CC BY
19
УДК 621.3.011.7:531.391:517.925.53 DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-9
В. С. Елфимов, А. В. Щенников, В. Н. Щенников
КОНВЕРГЕНТНОСТЬ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация.
Актуальность и цели. Как известно, свойство конвергенции динамических процессов отражает свойство устойчивости установившихся движений. Свойство конвергенции является важным свойством при решении различных задач электротехники. Следует также отметить, что каждая динамическая система в электротехнике должна обладать свойством конвергенции. В данной работе исследуются на конвергентность линейные, нелинейные и многосвязные управляемые динамические системы, описывающие линейные, нелинейные и многосвязные электрические цепи. В процессе исследования медико-биологических проблем возникают также подобные системы. Рассматриваемые в работе математические модели являются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойство конвергенции здесь означает, что система дифференциальных уравнений имеет единственное периодическое решение, определенное при всех |/| , равномерно асимптотически устойчивое в целом.
Материалы и методы. Рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями электрических цепей. Используются первый и второй методы Ляпунова закономерностей перехода между состояниями мультиферментного комплекса с возмущениями.
Результаты. Основные результаты статьи заключаются в определении методов исследования на конвергентность математических моделей, описываемых линейными, нелинейными и многосвязными системами обыкновенных дифференциальных уравнений и, кроме того, доказаны новые теоремы о конвергенции.
Выводы. Научные результаты статьи развивают теорию электрических цепей. Применительно к многосвязным системам, описывающим динамические процессы медико-биологических систем, доказана новая теорема о конвергенции.
Ключевые слова: конвергентность, управляемая динамическая система, асимптотическая устойчивость.
V. S. Elfimov, A. V. Shchennikov, V. N. Shchennikov CONVERGENCE OF OPERATED DYNAMIC SYSTEMS
Abstract.
Background. It is well known that convergence of dynamic processes reflects the property of stability during steady-state motions. The property of convergence is of
© 2018 Елфимов В. С., Щенников А. В., Щенников В. Н. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/ by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
crucial importance in solving various problems in electrical engineering. It should also be noted that each dynamic system must be convergent. It should also be noted that each dynamic system in electrical engineering should possess such quality as convergence. In this paper, we study, in terms of convergence, linear, nonlinear and multivariable controlled dynamical systems that describe the linear, nonlinear, and multivariable electric circuits. When studying biomedical problems such systems are available as well. The mathematical models considered in the paper are systems of ordinary differential equations. The convergence here implies that the system of differential equations has a unique periodic solution, uniformly asymptotically stable in general.
Materials and methods The article presents ordinary differential equations, which are mathematical models of electric circuits. We use the first and second methods of Lyapunov transfer laws between states multienzyme complex disturbances.
Results. Main results of the article are to define the methods to be used to study the convergence of mathematical models described by linear, nonlinear and multivariable systems of ordinary differential equations. And in addition, new theorems about the convergence were substantiated.
Conclusions. The scientific results of the article develop the theory of electric circuits. A new theorem about the convergence is substantiated in terms of multivariable systems, describing the dynamic processes in medico-biological systems.
Key words: convergence, the operated dynamic system, asymptotic stability.
Введение
Хорошо известна [1, гл. 1, 5 и 6] теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Согласно этой теории общее решение линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений складывается из общего решения соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений и частного решения исходной линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Поясним это.
Пусть дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений
dx
^ = Ax + fit), (1)
dt
|iin,n t
аЛ есть постоянная матрица; f(t) = (f1(t),...,fn(t)) , 111,1
fs e C(|t| <+^) и ограниченные, s = 1, n . Верхний индекс T означает транспонирование.
Обозначим через xgo(t) общее решение соответствующей линейной однородной системы
dx
— = Ax , (2)
dt
а через r(t) обозначим частное решение системы (1).
Тогда общее решение системы (1), как известно, будет иметь вид
x(t) = xoo(t) + r (t). (3)
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Решение задач о конвергенции
Общее решение системы (2), как известно [1, гл. 1, 5 и 6], имеет вид
k Xt
X00(t) = 2 Pj (t)e 1 , j=1
где Pj (t) - полиномы, степень которых на единицу меньше кратности корня Xj, (j = Ц), k < n .
Предположим, что корни характеристического уравнения
det(A -XE) = 0
имеют отрицательные действительные части, т.е.
Re Xj (A) < 0, j = k < n .
Тогда нулевое решение системы (2) будет асимптотически устойчивым [1, гл. 8]. Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 1. Если нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво, то система (1) обладает свойством конвергенции.
Результат теоремы следует из представления общего решения системы (1) (см. (3)).
