Об асимптотической устойчивости механических систем с нестационарным ведущим параметром при диссипативных силах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 531.36

А. Ю. Александров, А. А. Косое, А. В. Платонов

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНЫМ ВЕДУЩИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛАХ

1. Введение. В широком классе случаев уравнения движения механических систем содержат определяющий особенности динамики ведущий параметр, в качестве которого может выступать либо малый параметр при старшей производной, отражающий, например, малость инерционных характеристик системы, либо большой параметр при некоторых компонентах действующих на систему сил, подчеркивающий их доминирование [1—4]. Наличие ведущего параметра позволяет существенно упростить анализ динамики системы. Для этого используются разнообразные подходы и методы: декомпозиция, теория сингулярных возмущений, интегральные многообразия, первый и второй методы Ляпунова [1-6].

Если в математической модели необходимо учитывать эволюцию ведущего параметра, то в уравнениях движения его приходится считать нестационарным, т. е. функцией времени, что приводит к возникновению новых динамических эффектов и трудностей обоснования по сравнению со случаем постоянного параметра, которые требуют специального исследования. Так, в [7] указан класс механических систем с неограниченно растущим коэффициентом при потенциальных силах, получены условия устойчивости положения равновесия и отмечена важность изучения свойств систем с нестационарными силовыми полями.

В настоящей работе рассматриваются механические системы, в которых среди действующих сил присутствуют диссипативные силы и которые имеют асимптотически

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 110. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: alex43102006@yandex.ru.

Косое Александр Аркадьевич — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН. Количество опубликованных работ: 70. Научные направления: теория управления, теория устойчивости. E-mail: aakosov@yandex.ru.

Платонов Алексей Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 35. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: al-platon1@yandex.ru.

(¡5 А. Ю. Александров, А. А. Косов, А. В. Платонов, 2012

устойчивые положения равновесия. Предполагается, что с течением времени диссипа-тивные силы эволюционируют, что выражается в появлении при их векторе скалярного множителя h(t) > 0, заданного при всех t ^ 0. Требуется определить условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость положений равновесия сохраняется, несмотря на эволюцию диссипативных сил. При этом исследуется наиболее радикальный тип эволюции, соответствующий неограниченно растущему со временем коэффициенту демпфирования.

Проблема устойчивости механических систем при нестационарных законах сопротивления изучалась многими авторами (см., например, [8-12] и цитированную там литературу). Хорошо известно [10], что в системах с диссипативными силами, являющимися неограниченными функциями времени, может возникать эффект передемпфирования: коэффициент демпфирования возрастает настолько быстро, что системе не удается вернуться в положение равновесия, так как трение уравновешивает потенциальную силу, несмотря на тот факт, что скорость стремится к нулю. В данном случае система обладает так называемым асимптотическим положением покоя [10, 13]. Поэтому весьма актуальной является задача нахождения условий на нестационарный ведущий параметр h(t), гарантирующих, что система асимптотически останавливается лишь в положении равновесия.

В статье [10] дан обзор условий такого рода, полученных для колебательных систем с одной степенью свободы, и указано на необходимость их распространения на общий случай лагранжевых систем. Механические системы с произвольным числом степеней свободы, находящиеся под действием неограниченно растущих со временем диссипа-тивных сил, изучались в [14-17]. С помощью второго метода Ляпунова и метода декомпозиции были определены классы систем, для которых эволюция диссипативных сил не нарушает асимптотическую устойчивость положений равновесия.

В настоящей работе проводится развитие результатов, полученных в [16, 17]. Предлагаются новые конструкции функций Ляпунова, позволяющие, с одной стороны, гарантировать асимптотическую устойчивость положений равновесия при менее жестких ограничениях на нестационарный параметр, по сравнению с найденными в [16, 17], а, с другой стороны, распространить разработанные подходы на более широкие классы систем, описываемых уравнениями Лагранжа.

