Устойчивость подкрепленных панелей с учетом пластичности при нестационарном нагреве и нагружении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XXI 19 90 №2

УДК 629.7.015.4—977 629.7.015.4.023.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ И НАГРУЖЕНИИ

А. А. Ионов

Предложен метод и алгоритм определения критического состояния потери устойчивости пластин, подкрепленных упругими ребрами, при нестационарном воздействии нагрева и нагружения с учетом пластического поведения материала. Показана эффективность разработанного математического и программного обеспечения на ряде методических и практических задач.

При проектировании конструкций сверхзвуковых и гиперзвуковых летательных аппаратов необходимо учитывать такое явление, как потеря устойчивости обшивки и различного рода подкрепляющих элементов (стенок нервюр, полок стрингеров, шпангоутов и т. п.), возникающее из-за воздействия интенсивных аэродинамических нагрузок и интенсивного нагревания, которое может привести либо к искажению формы обтекаемых профилей и снижению аэродинамических характеристик или местному перегреву отдельных участков обшивки, либо к потере несущей способности силовой конструкции.

Существенная нестационарность процессов нагрева и нагружения, а вследствие этого значительное изменение теплофизических и механических характеристик элементов конструкций, зависящих от температуры, приводит к тому, что критические напряжения сильно меняются по траектории полета аппарата, и становится практически невозможным выбрать расчетный случай (или расчетную точку на траектории) только из общих соображений. В связи с этим возникает необходимость определения момента времени тКр, когда какой-либо элемент начинает терять устойчивость и соответствующую этому моменту критическую комбинацию внешних нагрузок и температур.

Значительную сложность при исследовании потери устойчивости гиперзвуковых аппаратов вносит нелинейное поведение материала элементов конструкций, обусловленное как уровнем действующих нагрузок, так и снижением механических свойств материалов из-за интенсивного нагревания. При этом необходимо учитывать всю предысторию нагрева и нагружения, так как это может сильно сказаться при определении критического момента потери устойчивости.

Рис. 1. Диаграмма деформирования материала с учетом пластического поведения

Как отмечается в [2], вопрос о термоустойчивости подкрепленных панелей при повышенных температурах с учетом пластичности еще пока не достаточно-проработан, особенно в части отыскания эффективных методов решения таких задач. По этому вопросу в литературе имеются решения небольшого числа простых задач [1, 2], что подчеркивает актуальность и важность разработки надежных методик и алгоритмов, реализованных в виде программного обеспечения и позволяющих решать задачи термоустойчивости как с учетом многофакторного нестационарного внешнего воздействия, так и с учетом неупругого поведения материала.

Для решения поставленной задачи в работе использованы с некоторой модификацией методы и подходы, разработанные разными авторами [1—4]. В основном, модификация заключается в обобщении предложенных методов решения задач термоустойчивости на совместное действие силовых и температурных факторов и учете пластического поведения.

1. Для решения задач устойчивости подкрепленных пластин в пластической области обычно применяют деформационную теорию или теорию течения с различными модификациями. В данном случае воспользуемся деформационной теорией без эффекта разгрузки с учетом сжимаемости материала, так как согласно [Ц применение этого метода достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Выведем уравнение изгиба изотропной пластины, нагретой от температуры Т0 до температуры Т(т), в плоскости которой действуют нормальные усилия я^т) и Яг (т), в предположении, что диаграмма о{(Т)—ег(Т) при комбинированном нагружении совпадает с диаграммой а(Т)—е(Г) для одноосного растяжения (сжатия). Закон Гука в этом: случае записывается в следующем виде [1]

В соответствии с подходом [4] и согласно иллюстрации рис. 1 диаграммы вг(Т)—єі(Г) систему уравнений (1) можно преобразовать к следующему виду, похожему на закон Гука для упругого материала

(1>

єі = — (Зі — ^2) + а^Т

12

где ЕС-ЕС(Т)-

£ =£ (7) = _^_0_ Ч(Т) дц(Т) ’

[х = 0,5 — (0,5 — V) , о, = V <з\ — а, а, + 02 + Зх:

<ч(Т)

1

1

1

МП а<(У) ___________ __________________________________

Ее(Т) Е(Т)"1" £Пл (У) ’ £с(Г) £(7’)

г1 = ——— У ^ (®1 + ^2) + ^2 £1 г2 4- 0,75^12,

1 +(Х

V, = 1 + ^ ^

1.

