Допустимость пар пространств и устойчивость начальной функции для линейных функционально-разностных уравнений Ито Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11—01—00790—а).

Ismagilov R.S. A theorem by М. Кас and its analogues for distributions and operators. We consider functions on the plane which are products of functions depending on the one variable. The problem is to describe functions having this property with respect to two different coordinate systems on the plane. This problem is connected with a theorem by M. Kac on characterization of normal distribution. Also generalizations to distributions and linear operators are discussed.

Key words: gaussian random values; decomposable functions, cross-ratio, delta-function; Hilbert space; factorization

Исмагилов Раис Сальманович, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры фундаментальные науки 1 (высшая математика), e-mail: [email protected].

УДК 517.929.4, 519.21

ДОПУСТИМОСТЬ ПАР ПРОСТРАНСТВ И УСТОЙЧИВОСТЬ по НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО

© Р.И. Кадиев

Ключевые слова: допустимость пар пространств; устойчивость по начальной функции; функциионально-разностные уравнения Ито.

Рассматривается задача допустимости пар пространств для линейных функциональноразностных уравнений Ито и её применение для изучения устойчивости по начальной функции.

Пусть: (О, Т, (Т)*^о,Р) —стохастический базис; кп —линейное пространство п-мерных То -измеримых случайных величин; Вг, г = 2,..., т — независимые стандартные вине-ровские процессы; 1 ^ р< ж; Е —символ математического ожидания; |.| —норма в Кп; N — множество натуральных чисел; = {0} и N.

Рассматривается линейная функционально-разностная система Ито вида

х(в + 1) = х(в) + ЕА \(в,з)х(з) + ¡г(в)]Ь+

т 5 3=0 (1)

+ Е Е [Аг(в,з)х(]) + ¡г(в)](Вг((в + 1)Н) - Вг(вЬ))(в е ^),

г=23=0

где х(в) — Т5-измеримая п-мерная случайная величина при в е N+, /г(в) — Т5-измеримая п-мерная случайная величина при в е N+, г = 1, ...,т, Н — достаточно малое действительное число, Аг(в,]) — п х п-матрица, элементы которой Т5 -измеримые случайные величины при в е N+, ] = 0,..., в, г = 0,..., т.

Уравнение (1) называют однородным, если /г(в) = 0 Р- почти всюду при в е N+, г = 1,..., т.

Частными случаями уравнения (1) является линейная система разностных уравнений Ито с запаздыванием

S

x(s + 1)=x(s) + Е [A\{s,j)x{j) + fl(s)]h+

j=-<X

m s /0\

+ E E [Al(s,j)x(j) +fi(s)}(Bi((s + 11h) — Bi(sh))(s e N+), ()

i=2 j=-<x>

x(j) = v(j) (j <0),

где x(s) — Fs -измеримая n-мерная случайная величина при s e N+, f 1 (s) — Fs-измеримая n-мерная случайная величина при s e N+, i = 1, h — достаточно малое дей-

ствительное число, A1 (s,j) — n x n-матрица, элементы которой Fs -измеримые случайные величины при s e N+, j = —ж,..., s, i = 0, ...,m, p(j) — случайная величина, которая не зависит от винеровских процессов Bi,i = 2,..., m при j < 0.

Чтобы записать уравнение (2) в виде (1) в уравнении (1) надо положить Ai(s,j) =

о

= Ai(s,j), fi(s) = fi (s)+ E [Ai (s,j)V(j) при s e N, j = 0,...,s, i = 0,...,m.

j=-ж

Заметим, что уравнение (2) будет однородным, если fl(s) = 0 P— почти всюду при

s e N+, i = 1,..., m и y>(j) = 0 P — почти всюду при j < 0.

Обозначим через dn — линейное пространство решений уравнения (1), а через ln — линейное пространство последовательностей m x n-матриц H(s)(s e N+), где элементы матрицы H(s) — Fs -измеримые случайные величины. Пусть y(s)(s e N+) — последовательность положительных действительных чисел. В дальнейшем используются следующие

линейные нормированные подпространства пространств dn и kn :

mY = {x : x e dn, ||x||m7 d= sup(E\y(s)x(s)|p)1 /p < <x}(mp = mp);

p s^0

k'n = {a : a e kn, ЦаЦ^ d= E\a\p < ж}.

