Термоустойчивость пластинчатых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

У ЧЕНЫ Е 3 АП И с К И Ц А Г И

Том V

1974

і М3

\

УДК 629.835.33.015.4-977

ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ

Ї

Г. Н. Замула

Изложен метод решения задач устойчивости неравномерно на-; гретых и нагруженных пластинчатых систем, основанный на методе ортогональной прогонки [1]. В качестве примера дано исследование местной термоустойчивости панели, подкрепленной стеночнымшребч рами. ,

1. Рассмотрим вначале отдельную прямоугольную шарнирно опертую на поперечных краях пластину, сжатую равномерно в поперечном и неравномерно в продольном направлении усилиями, зависящими от параметра t, N2^), К'х(у, /!). Указанное нагружение характерно, например, для панелей обшивки и стенок панелей, балок и стержней конструкции летательного аппарата при воздействии неравномерных (по у) и нестационарных время) температурных полей и напряжений. Пластина может быть изотропной, ортотропной и конструктивно анизотропной и иметь переменные жесткости Ох{у, (), Оу(у, *), ОАУ, *), *)> в частности,

вследствие зависимости механических свойств от температуры. Задача устойчивости такой пластины сводится к отысканию критического значения параметра при котором появляется нетривиальное решение <»(*, у) уравнения устойчивости

(1.1)

с граничными условиями

(1.2)

при х — 0, х — а\

10 (1 — -г) + ^уї = 0, ю(1 — *Гі) 4-^7! = о,

(1.3)

^-(1-6) + М, 8=0, ^-(І-^ + ЛІ^О

при у = 0 и у — Ь.

о>— прогиб пластины, Ж, = — /)

щий момент, = 0» +

*У

Уд.у?

Э20) ; 1 д#2

ХУ хУдхду

- изгибаю-крутящий

^ 1 д*

<ШУ дМх у

момент, <4у — ^ —перерезывающая сила, 7, о, ^,,8, = 0 при

геометрическом граничном условйи и равны 1 при статическом условии, а, Ь — длина и ширина пластины, При представлении решения в виде . ,

дъ*

' = (У, №пп^-, ^ = ®п (у, *) ап п — ,

Му = М„(у, 0 81п п Н-, Ду = нп (у, О'зШ п ^

ПХ

(1.4)

задача (1.1) — (1.3) при каждом п = 1,2,..,. сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений :

п

аУ

йК

йу

п-(рп£>у шп — мп),

и у

йМп

е1у

ЛПп

йу

= Л»

(1.5)

с граничными условиями

“пО — т) + ^Л = 0, &я(1_8) + Л1л5 = 0,

при у = 0 и у — Ь, где

“«(1 -Т1;) + /?„ Т1 »«0-Ъг) + Мп\-

= 0, о

(1.6)

1*П.=

Ч2Т13 ■д5” ■

Критическое значение параметра 1* потери устойчивости пластины определяется теперь как наименьшее из значений параметра я=1, 2,..., при которых появляется нетривиальное решение задачи (1.5), (1.6). Для определения 1п воспользуемся методом ортогональной прогонки („пристрелки" с дискретной ортогонализа-цией), предложенным в работе [1] и примененным к решению задач устойчивости оболочек вращения в статье [2]. При каждом Л для обобщенной задачи (1.5), (1.6), записанной в виде

Лп —Аи, (1.7)

Г1=0, 1

1 = «1» I

(1.8)

*У

«1 (0) (1 — -0 + И4 (0) 4 = 0, и, (Ъ) (1 — 71) + и4 (Ь) иг(0) (1 — ^)“Ь из (0) 8 = е, > Щ Ф) (1 — М + и

где и (^) — вектор с компонентами щ = и2 = &л. ыз .

