. По представлению академиков М. А. Лаврентьева, С. Л. Соболева и С. А. Христиано-вича с 1960 г. В. И. Зубов был назначен руководителем группы планирования оперативнотактических действий Военно-Морского Флота СССР на всех театрах возможных военноморских действий с целью нейтрализации авианосных ударных соединений США.
Во всех направлениях указанной сугубо практической деятельности В. И. Зубовым были получены фундаментальные научные результаты в области процессов управления и устойчивости движения.
Список монографий В. И. Зубова
1. Методы А. М. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. 242 с.
2. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Суд-промгиз, 1959. 324 с.
3. Mathematical methods of the study of automatic control systems. New York etc.: Pergamon Press; Yerusalem: Academic Press, 1962. 327 p.
4. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 630 с.
5. Methods of A. M. Lyapunov and their applications. Groningen (Netherl.): NoordHoff Ltd., 1964. 263 p.
6. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Суд-промгиз, 1966. 352 с.
7. Динамика свободного твердого тела и определение его ориентации в пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968. 208 с. (совместно с В. С. Ермолиным и др.).
8. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 317 с.
9. Задача оптимального распределения капиталовложений. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1971. 26 с. (совместно с Л. А. Петросяном).
10. Лекции по теории управления. Ч. 1. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 203 с.
11. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа, 1973. 271 с.
12. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. 2-е изд. Л.: Машиностроение, 1974. 335 с.
13. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.
14. Theorie de la commande. М.: Mir, 1978. 470 p. (на франц. языке).
15. Управление вращательным движением твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 200 с. (совместно с В. С. Ермолиным, С. Л. Сергеевым, Е. Я. Смирновым).
16. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. 400 с.
17. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.
18. Теория уравнений управляемого движения. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 288 с.
19. Устойчивость инвариантных множеств динамических систем. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1980. 80 с.
20. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. 285 с.
21. Математические методы в планировании. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 80 с. (совместно с Л. А. Петросяном).
22. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 343 с.
23. Периодические динамические системы. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1983. 88 с.
24. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.
25. Математическая проблема квантования. Саранск: Изд-во Саратов. ун-та, Саранск. филиал, 1989. 56 с.
26. Mathematical theory of the motion stability. СПб.: АО «Мобильность», 1997. 340 р. (на английском языке).
27. Theory of oscillations. Singapore etc.: World Scientific, 1999. 400 p.
28. Процессы управления и устойчивость: сб. статей, опубл. в журн. Докл. АН. СПб.: НИИ химии C.-Петерб. ун-та, 1999. 325 с.
29. Проблема устойчивости процессов управления. 2-е изд. СПб.: НИИ химии C.-Петерб. ун-та, 2001. 354 с.
30. Динамика управляемых систем. 2-е изд. СПб.: Изд-во C.-Петерб. ун-та, 2004. 380 с.
31. Границы области асимптотической устойчивости. СПб.: АООТ «Мобильность плюс», 2007. 85 с.
А. Ю. Александров, А. П. Жабко, А. А. Мартынюк, Д. А. Овсянников, Л. А. Петросян, В. Л. Харитонов
