Устойчивость решений линейных функционально-разностных уравнений Ито и W-метод Н. В. Азбелева Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978.

3. Юмагулов М.Г.,Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал. 2010. № 2. С. 3-26.

Isanbaeva N.R. ALGORITHM FOR APPROXIMATE CALCULATION OF BIFURCATION PARAMETER VALUES IN THREE-BODY PROBLEM

A plane elliptic bounded three-body problem is considered. We study the problem occurs in the vicinity of the triangular libration points unsteady periodic oscillations. An algorithm for the approximate calculation of the bifurcation parameter values.

Key words: the tree body-problem; bifurcation; libration points; periodic solutions.

УДК 517.929.4, 519.21

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО И W -МЕТОД

Н.В. АЗБЕЛЕВА

© Р.И. Кадиев

Ключевые слова: устойчивость решений; функциионально-разностные уравнения Ито; метод вспомогательных или модельных уравнений.

Исследуются вопросы устойчивости решений для линейных функционально-разностных уравнений Ито. Исследование проводится методом вспомогательных или модельных уравнений Н.В.Азбева.

Пусть: (О, Т, (Т)г^о,Р) —стохастический базис; кп —линейное пространство п-мерных То —измеримых случайных величин; = 2,...,ш —независимые стандартные ви-

неровские процессы; 1 ^р< ж; Е —символ математического ожидания; |.| —норма в Яп; N — множество натуральных чисел; N+ = {0} и N; йп — линейное пространство последо-ваетльностей х(в)(в € N+), где х(в) — Т3 —измеримая п -мерная случайная величина; 1п

— линейное пространство последовательностей т х п -матриц Н(в)(в € N+), где элементы матрицы Н(в) — Г — измеримые случайные величины.

Рассматривается линейная функционально-разностное уравнение Ито вида

х(в + 1) = х(в) + [(Уж)(в) + /(s)]Z(в)(в € Щ), (1)

где V является линейным оператором действующий из пространства с!п в пространство 1п, / € 1п, Z (в) = (Н, (В2 ((в + 1)Н) -В2(вЪ)),.., (Бт((в + 1)Ь) -Вт(вН))), Н —достаточно малое действительное число.

Под решением уравнения (1) понимается любой элемент из (1п, удовлетворяющее уравнению (1) Р -почти всюду.

Уравнение (1) называют однородным, если /(в) = 0 Р -почти всюду при в € N+.

Частными случаями уравнения (1) является линейная система «обыкновенных» 'разностных уравнений Ито и линейная система разностных уравнений Ито с запаздыванием.

2543

Уравнение (1) рассматривается в предположении, что через любое х0 € кп проходить единственное решение. Обозначим это решение через Xf (в,х0)(в € ^) (х0(в,х0) = х(в,х0) (в € N+)). Справедлива следующая лемма.

Лемма. Для решения уравнения (1), проходящее через х0 € кп имеет место представление

Xf (в,х0) = X(в)х0 + (С/)(в)(в € ^), (2)

где X(в)(в € N+) (X(0) = Б — единичная матрица) — п х п -матрица, столбцами которой являются решения однородного уравнения (1) (фундаментальная матрица), а С: 1п ^ ^ (1п — линейный оператор (оператор Коши) такой, что (С/)(0) = 0 и С/ — решение уравнения (1).

Представление (2) является центральным результатом в теории устойчивости решений уравнения (1). В силу этого представления асимптотические свойства решений уравнения (1) определяются фундаментальной матрицей и оператором Коши для этого уравнения.

Определение! Тривиальное решение однородного уравнения (1) назывем:

— р -устойчивым , если для любого е> 0 найдется такое п(е) > 0, что при |х0| <п

будет выполнено неравенство Б 1х(в,х0)1Р ^ е для любого в € N+;

— асимптотически р -устойчивым , если оно р -устойчиво, и, кроме того, для любого е> 0 найдется такое п(е) > 0, что при |х0| <п будет Нш Б 1х(в,х0)1Р = 0;

— экспоненциально р -устойчивым , если найдутся такие числа с > 0, в > 0, что вы-

полнено неравенство Б^(в^^ ^ ^х^ ехр{— вв} ( в € N+ ).