А {у) — квадратная матрица порядка 4, составленная из коэффициентов уравнений (1.5), е, е, = 0 или 1, указанный метод реализуется следующим образом. Прямой прогонкой из точки у=* 0 строим последовательность систем векторов

[»}(Уз)] = и,[и}(У,)], ■ 1,...,2-И, я=1,...;да, (1.9)

где векторы и, (л) — и/(Ув) получаются численным интегрированием системы (1.7) (например, методом Рунге — Кутта) на интервале 0^-1 Л = Ут = Ь) с начальными данными

и](у!-\) = г]{Уз-\). Здесь

^/Ы = и;(0), у = 1,..., 2 + е — система начальных векторов вида

*1<0)=^ о У «2(0) == ^! _!_ 8^, »з(°) = ^178у 0-Ю)

их обозначает процесс ортогонализации в точке у3, в ходе которого вычисляется квадратная треугольная матрица 2^ = [<о^]' порядка 2 + е. Решение задачи (1.7), (1.8) в точке у=ут = ь представляется в виде

и{Ь) = г(Ь)с(Ь) + гв(Ь)е, (1.11)

где Z{b) = [Zj^b)], у= 1, 2 —прямоугольная матрица размером 4X2, столбцы которой суть векторы г)(Ь), с(Ь) — вектор коэффициентов с компонентами с^Ь), сг(Ь), определяемыми из граничных условий

(1.8) при_у = 6 после подстановки в них (1.11). Для задачи (1.5), (1.6) при е = е1=0 приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений

Ос(Ь) = 0, (1.12)

где 0 = СЕ(Ь), С — прямоугольная матрица размером 2X4, составленная из коэффициентов соотношений (1.8) при у = Ь.

Условием существования нетривиального решения системы (1.12) является обращение в нуль определителя матрицы £>, зависящего параметрически от t

йеЬй (1) = 0, ' (1.13)

откуда находится а затем 4* я*, с{Ь)ф 0, и{Ь). После определения с(Ь), и(Ь) решение в точках ортогонализации^, 5=/п—1,...,0 может быть подсчитано по формулам обратной прогонки [1]

и (Л) = 2 (Уз) с'(ув) + гъ (ул) в (1.14)

при определений коэффициентов с1(у1), с2(Л) из рекуррентных соотношений

^+1^00 = *10^+1). (!15)

в которых при 5 = 0 сх (_у^) — вектор с компонентами с1(у1), с2(у^), совпадающий с с(у3), а при г = 1 с, (уа) — вектор с компонентами Сх{у$), с2(у3), 1. .....

Аналогично может быть реализован описанный метод при прямой прогонке из точки у=^Ь.

2. Перейдем теперь к задаче устойчивости пластинчатых систем, состоящих из отдельных пластин (одинаковой длины а, типа рассмотренных в п. 1), соединенных между собой по продольным краям. Это могут быть пластины на промежуточных опорах, панели с пластинчатым подкреплением и заполнителем, тонкостенные стержни и балки. Величины, относящиеся к отдельной пластине, будем помечать индексом й = 1, ..., /V, всего- пластин Лт. Задача устойчивости такой пластинчатой систе.мьг сводится к отысканию

критического значения параметра **, при котором появляется нетривиальное решение о)(А) (х, ук)), А=1,..., N системы N уравнений вида (1.1), записанных для каждой пластины, с граничными условиями вида (1.2) при х = 0, а, вида (1.3) на несоединенных с другими пластинами продольных краях и условиями закрепления и сопряжения на линиях соединения пластин.

В задаче местной термоустойчивости панели с пластинчатым подкреплением или заполнителем последние условия представляют собой условия равенства нулю прогибов и суммы изгибающих моментов, а также равенства углов поворота всех сходящихся в линии соединения пластин. При предположении достаточной ширины панели и регулярности подкрепления и нагрева может рассматриваться лишь периодически повторяющийся элемент панели (аналогично случаю стержня, балки соответствующего сечения) с условиями симметрии [3]. Рассмотрим случай пластинчатой системы с одной линией соединения, к которому сводится, в частности, задача местной термоустойчивости панели, подкрепленной стеночными ребрами. При представлении решения для каждой пластины в виде (1.4) сводим задачу при любых п, I к системе уравнений вида (1.7)

(0) (1 - т<*>) + и<*> (0) ч<*> = 0, и‘*)(0) (1 - 8<*>) + и$\0)8<й) = °>

По формулам п. 1 (при £<*> = 0, & = 1,...,Л0 для каждой пластины прямой прогонкой из точки у*) = 0 строим последовательность систем векторов (у(к))\, /=1,2, 5 = 1 ,...,тк, после чего решение задачи (2.1), (2.2) в точке уМ=у<£> = Ьк каждой пластины пред-

к

ставляется в виде

Подставляя (2.3) во вторые условия (2,2), приходим к системе 2 N однородных линейных алгебраических уравнений для определения с\*ЦЬк), с^(Ьк), &= 1,...,УУ, из условия (1.13) обращения в нуль определителя которой находим ^„, затем t%, и*, с(й) (Ьк),.