Если система (1) имеет единственное ю -периодическое решение, равномерно асимптотически устойчивое в целом, то будем говорить, что система (1) обладает свойством периодической конвергенции.
Примечание. Пусть Re X j (A) < 0 , j = 1, n, и им соответствуют простые
элементарные делители. Тогда при fs (t + ю) = fs (t), s = 1,n, система обладает свойством периодической конвергенции.
Пример. Рассмотрим электрическую цепь. Пусть имеем ЭДС, равную e(t). Подключим к источнику ЭДС контур, который состоит из последовательных соединений катушки индуктивности L, емкостного сопротивления R и емкости C . Требуется найти ток i как функцию времени t, т.е. i = i(t),
если ток и заряд конденсатора при t = 0 равны соответственно нулю. Данная задача является типичной для теории электрических цепей [2].
Дифференциальное уравнение, описывающее указанную цепь, имеет вид [2, 3]
2
Td i „ di i de(t)
L—+ R— + - = -±± . (4)
dt2 dt c dt
Известно [1], что данное уравнение можно записать в виде линейной системы второго порядка. Этого делать не будем, так как структура общего решения имеет также вид (3).
Положим в этом уравнении
de(t)
—— ::= Ею cos rot,
dt
где Е и ю - вещественные постоянные.
Соответствующее уравнению (4) линейное однородное дифференциальное уравнение имеет корни характеристического уравнения
42 =-ТГ±
R . ÍR2 1
2L V 4L2 LC '
R2 1
Если —----< 0, то корни Я ^2 будут иметь отрицательные дей-
4L2 LC
ствительные части. Следовательно, нулевое решение уравнения 2
d i R di 1
—— +----1--= 0 асимптотически устойчиво.
dt2 Ldt LC
Таким образом, из формулы (3) следует, что уравнение (4) обладает свойством периодической конвергенции.
Здесь решения уравнения (4) монотонно стремятся к частному решению уравнения (4) [1, с. 207], т.е. к
--1|—— La I cos at + R sin at I при t ^.
1 f 2 И с® J J
--La I + R2
сю )
В теории электрических цепей и в медико-биологических исследованиях [2-4] встречаются в качестве математических моделей многосвязные системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx k —
—Цг = Ax + 2 AsjXj + 9s (t), S = 1, k, (5)
j=1
j *s
где As и Asj - постоянные матрицы размерности соответственно ns X ns и
k
ns X nj, 2 ns = n , 9S (t + ю) = 9S (t) и, кроме того, непрерывные.
S=1
Система (5) при выполнении определенных условий обладает также свойством конвергенции. Докажем это утверждение.
Предположим далее, что корни характеристических уравнений det(As -XSES) = 0, s = 1,k, имеют отрицательные вещественные части, т.е. Re(^sj ) < 0, s = 1, k ; jSJ- = 1, qs , qs - количество различных корней характеристического уравнения det(As - XsEs) = 0 .
Общее решение соответствующей однородной системы по отношению к системе (5) запишется в соответствии с (3) в виде
qs Я t р k _ _
Xs (t) = 2 Ns,qs-1 (t)e ss + j X (t - T)2 AsjXj (T)dt, s = 1,k; jj = 1, qs . (6) j=1 t0 j=1
Здесь Х5(Г,¿о) = еЛ(Г ¿о) есть фундаментальные матрицы решений систем
Жх Ж
— Asxs, s — 1, к .
В силу того что Яе(Х, (Л5)) < 0 , 5 = 1, к; ,',■ = 1, qs , выполняется условие
X (Г, ¿о)|| < К5е~К{1~к)\ (*)
где Х5 = шах(ЯеХ51,...,ЯеXsq ), > 1,1 < ,',■ < qs, 5 = 1,к. Здесь и далее
нормы векторов евклидовы.
С учетом оценки (*) равенство (6) преобразуется в неравенство вида
г к
IX (Г )|| < е—Х (Г —Го) Я^х (¿0)1 + 1 е—Х (Г —т) Л5у||ху (т)|| Ж т.
Го
Далее, умножая левую и правую части данного неравенства на еХ5 (Г Го), суммируя по 5 (5 = 1, к) и вводя новую функцию еХ (Г Го) х(Г), где —Х5 = шах{Яе^1,...,ЯеХк} , получим неравенство
IX (0|| < ||х(Го)| е——-^)(Г—Го), 5 = Ц. (7)
Следует отметить, что здесь величина Л5 находится из условия Л = шах{4,1}, 1 < 5 < к, 1 < , < qs .
