CC BY
21
-Е,В/м
40 60 80 100
Е
v
\ / «1
\ /
N У
А
к // \
1 2 N12,nll -109, ионов ! м*
б
Рис. 1. Электрическая структура приземного слоя при слабой ионизации и слабом турбулентном перемешивании (а - N = 108 м-3; б - N = 1010 м-3)
а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Морозов, В.Н., Куповых, Г.В. Теория электрических явлений в атмосфере: Монография. - Saarbruken: Lambert Academic Publishing, 2012. - 332 с.
2. Куповых, Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. - Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2009. - 114 с.
3. Редин, А.А., Куповых, Г.В., Клово, А.Г., Болдырев, А.С. Математическое моделирование электродинамических процессов в приземном слое в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск "Актуальные задачи математического моделирования". - Таганрог: ТТИ ЮФУ, - 2011. - № 8 (121). - С. 111-121.
4. Hoppel, William A. and Frick, Glendon M. Ion-Aerosol Attachment Coefficients and the Steady-State Charge Distribution on Aerosols in a Bipolar Ion Environment. Aerosol Science and Technology. - 1986. № 5 (1), p. 121.
5. Самарский, А.А., Гулин, А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. - 316 с.
УДК 519.6
С.В. Проценко, А. А. Сухинов
УТОЧНЕННАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНАЯ ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ
Аннотация. Задачи транспорта донных отложений имеют большое значение для прогнозирования рельефа дна и береговой линии в прибрежной зоне морей. Такой прогноз актуален как в задачах оценки экологического состояния прибрежных зон, так и для задач обеспечения безопасности судоходства. В экстремальных случаях задачи намыва-размыва береговых склонов, связанные с проблемами транспорта наносов, связаны с прогнозом состояния сооружений и зданий, располагающихся вблизи берега. Ранее использовались одномерные модели транспорта наносов [1], а также пространственно-двумерные модели [2], для которых не были указаны граничные условия, в случае ограниченности области по обеим осям координат. Данная работа устраняет указанный пробел и содержит корректную постановку начально-граничной задачи для двумерного уравнения транспорта наносов.
Ключевые слова: двумерное уравнение транспорта наносов, корректная постановка начально-граничной задачи.
Protsenko S.V., Sukhinov Andrew A.
SPACE REFINED TWO-DIMENSIONAL LINEARIZED MODEL OF SEDIMENT TRANSPORT IN THE COASTAL ZONE
Abstract. Bottom deposit transportation problems are of great value for bottom relief and coastal line forecasting. Simulation on this basis is applied for ship traffic security as well as for environmental situation estimation for coastal zone. These problems are closely connected to extreme erosion processes and safety of buildings near the beach. One-dimensional models have been used earlier [1] and two-dimensional models have been applied without boundary conditions for limited area [2]. Given paper has been devoted to correct initial boundary value problem formulation for two-dimensional bottom deposit transportation task.
Key words: two-dimensional bottom deposit transportation task, correct boundary conditions.
Для описания динамики изменения рельефа дна в работе использованы уравнения [1], описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов, где твердые частицы перемещаются в направлении движения жидкости.
В работе [3] рассмотрено уравнение транспорта наносов, вызванных поверхностными волнами в прибрежной зоне. В дивергентном виде оно записывается в виде:
Л ЛдН А-
(1 - s)--ь div
dt
с
Arnd
div
Arnd
((Pi - Po)gd)
T
p
((Pi - Po)gd)
'bc
sm(0
sm(0
p-i
bc gradH
-gradH
p-i Л
bc
sm(0
gradH
(i)
где H = H ( X, y,t) - глубина водоема; S - пористость донных материалов;
Tfr -вектор касательного тангенциального напряжения на дне водоема;
Tfrc - критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов;
Tfrc = a Sin ф0, (Ро - угол естественного откоса грунта в водоеме;
Pi, Ро - плотности частиц донного материала и водной среды соответственно; g -ускорение силы тяжести; ( - частота волны;
A и ( - безразмерные постоянные (A равна 19.5, (р авна 3); d -характерные размеры частиц грунта.
Введем коэффициент, нелинейным образом зависящий от частных производных по пространственным переменным функции H = H {x,y ,t),
k
Acod
((Pi - Po )gd)
P
bc
sin (0
gradH
P-i
(2)
С учетом (2), уравнение (i) запишем в виде:
дН
(i - s)--ь div(kTb) = div
dt
г \
k^^ gradH v sin( у
(3)
b
Уравнение (3) для простоты будем рассматривать в прямоугольной области D (х, у) = {0 < X < Lx ,0 < у < Ьу (рис. 1), CD - совпадает с береговой линией, ЛБ граница области, расположенная в зоне глубокой воды, ЛВ и БВ - боковые границы.
У
Берег
.у -С-
Л Б
«Глубокая вода»
Рисунок 1.
Дополним уравнение (3) начальным условием:
Н(х, У,0) = Но (х, У), (х, У) е В. (4)
Сформулируем граничные условия, которые задаются исходя из физических соображений.
На участке ЛБ границы расчетной области В вблизи дна влиянием ветрового волнения можно пренебречь, поэтому
' = о,
т
дН
дл
= о, т = 0.
(5)
У=0
На участке границы, совпадающей с береговой линией БС , имеем:
н[х,ьу,г)= 0, 0<х<ьх.
На боковых участках границы будем предполагать, что
Н(0,У,^ = Н1 (у4 0<У< Ьу,
Н(Ьх,у,1 )| = Н2(уД), 0<У<Ьу. Из условия (5), в частности, следует граничное условие
н(х,0,г)) = н3 (х), 0 < х < Ьх.
Дополнительно к граничным условиям (7) будем предполагать выполнение условий их гладкости - существование производных
(6)
(7)
(8)
дН
дх
дН
х=0
дх
0, 0 < у < ЬУ
а также считать пренебрежимо малыми величины уклона дна на граничных линиях ЛБ и БС в направлении оси ОХ:
дН
дх
дН
х=0
дх
= 0, 0 < у < Ьу.
Требование достаточной гладкости граничных условий приводит к следующим условиям сопряжения в угловых точках Л и Б границы
Н (0, t) = H3 (0)|,
Н2 (0, t) = Нз ()|, 0 < t < Т.
Будем предполагать согласованность граничных и начальных условий:
Н0 (Х,0)| = Нз (X), у = 0, 0 < х < Lx, Н 0 (0,у )| = Н1 (у), X = 0, 0 < у < Ly, Н 0 ^х,у)| = Н2 (у), х = Lx, 0 < у < Ly, Н 0 (х,0)| = 0, у = Ly, 0 < х < Lx.
Условие невырожденности оператора задачи имеет вид:
Р-1
д тп т.
k =
(11)
((Л - Р0 Ы)
Р
Ъс
-^гайН
sm (р0 V(x,y)е Ъ, 0 < t < Т.
> кп = const > 0,
(12)
Вектор тангенциального напряжения на дне выражается с использованием единичных ортов системы координат естественным образом
= ^Ьх +
■Ъх
■Ъх
(х,у^ ), (х,у^ )
Чу Чу
На временном отрезке 0 < t < Т построим равномерную сетку (Т с шагом Т , т.е. множество точек
( = {п = пт,п = 0,1,...,^ N1 = Т}
и осуществим линеаризацию начально-краевой задачи (3)-(9).
Осуществим линеаризацию члена и коэффициента к путем выбора их значе-
ний в момент времени t = tn, П = 0,1,...,N — 1, рассмотрим уравнение (3) на временном промежутке tn < t < , П = 0,1,..., N — 1. При этом предполагаем, что функция
Н (п+1) = Н (х, у^п ) и ее частные производные по пространственным переменным - известны.
Если п = 0, то в качестве Н(х, у, ^ ) достаточно взять функцию начального условия. Если же п = 1,2,...,N — 1, то функция Н(х,у^п ) предполагается известной, поскольку предполагается решенной задача (3)-(12) для предыдущего временного промежутка < t < tn.
Р-1
Обозначим
к (К )-
((Л — Р0 Ы )
Р
(х,у^п )
т
ТЛ х
Ъс
sm р0
^гайН (х,у^п)
Уравнение (3) после линеаризации запишем в виде: -(п+1) /
(1 — в)
дН
дt
=
к (tn ^-^—^гайН (п+1) — Шу(к (tn Тъ )
V
sm р0
~п п+1
дополним его начальными условиями:
tn < t < tn+1 ,п = 0Д,...,N — 1,
(13)
H (1)( y, t0 ) = H 0 ( y ),
H(й+1)(x,y,tn) = H(n)(x,y,tn), n = 1,...,tf-1.
Член вида div(k (tn ) является при такой линеаризации известной функцией правой
части; граничные условия (5)-(11) предполагаются выполненными для всех промежутков времени
tn < t < tn+1 ,n = 0,1,...,tf - 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Леонтьев, И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: Геос., 2001. - 272 с.
2. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективно-стей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2015. - Т. 16. - № 3. - С. 328338.
3. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А., Шретер, С.А. Сравнение трудоемкостей численной реализации явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Известия ЮФУ. Технические науки. 2014. - № 12 (161). - С. 210-219.
4. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов / Математическое моделирование. 2013. - Т. 25. - № 12. - С. 65-82.
5. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs/ Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Т. 6. - № 4. - P. 351-363.
УДК 551.594
К.М. Рафаелян
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ С УЧЕТОМ ПЕРЕНОСА РАДИОАКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ
Аннотация. В работе построена нестационарная электродинамическая модель атмосферного турбулентного приземного слоя с учетом переноса радиоактивных веществ. Получены пространственно-временные распределения электродинамических характеристик в зависимости от степени турбулентного перемешивания, степени ионизации воздуха, напряженности электрического поля у поверхности земли.
Ключевые слова: приземный слой; ионы; турбулентное перемешивание; электродный эффект; электрическое поле; радиоактивность.
K.M. Rafaelyan
MATHEMATICAL MODELING OF ELECTRICAL PROCESSES IN THE ATMOSPHERIC SURFACE LAYER IN VIEW OF TRANSFER RADIOACTIVE SUBSTANCES
Abstract. The non-stationary electrodynamic model of the atmosphere turbulence surface layer in view of the transfer of radioactive substances. The spatio-temporal distributions of electrodynamic characteristics in dependence of turbulent mixing scale, air ionization rate, electric field near surface.
Key word: surface layer; ions; turbulent mixing; electrode effect; electric field; Radioactivity.
В общем случае математическая модель электрической структуры турбулентного приземного слоя в условиях незагрязненной атмосферы имеет вид [1 - 2]:
dni2, д/, дп ]
— ±— (¿>12'п12 • E)--DT(z)--— = q(z 1-е
dt dzV 1,2 1,2 ' dz T dz 4 w
v ,
I z |-an1n2,
Ж e , ,
^- = —(ni -n2). (!)
dz e0
Начальные и граничные условия задаются в виде:
