Устойчивость механических систем при наличии гироскопических диссипативных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

х ехр((1 + I)2 - + 1)2) г(з)<

< ехр(1 - (б + I)2) г(з) =

Следовательно, решение г(\) =0 уравнения сравнения равномерно ^-устойчиво. Кроме того,

у0(\) г(\: б, !($)) < ехр(1 - (б + I)2) х

Х(Я+1) 2(5)^-0

при X + «о и любом значении прот изведения Таким образом,

все условия теоремы 2 выполняются, то есть множество решений рассматриваемого уравнения, стремящихся к нулю при t + оо, образует область в пространстве ограниченных решений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск>ун-та. Сер. Мат. и мех. 1961. № 2. С. 28 — 36.

2. Воскресенский Е. В. Оценки для решений возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка // Изв. вузов. Математика. 1993. № 9. С. 13 — 17.

3. Горшунова Т. А. О притягиваемых реше-

ниях систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара по дифференц. уравнениям Мордов. гос. ун-та. Саранск, май — июнь, 1996 / Мордов. ун-т. Саранск, 1996. С. 131 — 139. Деп. в ВИНИТИ 17.09.96, № 2830 -В96.

4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 300 с.

УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ

С. А. КАРПУШКИНА, аспирант

Пусть уравнения движения механической системы заданы в форме Лаг-ранжа:

d дТ дТ dt dq dq

G(t, q)q - C(t, q)q. (D

Здесь T - T(q, q)

1 2

qTA(q)q

кине-

тическая энергия системы; A(q) — (n x n) -симметричная матри ца ;

G(t, q) — (nxn)-матрица гироскопических сил; C(t, q) — (пхп)-матрица диссипативных сил; q — (n x 1 ) -век-тор обобщенных (n x 1 ) -вектор обоб системы.

Укажем условия, при которых положение равновесия q = q = О данной системы асимптотически устойчиво относительно вектора q. Заметим, что данная задача решалась в [3] прямым

координат; q — енных скоростей

методом Ляпунова, когда система (1) была автономна:

d дТ дТ dt dq dq

G(q)q - C(q)q.

скую устойчивость q

q

Авторами получены следующие условия, обеспечивающие асимптотиче-

- О относительно Ф функции Т^, ¿¡) = 2 ЯТА(Я)С1,

Ня* Я) = qyC(q)q положительно определены по с|; матрица A(q) ограничена; матрица G(q) кососимметрическая.

Для исследования воспользуемся не прямым методом Ляпунова, а теоремой об асимптотической эквивалентности

дифференциальных уравнений, мулированной и доказанной в Приведем ее формулировку. Рассмотрим уравнения

9

<1х/сК = А.фх + f а, х),

сфор-12].

(2)

© С. А. Карпушкина, 1998

dy/dt - Ai<t)y, (3)

где A^t) : [T, + oo Horn (Rn, Rn)

непрерывное отображение; f 6C ([T, + oo ) x Rn, Rn), f(t, 0) s 0.

Рассмотрим множества Nq £MCMq£

CN, N - (1, n}.

Пусть lfj(t, xb...,xn) l<Aj(t, IxjiI lxjqI)v jGN, jb..MjqGM0, rAeAjeC([T,+ + oo) x R%9 R+), Aj(t, rb rq) £

^ Aj(t, rb rq) при rj < rb i=l,q, j=l,n, v te [T, + oo).

Обозначим через Y(t) - (уу(0) фундаментальную матрицу уравнения (3), нормированную в точке to: Y(to) ш Е,

а через Y-1(t) -обратную к Y(t).

6) пусть условия няются равномерно О £ с ^ cq;

7) //¡(t)<k, k>0, Т

1 — 3 выпол-

♦

относительно

8) уравнение

(3)

t< + <»,v ieM0;

асимптотиче-ски устойчиво по части переменных Уь 1€М0.

Теорема 1. Если выполнены условия 1 — 8, то тривиальное решение уравнения (2) асимптотически х устойчиво по части переменных х\, !ЕМо.