Пусть b — линейное подпространство пространства ln с нормо й ||.||ь, bY = {f : f e b,Yf e b} — пространство с нормой \\fЦ57 = \\Yf||ь, xf(s,x0) — решение уравнения (1) с правой частью f = (f 1,..., fm) и xf (0,xo) = xo.

Определение1. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара (mp, bY), если существует такое с e R+1, при котором для любых xo e kpn, f e bY имеем xf (.,xo) e mp, причем выполнено неравенство

\\xf (.,x0)\\^^l < + \\f \\ mY ). (3)

Определение 2. Тривиальное решение однородного уравнения (2) назовем:

— р-устойчивым по начальной функции, если для любого е > 0 найдется такое

6(e) > 0, что для любых тачального процесса ф(j), j < 0 и xo e k'n из неравенства

E\xo|p+ sup E\^(j)\p< 6 следует оценка E\xv(s,xo)\p ^ e при s e N+ (здесь и в дальней-j<o

шем xv(s,xo) — решение уравнения (2) при f1 = 0,i = 1, ...,m и начальной функцией ф, причем xv(0,xo) = xo);

рр

чальной функции, и, кроме того, для E\xo\p+ sup E\^(j)\p < 6 будет

j<o

lim E\x^(s, xo)\p = 0;

р

тельных постоянных с, в справедливо неравенство

E\xv,(s,xo)\p ^ C(E\xo\p+ sup E\p(j)\p) exp{— Ps}(s e N+).

j<o

Пусть для уравнений (2) имеем f1 = 0,i = 1,..., m и при любой начальной функции ф

такой, что sup E^(v)\p < ж случайный процесс f = (f1,..., fm) для уравнения (1), соот-v<o

ветствующего уравнению (2), принадлежит некоторому нормированному подпространству b пространства ln, норма в котором удовлетворяет неравенству

Ilf ||ь < K sup (E^(j)\p)1/p, j<o

K

Лемма. Если для уравнения (1), соответствующего уравнению (2), допустима пара (mp,b), то тривиальное решение уравнения (2) р -устойчиво по начальной функции.

Разумеется, в лемме пространство b можно заменить на пространство bY. Тогда из допустимости пары (mp,bY) для уравнения (1), соответствующего уравнению (2), будет

р

однородного уравнения (2), если y(s) = exp{es}(s e N+), в > 0, и асимптотическая р

если y(s) ^ 6 > 0 (s e M+) для некоторого числа 6 и lim y(s) = +ж.

Для установления допустимости пары (mp, bY) для уравнения (1) необходимо проверить принадлежность решения xf (.,xo) уравнения (1) пространству mp при любых xo e k'£, f e bY и выполнимость для него неравенства (3). Выполнимость этих условий проверяется, используя эквивалентное преобразование уравнения (1).

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана проектом по аналитической ведомственной целевой программе РНПВШ № 2.1.1/9516.

Kadiev R.I. Admissible pairs of spaces and stability with respect to the initial function for linear functional difference equations Ito. The problem an admissible of pairs spaces for linear functionally difference the equations of Ito and its application for stability studying to the initial function is considered.

Key words: admissibility of spaces pairs; stability to the initial function; functional difference equations Ito.

Кадиев Рамазан Исмаилович, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, e-mail: kadiev [email protected].

УДК 517.988.6

ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ, УПЛОТНЯЮЩИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМКНУТОГО ОПЕРАТОРА © С.Н. Калабухова

Ключевые слова: мера некомпактности; еюръективный оператор; уплотняющее отображение.

Данная статья посвящена изучению отображений, уплотняющих относительно замкнутого линейного оператора. В ней приводятся примеры отображений, уплотняющих относительно таких операторов, и рассматривается теорема о разрешимости уравнений с уплотняющими относительно замкнутых линейных сюръективных операторов отображениями.