Об устоичивой секвенциальной теореме Куна–Таккера в нелинейном программировании и ее приложении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для установления допустимости тройки (J,S, R) для уравнения (1) воспользуемся эквивалентным преобразованием этого уравнения.

Рассмотрим «модельное» уравнение, асимптотические свойства решений которого известны. Пусть модельное уравнение имеет вид

x(s + 1) = x(s) + [(Qx)(s) + g(s)]Z(s)(s e N+), (4)

где Q : dn ^ ln — линейный оператор, g e ln. Предполагается, что через любое xo e kn проходить единственное (с точностью до P-эквивалентности) решение x уравнения (4). Тогда, в силу леммы, для этого решения x имеет место представление x(s) = U(s)x0 + (Wg)(s)(s e e N+), где U — фундаментальная матрица, W — оператор Коши для уравнения (4). Уравнение (1) используя модельное уравнение (4) перепишем в виде

x(s + 1) = x(s) + [(Qx)(s) + ((V — Q)x)(s) + f (s)]Z(s)(s e N+)

или

x(s) = U(s)xo + (W(V - Q)x)(s) + (Wf )(s)(s e N+).

Обозначив W(V — Q) = Ql, получим ((I — Ql)x)(s) = U(s)x0 + (Wf)(s) (s e N+).

Теорема 2. Пусть для модельного уравнения (4) допустима тройка (J, S, R), а оператор &i действует в пространстве S. Тогда, если оператор (I — &i): S ^ S непрерывно обратим, то для уравнения (1) допустима тройка (J,S,R).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана проектом по аналитической ведомственной целевой программе РНПВШ № 2.1.1/9516.

Kadiev R.I. STABILITY OF SOLUTIONS OF LINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENCE EQUATIONS ITO AND N.V.AZBELEV’S W -METHOD

Problems of stability of solutions for linear functional-difference equations Ito are studied. Research is conducted by N.V. Azbelev’s method of the auxiliary or modeling equations.

Key words: stability of solutions; functional-difference equations Ito; method of the auxiliary or modeling equations.

УДК 519.85, 517.97

ОБ УСТОЙЧИВОЙ СЕКВЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ КУНА-ТАККЕРА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИИ

© А.В. Канатов

Ключевые слова: нелинейное программирование; секвенциальная оптимизация; параметрическая задача; теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме; двойственная регуляризация; оптимальное управление; неустойчивые задачи.

Обсуждаются устойчивая к ошибкам исходных данных секвенциальная теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи нелинейного программирования в гильбертовом пространстве и возможности ее приложения при решении неустойчивых задач оптимального управления.

2545

Постановка задачи. Рассматриваем параметрическую задачу минимизации

(Pp,,r) f 6(z) ^ inf, g&(z) = Р, (z) ^ r, z eD C Z, p e H, r e Rm — параметры,

где f6 : D ^ R1 — липшицев функционал, g6 : D ^ H — вполне непрерывный липшицев оператор, h6 — (h\,, h6m): D ^ Rm — липшицев векторный функционал, DC Z — ограниченное замкнутое множество, Z, H —гильбертовы пространства, 5 e [0, £o], ^o > 0 —некоторое фиксированное число. Верхний индекс 5 характеризует ошибку задания исходных данных задачи, при этом (Ppr ) обозначает невозмущенную (исходную) задачу. Будем считать, что выполняются следующие оценки \f6 (z) — f0 (z)|, \\gs (z) — g°(z)\\, \h6 (z) — h°(z)\^ K5 V z eD с некоторой не зависящей от 5 постоянной К> 0. Обозначим: Dp^ — {z eD: \\g0(z) — p\\ ^

^ e, min \h0(z) — r — x\ ^ e}, e ^ 0. Определим полунепрерывную снизу функцию значе-

xeRm

ний в0 : H х Rm R1 и{+ж} задачи ( Pp,r ): f0(p,r) — lim f°(p,r), f°(p,r) — inf f0(z),

p,r !' У V-r ч 1 ) — I /-\ ) ч Ms , .

p s^+0 zeV°?r

fs(p,r) — +ж, еслиDP)’s = 9. Определим теперь при c> 0 модифицированную двойственную

задачу Vp’£ (Л, ц) — inf LpГ (z, Л, ц) ^ sup, Л e H, ц e Rt, где модифицированная функция

’ zeD ’

Лагранжа (МФЛ) Lp6 исходной задачи минимизации (Pp,r) задается следующим равен-

m

ством Lp,r(z, Л, ц) — f6(z) + (Л, gs(z) — p) + §\\gs(z) — p\\2 +1 {[max{0, ц + c(hf (z) — n)}]2 —

i=1

— ц§}, z eD, (Л,ц) e H х Rm, c > 0.

Определение 1. Вектор (X, ц) e H х Rt, для которого f0(p, r) ^ inf Lp°r (z, Л, ц)

zeD ’

при некотором c> 0 называется обобщенным вектором Куна-Таккера задачи (Ppr).

