CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XII 1981
№ 2
УДК 629.735.33.015.4-977
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ
НАГРЕВЕ
С. Н. Иванов
Рассмотрена задача определения несущей способности подкрепленных панелей в условиях нестационарного нагрева и нагружения. Предлагается метод решения, основанный на рассмотрении деформирования как процесса. Метод решения иллюстрируется примерами.
Рассматривается задача определения несущей способности панели конструкции сверхзвукового самолета. Предполагается, что панель длины /, подкреплена в продольном направлении Ог (рис. 1) стрингерным набором. К ней приложены меняющиеся по времени ^ 7) и не зависящие от координат продольная
нагрузка А/0 = А;0(^), изгибающие моменты Мх = Мх{1), заданные на единицу ширины, и поперечная нагрузка д0 = д0(г, £).
Рис. 1
Панель подвержена нестационарному тепловому воздействию, при этом в поперечном сечении возникает неравномерное температурное поле Т (х, у, {), меняющееся в течение полета; считается, что оно не зависит от координаты г.
Предполагается, кроме того, что закрепление краев не препятствует свободному температурному расширению обшивки в направлении х.
Сформулированные предположения дают возможность рассматривать широкую стойку, представляющую собой повторяющийся участок обшивки ширины I с присоединенным к нему стрингером, нагруженную продольной нагрузкой N(1) = М0^) I, поперечной () — д0(г, {)1 и моментом м\Ь) — Мх{£)1.
В работе [1] приводится алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния стойки с учетом пластического поведения материала при нестационарном аэродинамическом нагреве и нагружении. Алгоритм построен на основе шагового метода с использованием неявной схемы теплового баланса для расчета температурных полей и одновременного расчета напряжений и деформаций по теории неизотермического пластического течения. В любой момент времени t задача определения прогибов Ш(г, () сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка
да (1)
с граничными условиями, соответствующими либо шарнирному опиранию
117(0, *) = *) = 0,
либо защемлению
^№(0. 0 _0 сР¥а. і) р
ЛгЪ — Ро. аг1 — Р£.
ЩО, о = о,
ЛУГ(0, і) <Ш (Ь, 0 __ п йг йг '
(2)
(3)
В случае пластического поведения материала величина О зависит от возникающих в сечении напряжений, а они в свою очередь — от прогибов. Следует добавить, что £) — неоднозначная
функция прогиба. Аналогично формулам из работ [2, 3] перепи-
шем уравнение (1), введя в него силы инерции и члены с линейным затуханием
111 д(2 + Iа ді + дг1 (£ дг2 ) N дг2 —/(2). (4)
Начальные условия примем в виде
№{г,0) = 0, - 1Г°, о(х, у, г, 0) = 0,
Є.Р (X, у, г, 0) = 0, т (х, у, 0) = Т°, где &р — пластическая деформация.
Для численного решения задачи введем сетку с шагом А на отрезке — Л -< 2 -< /, -1 Л:
т„= {2;. = Д, У —— 1, 0, 1, . . #!, Л^ + 1, А = А/Л/1}
и сетку с шагом х на отрезке
I
Ж
Уравнению (4) с условиями (2), (3), (5) ставится в соответствие трехслойная разностная схема:
V 'I
ти.н + + Ли5 = ? (и),
мо = 0, ^==(1 —260)м1 + 60р0/г2,
м./у, = 0, Мл?,+1 = (1 —- 20л?) и# 1—1 ~Ь 9л? Л",
мД=о = 0, и^_„= 1Г\
(6)
V л
где Ли = {Ои-х)- — , К' = ?и + (1—2;) и -|- \и, и, <р — сеточные
функции, соответствующие прогибу и функции / в точках сетки 2у-; I-—параметр схемы; здесь использованы общепринятые обо-
V Л
значения разностных производных (см., например, [4]); к, и, « — значения сеточной функции в моменты (п—1)х, т, (п + 1) х; 6 = 0 соответствует шарнирному опиранию соответствующего края, 0 = 1 — защемлению. Разностная задача (6) аппроксимирует дифференциальную с порядком О (/г2т:).