_ х _
Тогда при Л5 < — нулевое решение системы (5) при ф5 (Г) = о , 5 = 1, к,
будет асимптотически устойчивым.
Таким образом, справедлива теорема.
_ Х
Теорема 2. Если ЯеХ5(Л5) < о, Л5 < —, то система (5) обладает свойством периодической конвергенции.
Доказательство. С учетом условий теоремы 2 результат теоремы 2 следует из формулы (3).
Примечание. В случае, когда матрицы Л5 и , 5 = 1, к, ,, = 1, qs , являются переменными, доказывать теоремы о конвергенции предпочтительнее с использованием второго (прямого) метода Ляпунова [5-11].
Рассмотренные выше системы дифференциальных уравнений являются линейными системами. Однако, как известно [2, 3], есть электрические цепи, которые описываются нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае необходимо использовать второй (прямой) метод Ляпунова [3]. Следует отметить, что математический аппарат теории устойчивости достаточно хорошо разработан.
Рассмотрим далее нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, в котором для доказательства периодической конвергенции используется второй метод Ляпунова, т.е.
X
х + (а +1) х + ах + сх =£ф(0, (8)
где а и с - положительные вещественные числа; ) = + ю) и непрерывная; X - нечетное положительное вещественное число; £ - вещественный параметр.
Это дифференциальное уравнение описывает нелинейную электрическую цепь [4, ч. 2; 12; 13, с. 238].
Рассмотрим вспомогательную систему
Г х = у - х,
\ - х <9)
[у = -ау-сх .
Нулевое решение системы (9) является асимптотически устойчивым в целом. Для доказательства этого утверждения выберем в качестве функции Ляпунова функцию
£( х, у) = ^^ + _^хх+1. (10)
^ 2 Х + 1
Тогда будем иметь М
dt (9)
= y(-ay - cxX) + cxX (y - x) = - ay2 - .
Итак, функция Ляпунова (10) является определенно-положительной, а ее полная производная по t на решениях системы (9) - определенно-отрицательной в области R2. Следовательно, по теореме об асимптотической устойчивости в целом [5, § 7; 6, § 14], нулевое решение системы (9) является асимптотически устойчивым в целом.
Запишем далее уравнение (8) в виде
ГX = y - x,
1 X (11) [ y = -ay - cx + £(p(t).
Решения системы (11) являются равномерно ограниченными при достаточно малом £, что доказывается с использованием функции Ляпунова (10) (см. [7-10]). Далее покажем, что система (12) обладает свойством периодической конвергенции.
Для этого введем векторную функцию
z(t) = (Z1(t),Z2(t))T ,
где Z1(t) = x1(t) - x2(t), Z2(t) = y1 (t) - y2 (t), а (x1(t), y1(t))T и (x2(t), y2(t))T -различные решения системы (11).
Система дифференциальных уравнений относительно Z1 (t) и Z2(t) имеет вид
\ 21 = ^ — ^ (12) [ 22 =—а22 — сЬ( 21,22) 2Ъ
Х
где И(21,22) = ^ является определенно-положительной функцией.
а=о
Правая часть системы (11) обладает свойством единственности задачи Коши. Следовательно, г1(Г) и 12(Г) одновременно не обращаются в нуль и не совпадают в один и тот же момент времени.
Асимптотическая устойчивость множества
М = {21,22 : 21 = о, 22 = о}
относительно системы (12) доказывается с использованием функции Ляпунова 21,22) = 1 + 22 ). При этом должно выполняться неравенство
а —-4(1 — сЬ(х1,х2))>к > о, (13)
где к - постоянная.
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 3. Если а и с - положительные вещественные числа и, кроме того, с такое, что выполняется неравенство (12), то система (11) при достаточно малом £ обладает свойством периодической конвергенции, а следовательно, и уравнение (8) также обладает свойством периодической конвергенции.
Из определения конвергенции и доказательства теоремы 3 следует, что в случае нелинейных систем (уравнений) конвергентность эффективнее доказывать с помощью второго метода Ляпунова.
Заключение
Доказательство теорем о конвергенции указывает на то, что в случае линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка предпочтительнее доказывать теоремы о конвергенции с использованием первого метода Ляпунова, а в случае нелинейных систем дифференциальных уравнений -с помощью второго метода Ляпунова.
Библиографический список
1. Еругин, Н. П. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. П. Еру-гин, И. З. Штокало и др. - Киев : Высш. шк., 1974. - 472 с.
2. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Л. А. Бессонов. - Изд. 8-е, перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1984. - 559 с.
3. Данилов, Л. В. Теория нелинейных электрических цепей / Л. В. Данилов, П. Н. Матханов, Е. С. Филиппов. - Л. : Энергоатомиздат. Ленингр. отд., 199о. -256 с.