2. Постановка задачи. Рассмотрим голономную механическую систему с не зависящими от времени связями, имеющую n степеней свободы. Векторы обобщенных координат и скоростей обозначим соответственно через q и q. Кинетическая энергия такой системы представляется квадратичной формой T = T(q, q) = 1/2 qTA(q)q с симметричной положительно определенной матрицей A(q). Будем считать, что матрица A(q) задана и непрерывно дифференцируема при \\q\\ < д, где д = const > 0, || • У - евклидова норма вектора. Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют вид [9]

ddT dT

Через Q(r,n), где т > 0, п > 0, обозначим область Q(r,n) = {(t,q,q) : t > т, \\q\\ < П, \\q\\ < п}. Предположим, что обобщенные силы Q(t, q, q) определены в области П(0, д), непрерывны по всем аргументам, непрерывно дифференцируемы по компонентам векторов q, q и удовлетворяют условию Q(t, 0, 0) = 0. Таким образом, система (1) имеет положение равновесия q = q = 0.

Пусть при всех ц € К" и всех ц € К" таких, что ||ц|| < д, для кинетической энергии выполняются оценки

kl\\q\\2 < T(q,q) < k2\\q\\2,

dT

dq

< кз\\q\\,

dT

dq

< kM\2- (2)

Здесь ki,к2,кз,к4 - некоторые положительные постоянные.

Согласно теореме о каноническом разложении силовых полей [18] вектор обобщенных сил Q(t, q, q) представим в виде суммы

Q(t, q, q) = Q(p)(t, q) + Q(n)(t, q) + Q(d) (t, q, q) + Q(g)(t, q) + Q(u)(t, q, q) (3)

линейных потенциальных сил Q(p)(t,q) = —C(t)q, CT(t) = C(t), линейных неконсервативных позиционных сил Q(n)(t,q) = —P(t)q, PT(t) = —P(t), всех присутствующих в системе (как линейных, так и нелинейных) диссипативных сил Q(d\t,q,q) = —B(t)q — f (t,q,q), BT(t) = B(t), линейных гироскопических сил Q(9\t,q) = —G(t)q, GT(t) = —G(t), и, вообще говоря, нелинейных сил Q(u)(t,q,q), не являющихся дис-сипативными, которые будем называть возмущениями. Отметим, что возмущения Q(u)(t,q,q) могут, в частности, включать и ускоряющие силы, если они присутствуют в системе. Пусть матрицы B(t) и C(t) непрерывно дифференцируемы, а матрицы G(t) и P(t) непрерывны при всех t ^ 0.

Через Amin(-) и Amax(-) будем обозначать соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа симметричных матриц. Для произвольной зависящей от времени матрицы M(t) положим

¥>min(M(t)) = inf J\min(MT(t)M(t)), <pmBX(M(t)) = sup JAmax (MT(t)M(t)). v V

Введем обозначения

bmin = inf Amin (B(t)) , bmax = SUp Amax (B(t)) , Co = ^inC (t)), Ci = fmax(C (t)), t>0 t>0

Cmin = in0 Amin (C (t)) , C* = фmax(C (t)), g = ^max(G(t)), p = фmax(P (t)) .

Линейную компоненту диссипативных сил —B(t)q будем считать обладающей полной диссипацией и ограниченной, так что

bmin > 0, bmax < +<Х>. (4)

Для нелинейных диссипативных и возмущающих сил в области Q(0,g) будем считать выполненными оценки

—qTf(t,q,q) < 0, \\f(t,q,q)\\ < di\q\i+ßl, (5)

\\Q(u)(t,q,q)\\ < d2 (\\q\\1+ß2 + \\q\\) , (6)

где di, d2, ßi и ß2 - некоторые положительные числа.

Предположим теперь, что диссипативные силы в системе (1) эволюционируют, т. е. в представлении (3) вместо слагаемого Q(d)(t,q,q) следует рассматривать h(t)Q(d)(t,q, q). Тогда уравнения (1) принимают вид

d dT dT

= gW(t'q) + g(n)(t'q) + q> ü + Qi9)& ü + q> W

Здесь и всюду далее функция h(t) считается заданной при t ^ 0, непрерывно дифференцируемой и положительной. В настоящей статье будем рассматривать наиболее радикальный тип эволюции диссипативных сил, когда для нестационарного параметра h(t) справедливо предельное соотношение

h(t) ^ при t ^ (8)

Основная задача дальнейшего исследования состоит в том, чтобы получить конкретные условия на скорость изменения функции h(t) и составляющие разложения (3) вектора обобщенных сил, выполнение которых обеспечит асимптотическую устойчивость положению равновесия q = q = 0 системы (7).