В общем случае системы N пластин, из которых соединены только одним продольным краем, при Л^2 линий соединения задача, сводится к системе уравнений (2.1) с граничными условиями

(2-1)'

с условиями

N

2 и<*> (Ьк) = 0, и<« (Ьк) (1 - 8) + «<*> (Ьк) 8 = о,

(2.2)

(Ь,) 8(&0 (1-8)=... = и1?' (М 8+и^ (МО - 8), к= 1,...',М

иМ{Ьк) = гЩЬл)с1»(Ьк), й=1,..., N.

(2-3>

и\к) (0) (1 — т<4>) + и(4к) (0) 7(*> = 0, ир (0) (1 - &<*>)■+ (0) 8(*) = 0,

и{*НК)(У-'\)-ги^(Ьк)\ = 0, & = 1,..., Мх\

(2.4>

• . «і«-(0) (1 --;8у*).+ #^.(0)8/* — °,

; (Ьк) (1 - Ь1к) + и™{Ьк) ьік — 0, к = <\\ + \,...,К

(2.5)

и условиями сопряжения

. 2 ч*ш+ 2ы^(°)=о. ,

/? **~ /г - * /і ~~р •

Фк)Ьі + «<*) (Ьк)( 1 1 8,) \к=к{ =.. .= и<*> (0) 8 ,+«<*> (0)0 -8,)!*=/.;, (2'6)

Здесь индекс ік, }к обозначает номер линии соединения соответ-

ственно края у(к) = Ьки У*> = 0 к-й пластины, числа к{, р1 пробегают значения всех номеров пластин, соединяющихся по 1-й линии ■соответственно краем У-к) = Ьк и _у(*> = 0. Для отыскания значения параметра при котором появляется нетривиальное решение задачи (2.1), (2.4) — (2.6), предлагается следующий метод. К условиям (2.5) добавляем соотношения . _

По формулам п. Г (при е<*> = 0, к = 1,..., Ы1г е(*> = 1, & = Л/, +

-4-1,..., А) для каждой пластины осуществляем прямую прогонку

из точки у*) = 0, после чего решение в точках _у(*> =_у<£) = пред. к .

ставляется в виде

Для всех пластин, соединенных по обоим краям, осуществляем прямые прогонки из точеку(к)=Ьк при £(*)=1, к = 1,..., И,

в результате которых строятся последовательности систем векторов [«5*> о**’)], / = 1,2, 3, 5 = шк — 1,..., 0 и решение в точках 3><*)=_у^> = 0 приобретает вид

Подстановка соотношений (2.8), (2.9) в условия сопряжения <2.6), соотношений (2.8) — в граничные условия (2.4), (2.5) при у<к'>=Ьк и соотношений (2.9) — в граничные условия (2.5) при у(*) = 0 приводит к системе 4ТУ — 2ЫХ однородных линейных алгебраических уравнений для определения с^{Ьк), 4Й)(^Л к=1,.N,

Недостающие 2 (Л^ — Л^) уравнений получаем приравниванием последних неизвестных при А = Nl тЬ 1,.: •, N их выражениям согласно (2.8), (2.9). Из условия обращения в нуль определителя полученной системы находится затем t^^:, га*, при я = га*, Ь = ее

4*)(0)(1 -й/л) + ^(0)54 = 1, ир{Ьк)(1-\)+ф(Ьк)\-1-,-

6 = ^ + 1,...,М

(2.7)

я<») (о) =^*> (0) с<‘> (0) + 2зк) (0) [№ (Ьк) (1 - 8, ) 4- 4к) (Ьк) у, £ = ^ + 1,..., N.

(2.9)

с[к) (0), с?' (0), [иР (Ьк) (1 - Ь,к) + «<*> (Ьк) 8д,

[«<*> (0) (1 - Ь/к) + 4*) (0) Ь/к), к = N. 4- 1,..., N.

нетривиальное; решение и по, формулам обратной прогонки вида

(2.8), (1.15) определяется ; : ! 1

и^ЦуМ), « = /я* — 1,..., 0, — 1,..., N.

3. Рассмотрим некоторые примеры., Изотропная пластина постоянной толщины Л неравномерно сжата в продольном направлении усилиями от внешней нагрузки и температурными усилиями, распределенными по закону

N.

