Программная реализация двумерной математической модели транспорта наносов Текст научной статьи по специальности «Математика»

= j> [a(r,zu) - P(r,zv)]du + [у(т,zu) - a(r,zv)]dv.

dD

Таким образом, исходя из всего вышесказанного, справедлива следующая теорема: Теорема: пусть f = [ft),f],zu = [co,fu],zv — [со, г^,],где Ш - поле вращений бесконечно малого изгибающего поля z. Тогда имеет место интегральная формула:

ffD (-P(ffv<3v) - г(ггийи) + a((frucov) + (rfviouy))dudv= = ~ j> [a(r,zu) - /3(f,zv)]du + [y(f, zj - a(f,zv)]dv,

dD

где a, P, у определяются системой уравнений:

сди = aru - p?v,

= Yfu ~ afv ■

Из теоремы вытекает следующее следствие:

2 HD (0Y - a2Xr,n )da = - $gD[a(r,zJ - 0(r,zv)]du + [y(f,zj - a(f,z„)]dv. (5)

Формула (5) и есть искомое обобщение интегральной формулы Бляшке.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Ильина, Л. С. Об одном обобщении формулы Герглотца // Вестник ЛГУ. - 1978. - № 19.

УДК 519.6:532.5 ББК 22.11

Е. А. Проценко

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДВУМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ТРАНСПОРТА НАНОСОВ

Аннотация. В статье рассмотрена нестационарная пространственно-двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов. Рассмотрена гидродинамическая пространственно-двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов. Для предложенных математических моделей выполнена их дискретизация. На основе разработанных алгоритмов построен комплекс программ и приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: перемещения наносов, метод баланса, дискретная модель, сеточные уравнения, численный эксперимент.

E. A. Protsenko

MATHEMATICAL MODELING OF SEDIMENT TRANSPORT IN THE COASTAL ZONE

OF SHALLOW RESERVOIRS

Abstract. The non-stationary spatial and two-dimensional model of transport of deposits in a coastal zone of reservoirs. The spatial and two-dimensional model of transport of deposits in a coastal zone of reservoirs was considered. For the offered mathematical models their digitization was executed. The complex of programs was constructed and results of numerical experiments were given on the basis of the developed algorithms.

Key words: moving sediment balance method, discrete model, difference equations, numerical experiment.

Введение. Процесс перемещения наносов волнового поля вдоль берега относят к одному из важнейших явлений береговой зоны. В условиях развития производственной и социальной сфер деятельности человечества реализация концепции устойчивого развития прибрежной зоны возможна с учетом всех факторов и процессов, определяющих состояние линии берега и прибрежного рельефа. Для достоверного прогноза динамических явлений береговой зоны возникает необходимость в построении математических моделей процессов переноса вещества на мелководье, под

воздействием поверхностных гравитационных волн, играющих важную роль в прогнозировании возможного вмешательства в экосистему и в анализе текущей ситуации.

Проблемам математического моделирования гидродинамических процессов посвящены работы отечественных исследователей К. В. Гришанина, В. В. Вайтмана, И. Г. Кантаржи, С.Ю. Кузнецова, И. О. Леонтьева, Г. И. Марчука, А. В. Караушева и мн. др. Гидролитодинамические процессы береговой зоны на основе многочисленных натурных экспериментов изучены в работах С. М. Анцыферова, Р. Д. Косьяна, Н. В. Пыхова и мн. др.

Следует отметить, что, несмотря на многочисленность исследований динамических процессов береговой зоны, эффективность предлагаемых подходов далека от практически необходимой. К трудностям исследований относят ограниченность данных комплексных натурных измерений. Непосредственное получение аналитических решений, вследствие нелинейности и многомерности уравнений в частных производных Навье-Стокса, лежащих в основе рассматриваемых задач, возможно лишь в крайне ограниченном ряде случаев. Таким образом, одним из наиболее эффективных методов исследования реальных процессов гидродинамики является численное моделирование, которое дополняет, а в некоторых случаях позволяет исключить дорогостоящие натурные эксперименты.

Проведенный анализ исследований по рассматриваемой проблеме показал, что:

- для прогноза динамических процессов береговой зоны возникает необходимость, в построении математических моделей процессов перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн;

- не существует пространственно-двумерной модели транспорта наносов в мелководных водоемах, учитывающей пористость грунта, критическое значение касательного напряжения (при котором начинается перемещение наносов), турбулентный обмен, ветровые течения и трение о дно, пригодная для описания наносов, при произвольном направлении транспорта наносов по отношению к береговой линии.