4. Рубин А. Б. Биофизика : в 2 т. : учебник для биол. спец. вузов. Т. 1. Теоретическая биофизика / А. Б. Рубин. - М. : Высш. шк., 1987. - 31о с.
5. Плисс, В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс. - М. : Наука, 1964. - 368 с.
6. Зубов, В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. - М. : Высш. шк., 1979. - 400 с.
7. Щенников, В. Н. Явление конвергенции одной нелинейной системы / В. Н. Щенников // Дифференциальные уравнения. - 1972. - Т. 8, № 4. - С. 734739.
8. Щенников, В. Н. Исследование почти периодического режима одной нелинейной регулируемой системы / В. Н. Щенников // Дифференциальные уравнения. - 1986. - Т. 22, № 2. - С. 2182-2183.
9. Щенников, В. Н. Явление конвергенции сложных систем дифференциальных уравнений / В. Н. Щенников // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20, № 9. - С. 1566-1571.
10. Косов, А. А. О конвергенции сложных почти периодических систем / А. А. Косов, В. Н. Щенников // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 12. - С. 1571-1581.
11. Косов, А . А . Исследование конвергенции сложных почти периодических систем с помощью вектор-функций сравнения с компонентами в виде форм четной степени / А. А. Косов // Известия высших учебных заведений. Математика. -2015. - № 7. - С. 25-35.
12. Мигулин, В. В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. - М. : Наука, 1978. - 392 с.
13. Магнус, К. Колебания / К. Магнус. - М. : Мир, 1982. - 304 с.
References
1. Erugin N. P., Shtokalo I. Z. et al. Kurs obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [A course of regular differential equations]. Kiev: Vyssh. shk., 1974, 472 p.
2. Bessonov L. A. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Elektricheskie tsepi [The theory of electrical engineering. Electrical circuits]. 8th ed., rev. and updated. Moscow: Vyssh. shk., 1984, 559 p.
3. Danilov L. V., Matkhanov P. N., Filippov E. S. Teoriya nelineynykh elektricheskikh tsepey [The theory of nonlinear electrical circuits]. Leningrad: Energoatomizdat. Len-ingr. otd., 1990, 256 p.
4. Rubin A. B. Biofizika: v 2 t.: uchebnik dlya biol. spets. vuzov. T. 1. Teoreticheskaya biofizika [Biophysics: in 2 volumes: textbook for biological university programs. Vol. 1. Theoretical biophysics]. Moscow: Vyssh. shk., 1987, 310 p.
5. Pliss V. A. Nelokal'nye problemy teorii kolebaniy [Nonlocal problems of the theory of oscillations]. Moscow: Nauka, 1964, 368 p.
6. Zubov V. I. Teoriya kolebaniy [The theory of oscillations]. Moscow: Vyssh. shk., 1979, 400 p.
7. Shchennikov V. N. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1972, vol. 8, no. 4, pp. 734-739.
8. Shchennikov V. N. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1986, vol. 22, no. 2, pp. 2182-2183.
9. Shchennikov V. N. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1984, vol. 20, no. 9, pp. 1566-1571.
10. Kosov A. A., Shchennikov V. N. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2014, vol. 50, no. 12, pp. 1571-1581.
11. Kosov A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2015, no. 7, pp. 25-35.
12. Migulin V. V., Medvedev V. I., Mustel' E. R., Parygin V. N. Osnovy teorii kolebaniy [The theory of oscillations]. Moscow: Nauka, 1978, 392 p.
13. Magnus K. Kolebaniya [Oscillations]. Moscow: Mir, 1982, 304 p.
Елфимов Владислав Сергеевич магистрант, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
E-mail: du@math.mrsu.ru
Elfimov Vladislav Sergeevich Master's degree student, National research Ogarev Mordovia State University (68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
Щенников Алексей Владимирович
соискатель, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
Е-шаП: du@math.mrsu.ru
Shchennikov Aleksey Vladimirovich Applicant, National research Ogarev Mordovia State University (68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
Щенников Владимир Николаевич
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
Е-шаП: du@math.mrsu.ru
Shchennikov Vladimir Nikolaevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of applied mathematics, differential equations and theoretical mechanics, National research Ogarev Mordovia State University (68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
УДК 621.3.о11.7:531.391:517.925.53 Елфимов, В. С.
Конвергентность управляемых динамических систем / В. С. Елфимов, А. В. Щенников, В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2о18. -№ 2 (46). - С. 86-94. БОТ 1о.21685/2о72-3о4о-2о18-2-9.