к

(3.1)

характерному для панелей обшивки и стенок: конструкции летательного аппарата, в том числе при наличии изгиба. Задача определяется, в общем случае, при различных граничных условиях на

' ' ■ — зЛА-

продольных краях пластины безразмерными параметрами ° = ^" —

12(1—^)а( Ь^ ^ ^ где ^ V — модуль упругости И КОЭф-

712Е у А

фициент Пуассона материала пластины.

На фиг. 1 приведена полученная численно согласно п. 1 зависимость критического значения параметра нагрузки (коэффициента устойчивости) = А от параметров а, р для удлиненной (а/Ь =10) шарнирно; опертой или защемленной на обоих продольных краях

-3 -2 -1 0 { 2 /5

Фиг. 1

пластины (зависимость А от V отсутствует). При р = 0 и шарнирном опирании решение практически совпадает с аналитическим решением задачи устойчивости пластины при сжатии с изгибом, приведенным в [4]. В другом крайнем случае <х = 0 имеем параболическое, симметричное относительно середины пластины, распределение усилий (3.1), характерное для температурного нагружения. Коэффициент устойчивости в этом случае можно оценивать приближенно по усилию в середине пластины & |а=о ~ & |а=Ю и более точно

р=0

по методу поправки [5].

Панель, подкрепленная стеночными ребрами (фиг. 2), быстро нагревается от начальной температуры Т0 так, что ребра остаются „холодными", а температура обшивки меняется во времени по линейному закону с темпом Т

Т(" = Т0 + П, Т{2)=Т0. (3.2)

В обшивке и ребрах возникают равномерно распределенные уравновешивающие друг друга температурные усилия

Е°«П Л„ л!2) = . Еа°П

А415 =

] і А; ъх ^н2ъ2

1 +

*2»

Лі г?!

где а0 — коэффициент линейного теплового расширения материала панели.

На фиг. 2 представлена полученная чцсленно (согласно п. 2) зависимость безразмерного критического времени (температурного перепада, напряжения)

' 12(1 — ^)а0Ті

= /г

/

Ъг 1Ь,-2~ N ~ ~

г Л >

^ \ 1 \ \

\ 1 \ N

\ \

Рыстрый нагрев регулярный режим равномерное і с/иатие (

V у" •*1 Г

1 , , и

4/

0,7

Фиг. 2

ад

Фиг. 3

о*

от геометрических параметров Ь21Ьи панели при 7 = 0,3,

д/^1 = 10. Там же для сравнения даны результаты численного расчета коэффициента устойчивости ,

•12(1,-у») а,' /-М*]

. *2£ Ы.1.

равномерно сжатой напряжением о панели, совпадающие с результатами, полученными аналитически в работе [3].

На фиг. 3 приведены результаты численного решения этой же задачи при совместном действии „быстрого11 нагрева и равномерного сжатия. Как видим, коэффициент термоустойчивости кт панели в широком диапазоне значений слабо зависит от параметра и линейно изменяется в зависимости от А.

Был рассмотрен также случай нагружения панели самоуравно-вешенными температурными усилиями, распределенными по закону

(3.4)

соответствующему регулярному тепловому режиму второго рода в панели при нагреве со стороны обшивки с темпом Т. Здесь X, ср — коэффициент теплопроводности и удельная объемная теплоемкость материала панели. Результаты численного расчета коэф-

этого случая в зависимости от геометрических параметров Ь2/Ь„ Ьг!кх панели при \> = 0,3, а/Ь1= 10 приведены на фиг. 2.

1. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, „Усп. матем. наук“, т. XVI, вып. 3, 1961.

2. Григолюк Э. И., Мальцев В. П., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Об одном методе решения задач устойчивости и колебаний оболочек вращения. „Изв. АН СССР — МТТ\ 1971, № 1.

3. Б е л о у с А. А., А н д р и е н к о В. М. Устойчивость подкрепленных в одном направлении пластин при двухосном сжатии. Труды ЦАГИ, вып. 1272, 1970.

4. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физмат-гиз, 1963.

5. В а н-д е р-Н е й т А. Потеря устойчивости, вызванная термическими напряжениями. В сб. .Проблемы высоких температур в авиационных конструкциях*. М., Изд. иностр. лит., 1961.

фициента термоустойчивости £г =

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 3) VIII 1973 г.

7—Ученые записки ЦАГИ № 3