Таким образом, проблема данной работы, а именно, прогнозирование формирования профиля дна в прибрежной зоне водоема при образовании наносов под воздействием волновых процессов средствами численного моделирования является актуальной.

Цель работы заключается в построении и реализации двумерных непрерывных и дискретных моделей транспорта наносов в прибрежных водных системах, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и гравитационных сил.

Двумерная математическая модель транспорта наносов. Для описания динамики морских наносов в данной работе применяются уравнения, которые описывают переформирование прибрежной зоны водоемов, где вода и твердые частицы перемещаются в одном направлении. Уравнения процесса перемещения наносов [1] записываются в следующем виде:

Л д<2х дОу

(1-г)-+ + —-

дt дх ду

= 0,

(1)

0 =

\Ашс1\ц/\

I 0.

;// = -

Т < Т,

, ,, ... <а-Ро№

где Н - глубина дна, отсчитываемая от невозмущенной поверхности водоема; £ - пористость грунта; ()= Ох, Оу - расход наносов, = 0: х, у - горизонтальные декартовы координаты:

ть - касательное напряжение на дне; тЬс - критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, А и /3 - безразмерные постоянные (А равна 19.5, /3 равна 3), ТП - частота волны, с! - характеристика осадков.

С учетом ограничений на касательные напряжения на дне расчетной области выражение (1) запишем в виде [2, 3]:

(1 - £) + diV кть = diV

<3?

эт <р0

gradH

к = -

Ашс1

Гг.

где к х =

эт (р0 - функция Хэвисайда.

- gradH

к

\

г

У

т.

Ти --

(Р1~Ро)8а 1, х>0 0, х < 0

Уравнение (2) дополняется начальным условием:

Н(х,у,0)=Н0(х,у).

- gradH

-Г г.

(2) (3)

(4)

Граничные условия определяются из физических соображений. В верхней границе наката, где скорость обращается в ноль, берег не подвергается деформациям:

Н(х,у,1)=Нн. (5)

На границе «глубокой воды» отсутствует поток вызванный влиянием гравитационных сил:

Н'0(х,у, 0 = 0. (6)

Таким образом, имеем непрерывную двумерную математическую модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема (2)-(6).

Расчетная область вписана в прямоугольник и покрыта равномерной расчетной сеткой со - щ хсох хсау : со, ={/" =и/г(,0 <и < -1,/( =/?, Ы,-1 },

<ох = {х,=тх,о<1<нх-\1х=кх нх-\},

со ={у. = /Ъ ,0< ] <М -1,1 =к N -I},

У ] У У У У У

где П, I, у - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно, , Их, Ъу - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно, N, Nx, Ыу - количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно, /, /х, / -длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно.

Для получения конечно-разностных аппроксимаций использован интегро-интерполяцион-ный метод. Дискретная модель транспорта наносов запишется в виде:

к" т -к" т

г г

1,7+1/2 Ь,у ',7-1/2 ¿.у

ттн+СТ ттп+с

/+1,7 ',7

/+1/2,7

V

Н"

Яп+и /-1,

¿-1/2,7

+ -

цп+а _цп+а

1П г,7+1 ¿,7 _ т.и

Л1, 7+1/2 ^2 7-1/2 V г

цп+а _цп+а

',7 '.7-1

где г,

А:"

"-1+1/2.7

(7)

п

х '+1/2,7 Ашс1

= г,

'+1,7 Т

/2, г, = г, ■

Ъ-У ¿,7+1/2 Ъ-У ¿,7+1

Чу

Ьс

ЯП*, ^ —

/?-1

6 1+1/2.7

§гас1Н

1+1/2.7

Таким образом, выражение (7) можно записать в виде:

5 А. 2А„

+

(8)

где I , у единичные вектора, направленные вдоль координатных осей Ох, Оу соответственно. Аналогичным образом можно получить следующую аппроксимацию:

ш = Я,+ц+1/2 -Я„и+1/2 ^1,7+1 -Ни 5 2/2.. /?,, 7

(9)

Выражение (7) с аппроксимациями (8)-(9) задают дискретную модель транспорта наносов. Устойчивость разностной схемы исследована на основе сеточного принципа максимума [2-3]. Построенные разностные схемы устойчивы при следующем ограничении:

к, < втсра 1-е

тЬс 1-сг к

л2~Ч2,

\ х у )

У

Оценка сверху для сеточной функции исходной задачи имеет вид:

К

т 0

'■•/ 11с II Не 1 _ г-

1 ь т=0

т т

кт, о + кт, „ о

Ъ'х х,',7 ^ У,и

(10)

Ьс

к

к

У

п

п

п

2

о.Л:

я

Ьс

с

Получено, что погрешность аппроксимации дискретной модели транспорта наносов есть величина порядка О ht + hx + hy •

Математическая модель движения водной среды. Входными данными описанной выше дискретной транспорта наносов является поле вектора скорости, что требует в свою очередь построения математической модели движения водной среды. Для построения двумерной математической модели движения водной среды нам понадобится трехмерная гидростатическая модель [4-6]. Исходными уравнениями гидродинамики (теории мелкой воды) являются:

- система уравнений Навье-Стокса:

1 '

u't+uu'x+vu'y+wu'2 =--Рх + /мл'х х + ¡ш'у + г ,

1 '

v't+uv'x+Wy+wv'z = --P'y + /д/ х + /Л/ ^ + rjv'2 г , (12)

- уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости: и'х + v' + w'z = 0, (13)

- уравнение гидростатики: Р = pg z + с . (14)

Система уравнений (12)-(13) рассматривается при следующих граничных условиях:

- на дне условие непроницаемости и трения: рг/и'п — тхЬ (t), pr/v'n — туЬ (t), Vn—0,

- на поверхности задается подъем уровня и ветровые напряжения:

рт'п = ~т*,р(0, рп^П = ~ту,Р(О, w = >

- на боковых границах условие свободного выхода: и'п = 0, v'n = 0, = 0,

где ^ - функция подъема уровня, V = {u,v,w} - вектор скорости движения водной среды, Р -давление, ¡Л , 7/ - коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно, g - ускорение свободного падения, р - плотность жидкости,

Тх , т - тангенциальное напряжение на дне жидкости.

Система уравнений (12)-(14) сводится к системе уравнений мелкой воды [6-9]:

£' + Н + ^и'х+ Н + ^ v ' = 0 • (15)

t

Н + £ и + Н + £ ии'х + Н + £ vu'y =

= -gtf + #£ + H + Z tm'x'x+ Я + i /ш; '

"у p p

H + E, v ' + H + % uv'x+ H + % w'y = (16)

= -g H + <; % + H + { fjv'x ' + H + Z /zv; '

1 У P P

Схемы расщепления по физическим процессам. Далее будем использовать двумерную модель движения водной среды, представленную уравнениями (15), (16). Аппроксимируем уравнение (16) по временной переменной:

un+l - и"

Н + % -+ Я + ^ ии' + Н + % vu' =

h, х у

= -g Н + £, £ + Н + % /< ' + Н + <; /ш'у ' +

1 У Р Р

v"+1 -v"

Н + £ -+ Н + £ uv'+ H + Z W = (17)

9 А, Ь * - у

= н+4 + /л/'

у р р

В оспользуемся схемами расщепления по физическим процессам[4-5] для системы (17). При этом решения исходной задачи находится вначале на неком промежуточном временном слое:

Я + ^ -+ Я + ^ ии'х+ Н + 4 vu[ =

h

t

= Н + % /< ' + Н + г /ли' ' +

х У Р Р

Н + %

-+ Н + Е иу' + Н + Е уу' =

? X у

(18)

= нк ' + я+^ '

У Р р

а затем на следующем:

Я+ # Я+ # Н + { = Н + Е С

~ , , - . . о -- - . (19)

А, - - - - к, ° - -

Для решения задачи (19) необходимо вычислить функцию возвышения уровня для этого продифференцируем первое уравнение данной системы по переменной X, второе по у и сложим их и с учетом выполнение уравнения неразрывности поля скорости (15) данное уравнение может быть записано в виде:

н+^'-к #+#<?; =-ш н+еи™ -Е

(20)

Уравнения системы (18)-(20) решаются в следующем порядке: вначале находим поле скорости на промежуточном временном шаге (18), за тем находим функцию возвышения уровня (20) и потом уточняется поле скорости (19).

Дискретная математическая модель гидродинамики. Для построения конечно-разностных схем использован метод баланса. Аппроксимация первого уравнения системы (18) запишется:

Я. .+£' 1,1 '<:

и"+" -и".

п ',}_М

+ . +с5™ . и'.

1+1/2,/ ~¡+1/2,1 1

п+ст/2 п+ст/2

и.^, . —и. .

п „,п 1+_1,]

.] 1+\/2,]

Ж

п+а/2 п+а/2 п+а/2 п+ст/2

а а , и , — и

л. и Р1 _I О- , рп ,.п '.-/+' М

Т /-1/2,7 '/-1/2,7 "¿-1/2,7 т /,/+1/2 '/,/+1/2 "/,/+1/2

2 Ъ

2 А„

п+ст/2 п+а/2

и-и, , ,

, н , е» ,,я '.7_—тт в»

"+" Пи-У2+Ьи-У2 "/,.,-1/2 - /+1/2,/ '/+1/2,/ А

п+ст/2 п+ст/2

и.^, . -и. .