Здесь Е, Ес, Ек, V — соответственно модуль упругости, секущий, касательный модуль и коэффициент Пуассона; а и е, — интенсивность напряжений и деформаций. Все вышеуказанные величины зависят от температуры Т. Определим приращения деформаций беь бег, 6712 через приращения напряжений &01, бсУг, 6Т12 в матричном виде

8г2

Ли Л1г Л]з \ Л12 Л 22 Л23 I Л13 Л23 Л38 /

8а1

оз, ) ИЛИ 8е = [Л]-8о , 8*12

где коэффициенты Ац(1, /=1, 2, 3) определяются следующими соотношениями:

а,=_1.[, + «,(1-|)(^ + 0,6|5!)] л>!=-у1 -'Ч1 ~-|) (йг+0-51г5‘)] ’

Л оч — ■

33 :

Я

' Ес

2 .

»/1 -4сН /?2 + 0,5 ),

Ек

[ 2 (! + {*)■

■/&(!

Е

3£

1 — С

Ек

(3)

где 5, = -^-, 52 = ^-, Я12 = ^, /?1 = 5, - 0,552, /?2 = 52-0,55,.

°г аг °/

Если не учитывать эфффекта разгрузки при выпучивании пластины, то изгибающие моменты на ее краях определяются из известного уравнения {1] через приращения напряжений бег в предположении отсутствия перепада температур;ы по толщине пластины

___ 0,5/1

М= Г Ъз-гЛг, (4)

-0,5й

где М= (Ми Мг, М 12)т, а Н — толщина пластины. Выражая приращения деформаций изгиба через кривизны пластины х (д* да <5* да _ д2 да

■ = ( -

Ъв — гх, где х ■

^ дх\ ’ дх\ ’ дхх дх2

прогиб пластины, согласно уравнению (4) получим следующие соотношения для изгибающих моментов

М=[П]х,

(5)

где

[£>] =

Дц 012

^12 &22 ^23 Аз ^23 ^83

здесь элементы матрицы А определяются из -формул (3).

Вариационным методом с последующей линеаризацией уравнений изгиба получено уравнение нейтрального состояния пластины с учетом пластического поведения материала, которое по форме записи похоже на аналогичное уравнение [3] и характеризует изгибное состояние пластины с анизотропными свойствами (5):

д2 да

д2 д2 да д2 д2 да д2

дх, 11 дх, дх¥ 12 дхо дх? 13 дхх дх2

+

Ч

д2

ч

д2 да

дхп 12 дх?

п

д2

дх\

2

д2 да Ага + 2

дх\

і

д2

дх\

D

дг да

23

д2

дх1 дх2

£>

13

д2 да дхі

+ 2

д2

___ д2 да

-----о “Ь 4

Лї! ' дх2 дх1 дх

дх1 дх,2 (32 д2 да

а

33

дХі дх2

4-

д (— дт — дда \ д !~ дт — дда \

+ зі: 1^1 + ^2 ді«) + ш: I?12 5^ + ^ = 0 -

(6)

где <7ь ^2, <712 — суммарное усилия, возникающие от воздействия внешних погонных нагрузок <71? qг и от перепада температур между пластиной и подкрепляющими ее ребрами <7?. <72. <712 • Температурные усилия в пластине с учетом пластического поведения материала были определены из уравнения совместности Деформаций [1]:

д2

д* Ь2

1 д2 з2

дх\ дх\ дхі дх2

О .

(7)

Подставляя выражения для деформаций пластины (2) в уравнение совместности деформаций (7), после несложных преобразований получим следующее дифференциальное уравнение для определения ее термонапряженного состояния с учетом пластичности:

где Т (х„ х2) = — Г а (хи х2) Т (хи х2 г) йг — среднее темпера-А .!