Можно показать, что множество всех векторов Куна-Таккера задачи (Pp, r), взятых с обратным знаком, совпадает с проксимальным субградиентом dPf0(p,r) (его определение см., например, в [1]), который не пуст для плотного в domf0 множества точек (p,r).

Устойчивая секвенциальная теорема Куна-Таккера. Формулируемая ниже теорема представляет собой необходимые и достаточные условия на элементы минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги, которые конструируются устойчиво из субоптимальных элементов МФЛ. Ее доказательство основывается на нелинейном варианте метода двойственной регуляризации (см., например, [2, 3]). Обозначим

(\ \ тт nm,

через (^pr,c, l^prc) единственную в H х Rm точку, дающую на этом множестве максимум функционалу Rp’6r’a(Л, ц) — Vpf (Л, ц) — а||Л||2 — а\ц\2.

Теорема1. Пусть в задаче (Pp>r) существует обобщенный вектор Куна-Таккера, причем dP f0(p,r) содержит минимальный по норме элемент, 5s, s = 1, 2,... — произвольная сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел. Тогда найдутся достаточно большое c> 0 и ограниченная последовательность Л,цs) e H х Rm, s = = 1, 2,..., такие, что для последовательности zs, s = 1, 2,..., элементы которой минимизируют с точностью es, es ^ 0, s ^ж, МФЛ Lp6r (z^s,^),z eD, справедливы предельные соотношения f °(zs) ^ f0(p, r), s -^ж,

g°(zs) — p ^ 0, max{0,h°j(zs) — rj} ^ 0, max{—^/c, (h°j(zs) — rj)} ^ 0, j = 1,... ,m (1)

и, как следствие, предельное соотношение Vpfi^,^) f0(p,r), s -^ж. В качестве последовательности (Лs,ц^, s = 1,2,..., может быть взята последовательность (^p, rac6 \pp, r°Cc6 ^), s = 1, 2,... при условии согласования 5s/a(5s) 0, s -^ж, вырабаты-

ваемая соответствующей версией метода двойственной регуляризации [ 2, 3\. При этом (—Лs, —ц'в) (—ЛPrc, —$rc) e dPf0(p,r), s ж, где (—Л0гс, —$r>c) - минимальный по

2546

норме элемент во множестве dPf°(p,r). И наоборот, если при некотором достаточно большом c> 0 существует ограниченная последовательность (Л>^,ц>^) e H х Rm, s = = 1, 2,..., такая что для последовательности zs eD, s = 1, 2,..., элементы которой минимизируют с точностью es модифицированную функцию Лагранжа Lp’r (z^s,^), z eD с достаточно малыми es > 0, справедливы предельные соотношения (1), то выполняется и предельное соотношение f 0(zs) ^ f 0(p,r), s ^ ж. При этом одновременно имеет место и предельное соотношение Vpf Л, цs) f0(p, r), s ж.

Величина штрафного коэффициента c > 0 определяется свойствами проксимального субградиента dPf°(p,r). Отметим, что имеются примеры задач вида (Pp°r ), для которых взятые формально без регуляризации элементы (Л61, ц) = (^p^c, ttp,r,c), s = 1, 2,... не обеспечивают устойчивого построения МПР. Теорема 1 находит приложение при решении неустойчивых нелинейных задач оптимального управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Graduate Texts in Mathematics. V. 178. New York: Springer-Verlag, 1998.

2. Sumin M.I. Parametric Dual Regularization in a Nonlinear Mathematical Programming // Advances in Mathematics Research. V. 11. NewYork: Nova Science Publishers Inc., 2010. Chap. 5. P. 103-134.

3. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация в оптимизации, оптимальном управлении и обратных задачах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 1. С. 467-492.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00199-а) и Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. (шифр заявки 1.1907.2011).

Kanatov A.V. ON STABLE SEQUENTIAL KUHN-TUCKER THEOREM IN NONLINEAR PROGRAMMING AND ITS APPLICATIONS

The stable with respect to the errors in the initial data sequential Kuhn-Tucker theorem in nondifferential form for parametric nonlinear mathematical programming problem in a Hilbert space and the possibility of its application for solving unstable optimal control problems are discussed.

Key words: nonlinear programming; sequential optimization; parametric problem; Kuhn-Tucker theorem in nondifferential form; dual regularization; optimal control; unstable problems.

УДК 517.9

ON SOME EXTENSIONS OF OPTIMAL CONTROL THEORY

© D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira

Key words: impulsive control; extension of classical theory.

Avoiding bringing sophisticated technique and without going into the rather complex details we describe the problem of extensions of the classical control theory on the introductory level.

It is a fact that classical calculus of variations problems might not have a smooth or even a continuous solution, although they are still of physical interest. Here, we shall focus namely on the

2547