Об устойчивости равновесия механических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Зубов В. И* Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

4. Красовский Н. Н. Теория управления движением: Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 с.

5. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

6. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

7. Смирнов Е. Я„ Юрков А. В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1988. 80 с. '

8. Четаев Н. Г, Устойчивость движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 204 с.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С. А. ФИРСОВА, аспирант

Пусть дана консервативная механическая система с п степенями свободы, описываемая обобщенными координатами q Е И" и обобщенными скоростями

ц Е Определим кинетическую энергию как функцию

1

Т = Т(1, я, я) = А(1, сО ч +

где А

+ Ь(г, Ч)т я + ч),

(пхп)-матрица, Ь

(1)

(пх1)-

матрица, <1 — скаляр, и потенциальную энергию как

П = П(1, <0, ЩХ9 0) « 0.

При эти* обозначениях уравнения жения Лагранжа имеют вид

(2)

дви-

дс\ я

О,

(3)

т-п.

где Ь «

Основная теорема об устойчивости

сформулированная Лаг-

что

равновесия

ранжем, утверждает, что равновесие консервативной механической системы устойчиво, если потенциальная энергия имеет в этой точке строгий минимум. При доказательстве данной теоремы обычно предполагается, что кинетическая энергия Т является положительно-определенной функцией скоростей ¿1,7 что, как правило, и бывает в действительности. Однако могут представиться случаи, когда при определенном выборе обобщенных координат ц функция Т не

будет положительно-определенной от-

носительно всех скоростей. С другой стороны, может оказаться, что в положении равновесия минимум функции П не является изолированным.

Допустим, что для некоторого положения равновесия потенциальная функция не имеет строгого минимума. Вытекает ли отсюда, что положение равновесия системы неустойчиво? Некоторые авторы [5, 8] считали, что при отсутствии строгого минимума всегда имеется неустойчивость. Это, однако, как было показано, неверно [1 }•

Как впервые заметил Пенлеве [9], теорема Лагранжа — Дирихле не лучшая из возможных, ее условия можно ослабить. Это показано в следующей теореме.

Теорема 1. Предположим, что для любого г]>0 с В^ С Й существует

открытое множество ФсИ" такое, что

0 Е Ч> С В^ и для всех я

условие П(д)>0;

ЙЧР выпол-

у

няется условие иир>и; тогда начало ч « с\ » 0 устойчиво.

Можно доказать, что для ме ской системы с одной степенью свободы (п = 1) достаточное условие устойчивости, задаваемое теоремой 1, является также и необходимым.

Итак, за исключением одномерного случая не найдено условие, которое было бы необходимым и достаточный для устойчивости-. Ниже проблема устойчивости механических систем с по-тенциальной энергией, не имеющей строгого минимума, решается различными способами.

Большинство теорем, посвященных проблеме устойчивости положения равновесия, основаны на втором методе

Ляпунова. Приведем некоторые из них

9 * • г

Теорема 2. Пусть кинетическая энергия Т не зависит явно от времени,

Чт А(ч) — положительно-определенная форма относительно скоростей 41 > Чк (к^п), а П - с1(я) — положительно-определенная функция относительно сц,..., дт(т<п). Тогда положение равновесия равномерно устойчиво по отношению к цт> ¿11, с^.

Теорема 3. Пусть накладываемые на систему связи не зависят от времени, т. е. Т = 1/2дтА(я)с|. Кинетическая энергия Т — положительно-определенная относительна всех скоростей сц, Чп квадратичная форма, а потенциальная энергия П — поло-жительно-определенная относительно Чь Чш (т^п). Тогда положение равновесия системы устойчиво относительно 4!,..., Ях, ..., С|п.

Здесь не требуется изолированности минимума в нуле у потенциальной энергии, однако функции Т и П должны быть положительно определены по некоторым компонентам, что является сильным ограничением.

Следующая теорема дает достаточные условия неустойчивости, при ее доказательстве также используется метод вспомогательных функций Ляпунова.

Дана гамильтонова система с п степенями свободы. Т Т(я, с|) представляет собой для каждого ц положи-

квадратичную

П = П(д),

тельно-определенную форму относительно ц

П<0) - 0, дПф)/дц = 0.

Теорема 4 (теорема Если' существует е>0 с Ве С С2 такое,

Четаева).

что

1) 0= { q 6 В£; П(д)<0 } * ¡6

2) 0 Ев;

dTL

3) (— I q)<0 для всех q

в,

тогда начало ч = с\ = 0 неустойчиво. Эта теорема не охватывает случаев

неустойчивости систем, для которых

П(Ч)>0.

Как видно, приведенные теоремы не решают поставленную проблему окончательно. Поэтому стоит попытаться найти другой подход. Альтернативным методом исследования на устойчивость систем с потенциальной энергией, не имеющей строгого минимума, является асимптотический метод [3]. Кратко из-

ложим его.

Рассмотрим уравнения dx/dt = Aj(t)x + f<t, х);

4«

dy/dt = Ax(t)y,

(4)

(5)

где А^) : [Т, + оо)г*Нот(Кп,Яп) — непрерывное отображение; ГеС(1Т,+<») х

Основные условия, смотрим множества N0 £ М С Мо С Ы, N » {1, ..., п} и М - {1,...,т}. Пусть

хь ...,хп)1 < А^, 1x3! I,..., 1x^1)

Рас-

Vj<=N, jb ..., jqEM0, AeC([T,+oo)xR|),

A(t,ri,...,rq)<A(t, ri,..., rq), г5<гь i -

= 1,..., q, V t 6 [T, +00). Фундаментальная матрица Y(t) « <Уц <t)) э i, j -1, n уравнения (5) нормирована в точке t0 е [Т0, +оо),;Т0>Т и V"4t) - (уjlCt)).

Пусть

удовлетворяют неравенствам

¡и(t)>max ly,.(t)J, T<t0<t< + co, i e M0,

jeN° ,

если No * J0; /¿j(t)>0, если No = 0; mj(t) £max {max I yn(t) I, /^(t)}, T^to^

jGM0

< + 00, i e Mq, и при любом с ^ О

■

•f оо

/I yjk(s) IAj(s, cm(s))ds < +»,

t0

vj eN, vke M;

л

У л

при t-»+oo, i ёМо, j E. N

9

+ 00 »

/ l 2y.ik(t)y'k(s)Uj(s, cm(s))ds =

(6)

tkeM\N

o(£/*i(t));

(7)

при i ем0, j e N, в ж n \ м

t

4

<c2Pi(t), i = q + 1, ..M П, Cl, c2

GR!*.}

/ lXyik(t)yik(s)Uj(s, cm(s»ds

То kEB

0(c^(t)).

(8)

линейное нормированное пространство

Q0 = ÎV.'VGŒ, 11VI c=max{c!,c2}.

Допустим, выражение

t

i(s) « (nij!(s),...,mjq(s)), ji, jq G Mo. I.(t, гр) = / ]£yik(t)yjk(s) fj(s, y(s))ds

Теорема 5 (теорема Воскресенского). Пусть решения г(Х\ ^ г0) уравнения

toi^N

kGB

•f оо

dz/dt = 2'yjk(t)"Aj(t, zm(t))

(9)

f 1 yik(t)yjk00 îj(s, V(s))ds,

(11)

keN

jEN

t jeN

кем

B=N\M, существует при любых iGN, определены при всех t0>T0^T, z0 G R+, c ^ RÎ^., y G Q0 и Ii(t, У) = oOq(t)) рав-

t>to, a решения уравнения

dz/dt = 2'yjk(t)^j(t, zm(t))

кем0

jeN

(10)

i

ограничены при всех 1>1о, го ^ Я + .