-0,5й

турное расширение пластины, <р (хи х2) — функция усилий, связанная с температурными усилиями д], д\, Яп, следующими зависимостями:

д2 ф

Т I т

Чг==^4' 42

д*?

дх\

Я12 — —

дг ср

дх\ дх .

Для решения задач плоско-напряженного состояния (8) и изгиба (6) необходимо удовлетворить граничным условиям на краях пластины (х; = 0, а;, 1=1,2), которые записываются в следующем виде:

■ АД

С V д2 <р

Л Ес

ЕР,

Ох?

+ <7<

ЕР,

р1

*г=0, а1 >

ду

дх1 *1 = 0

д ю

дх{ х1 = а1

= [а I

■Т)

дг,—О

= ~ Т)

дт" дх[

= 0,

.=0

(1-в,) йи

д2 да

-

Эг й**

= 0, 1=1,2.

(9)

Здесь а* — размеры пластины по осям а^рг, а^рг, -Е-Ррг, £-Ррг — соответственно переменные температурные деформации и жесткости ребер, расположенные на краях пластины (рис. 2); 0г-, 0* — параметр, характеризующий граничные условия на соответствующих краях пластины (0г(0г) = 0 — шарнирное опирание, 0г(0г) = 1—заделка).

2. Решение дифференциальных уравнений (6) и (8) с граничными условиями (9) можно получить конечно-разностным методом в соответ-

9гЮ

Щг, t2 (X)

Рис. 2. Расчетная модель подкрепленной панели при нестационарном нагреве и нагружении

ствии с подходом [3]. Суть метода заключается в том, что строится разностный аналог задач (6), (8) и граничных условий (9) на сетке

“а = [•** = и — !) К « = 1,2, /' = 0,1, М, + 2, Л,- = соответствующей области, расширенной на шаг сетки Л, во всех направлениях

Я1(Уі) + О1(у1) = 0, 1 0)

(Уъ) + (у2) = 0, I

Уі = Яі(Уі) = Рі(У2) = 0, Хі — 0, _

У г = <3, (Уі) = рі ІУг) = 0, -«1 = 0/, '

где

".= і; +2 •

о,=-2 Т;л,

і = 1

"*=£ [лі/ (У*)їЛ + ^// (Уа);^ ]їЛ +

«,/=і

+ 2 [ ^ 3 (Уз),^ + ^ з (УгЬ^]^^ +

+ 4 2* {[ 3 \*іх) + ['Д 3 ]*?, } +

-Ь 2 £)33 (^г)ї1лг2]л1дг2 + 2 [ И33 (3^2)л1л:2]і1лг2 ,

— 2

С2= 0,5 £ { + [ ?, 0;а),і]ї| + 2 [?„ (_У2)ІгЬ] ,

і, /=1

НЕС^'"‘1 ‘ч £/^

^ = ~ШС [(У+ я] +-Щ7 №г - &р1 -Т),

^*~(1 ^и{у2)х1х1 + (_Уг)*г ,

^1 = 0-®/) °и (У2~)х;*1 + (.Уг)^ •

Здесь г/ь г/г — сеточные функции, соответствующие <р и до, а обозначения производных приняты в соответствии с аналогичными обозначениями [5].

Исключая законтурные точки при помощи граничных условий (И), сведем разностную задачу (10) к решению системы 2(М1— 1) (М2— 1) нелинейных алгебраических уравнений

НЛУ1)~ОЛУд = 0 ,

’ 1 (12) Я2(у2)-О2(у2) = 0. )

Для решения системы уравнений (12) применим согласно [3, 5] быстросходящийся двухступенчатый неявный итерационный процесс в следующем виде:

в1 [ (у,)? + (А ит ип\ + н, (У1) - а£ (у,) = о, (13)

г=1, 2,

где Вг — положительный самосопряженный оператор для задач плосконапряженного состояния и изгиба; х», Д^г — постоянные итерационного процесса, связанные с постоянными энергетической эквивалентности §1г, 02 г следующими рекурреНТНЫМИ СООТНОШеНИЯМИ [3, 5]

. 1 (*—Я1> + ?2 I 0 + ф)

Д11:

Vhi PaiO-fl?) ’

где величина ^ лежит в пределах 0<<?г< 1 (по рекомендациям [3, 5] </г~0,26), а р!,, Рг г — постоянные энергетической эквивалентности определяются из следующих формул:

■8 -- в

Ри— £с . Р21— £с

Р21 — min {D\\y D22} i Р22 — шах {/)ц, D22I Н ^12 Н- 2£)8з.