Необходимо отметить, что вектор обобщенных сил Q(t, q, q), являющихся аналитическими функциями обобщенных координат и скоростей, всегда может быть представлен в виде разложения (3) [18]. Однако при этом возможны и такие случаи (при нелинейных законах сопротивления), когда матрица B(t) = 0, потому первое неравенство в (4) не выполняется. Кроме того, в разложении (3) могут отсутствовать линейные позиционные силы, т. е. Q(p)(t, q) = 0, Q(n)(t, q) = 0. Поэтому представляет интерес получение условий асимптотической устойчивости положения равновесия при эволюции диссипативных сил и в таких случаях, когда в представлении (3) разложения позиционных и/или диссипативных сил в ряды по степеням обобщенных координат и скоростей начинаются с существенно нелинейных членов. Основной метод исследования - метод функций Ляпунова, поскольку ввиду существенной нелинейности системы применение других методов затруднительно.

3. Линейные диссипативные силы с неограниченно растущим параметром. Предположим, что неконсервативные позиционные силы являются малыми, так что уравнения движения принимают вид

d f)T f)T

= ~{cit) + ePit)) 4 ~ hit) {вш + /(t' q>ú)) ~ G{t)ú + Qiv){t' ^ (9)

где e - малый параметр.

Теорема 1. Если выполнены условия (4), p < g < cmin > 0, ci < c* < квадратичная форма qTC(t)q неположительна, а параметр эволюции h(t)

удовлетворяет предельному соотношению (8) и условиям

/dt

wr+(10)

о

\h(t)\ < Mih2(t) при t > 0, Mi = const > 0,

то положение равновесия q = q = 0 системы (9) асимптотически устойчиво при любых удовлетворяющих неравенству (6) возмуш,аюш,их силах Q(u)(t,q,q) и любом значении малого параметра e, для которого выполнена оценка

^ _4ср5т;п__(11)

4ci&minP + (Miksci + cib

max + p)2'

Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова

V(t, q, q) = T(q, q) + - qTC(t)q + ^L.qTC{t) —, (12)

где 7 - положительное число, которое выберем позже. При любом фиксированном ^ > 0 и достаточно большом т > 0 в силу условий теоремы и (2) функция (12) будет удовлетворять в области &(т, д) оценкам

«1 (М2 + И2) < < а2 (\\д\\2 + ||д||2) , (13)

в которых ai и а2 - положительные числа.

Вычисляя производную функции (12) в силу системы (9), получаем

V(t, q, q) = -hqT(Bq + /) - eqTPq + qTQ^ + - qTCq + 1 qTС — +

+ + 1 "Tc (f - мв, + /, - G, - ,c + £P„ + Q<»>) <

«i(<.W3 + 2%|| Hill +Ф112) = \w.

Здесь коэффициенты квадратичной формы W(||q||, ||q||) двух аргументов задаются формулами

a = -h2bmin + d2h + Ycik3 + jck||q||, c = y (-co + cip\e\ + cid2||q||ß2) ,

2b = (p\e\ + 7cik3 Mi + 7cibmaX)h + hd2HqHß2 + ic*k3 + h^cd HqHßl + Ycig + 7^2.

Положим y = \£\. Тогда при выполнении условия (11) при достаточно большом т > 0 и достаточно малом п > 0 из обобщенного критерия Сильвестра следует, что в области й(т,п) будет иметь место неравенство W(||q||, ||q||) < -a3 (||q||2 + ||q||2), где аз - положительное число. Поэтому с учетом (13) в данной области справедливы оценки

Интегрируя полученное для функции Ляпунова (12) дифференциальное неравенство, для решений q(t) системы (9) с начальными условиями q(to) = qo, q(to) = qo при достаточно большом to > 0 и достаточно малых ||qo||, ||qo|| находим

V(t, q(t), q(t)) < V(t0, q0, q0) exp J

t

ds

Н(з) •

«0

Отсюда с учетом условия (10) и нижней оценки (13) вытекает асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема доказана. Замечание 1. Используя функцию Ляпунова

теорему 1 можно доказать и без предположения а* < получив оценку малого

параметра неравенством

и <

(М1К3 + ЬтаХ + р)2

Отметим, что в различных ситуациях может оказаться более эффективной та или иная из оценок (11) и (14). Например, для Ьт-Ш = М\ = кз = Ьтах = 1 и скалярной постоянной матрицы потенциальных сил С(£) = сЕ, при с = %/2/8, р = 1/16 из (11) имеем |е| < 32/(16л/2 + 33) « 0.575, тогда как (14) дает лишь |е| < 128л/2/1089 « 0.166. Если же взять с = р = 1, то (14) дает |е| < 4/9, тогда как (11) - лишь |е| < 4/13. При большом разбросе собственных чисел матрицы потенциальных сил оценка (14) будет заведомо более эффективной по сравнению с (11). Замечание 2. Для функции

н(г) = (г + 1) (15)

все накладываемые на нее условия теоремы 1 будут выполнены при 0 < а ^ 1, причем коэффициент Ы\ можно считать сколь угодно малым положительным числом. Поэтому в данном случае ограничения (11) и (14) можно ослабить, положив в них Ы\ равным нулю.

Теперь перейдем к рассмотрению того случая, когда неконсервативные позиционные силы нельзя считать малыми.

Теорема 2. Если выполнены условия (4), (5) с р1 = 1, р < д < ст;п > 0, с1 < с* < квадратичная форма цТнеположительна, а параметр

эволюции Н(€) удовлетворяет условиям (8), (10) и

при г > о, М2=сопз1>0, (16)

^тах

то положение равновесия ц = 4 = 0 системы (9) асимптотически устойчиво при любых удовлетворяющих оценке (6) возмущающих силах Q(v)(t, ц, ц) и любом постоянном значении параметра е.

Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова

я, д) = Т(д, д) + - дтСЦ)д + 1ЧТ— + 1 НЦ) дтВ(1)д, (17)

где 7 - положительное число.

При любом ^ > 0 и достаточно большом т > 0 в силу условий теоремы и (2) функция (17) будет удовлетворять в области &(т, д) оценкам

«1 Шы2 + И2) < ^(^ ц, ц) < ®2 ШЫ2 + И2) , (18)

в которых а1 и «2 - положительные постоянные.

Вычисляя производную функции (17) в силу системы (9), получаем

1 дТ

<7, д) = -кдт(Вд + /) - едтРд + дтС}^ + - дтСд + 7</т— +

+ Т -Сд-Сд + д^Л + ^-дт(НВ + 1гВ)д <

дд 4 ^ ) 2

< аЦдЦ2 + 2ЬММ + сМ2 = W. Здесь коэффициенты квадратичной формы Ш(|ц|, задаются формулами

а = Н( Ьтт + ^111) +d2 + 2^2 + фЦ 2Ь = р е + ¿2М132 + ^д + 1^2,

с= -cmin7+-2-+ 7«ЫЫг2 + у-

Положим 7 > c*/(2cm;n — M2bmax) > 0. Тогда при достаточно большом т > 0 и достаточно малом п > 0 из обобщенного критерия Сильвестра вытекает, что в области 0(т,п) будет иметь место неравенство W(||q||, ||q||) < —а3 (||q||2 + ||q||2), где а3 - положительное число. Поэтому с учетом (18) для функции Ляпунова (17) в данной области справедливы оценки

V{t, q, q) < -щ (h(t)\\q\\2 + ||^f||2) < Ч, ч)-

Завершающая часть доказательства такая же, как в теореме 1.