С помощью теоремы 1 для системы (1) получен следующий результат. Теорема 2. Если 11 А~1(ч)[С(г, ч) —

Функции

С^О),

<yji(t)> 1 (mj,(t)

матрицу

. mja(t»

C(t,q)

2х dq

]х - Ах I l^8(t)l IxI I

в некоторой достаточно малой окрест-

ности точки q

О (А

отрицач

тельно-определ енная (n х п) -матрица) + 00

,,^€С([Т' + со), Rl.) ieMo выбраны и ^^ < + со> tq пол£)жение ^

так, что /¿¡(I) а тах1у|Л)1,1€Мо, если

N0 * 0; ^¡О) £ 0, если N0 = 0;

%

¡(1) > тах{тах1умО) I, //¡0)}, ¡6М0.

jeм0

Основные условия. При любом с 2: 0:

+ 00

1) /lykj(s)lAj(s, cm(s))ds< + oo,vjeN,

Т

VkEM;

2)/ iE yik(t)ykj(s) IAj(s, cm(s))ds =

t kSM\N0

■ o(4Mi(t)) при t -*+oo, ieMo, jeN;

3) / 12 yik(t)ykj(s) lAj(s, cm(s))ds=

T k6N\M

= o(quj(t)) при t -*+°o, ieM0, j^N;

т

весия системы (1) я = с] = 0 асимптотически устойчиво относительно обоб-енных скоростей с|. Доказательство. Приведем исследуемую систему (1) к нормальному виду. Имеем = ^ [А^)с| + • +qтA(q)]. Так как Асимметрична,то

зт А/ \ •

= A(q)q.

öq

d öT .. ... .т ЭА(д) .

= A(q)q + qT ~dq

dt dq

ЭТ

dq

1 т ЗА(д) 2q 3q q'

A(q)q

[G(t, q) - C(t, q)

24 dq

]q;

Пусть detA(q) * 0, тогда q«A-l(q) [G(t, q)-C(t, q)

4) пусть решения z(t; to, z0) уравне-

lykj(t) Uj(t,zm(t)) on-

ния dz/dt

}

kEN jeN

aA(q)

dq

откуда

редел ены

T, z0eRi-, t > to;

5) решения уравнения

dz/dt

I yKi(t) lAj(t, zm(t)) ограничены

q = x;

x=A-1(q) [G(t, q)-C(t, q)- 4 xT

2

dA(q)

dq

]x

кем

J6N0

при всех t ä to, zqGRV» t ^ to;

или

q = x;

x = Ax + f(t, q, x),

(2')

где

f(t,q,x) = A-^q) [G(t, q) - C(t, q)

1 T 3A(q)

2

dq

]x - Ax;

A

отрицательно-определенная матрица.

Тем самым система (1) приведена к виду (2). Соответствующая ей линейная система имеет вид

К Ах.

(3')

Выберем множества Nq, M, Mo, N следующим образом:

N0 = M = М0 = {n+1, ..., 2n,}, N = {1, 2, ..., n, n+1, 2n}. Так как 11 A~l(q) [G(t, q) - C(t, q) -

_ 1 T - Ax II < /S(t> Их II,

l dq

то пусть A(t, I Ix I I) S$t)l Ix I I. Пусть также t) = m(t) = 11 e*1 11 (1,..., 1).

Покажем, что при сделанном выборе множеств Nq, M, Mo, N и функций

m(t), fi( t), A(t, Их II) выполняются все условия теоремы 1. Вначале найдем вид фундаментальной матрицы Y(t) и обратной к ней матрицы Y"*(t) системы (3'). Так как (3') — линейная однородная система с постоянными коэффициентами, то

Y(t) = exp(Ât), где А

По оп-

ределению exp(At = Е 4- At+A2t2/2+...

+ Antn/n!+... Замечая, что Ап

Е

Л 1 \

0 АП~Ч т

, имеем exp(At)

+ I ° SWÎ IV

о

+

+

А

(0 А"-1

0

0 А2

t2/2 +

0 А"

t"/n ! + ...

Е A"1 [exp(Ât) - Е ] 0 exp(Ât)

, следовательно,

Y(t)

'Е A4[exp(Ât) exp(Ât)

Y-4t)

Е - A^JE - exp(-At) ] 0 exp(-At)

Теперь проверим выполнимость ус ловий теоремы 1. Так как

+ 00

/ exp(-Âs)A(s, cm(s))ds

т

+ 00

/ exp(-Âs)qS(s)exp(Xs)ds

T + 00

с //3(s)ds < -f oof V c> 0,

T

где

A(t, cm(t))=(Ai(t, cmn+1(t),...,cm2n(t)),..M

An(t, стй+х(Х)л ..., cm2n(t))),

то условия 1, 6 теоремы 1 выполняются.

сделанном выборе множеств No, M, Mo, N условия 5 — 6 вырождаются.

A(t, zm(t)) = £(t) z I I exp(Xt) I I,

dz ✓ ^ v

то вместо уравнения -тг = exp(-At) X

dz

x A(t, zm(t)) имеем уравнение —

= £(t)z. Разделяя переменные и решая Это уравнение, получаем:

î

z(t : t0, z0) = z0exp(/yS(s)ds).

t

+ 00

to

S Pt

to

+ 00

to

а так как I l//3(s)dsl I <M, toI lz(t : to,

zо) I I

to

I I zo I I ем. Следовательно, ус-

ловия 4 — о выполняются Для матрицы е™, являю

матрицей уравнения справедлива оценка.

даментальцрй ¿х/$\ ~ Ах

Не*! I «5 Кеа\ V t > 0, а > Яеаз,'^

собственны^ значения матрицы А [ 1 ].

Матрица А отрицательно определена,

следовательно, Vj = 1, п Яеа} < О, поэтому I 1еА1 I 1< К и I 1е&1 1 = 1 \/л(Х) I 1 =

= I I т (X) I I < К. Мы показали выполнимость условия 7.

Так как А отрицательно определена, то система (3') асимптотически устойчива относительно х и выполнено условие 8 теоремы 1.

Итак, проверены все условия теоремы 1, следовательно, тривиальное решение уравнения (2') q = х = О асимптотически устойчиво относительно х, поэтому положение равновесия q = q = О системы (1) асимптотически устойчиво относительно обобщенных скоро^ стей q.

Пример. T(q, q) = q2/2, G(t, q) = = cos q/t2, C(t, q) = sin2 q/t2 + 1. Составим уравнение движения Лэгранжа:

d(q2/2)

dt cosq

t

2

dq

sin2q t2

нормаль

виду

q = x;

■X +

sin2q

t

2

X.

Соответствующая линейная система

вид

х;

х.

Она асимптотически устойчива относительно х.

Найдем вид функций Р(Х)У тф. Так

У(Ч) = е"<, то т(Х) = еГх. q, х) =

= (cosq/t2 - зт^/12)х, х)1<

< 2 1x1 А2, отсюда Р(Х) = 2/Х2.

как

+ 00

//3(s)ds

т

4-оо

2/Г2

т

< +00,

Все условия теоремы 2 выполнены, поэтому решение р = ¿1 = 0 исследуемой системы асимптотически устойчиво относительно обобщенных скоростей д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов. М.:, Высш. шк., 1991. 303 с.

2. Воскресенский Е. В. Метод сравнения в

нелинейном анализе // Сибир. мат. журн. 1991. Т. 32, № 5. С. 3 — 11.

3. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

##########################################

ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ В СИСТЕМЕ МЕТАЛЛ — КЕРАМИКА — МЕТАЛЛ

Н. К. СОРОКИНА, кандидат физико-математических наук, Б. Ф. ЩЕРБАКОВ, кандидат технических наук, И. В. ПЯТКИН, главный технолог НИИСЭ

Керамические материалы, за исключением цемента и бетона, до недавнего времени не рассматривались как конструкционные, однако в связи с улучшением их механических, электрических и магнитных свойств интерес к ним возрос. Керамика характеризуется недостаточной пластичностью, высокой твердостью и жесткостью, довольно значительным пределом прочности на

сжатие и несущественным пределом прочности на растяжение вследствие

влияния микротрещин.

Один из типов разрушения керамических материалов обусловлен тем, как к конструкции приложены нагрузки и как они перераспределяются в процессе разрушения. При хрупком разрушении трещина распространяется быстро больше за счет упругой энергии окружаю-

© Н. К. Сорокина, Б. Ф. Щербаков, И. В. Пяткин, 1998