Условия (6) — (8) имеют место равномерно относительно 0<с<Со, /¿¡0)<к,

к>0, T0<t< + oo, vi G М0. Если уравнение (5) асимптотически устойчиво по части переменных i, i G Mq, то тривиальное решение уравнения (4) обладает этим же свойством. Если при данных условиях символ о всюду заменить символом О, а уравнение (5) при этом устойчиво по части переменных i, i G Mq, то этим же свойством обладает тривиальное решение уравнения (4).

Комментарии к теореме Воскресенского.

1. Разрешить уравнение Лагранжа (3) относительно q и соответственно привести его к виду (4) можно в окрестности каждой точки (t, q), где матрица A(t, q) регулярна. ;

2. Условие монотонности функции А по второй переменной можно исключить, как показано в [2 ].

3. Ограниченности решений z(t;to,z0) уравнения (10) можно не требовать [6].

4. Условия (6) — (8) можно заменить одним.

Пусть Q = {у : v G C(p)(lT, + oo),Rn),

р>0, lVi(t)l -Cimi(t)> i = IViO)i<

номерно по у е ПРИ и всех

\ G Мо- Кроме того, несобственные интегралы из (11) сходятся равномерно по X на любом компакте из [То, +«).

Тогда теорема Воскресенского получит следующую формулировку.

Теорема 6. Пусть решения урав-

нения

dz/dt =-2lyJk(t)Uj(t, zm(t)),

(12)

jeN keN

где m(t) = (mj^t),...^^)); jb...,jqGM0,

определены при всех îq^To^T, zq G R+,

t>to, a условие (11) имеет место равномерно относительно (Kcsco, li<t,0//li(t)

О при с-*0 равномерно по и

/¿¡(0<К, К>0,Т0<К + оо, VI G М0, тогда если уравнение (5) устойчиво по части переменных i G М0, то этим же

свойством обладает тривиальное решение уравнения (4).

Приведем пример, иллюстрирующий применение теоремы Воскресенского.

Пусть Т -Т(я, ф - 1/2с|2 - 1/2Ч2 кинетическая энергия механической системы; П = -со5(ехр(-1/х2)) + 1 при q * О, П = 0 при ср= 0 — потенциальная энергия. Очевидно, что потенциальная энергия не имеет строгого минимума в нуле, так как при стремлении ц к нулю частота колебаний синусоиды неограни-

ченно возрастает.

L - Т - П - l/2q2 - l/2qz +

2

+ cos(exp(-l/x2)) - 1,

q

exp(-l/q2))

q = 0

Л

уравнение Лагранжа. Оно разреши относительно q, следовательно, при

нормальной

у;

2

2

■х+

2ехр(-1 /х )cos(exp(~l/x ))

3

(13)

Система <13)

имеет положение равновесия х = у = 0. Действительно,

2exp(-l/x2)cos(exp(l/x2)) _

И

х-*0

3

0.

Соответствующая системе (13) линейная система сравнения имеет вид

у;

у

х.

(14)

Проверим все условия теоремы Во-

скресенского, Так как

2ехр(-1 /x2)cos(exp(-l /xz))

3

f 1 (t, x)

0, f2(t,x)

2

Aj = 0, A2 = 2exp(l/x2)/ \x°\. проверить, что k\ и А 2 удовлетворяют условию монотонности ПО X и

lfi(t,x)l<Ai(lxl),i= 1,2,

3

Легко

Y(t)

Y_1(t)

cost sint ■sint cost

cost -sint sint cost

фундаментальная матрица системы (14) и обратная к ней матрица.

Выберем функции /л\(Х), пцШ, 1=г1,2,

следующим

образом: /¿i(t) = /г2(Х) 2(t) = t+ 1.

"Проверим условие (6). Так как А! = 0, то следует проверить лишь условия

/|у (s)IA2(s, cm(s))ds< + oo, k = 1,2

«о

Очевидно, что

с (s + I)3

2ч-

ds<

t,

+ 00

2

¡0 c3(s + 1)

3

dS< + 00.