Пример 1. Из теоремы 1 следует, что положение равновесия q = q = 0 системы с одной степенью свободы

*+ (2(t+1}+2VFTJ+wh) 9+(1+vm)q=Q{v) (t' *

асимптотически устойчиво при любых удовлетворяющих условию (6) возмущениях

Q[v){t,q,q)-

Линеаризованное уравнение имеет семейство решений q(t) = </о\/(tо + 1)/(t + 1) с нулевым характеристическим показателем, поэтому в данном случае неприменимы критерии Малкина, Персидского, Массера [19] устойчивости неустановившихся движений по линейному приближению, являющиеся в настоящее время, как отмечено Г. А. Леоновым [20], наилучшими условиями устойчивости для нестационарных линеа-ризаций. Нельзя здесь применить и теорему 2, поскольку условие (16) не выполнено.

4. Нелинейные диссипативные силы с нестационарным параметром. Рассмотрим теперь случай, когда в изучаемых уравнениях диссипативные силы существенно нелинейны (B(t) = 0). Кроме того, будем предполагать, что в разложении (3) отсутствуют линейные неконсервативные силы (P(t) = 0) и могут отсутствовать линейные потенциальные силы (для матрицы C(t) может иметь место тождество C(t) = 0).

Пусть, таким образом, уравнения (7) представлены в виде

d dT dT , , N dR дП

Будем считать, что функция Рэлея R(q) непрерывно дифференцируема при всех q € М", положительно определена и является однородной порядка v +1, v > 1; G(t, q, q) -непрерывная и ограниченная в области 0(0, д) кососимметричная матрица; потенциальная энергия n(q) непрерывно дифференцируема при q € М" и является положительно определенной однородной функцией порядка ц +1, ^ ^ 1; нестационарный параметр h(t) - положительная и непрерывно дифференцируемая при t ^ 0 функция.

Система (19) имеет положение равновесия q = q = 0. Если h(t) = const > 0, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво [9]. Определим условия асимптотической устойчивости для переменного неограниченно растущего параметра.

Теорема 3. Если для функции h(t) справедливо предельное соотношение (8) и существует число а ^ 1/v, для которого выполнены следующие условия:

/dt

Fw = <20>

|/i(t)K Kh1+^(t) nput^O, K = const >0, (21)

то положение равновесия q = q = 0 системы (19) асимптотически устойчиво. Доказательство. Функцию Ляпунова выбираем в виде

V(t, q, q) = nig) + T(q, q) + ^¡qf^q^ — . (22)

Здесь y > 0, в ^ 1. Получаем, что в области П(0, д) справедливы оценки

«i(lkir+1 + Nil2) - Щ^ЫШ < V(t, q,q) < «2(lkir+1 + НИ2) + ^NI^NII, V{t,q,q) < -a3 (-L^\\qf+i> + h(t) ||«гГ+1) +

+ Щ) (^ii^i'n^i^ + + M) мры\\ + ii«ii/3~1ii«n2j.

где ai,a2,a3, a4 - положительные постоянные.

Пусть в = (v. Тогда положительные числа y,V,t и a5 можно выбрать так, чтобы в области Q(r,n) имели место неравенства

у(1кГ+1 + НИ2) < V(t,q,q) < 2о2(\\ЯГ+1 + ||</||2), (23)

Значит, если to ^ т, а величины ||qo|| и ||qo|| достаточно малы, то

(t \ --^¿т

1 + «5 V^ (t0, qo, qo) J (24)

для всех t ^ to. Здесь q(t) - решение системы (19) с начальными данными q(to) = qo, q(to) = qo. Учитывая свойства функции h(t), получаем, что из выполнения соотношений (23) и (24) следует асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема доказана.

Пример 2. Пусть задана система с одной степенью свободы

q+(t + 1Г qv + q = 0, (25)

где а > 0, а v > 1 - рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. Применив теорему 3, находим, что при

а < v (26)

положение равновесия q = q = 0 уравнения (25) асимптотически устойчиво.

