О единственности решения линеаризованной двумерной начально-краевой задачи транспорта наносов Текст научной статьи по специальности «Математика»

виде тонкой смачивающей прослойки на поверхности твердой фазы. Наличие и свойства жидкой фазы, вероятно, и определяют значения Еак в модели вязкого течения пористой среды.

ЛИТЕРАТУРА

1.Бокштейн, Б.С., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. - М : Металлургия, 1986. - 224 с.

2. Дорожкин ,Н.Н., Абрамович, Т.М., Ярошевич ,В.К. Импульсные методы нанесения порошковых покрытий. -Минск: Наука и техника, 1985. - 78 с.

3. Исаева, Л.В. Вязкость оптических стекол в интервале размягчения и отжига. // Оптико-механическая промышленность. - 1967. - № 10. - С. 43 - 47.

4. Порошковая металлургия и напыление покрытий. / под ред. Б.С. Митина. - М.: Металлургия, 1987. - 720 с.

5. Сёмин, В.Н., Абрамович, Т.М., Разумова, М.И. Кинетические параметры спекания стального порошка. / Сборник научных трудов 6-й международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства". - Таганрог, 2000. - С. 65.

6. Сёмин, В.Н., Донских, С.А. //Боратные стекла как активатор спекания порошковых систем. Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. Физико-математические и естественные науки. Таганрог, 2015. - №1. - С. 15 - 22.

7. Скороход, В.В. Реологические основы теории спекания. - Киев : Наукова думка, 1972. - 152 с.

8. Филипович ,В.Н., Алексеева З.Д., Калинина А.М. //Кинетика спекания пористых стекол. Физика и химия стекла . - 1990. - т.16. - №1. - С. 81-84.

9. Френкель, Я.И. ЖЭТФ// 1946. - т.16.- С. 29

А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ДВУМЕРНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ*

Аннотация. В настоящей работе рассматривается линеаризованная пространственно-двумерная модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Приводится схема доказательства и условия единственности решения, соответствующей линеаризованной начально-краевой задаче.

Ключевые слова: модели транспорта наносов, прибрежная зона, донная поверхность, нелинейное параболическое уравнение, линеаризация, единственность решения.

A. I. Sukhinov, V.V. Sidoryakina

ON THE UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE LINEARIZED TWO-DIMENSIONAL BOTTOM DEPOSIT TRANSPORTATION PROBLEM

Abstract. In this paper we consider the linearized spatial-dimensional model of sediment transport by wave action in the coastal zone. The scheme of the proof of the uniqueness of the conditions and the corresponding linearized initial boundary value problem.

Key words: bottom deposit transportation models, coastal zone, bottom relief, linearization, uniqueness of boundary value problem solution.

Исследование гидрофизических процессов в прибрежных системах является актуальной фундаментальной и прикладной проблемой. Такие исследования чаще всего строятся на основе определенных математических моделей изучаемых процессов. Математическое моделирование позволяет осуществить анализ и прогноз развития прибрежных систем, не прибегая к дорогостоящим, а в ряде случаев опасным в экологическом отношении экспериментам. Рассматриваемые модели транспорта наносов имеют важное значение для обеспечения безопасности судоходства, а также при проектировании объектов прибрежной инфраструктуры (причалов, берегозащитных сооружений, при проведении дноуглубительных работ и т.д.).

В России работы, связанные с математическим моделированием гидродинамических систем, включая исследования в прибрежных зонах, проводились В.К. Дебольским, В.Б. Залесным, Р.А. Ибраевым, О.К. Леонтьевым и др.

Применение метода математического моделирования к исследованию указанных гидродинамических процессов приводит к необходимости рассмотрения начально-краевых задач для нелинейных уравнений параболического типа, которые при построении дискретных моделей, как правило, линеаризуются.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 15-01-08619 и 15-07-08626)

В настоящей работе рассматривается линеаризованная 2D модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Соответствующая краевая задача содержит ряд гидродинамических параметров, а также некоторые функции, описывающие донный материал и водную среду, которые должны быть заданы для однозначного определения решения соответствующей краевой задачи.

Модели транспорта наносов и изменения рельефа дна, учитывающие сложный рельеф дна, пористость донных отложений, размер и плотность частиц, его составляющих, действие силы тяжести и тангенциального напряжения, вызванного воздействием волн, и др., рассматривались в работах [1] - [5].

Для описания динамики изменения рельефа дна в настоящей работе использованы уравнения [1], описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов, где твердые частицы перемещаются в направлении движения жидкости.

В работе [3] рассмотрено уравнение транспорта наносов, вызванных поверхностными волнами в прибрежной зоне. В дивергентном виде оно записывается в виде:

(l - s)—+ div

dt

f

Acod

(p1 - Po )gd)ß

T --

rbc

(

= div

A~d

Tb

Tbc

sin (q ß-1

- gradH

- gradH

Tbc

ß-1 Л Tb

у

gradH

(1)

((p1 - p0 )gd)ß sinPo sinPo

где H = H (x, y, t) - глубина водоема; s - пористость донных материалов;

Tb - вектор касательного тангенциального напряжения на дне водоема; Tbc - критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, Tbc = a sin Ро,Ро - угол естественного откоса грунта в водоеме;

р1, р0 - плотности частиц донного материала и водной среды соответственно; g - ускорение силы тяжести; а - частота волны;

A и ß - безразмерные постоянные (A равна 19.5, ß равна 3); d - характерные размеры частиц грунта.

Введем коэффициент, нелинейным образом зависящий от частных производных по пространственным переменным функции H = H (x, y, t),

k =

Ac~d

((P1 - P0 )gd )ß

Tb

rbc

smpo

- gradH

ß-1

С учетом (2), уравнение (1) запищется в виде:

,—H

(1 - s)--h div(kfb) = div

dt

(gradH sin Po

(2)

(3)

Уравнение (3) для простоты будет рассматриваться в прямоугольной области D)={о < x < Lx,0 < у < Ly (рис. 1), где стороны: CD - совпадает с береговой линией, AB - граница области, расположенная в зоне глубокой воды, AD и BС - боковые границы.

У

О А

«Глубокая вода»

Рис. 1

Профиль дна с разрезом по оси Оу для фиксированного момента времени t можно наглядно представить при помощи рис. 2:

Рис. 2

Дополним уравнение (3) начальным условием:

Н(х, у,0) = Н0 (х, у), (х, у) е Ъ. (4)

Сформулируем граничные условия, которые задаются исходя из физических соображений.

На участке АВ границы расчетной области Ъ вблизи дна влиянием ветрового волнения можно пренебречь, поэтому

= 0, (5)

дН

— = 0. (6)

ду

На участке границы, совпадающей с береговой линией ЪС , имеем:

Н(хЛух) = 0, 0 < х < Lх . (7)

На боковых участках границы будем предполагать, что

Н(0,у,г) = Н1 (у,х), 0 < у < Ly,

Н(Ьх,у,г) = Н2(у4 0 < у < Ly. (8) Из условия (6), в частности, следует граничное условие

Н(х ,0, х) = Нз(х), 0 < х < Lx. (9)

Дополнительно к граничным условиям (8) будем предполагать выполнение условий их гладкости - существование производных

ая

dx

x=0

ая

ax

0 < j < L

x=Lx

'У '

а также считать пренебрежимо малыми величины уклона дна на граничных линиях ЛБ и ВС в направлении оси ОХ:

ая

ax

x=0

ая

ax

= 0, 0 < y < Ly.

x=Lx

(10)

Требование достаточной гладкости граничных условий приводит к следующим условиям сопряжения в угловых точках Л и В границы

Н (<и ) = Н 3 (о),

Н2(0,*) = Н3^), о < * < Г. (11)

Будем предполагать согласованность граничных и начальных условий, а именно Н0(х,0) = Н3(х), у = 0, 0 < х < Lx,

Но(0,у) = Нх(у), х = 0, 0 < у < Ly,

Н0^х,у) = Н2(у), х = Lx, 0 < у < Ly, (12)

Н0(х,0) = 0, у = Ly, 0 < х < Lx.

Условие невырожденности оператора задачи имеет вид:

k = ■

Acod

(P1 - P0 )gd )P

Xb

Xbc

- gradH

p-1

> kn = const > 0,

(13)

smфо У(х,у)е Б, 0 < * < Т.

Вектор тангенциального напряжения на дне выражается с использованием единичных ортов системы координат естественным образом

ТЬ = ТЬх^ + ТЬу1, ТЬх = ТЬх (х У, *), ТЬу = ТЬу (х У, *)

На временном отрезке 0 < * < Т построим равномерную сетку (От с шагом т, т.е. множество

точек

а)т = £п = пт,п = 0,1,...,Ы, Ыт = Т} и осуществим линеаризацию начально-краевой задачи (3)-(12).

Осуществим линеаризацию члена div(кTь ) и коэффициента к путем выбора их значений в момент времени * = *п, п = 0,1,...,Ы и рассмотрения уравнения (3) на временном промежутке _1 < * < *п,п = 1,2,...,Ы. При этом предполагается, что функция

Н(п) (х, у, _1 ) = Н(х,у,*п _1) и ее частные производные по пространственным переменным известны.

Если п = 0, то в качестве Н (х,у,*0 ) достаточно взять функцию начального условия. Если

же п = 1,2,...,Ы, то функция Н(п)(х,у,*п_1 ) = Н(х,у,*п_1) предполагается известной, поскольку предполагается решенной задача (3)-(12) для предыдущего временного промежутка

ln-1

< t < tn.

Введем обозначения k (n

Acod

((Pi - P0 )gd )P

X (x, y,tn ) —gradH(x, y, tn )

sm^0

P-1

Тогда уравнение (3) после линеаризации запишем в виде:

Г(п) ( , т .Л

(1 - s)aH— = div

at

k(fn-1 )^^gradH(n) -div(k(tn-1X),

v sin %

tn-1 < t < tn, n = 1,2,...,N

(14)

и дополним его начальными условиями:

я(1)(x,y,t0) = Я0(x,y), H(n)(x,y,tn-1 ) = я(n-1)(x, y, tn-1), (x, y)e D, n = 1,2, ..., N .

Член вида div(k(хп _1 )гь ) является при такой линеаризации известной функцией правой части; граничные условия (5)-(12) предполагаются выполненными для всех промежутков времени

Хп_1 < Х < Хп,п = 1,2,...,N.

Имеет место

Теорема. Пусть дана система уравнений (14) дН(и) '

(1" *)'

dt

= div

k(tn-1 gradH(n) - div(k(tn_i % )

smvo

C2 (Цт )n C (цт )

tn_! < t < tn,n = 1,2,...,N,

и функция H(n\x,y,t), tn_1 < t < tn, n = 1,2,...,N

grad(x y)H(n) e C(Цт ) является решением уравнения номера n указанной системы в цилиндре

Цт = D x(0,T) с начальными условиями H(l) (x, y, t0 )= H 0 (x,y),

H(n\x,y,tn_i) = H(n_l)(x,y,tn_i), (x,y)e D, n = 1,2,...,N_ 1 (на нижнем основании цилиндра Цт), граничными условиями (5)-(12) (на боковой поверхности цилиндра Цт). Тогда, если

к(tn_1 )—b£— > к0 > 0, к(tn_1) e C1 (d), то для любого n = 1,2,...,N, решение данной началь-n sin (р0 n

но-краевой задачи единственно.

Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Предполагается существование двух

решений указанной задачи при ?0 < t < (n = 1): H' (x, y,t) и H" (x, y, t), (x, y) e D . Вводится

функция w(x, y, t) = H' (x, y, t) _ H" (x, y, t), w(x, y,t) Ф 0, t0 < t < t1, (x, y)e D.

Для w(x, y,t), t0 < t < t1, (x, y) e D рассматривается начально-краевая задача, которая после несложных преобразований принимает вид:

t1 ( í ^ Л

dt. (15)

D t„ D V У

1 T '

-(l - s)í[w2 (ti )dxdy = [ ITw • div k(to )—^^ • gradw dxdy

2 JJ ^ l sinffl0

to l O v ™

2

Исследуя задачу (15), получаем ^(х, у,Х) = 0, Х0 < Х < Х1 и ^(х, у,Х1) = 0 [5, 6].

Далее по индукции путем аналогичных рассуждений доказывается, что w(x,y,Хn _1 )= 0

при (x,y) е D, tn-1 < t < tn, n = 2,...,N.

ЛИТЕРАТУРА

1. Леонтьев, И.О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов. - М.: ГЕОС, 2001. - 272с.

2. Xiaoying Liu, Shi Qi, Yuan Huang, Yuehong Chen, Pengfei Du. Predictive modeling in sediment transportation across multiple spatial scales in the Jialing River Basin of China//International Journal of Sediment Research Volume 30, Issue 3, September 2015, Pages 250 - 255.

3. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов//Математическое моделирование, т. 25, №12, 2013. - С.65 - 82.

4. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных системах на многопроцессорной вычислительной системе//Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии, т. 15, №4, 2014. - С. 610 - 620.

5. Сухинов, А.И., Шишеня, А.В. Повышение эффективности попеременно - треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок. М., Математическое моделирование, Т.24, № 11. - 2012. - С. 10 - 22.

6. A. I. Sukhinov, A. E. Chistyakov, E. A. Protsenko Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs// Mathematical Models and Computer Simulations, July 2014, Volume 6, Issue 4, pp 351-363.-URL: http://link.springer.com/article/10.1134/S2070048214040097.

7. E. Alekseenko, B. Roux, A. Sukhinov, R. Kotarba, and D. Fougere. Nonlinear hydrodynamics in a Mediterranean lagoon. Nonlinear Processes in Geophysics, 2013, 20, pp. 189-198. - URL:www.nonlinprocesses-geophys.net/20/189/2013/doi: 10.5194/npg-20-189-2013.

8. E. Alekseenko, B. Roux, A. Sukhinov, R. Kotarba, D. Fougere. Coastal hydrodynamics in a windylagoon. Computers & Fluids, 2013, 77, pp. 24-35 doi:10.1016/j.compfluid.2013.02.003.

9. Ладыженская, О.А., Солонников В.А., Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

10. Самарский, А.А., Вабищевич, П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии, Изд. Либроком, УРСС, М., 1999. - 248 с.