Вводя обозначения
1
л*
_1_
к*
{[а\ (1 — 20о) + Сі] и1 + с/1 и2 -1- е1 ия],
Аи — "77 (аг и<_2 ~Ь Иі—і Сі и1 -)- <іі Иі+і + Єї И14-2) (ї= 2,..., N—2),
, {Ол^-І «Л^-З Т &Л,-1 ИлГ,-2 + [СлГі-1 + 1 (1 — 26дг)] Ил?х—1},
(. А*
Ті = Ті — -р- 60 Ро> ті = Ті (* = 1. ■ • •» ^2 — 2), ?м_, = ?Л'-1 - Рі, аг - Д_ь &г = — 2 (Д_, + Пі) - А%2, Сг = Д _і + 40, + Д+1 + 2М2, й, = - 2 (Д. + Я,+і) - А/г/г2, = ДЧь
Запишем задачу (6) в операторном виде
V
4- Аи5 = ® (и). (7)
В пространстве функций, заданных на сетке 2у-=уй (у = 1,...,
лг,—і
і\\ — 1), со скалярным произведением (и, V) = ^ иі оператор А
і=і
самосопряжен. Важной характеристикой этого оператора является положительная определенность.
При 1^ = 0, т— 1 собственные числа Х;- этого оператора представляют собой квадраты собственных частот стойки переменной
жесткости Dj, нагруженной продольным усилием N. В случае шарнирного опирания концов и D =const их удается получить аналитически:
X, = ±(л/А« + 4D sin2 -М-) sin* (/ = 1, . .., Nt — 1),
отыскивая собственные функции в виде sin ал:.
Нарушение положительной определенности оператора А эквивалентно обращению в ноль наименьшего собственного значения
Xj; для приведенного случая при h -*■ 0 из условия = 0 получа-
_2
ется 7V =— > что соответствует критическому усилию сжато-
го стержня [5].
Приведем уравнение (7) к каноническому виду [4]
\Mit° -j- "2 %А j u.jt -j- А и = 9 («), (8)
где /—единичная матрица.
В случае упругого поведения материала достаточные условия устойчивости разностной схемы по начальным данным и правой части могут быть записаны следующим образом:
Л>0, R = R*, R> — a
4 ’
где R= -~jfl + М.
Второе из этих условий — самосопряженность оператора R — следует из самосопряженности А. Третье условие можно выполнить, используя регуляризацию разностной схемы, т. е. определенным образом подбирая параметр \ [4]:
5>-г-
4 т?\\А\\
А || — норма оператора А.
Разностную схему (8) приведем к виду
л л у.и + Аи — Р,
где
F "Г "2
F=--*r[-<? + (l—2Z)Au + Mu] +~
удобному для применения метода факторизации.
Решение задачи определения прогибов, напряжений и деформаций будем вести шаговым методом, описанным в работе [1].
В качестве модельной задачи рассмотрим вопрос об устойчивости процесса деформирования ребристой панели при нагружении ее продольной сжимающей силой. Из панели выделим стойку с поперечным сечением, показанным на рис. 1; там же приведены необходимые размеры. Будем считать, что длина панели 1 = 1 м, продольные края закреплены на опорах, как показано на рис. 1. Диаграмма деформирования материала дана на рис. 1. Разобьем стойку на 20 элементов в продольном направлении,а ее сечение— на 26 элементов. Пусть температура панели постоянна Т = 293°С,
а нагрузка на панель меняется линейно от значения 79,5-104 Н/м при £=0 до значения 81,5-104 Н/м при £=0,2 с и затем уменьшается с той же скоростью, что и растет на первом участке. Критическое значение нагрузки, при котором происходит потеря устойчивости стойки по Эйлеру, равно 81,5-104Н м (акр = 320,66 М11а). Шаг счета т примем равным 0,005 с. В качестве начального возмущения будем задавать отклонение одного из элементов стойки в момент £ = 0. Для остальных элементов и\ — 0. Примем т~-1 кг/м, Е = 1, ц= 10~7 кг/мс.
На рис. 2 показано, как меняется прогиб в средней точке стойки со временем при Мд=10-4М, 10~7 м, —10~7м, 10“8 м. При колебаниях упругая линия балки во всех точках имеет одинаковый
Рис. 2
знак. Приведенные результаты дают возможность сделать предположение о том, что состояние стойки близко к критическому, но количественные оценки провести трудно. Воспользуемся тем, что колебания происходят по форме, близкой к первой собственной, и оценим нижнее собственное число оператора А по формуле
г-__ (Ли, и)
1 (и, и)
На рис. 2 приведено изменение параметра /м с течением времени. Видно, что с момента времени £ = 0,128 с и до £ = 0,27 с оператор А не является положительно определенным. Это отвечает неустойчивому процессу деформирования стойки. Были сделаны попытки уменьшить длину стойки для увеличения критических напряжений. При этом оказалось, что как только напряжения достигали предела текучести, начиналось монотонное нарастание прогиба; так, для случая 1 = 0,46 м (и°=10~14м) первые пластические
деформации появились при 7У0 = 1 1,08-105 Н/м; далее по шагам
(т = 0,005 с) процесс шел, как показано в табл. 1.