Неравенство (26) представляет собой ограничение на скорость возрастания нестационарного параметра, при выполнении которого в исследуемой системе не наступает передемпфирование. Известно [10], что для асимптотической устойчивости линейного уравнения q+(t+1)a q+q = 0 необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

а ^ 1. Вытекающее из теоремы 3 условие (26) показывает, что в случае существенно нелинейных диссипативных сил (v > 1) положение равновесия может быть асимптотически устойчивым и при а > 1. По сравнению с линейным случаем граница, начиная с которой наступает передемпфирование, отодвигается.

Далее наряду с системой (19) рассмотрим возмущенную систему

d dT дТ т , ,дЕ , дП N , N

dt~q--q= ~ G& ^~ ~q + ^ ^ <27>

Здесь вектор-функция Q(u)(t, q, q) задана и непрерывна в области П(0, д) и удовлетворяет неравенству \\Q(v)(t, q, q)\\ ^ e\\q\\5 + d\\q\\£, где e,d,5,£ - положительные постоянные. Таким образом, система (27) также имеет положение равновесия q = q = 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.

Теорема 4. Если параметр h(t) удовлетворяет предельному соотношению (8) и условиям

dt

.1

о

\h(t)\ < Kh1+i(t) nput^O, К = const > 0,

то при 5 ^ fv, £ ^ v и достаточно малых значениях e положение равновесия q = q = 0 системы (27) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Снова рассмотрим функцию Ляпунова (22). Для ее производной в силу возмущенной системы в области П(0, д) справедлива оценка

V(t,q,q) < -«1 (^ЫГ^ + адМГ1) +Й2 (M + J^hf) (eNI*+

+ d||g||c) + (м^ЫПЫГ + + ] Ikll^ll +

где а,1, а,2,аз - положительные постоянные. В данном случае учет возмущений в системе (27) приводит к тому, что у нас не остается произвола в выборе параметра а. Его значение должно определяться по формуле а = 1/и. Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 3.

Пример 3. Пусть задана система с двумя степенями свободы

.. ( 0 д\ . /% 0 \ дЕ

в которой q = (^1, , а д, Ах, А2 - постоянные, причем Ах > 0, А2 > 0. Будем считать, что функция Е = Е^, q) определяется по формуле

Е^, q) = dl ^ + q4) + d2 ^2 + q2 ■ (29)

При постоянных положительных коэффициентах dl и d2 диссипативная функция Рэлея вида (29) рассматривалась в работе [21].

Предположим, что d2 = 0, а коэффициент dl изменяется по степенному закону: dl = dl(t) = d(10)(t +1)а, где d(10)

и а - положительные постоянные. Применяя теорему 3,

2

получаем, что если 0 < а ^ 3, то положение равновесия q = q = 0 системы (28) асимптотически устойчиво.

5. Нелинейные диссипативные силы, зависящие от обобщенных координат. В теории механизмов и машин встречаются дифференциальные уравнения механических систем с диссипативными силами позиционно-вязкого трения, зависящие не только от обобщенных скоростей (линейным образом), но и от обобщенных координат [22]. Поэтому рассмотрим теперь тот случай, когда уравнения (7) имеют вид

d dT dT , , N dF дП

(30)

Здесь матрица гироскопических сил G(t, q, q) и потенциальная энергия n(q) обладают свойствами, указанными в начале п. 4. Будем считать, что компоненты вектора F(q) являются непрерывно дифференцируемыми при q G К" однородными функциями порядка v + 1, v > 0. Кроме того, предположим, что для всех q,q G К" справедлива оценка

dF

qT—q>c\\qr\\q\\\

где c - положительная постоянная. Введем обозначение Z = max{v; 2}.

Система (30) имеет положение равновесия q = q = 0. Если h(t) = const > 0, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво [9]. Исследуем условия асимптотической устойчивости при переменном параметре h(t), неограниченно возрастающем с ростом времени.