'+1.7 '.-I

2/7.,

.у '/+1/2,7 /7+1/2,7 ^2

п+ст! 2 п+ст/2

~и,-и-

и+ст/2 п+а/2

"^7,7+1/2 + Й, 7+1/2 7+1/2 , 2

п„

„ п+ст/2 „ п+ст/2 _

м. . —м. . , г г ,

П1,/-У2 9/./-1/2 Л'/,'-1" - - "Т"

/,7-1/2 /"7,7-1/2 ^2

У

Аппроксимация уравнения (20) запишется:

£72+1 Г-;/

^72+1 г'//

'1+1,7 _ '/

£72+1 £72+1

'■7 "■■/ _ I 17 | С" "'+1.7 "',7 _ тт , ел '/.7 ?'~1,7

| /+1/2,/ '7+1/2,/ ,2 /-1/2,7 ''-1/2,7

А;

-А,

£В+1 -// I £В+1 \

тт А. Р" ''../+1 '',./ _ тт , ев ''У '/,7-1

/,7+1/2 '/,7+1/2 ^2 -"/,7-1/2 "|"Ь/,7-1/2 ^2

Я/+1/2,/ + Й

„В + СГ _ тт , £П ,,И + (Т

"; I 1 /О ; /

/+1/2,7 '/+1/2,7 /+1/2,7 /-1/2,7 '/-1/2,7 /-1/2,7

А

-Я-

тт . Л+О" ТТ I «+(7

-"/,7+1/2 + Ь/,7+1/2 у/,7+1/2 — -"/,7-1/2 + Ь/,7-1/2 у/,7-1/:

А„

Аппроксимация первого уравнения системы (19) запишется:

£ГВ+1 _

Ь/+1, / 9/

к

.7 '/+1/2,7

-я н^^+г" ^

Ь/,7 _ Ь/-1:

2й

'/-1/2,7 -/-1/2,7

2А„

Таким образом, строится дискретная модель гидродинамики.

Программная реализация разработанных алгоритмов. На основе построенных алгоритмов был разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования транспорта наносов с учетом гидродинамических процессов в мелководных водоемах [10-12]. Разработанный комплекс программ используется для расчета динамического изменения геометрии дна и функции

А

2

А

X

возвышения уровня, двумерного вектора скорости течения водной среды и учитывает турбулентный обмен, ветровые течения и трение о дно.

Следует отметить, что расчеты скорости без учета давления, функции возвышения уровня, транспорта наносов осуществлялись в два этапа: построение соответствующих сеточных уравнений; решение сеточных уравнений адаптивным модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом скорейшего спуска [13, 14].

На рисунках 1-5 приведены результаты численных экспериментов моделирования динамики изменения рельефа дна. На рисунке 1 представлен начальный рельеф дна (снизу) и положение свободной поверхности (сверху). Моделирование процесса транспорта наносов показало, что через 20 минут геометрия дна начинает принимать коническую структуру.

у, м

Рис. 1. Начальный рельеф дна и положение свободной поверхности

На рисунке 2 показана геометрия дна и функция возвышения уровня. Скорость течения жидкости максимальна в пиковой части области (на минимальных глубинах). Функция возвышения уровня принимает положительные значения в левой части расчетной области (с наветренной стороны), и отрицательные - в правой.

у, м

Рис. 2. Геометрия дна и функция возвышения уровня через 20 мин.

В левой части расчетной области наблюдаются колебания функции возвышения уровня, дно имеет гладкую, остроконечную структуру. В левой части расчетной области образуются наносы, вследствие чего пиковые значения глубины смещаются влево.

Через 40 минут - присутствует волнообразная структура функции возвышения уровня не только в левой части, но и в области пиковых значений глубины. Через 60 минут - усиливаются колебания функции возвышения уровня в левой своей части и в области пиковых значений глубины. На дне расчетной области образовываются гряды. С наветренной стороны продолжает расширяться область с пиковыми значениями глубины (рис. 3).

У, м

Рис. 3. Геометрия дна и функция возвышения уровня через 60 мин.

Рисунок 4 демонстрирует, что через 80 минут область с пиковыми значениями глубины продолжает смещаться влево, происходит расширение области в стороны, перпендикулярные движению ветра.

Через 100 минут область с пиковыми значениями глубины продолжает смещаться влево, происходит расширение области в стороны перпендикулярные движению ветра (рис. 5), функция возвышения уровня приобретает ярко выраженную колебательную структуру с наветренной стороны, а также происходит расширение области в стороны. Рисунок 5 демонстрирует вымывание грунта в левой части расчетной области.