После задания некоторых начальных приближений j40> и у{Р на нулевой и первой итерациях последующие значения функций yi(i= 1,2) вычисляются из следующих уравнений:

пг+i = 4 А и Ч yf - (2Д ft Ч - 1) у Г*-1 + 2Aft У?

1 + 2Д^ xt

от — 1, 2,..., i = 1, 2,

в которых У”—приближенное решение вспомогательных систем разностных уравнений

BtV?=Gt-Hty? , /=1,2.

Операторы Bi строятся путем исключения законтурных точек при решении следующих разностных задач:

,т

*

Ъ V? = (УТУ^х, + ( у™ Ь2*2;2,2=- л* у"

г= 1, 2, (15)

с граничными условиями (11), в которых 1/1 заменены на Уг с равенством нулю температурных членов Ырг(Ыр^ и Т. Решение разностных уравнений (15) определяется в результате итерационного процесса переменных направлений, аналогично методу Писмена — Рэкфорда с оптимальным набором параметров по Жордану [3, 5]. Окончание итерационного процесса (14) происходит при достижении заданной точности

| у?—з/р 'Ц <2 , где Bi—заданная точность, || ||—составная норма.

Физически итерационный процесс (13) можно охарактеризовать как колебательный с линейным затуханием, в который внесено начальное возмущение. В этом случае итерации сходятся, если невозмущенное состояние является асимптотически устойчивым по критерию Ляпуно-

ва [3||. Поэтому об устойчивости пластины можно судить по устойчивости процесса или по параметру <7*, определяемому из формулы

----У-пг- (16)

11^2 У2 ~~ О” || ^ '

При 1 процесс является устойчивым, и состояние пластины является устойчивым, ^*>1 соответствует критическому состоянию или потере устойчивости пластины.

Так как для реальных конструкций процесс нагрева и нагружения является нестационарным и независимым друг от друга, то нет смысла говорить о критическом напряжении или критической температуре. Поэтому следует вычислять критический момент времени Ткр, при котором может произойти потеря устойчивости элемента конструкции.

Алгоритм определения тКр строится следующим образом. Для произвольного момента то по заданным внешним воздействиям определяются температуры элементов и погонные усилия. С учетом зависимости теплофизических и механических характеристик материалов конструкции от температуры определяется напряженно-деформированное состояние подкрепленной пластины из решения задачи (8) с учетом возможного появления пластических деформаций.

Исходя из термонапряженного состояния пластины определяются мембранные жесткостные характеристики Е, Ес, Ек, ц, зависящие от температуры Т и интенсивности напряжений ви а по ним изгибные характеристики пластины £>13(1', /=1, 2, 3). Далее решается задача изгиба пластины (6) и проверяется устойчиво ли ее состояние по критерию (16). Затем расчет повторяется для следующего момента времени и т. д. После нахождения, критического момента времени неустойчивого равновесия пластины его величина может уточняться на более мелком шаге по времени. Разработанная методика реализована в программе на языке ФОРТРАН, вошедшей в комплекс программ ТЕПЭК — термопрочность элементов конструкций.

3. В связи с тем, что в литературе практически нет примеров, касающихся задач термоустойчивости пластин и панелей в пластической области, и, в основном, все методические результаты и экспериментальные данные относятся к «холодным» пластинам, для которых силовые факторы заменены на температурные путем подбора соответствующих граничных условий, то в качестве тестового примера взята известная задача о потере устойчивости сжатой квадратной дюралюминиевой шарнирно опертой пластины при пластическом поведении материала [1Ц..

Для проверки предложенного алгоритма пластина разбивалась сеткой 20X20 элементов, диаграмма сг—е для материала Д16Т была взята из работы [1, стр. 1011], Параметры д, были выбраны равными 0,26 согласно рекомендациям [3, 5Д, точность при вычислении функции усилий £1=10-3, При вычислении прогибов — £2=10-0.