На последнем шаге деформации превысили те, которым отвечает заданная кривая деформирования (см. рис. 1). Следует отметить, что параметр X, все время оставался положительным. Ана-
логичная картина наблюдалась и в случае сохранения нагрузки постоянной (Ло = 110,8• Ю4 Н/м, о = 436,14 МПа) после появления пластических деформаций. Процесс деформирования продолжался только шесть шагов, после чего деформации превысили г = 0,4%. Эти результаты можно трактовать, как неустойчивость процесса деформирования при появлении пластических деформаций.
Таблица 1
Дг0, Н/м 110,80-104 110,88-104 11096-104 11104-101 111,12-Ю* 111,2-10*
Г, м -0,622Х X Ю-13 -0.185Х X 10_10 -0.420Х ХЮ-8 —0,959X хю-6 —0,221X XI о-з *У о о ь! X
Следует отметить, что критическое напряжение упругопластической стойки, подсчитанное с использованием касательного модуля, равно 500,5 МПа.
При дальнейшем уменьшении длины стойки 1 = 0,36 м; 0,26 м; 0,16 м процесс деформирования проходил аналогично с той лишь разницей, что нарастание прогиба происходило несколько медленнее, но во всех случаях деформации превышали допустимые при нагрузках намного ниже критических по Эйлеру.
Рассмотрим процесс сжатия той же ребристой панели длиной I = 1 м при нагреве ее с внешней стороны конвективным тепловым потоком. На рис. 3 показано изменение по времени температуры точки обшивки, расположенной по середине между двумя
соседними подкрепляющими элементами. Внутренние элементы греются путем теплопроводности, и их температура отстает от температуры обшивки. Расчет температурных полей проводился по неявной схеме метода балансов [6] на сетке, описанной выше. На рис. 3 пунктиром показано изменение по времени температуры нижней точки подкрепляющего элемента и штрихпунктиром — точки присоединения его к обшивке. Поскольку рассматриваемое изменение температур слабо влияет на свойства материала, была принята диаграмма деформирования, данная на рис. 1. Напряжения в тех же трех точках сечения в процессе нагрева и нагружения показаны на рис. 3. До тех пор, пока нагружение происходит упруго, панель остается плоской, несмотря на перепад температур по толщине. Первые пластические деформации появляются в об-
шивке, где температурные напряжения и напряжения от внешней нагрузки имеют одинаковые знаки. С их появлением процесс нагружения становится неустойчивым.
В табл. 2 показано, как меняется параметр от шага к шагу с интервалом счета т = 0,02 с, начиная с момента ^ = 57,76 с и вплоть до момента, когда а, становится отрицательным (м^ = •— 1СГ"15 м). Пластические деформации возникают при £ = 57,84 с, далее происходит резкое изменение параметра >4; после того как /ч становится отрицательным, на следующем же шаге происходит
Таблица 2
t, с Аг10-з Ь, с агЮ-з
57,76 798 57,88 4980
57,78 652 57,90 57
57,80 637 57,92 38
57,82 629 57,94 1,2
57,84 1196 57,96 0,003
57,86 1247 57,98 -0,138
переполнение в ЭВМ. Этому соответствует значение нагрузки 63-10* Н/м. Факты резкого уменьшения критических нагрузок пластического стержня при неравномерном нагреве его по сечению отмечаются в работе [7].
Приведенный алгоритм дает возможность оценивать предельное состояние конструкции во времени при нестационарном нагреве и нагружении. При расчете сжатых панелей в качестве предельного состояния можно считать то, при котором появляются пластические деформации, либо в упругой области то, при котором появляется неустойчивость численного процесса решения, контролируемая по параметру
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов С. Н. О пластических деформациях подкрепленных панелей при нестационарном нагреве. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X,
№ 2, 1979.
2. Ф е о д о с ь е в Д. И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем, ПММ, т. XXVII, вып. 2,
1963.
3. Феодосьев В. И. Применение числового метода к анализу устойчивости сжатого стержня, ПММ, т. XXVII, вып. 5, 1963.
4. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., „Наука*,
1977.
5. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гос-техиздат, 1955.
6. Заму л а Г. Н., Иванов С. Н. Экономичный метод расчета нестационарных температурных полей в тонкостенных авиационных конструкциях. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VII, № 3, 1976.
7. Шаповалов Л. А. Влияние неравномерного нагрева на устойчивость сжатого стержня. ПММ, т. XXII, вып. 1, 1958.
Рукопись поступила 26/VI 1979 г.