Пусть ^(в)(в € N+) — последовательность положительных действительных чисел. В дальнейшем используются следующие линейные нормированные подпространства пространств Рп и кп:

тр = {х : х € Рп, ||х||т7 Л== 8ир(Б|7(в)х(в)|р)1^р < ж}; к'р = {а : а € кп, ||а||^п Л== Б< ж}.

Р в'^0

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.

а) р -устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что для любого х0 € Яп решение х(.,х0) однородного уравнения (1) принадлежит пространству тр.

б) Асимптотически р -устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что существует числовая последовательность 7(в) (в € N+) такая, что 7(в) ^ 5> 0 при в € N+ (5

— некоторое число), Нш 7(в) =+ж и для любого х0 € Кп решение х(.,х0) однородного

уравнения (1) принадлежит пространству Шр .

в) Экспоненциально р -устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что существует положительное число в такое, что для любого х0 € Яп решение х(.,х0) однородного уравнения (1) принадлежит пространству Шр, где 7(в)=ехр{вв} (в € N+) .

Пусть ], Б, К — линейные нормированные подпространства пространств кп, Рп, 1п соответственно.

Определение2. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима тройка (],Б,К), если Xf (.,х0) € Б для любых х0 € 1, / € К и существует такое с€ К+, при котором выполнено неравенство

||xf + ||/Ы. (3)

Отметим, что задача допустимости пространств для уравнения (1) тесно связана с задачей устойчивости по начальным данным решений для уравнения (1) и устойчивости по начальной функции, когда уравнение (1) является линейной системой разностных уравнений Ито с запаздыванием.

2544

Для установления допустимости тройки (J,S, R) для уравнения (1) воспользуемся эквивалентным преобразованием этого уравнения.

Рассмотрим «модельное» уравнение, асимптотические свойства решений которого известны. Пусть модельное уравнение имеет вид

x(s + 1) = x(s) + [(Qx)(s) + g(s)]Z(s)(s e N+ ), (4)

где Q : dn ^ ln — линейный оператор, g e ln. Предполагается, что через любое x0 e kn проходить единственное (с точностью до P-эквивалентности) решение x уравнения (4). Тогда, в силу леммы, для этого решения x имеет место представление x(s) = U(s)xo + (Wg)(s)(s e e N+), где U — фундаментальная матрица, W — оператор Коши для уравнения (4). Уравнение (1) используя модельное уравнение (4) перепишем в виде

x(s + 1)= x(s) + [(Qx)(s) + ((V — Q)x)(s) + f (s)]Z(s)(s e N+)

или

x(s) = U(s)xo + (W(V - Q)x)(s) + (Wf )(s)(s e N+).

Обозначив W(V — Q) = Ql, получим ((I — Ql)x)(s) = U(s)x0 + (Wf)(s) (s e N+).

Теорема 2. Пусть для модельного уравнения (4) допустима тройка (J, S, R), а оператор &i действует в пространстве S. Тогда, если оператор (I — &i): S ^ S непрерывно обратим, то для уравнения (1) допустима тройка (J,S,R).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана проектом по аналитической ведомственной целевой программе РНПВШ № 2.1.1/9516.

Kadiev R.I. STABILITY OF SOLUTIONS OF LINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENCE EQUATIONS ITO AND N.V.AZBELEV’S W -METHOD

Problems of stability of solutions for linear functional-difference equations Ito are studied. Research is conducted by N.V. Azbelev’s method of the auxiliary or modeling equations.

Key words: stability of solutions; functional-difference equations Ito; method of the auxiliary or modeling equations.

УДК 519.85, 517.97

ОБ УСТОЙЧИВОЙ СЕКВЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ КУНА-ТАККЕРА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИИ

© А.В. Канатов

Ключевые слова: нелинейное программирование; секвенциальная оптимизация; параметрическая задача; теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме; двойственная регуляризация; оптимальное управление; неустойчивые задачи.

Обсуждаются устойчивая к ошибкам исходных данных секвенциальная теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи нелинейного программирования в гильбертовом пространстве и возможности ее приложения при решении неустойчивых задач оптимального управления.

2545