Теорема 5. Если для параметра эволюции h(t) справедливо предельное соотношение (8) и существует число а ^ 1, для которого выполнены следующие условия:

dt

= +оо, (31)

0

ъя (t)

|/i(t)K Kh1+1^(t) nput^O, K = const > 0, (32)

то положение равновесия q = q = 0 системы (30) асимптотически устойчиво. Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова для системы (30) в виде

CrTl

V(t, q, q) = n(q) + T(q, q) - ^¡¡qf^ qT q + -^y]«-(33)

где 7i > 0, 72 > 0, ß ^ 1, к ^ 1. Используя лемму 1.2 из [23], получаем, что если к ^ ¡л + V, ß ^ 1 + max {V; 2(к — 1)/(к + ¡л — v)}, то положительные числа 71, 72, n, Т, ai, о,2 и аз можно выбрать так, чтобы в области Q(r,n) имели место неравенства

ai(||q|r+1 + l|q||2) < ^(t, q, q) < a2(\q\^+1 + \\q\\2),

V(t, q, q) < -J^ (M^ + \\qf+1 + h^

Следовательно,

b Лгв n _____i к + ß +1

V(t,q, q) < -——-V\ в = max < --; -- }, b = const > 0.

v 7 ЪЯ (t) +1 2 '

2

V

Таким образом, если t0 ^ т, а величины ||д0|| и ||óo|| достаточно малы, то V(t, q(t), q(t)) < V(to, до, qo) í 1 + ь{в - 1 )Ve-\t0, qo, q0) j ^

ha (s)

to

для всех t ^ to. Здесь через q(t) обозначено решение рассматриваемой системы с начальными данными q(to) = qo, q(to) = qo. Значит, положение равновесия q = q = 0 асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Замечание 3. Если нестационарный параметр в уравнениях (30) имеет вид (15), где а> 0, то условия (31) и (32) будут выполнены при а ^ 1. Далее наряду с системой (30) рассмотрим возмущенную систему

d дТ дТ dF , дП N , N

dt -dq ~ Hi = ~HtW ~ G(t' q)q~~q+ q)• ^

Здесь вектор-функция Q(u)(t, q, q) задана и непрерывна в области П(0, д) и удовлетворяет неравенству \\Q(v)(t,q,q)\\ < e\\q\\5 + d\\q\\^\\q\\, где e, d, 5, £ - положительные постоянные. Таким образом, система (34) также имеет положение равновесия q = q = 0. Для нахождения условий асимптотической устойчивости этого положения равновесия в качестве функции Ляпунова снова выбираем функцию (33). В данном случае учет возмущений приводит к тому, что параметр а в (33) должен быть равным единице. Получаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть параметр h(t) удовлетворяет предельному соотношению (8) и условиям

dt

J Щ = +0°'

o

|/i(t)K Khl+i (t) nput^O, K = const >0.

Тогда при 5 ^ f + v, £ ^ v и достаточно малых значениях e положение равновесия q = q = 0 системы (34) асимптотически устойчиво.

Пример 4. Снова рассмотрим систему (28), в которой функция Рэлея имеет вид (29). Предположим, что di = 0, а коэффициент d2 изменяется по степенному закону: d2 = d2 (t) = d2o) (t + 1)a, где d^ и а - положительные постоянные. Применяя теорему 5, получаем, что если 0 < а ^ 1, то положение равновесия q = q = 0 системы (28) асимптотически устойчиво.

6. Управление вращательным движением твердого тела при эволюции диссипативных сил. Пусть задано твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки O, расположенной в его центре инерции. Примем, что с телом связаны оси Oxyz, которые служат главными центральными осями этого тела. Уравнения вращательного движения под действием момента M имеют вид

ви + и х ви = M, (35)

где и - вектор угловой скорости, в = diag{A, B, C} - тензор инерции тела; A, B, C -главные центральные моменты инерции [24].