Результаты параметрических исследований критических напряжений (Ткр такой пластины от отношения ширины пластины к ее толщине Ь/к с учетом пластического поведения материала представлены на рис. 3. Там же представлены результаты, полученные другими методами [1], а также экспериментальные данные. Из рис. 3 видно, что результаты, полученные по разработанной методике, достаточно хорошо согласуются как с теоретическими, так и с экспериментальными данными.

В качестве приложения рассмотрим практическую задачу о термоустойчивости обшивки, подкрепленной по краям упругими ребрами,

27167

Без учета разгрузки р>=0,5

С учетом эффекта разгрузки, \л-0,5

без учета разгрузки

Рис. 3. Сравнение значений критических напряжений для дюралюминиевых пластинок по различным теориям и данному методу:

-------, по теории деформации [1],----по теории

течения [II, О— экспериментальные данные [1], X — данный метод

имитирующими стрингеры и нервю-ры. Размеры пластинки, имитирую- ^ {д.7 щей обшивку, соответственно равны Н1„г а1 = 0,02 м, а2 = 0,08 м площади по-перечного сечения ребер — Яр 1 =

= Рр 1 = 6,9-10_6 м2, /?р2 = ,Рр2=

= 25,5-10“6 м2. Материал обшивки и подкрепляющих ребер — никелевый сплав, диаграммы деформирования которого в зависимости от температуры представлены на рис. 4. В расчетах предполагалось, что обшивка панели подвергается воздействию аэродинамического нагревания, так что средние температуры обшивки, стрингеров и нервюр меняются по времени согласно зависимостям, представленным на рис. 5. Изменение температур указанных элементов определялось в

рамках плоской стержневой модели методом тепловых балансов по неявной схеме [6] с помощью комплекса программ ТЕПЭК. Также предполагалось, что в плоскости обшивки действуют нестационарные сжимающие усилия ^1, <72, возникающие от действия аэродинамических нагрузок (рис. 5).

Для расчета критического состояния пластины последняя разбивалась сеткой 20X50 элементов, точность вычисления функций усилий принята равной в1 = 10-6, прогибов — е2=Ю-3. При расчетах учитывалось изменение теплофизических и механических характеристик от температуры. Результаты проведенных численных исследований с учетом и без учета пластичности представлены на рис. 5, из которого видно, что пластическое поведение материала оказывает существенное влияние на процесс потери устойчивости и значительно сказывается на результатах расчетов.

Рис. 4. Кривые деформирования никелевого сплава при различных температурах

Рис. 5. Критическое состояние подкрепленной панели при воздействии нестационарного нагрева и нагружения

Действительно, если в упругой постановке потеря устойчивости панели может наблюдаться в интервале 440с<т<610с, то с учетом пластического поведения материала — в интервале 400 с<т<750 с, что определяется превышением 1 параметра ^*. При ^*>1 считается, что пластина находится в закритическом состоянии, однако о величине напряжений и прогибов в данном случае определенно сказать нельзя, так как в этом случае значительную роль играют нелинейные члены, а настоящая методика основывается на линеаризованных уравнениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вольмир С. А. Устойчивость деформируемых систем.— М.: Наука, 1967.

2. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. — М.: МГУ, 1968.

3. 3 а м у л а Г. Н., Иванов С. Н. Применение метода конечных разностей в задачах устойчивости нестационарно нагреваемых подкрепленных пластин. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 5.

4. Б е л о у с А. А., Б е л о у с В. А. Устойчивость прямоугольных пластин за пределом упругости с учетом сжимаемости материала. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 6.

5. Ж е ж е р я А. И., 3 а м у л а Г. Н., Молчанов И. Н., Ш е в а л-д и н В. Н. К определению температурных напряжений в подкрепленных пластинах методом конечных разностей. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 4.

6. 3 а м у л а Г. Н., Иванов С. Н. Экономический метод расчета нестационарных температурных полей в тонкостенных авиационных конструкциях.— Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 3.

Рукопись поступила 11/IV 1989 г.