у, м

Рис. 4. Геометрия дна и функция возвышения уровня через 80 минут

У, м

Рис. 5. Геометрия дна и функция возвышения уровня через 100 мин.

Результаты эксперимента позволяют проанализировать динамику изменения геометрии дна, функции возвышения уровня, образования волновых структур и наносов. Данная математическая модель и разработанный комплекс программ позволяют предсказать динамику изменения рельефа дна, появление морских гряд и кос, их рост и трансформацию. Таким образом, работоспособность метода подтверждена проведенным численным экспериментом.

Выводы. Построена двумерная математическая модель транспорта наносов в мелководных водоемах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна полученных результатов состоит в том, что модель учитывает две пространственные переменные, а также следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно.

Построена консервативная разностная схема, аппроксимирующая разработанную двумерную модель транспорта наносов со вторым порядком относительно шага пространственной сетки и с первым порядком относительно временного шага и исследована устойчивость разработанной разностной схемы. Для решения сеточных уравнений применен адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа.

Разработан программный комплекс для расчета динамического изменения рельефа мелководных водоемов, областью применения которого является построение поля скоростей водной среды и прогнозирование возможных сценариев изменения геометрии донной области мелководных водоемов. На основе разработанного комплекса программ проведено численное моделирование гидрофизических процессов в прибрежной зоне водоема.

Возможно применение результатов исследований в целях планирования рационального природопользования: строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии, для прогноза возможных переформирований дна под воздействием турбулентных потоков водной среды и транспорта наносов в прибрежной зоне. Модели транспорта наносов в прибрежных водных системах могут оказаться полезными при работах, связанных с защитой от заносимо-сти портов и каналов, прогнозом силового воздействия на конструкции, для определения оптимальных трасс морских подходных каналов и т.п.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев, И. О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов / И. О. Леонтьев. - М.: Геос., 2001. - 272 с.

2. Сухинов, А. И. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). -С. 32-44.

3. Сухинов, А. И. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 159-167.

4. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23. - № 3. - С. 3-21.

5. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.

6. Сухинов, А. И. Прецизионные модели гидродинамики и опыт применения в предсказании и реконструкции чрезвычайных ситуаций в Азовском море // Известия ТРТУ. - 2006. - Т. 58. - № 3. - С. 228-235.

7. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. -Т. 24. - № 9. - С. 3-21.

8. Сухинов, А. И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов, Е. Ф. Тимофеева, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. - № 8 (121). - С. 22-32.

9. Сухинов, А. И. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов и др. // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.

10. Проценко, Е. А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 71-75.

11. Проценко, Е. А. Программная реализация одномерной математической модели транспорта наносов в прибрежной зоне водоема // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2012. -№ 1. - С. 48-55.

12. Проценко, Е. А. Двумерная конечно-разностная модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема и ее программная реализация // Инженерный Вестник Дона. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 23-31.

13. Сухинов, А. И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.

14. Чистяков, А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

В. Т. Фоменко, А. В. Забеглов

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ЗАДАННЫМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ И КРИВИЗНАМИ В КОНЦЕВЫХ ТОЧКАХ

Аннотация. Авторы доказывают существование кривой третьего порядка с заданными касательными и кривизнами в концевых точках.

Ключевые слова: кривая третьего порядка, кривизна, касательная.

V. T. Fomenko, A. V. Zabeglov

CONSTRACTION OF THE CURVE OF THE THIRD ORDER

WITH THE GIVEN TANGENTS AND CURVATURES IN THE END POINTS

Abstract. The authors prove the existence of the curve of the third order with the given tangents and curvature in the end points.

Key words: Curve of third order, tangents, curvatures.

Постановка задачи. На плоскости (Л") даны две точки. I и D, две прямые / ( и . проходящие через точки A и D, соответственно, и числа к(A) и к(D) . Требуется построить кривую L

третьего порядка, обладающую следующими свойствами:

1) кривая L проходит через точки A и D;

2) касательная к кривой L в точках A и D совпадают с прямыми /^ и соответственно;

3) кривизны кривой L в точках A и D совпадают с числами к(A) и к(D), соответственно;

4) кривая L принадлежит классу C2 . Имеет место следующая

Теорема 1. Существует кривая третьего порядка, обладающая свойствами 1)-4). Кривая может быть задана уравнением:

rA+trB+rit2rc+y/rD Т

г—-о-,-, I —-, те ГОД],

1 + t + yf+y2t 1 -т