Пусть имеются два орта r и s. Вектор s будем считать неизменным в абсолютном пространстве, вектор r - постоянным в твердом теле. Тогда вектор s вращается по отношению к системе Oxyz с угловой скоростью —ш. Следовательно,

S = —ш х s. (36)

Предположим, что момент M складывается из момента сил сопротивления Mc и управляющего момента Mu : M = Mc+Mu. Момент сил сопротивления будем считать заданным формулой Mc = —h(t)dW/du, где W(ш) - непрерывно дифференцируемая при ш G R3 положительно определенная однородная порядка v +1 функция, v ^ 1, а h(t) - положительная и непрерывно дифференцируемая при t ^ 0 функция, удовлетворяющая условию (8). Управляющий момент Mu требуется выбрать по принципу обратной связи (Mu = Mu(ш, s)) так, чтобы обеспечить одноосную стабилизацию твердого тела в заданном направлении вектора s [24]: система уравнений (35), (36) должна иметь асимптотически устойчивое положение равновесия ш = 0, s = r.

Следуя [24], положим

Mu = —s х r. (37)

Определим условия на нестационарный параметр h(t), при выполнении которых управляющий момент (37) решает задачу одноосной стабилизации.

Теорема 7. Если для функции h(t) справедливо предельное соотношение (8) и существует число а ^ 1/v, для которого выполнены условия (20) и (21), то положение равновесия ш = 0, s = r системы (35), (36) асимптотически устойчиво.

С использованием функции Ляпунова

V(t, ш, s) = tuTOtü + ||s - r||2 + -^щtüTOri,

где y - достаточно малое положительное число, п = (€i V,$з )T, € = s х r, доказательство настоящей теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3.

Замечание 4.В работе [17] рассматривался случай, когда для нестационарного параметра h(t) имеет место предельное соотношение (8), а в моменте сил сопротивления функция W(ш) является положительно определенной квадратичной формой. При этом использовалась другая конструкция функции Ляпунова. Было показано, что для асимптотической устойчивости положения равновесия достаточно, чтобы выполнялось условие

h(t) ^ 0 при t ^ (38)

Нетрудно проверить, что (38) - более жесткое ограничение на функцию h(t) по сравнению с условиями (20) и (21). Таким образом, при v = 1 теорема 7 усиливает соответствующий результат из [17].

Литература

1. Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 4. С. 680-690.

2. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

3. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

4. Кузьмина Л. К. К решению сингулярно возмущенной задачи об устойчивости // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 4. С. 594-601.

5. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г., Новожилов И. В. О прецессионных уравнениях гироскопических систем // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, вып. 2. С. 230-237.

6. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 252 с.

7. Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 1. С. 12—19.

8. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 2. C. 225—232.

9. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.

10. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. C. 725—732.

11. Косов А. А. Об экспоненциальной устойчивости и стабилизации неавтономных механических систем с неконсервативными силами // Прикл. математика и механика. 2007. Т. 71, вып. 3. С. 411—426.

12. Sun J., Wang O. G., Zhong Q. C. A less conservative stability test for second-order linear time-varying vector differential equations // Intern. Journal of Control. 2007. Vol. 80, N 4. P. 523—526.

13. Зубов В. И. Асимптотическое положение покоя // Докл. РАН. 1990. Т. 310, № 2. С. 288-290.

14. Тереки Й., Хатвани Л. Функции Ляпунова типа механической энергии // Прикл. математика и механика. 1985. Т. 49, вып. 6. C. 894-899.

15. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. III. Energy-like Ljapunov functions // Acta Sci. Math. 1985. Vol. 49, N 1-4. P. 157-167.

16. Александров А. Ю., Бузлукова О. А., Косов А. А. О сохранении устойчивости положений равновесия механических систем при эволюции диссипативных сил // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 1. C. 3-15.

17. Александров А. Ю., Косов А. А. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. C. 8-22.

18. Зубов В. И. Каноническая структура векторного силового поля // Проблемы механики твердого деформируемого тела / отв. ред. Л. И. Седов. Л.: Судостроение, 1970. С. 167-170.

19. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

20. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теории устойчивости движения // Успехи механики. 2003. Т. 2, № 3. С. 3-35.

21. Агафонов С. А. Об устойчивости и стабилизации движения неконсервативных механических систем // Прикл. математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 4. С. 560-566.

22. Вульфсон И. И. Учет нелинейных диссипативных сил при ограниченной исходной информации // Теория механизмов и машин. 2003. № 1. С. 70-77.

23. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 186 с.

24. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 28 февраля 2012 г.