Так как Nq - M = M0 = N = {1, 2}, то ус ловия (7), (8) выполняются автомати чески.

Составим уравнение (9):

dz/dt = (Icostl + I —sintI) х

2

2\-l

x

L

2exp(-(z (t + 1)*)

z3(t + l)3

I(Icostl ■+ l-sintl) x 2exp(-(z2(t 4- l)2)""1) i

x

4

z3(t + 1)

3

lz3l(t+l)

3

+ 00

Так

как

/4/(t+l)3dt< + oo и

«о

00 J

1

00

dr ss Jlr3ldr=oo, то, приме-

v 3

то пусть й 1/lr I

R

няя лемму Винтнера [4 ], получим, чтб решения исследуемого уравнения определены и ограничены при всех

zo

R1

ш

Условия (6) имеют место равномерно относительно 0<с<со, /лх(\)<\> 1=1,2,

и уравнение (14) устойчиво по переменным х, у, следовательно% применяя теорему 5, получим, что тривиальное решение уравнения (13) устойчиво.

ЭтиIV! примером показано, что исследование механических систем с потенциальной энергией, не имеющей строгого минимума, можно проводить методом, отличным от прямого метода Ляпунова, причем этот метод охватывает более широкий класс систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Абетс П., Руш Н., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

300 с. ~ '

2. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саратов: Изд-во Сарат. унта. Саран, фил., 1990. 224 с.

ь

3. Воскресенский Е. В. Метод сравнения в нелинейном анализе // Сиб. мат. журн. 1991.

Т. 32, № 5. С. 3 — 11.

%

4. Иосидзава Т. Функции Ляпунова и ограниченность решений // Математика: Сб. М., 1965. С. 95 — 125.

5. Ланцош К, Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 300 с.

6. Мамедова Т. Ф. Об устойчивости решения

по части компонент // Тр. семинара по дифференциальным уравнениям. Мордов. ун-т. Саранск, 1993. С. 30 — 39. Деп. в ВИНИТИ 22.07.93, № 2076 — B93.

7. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

8. Appell P. Traaité de mécanique rationelle, t. IV, fascicule I. Paris: Baauthier—Villars, 1932. P. 235.

9. Painleve P. Sur la stabilité de 1,équilibre// C. R. Acad. Sei. Paris, 1904, ser. A — B9 138.

P. 1555 -1557.

ХРОИИКА. РЕЦЕНЗИИ. ОБЗОРЫ

возможности использования

геоинформационных систем в региональных исследованиях

(ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ)

A. А. ЯМАШКИН, кандидат географических наук,

B. А. МОИСЕЕНКО, старшин научный сотрудник

Появление мощной компьютерной техники открыло новые перспективы перед комплексом наук, изучающих региональные проблемы и явления. В этом смысле можно говорить о формировании нового стиля комплексного изучения природно-социалыюй среды, когда одним из наиболее перспективных инструментов становятся геоинформационные системы (ГИС) — «автоматизированные комплексы, интегрирующие технические, программные, информационные средства централизованного сбора, хранения, обработки, преобразования и отображения (выдачи) пространственно-локализованной

и н фор м а ци и (геои нфор м а цн и)» [ 1, с. 331.

Универсальное значение ГИС постоянно подчеркивается на международных конференциях и симпозиумах Д21 и в многочисленных статьях отече-

ственных и зарубежных авторов [3, с. 10 — 14]. В то же время общая идеология отдельных национальных и региональных ГИС часто определяется наиболее актуальными для данных стран и областей проблемами.

Применительно к геоинформационной системе «Мордовия», разрабаты-ваемоГг Научно-производственным центром экологических исследовании при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева, было признано целесообразным принять в качестве идейного стержня указанной ГИС концепцию комплексного освоения территорий.

При этом само понятие освоения территорий было существенно расширено и структурировано следующим образом:

1. Материальное освоение территорий: