Условия отсутствия решений некоторых неравенств и систем с функциональными параметрами и сингулярными коэффициентами на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 14-24.

УДК 517.957

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

НА ГРАНИЦЕ

Е.И. ГАЛАХОВ, O.A. САЛИЕВА

Аннотация. Рассматривается проблема отсутствия положительных решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области. При этом главные части исследуемых неравенств представляют собой операторы р(ж)-Лапласа с переменными показателями степени. Младшие члены рассматриваемых неравенств могут зависеть как от значений искомой функции, так и от ее градиента. Предполагается, что коэффициенты младших членов обладают сингулярностями на границе. Насколько известно авторам, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались.

Получены достаточные условия отсутствия положительных решений в терминах показателя степени р(х), порядка сингулярности и других параметров задачи. Для доказательства полученных условий используется авторская модификация метода нелинейной емкости, предложенного С.И. Похожаевым. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой постановке задачи и на алгебраических преобразованиях полученных выражений. Это позволяет получить асимптотически оптимальные априорные оценки решений, приводящие к противоречию при определенном выборе параметров, из чего и делается вывод об отсутствии решений в этой ситуации. Приведено обобщение полученных результатов на случай нелинейных систем с аналогичными условиями на операторы и коэффициенты.

Ключевые слова: эллиптические неравенства, переменные показатели степени, отсутствие решений, сингулярные коэффициенты.

Mathematics Subject Classification: 35J60, 35К55, 35R55

1. Введение

Проблема достаточных условий отсутствия решений нелинейных эллиптических уравнений, неравенств и их систем рассматривалась многими авторами.

Для оператора Лапласа с точечной сингулярностью внутри области первые результаты в этой области были получены X. Брезиеом и X. Кабре [1] с помощью принципа сравнения.

Для операторов высоких порядков, не удовлетворяющих принципу сравнения, С.И. Похожаевым [9] был предложен метод нелинейной емкости. Позднее он был развит в совместных работах с Э. Митидиери и другими авторами (см. монографию [8] и ссылки в ней). Этот метод позволил получить ряд новых точных достаточных условий неразрешимости нелинейных неравенств в частных производных в различных функциональных классах. Метод основан на получении асимптотически оптимальных априорных оценок

E.I. Galakhov, O.A. Salieva, Unsolvability conditions for some inequalities and systems with

functional parameters and singular coefficients on boundary.

© Галахов Е.И., Салиева O.A. 2018.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (Соглашение 05.Y09.21.0013 от 19 мая 2017).

Поступила 28 декабря 2016 г.

путем алгебраического анализа интегральной формы рассматриваемого неравенства при специальном выборе пробных функций. Приложения этого метода к различным типам эллиптических неравенств и систем можно найти, например, в [2, 3, 4, 7].

В настоящей работе используется модификация метода нелинейной емкости для получения достаточных условий отсутствия решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области с переменными показателями степени и коэффициентами, обладающими сингулярностью на границе. Насколько нам известно, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались.

Для доказательства результатов об отсутствии решений методом нелинейной емкости строятся пробные функции с различной геометрической структурой, учитывающей специфический характер рассматриваемой задачи. Наши первые результаты в этом направлении были опубликованы в [5, 6],

Оставшаяся часть статьи состоит из двух параграфов, В §2 мы получаем результаты об отсутствии решений для скалярных нелинейных эллиптических неравенств, а в §3 - для систем таких неравенств.

Замечание об обозначениях. Здесь и далее буква с обозначает различные положительные константы, которые могут зависеть от параметров рассматриваемых задач.

2. Скалярные неравенства

Рассмотрим задачу

-а1у(|Дм|р(ж)-2Дм) > р-а(х)ид(х)10и1з(х), х е П,

(1)

и(х) > 0, х е П,

где П - ограниченная область с гладкой границей, р(х),д(х), з(х) е С(П) - функции с положительной точной нижней гранью, р(х) = 5П), а е К.

Решения задачи (1) будут пониматься в слабом смысле (распределений) в соответствии со следующим определением.

Определение 2.1. Неотрицательная функция, и е (П) называется, слабым ре-

шением (в смысле распределений) задачи, (1), если р~ е Ь11ос(П) и для любой

неотрицательной, пробной, функции ф е С^П) выполняется неравенство

J 1Ви1р(х)-2(Ии, Бф) <1х >1 р-а(х)ид(х^1Ви1з(х)ф Ах. (2)

п п

Замечание 2.1. Аналогично [8] можно показать, что если, такое решение существу -

П

ф = и1 р с 7 е К и р е С1(П). Если и обращается в ноль где-либо в П и ^ < 0, можно использовать пробные функции ф = (и + 5)1 р и устремить 8 ^ 0+, что приводит к таким же результатам, как и в предыдущем случае. Поэтому далее мм будем предполагать, что и > 0, если, оно существует.

Введем обозначение

Пкг] = [х е П : р(х) > кг/} (гц> 0,к = 1, 2).

Предположим, что

Ш р(х) > 1, хеп

Ш(д(х) — р(х)) > 1. хеп

Обозначим

b ,х) = р(х)(д(х) +1) — s(x)(j - 1) 1 q(x) + s(x) — р(х) + 1 '

с (х) = Р(х) + 1 — 1

Cl (Х) q(x) + s(x) — р(х) + 1' (3)

Db,,l}= j t<<-<-

Тогда имеет место

Теорема 2.1. Пусть существует 70 < 0 такое, что для, 7 Е (70, 0)

ИшД7' V) = 0. (4)

Тогда неравенство (1) не имеет нетривиальных решений.

Пример 2.1. Пусть П = B^0), р(х) = р = const q(x) = q = const s(x) = 0. Тогда, р(х) = 1 — |х|, и неравенство (1) принимает вид

— Ари > uq(1 — |х|)"а (х Е Bi(0)), (5)

а, условие (4) выполняется в точности при а > q+1. Легко видеть, что при нарушении

а — р

этого условия (т.е. при а < q + 1) неравенство (5) имеет решение вида, С(1 — |х|) р+i с соответствующей константой С = С(р,q,a) > 0, т.е. полученное условие отсутствия решений неравенства (5) является, оптимальным.

Доказательство. Предположим, что существует нетривиальное решение и неравенства (1), Введем семейство функций е С0(П; [0,1]) гада ф(ж) = £^(х) с

- (ж)={1 (ж е П:;))' о

«(х)1<сП-1 (х е П) (7)

и достаточно большим Л > 0, Тогда получим

/ г-„х)и".чв.г-,.,х < / «««ш.«,,. „ „ =

,, ГЧ* +

п п

откуда следует

J р—а(х)и(х) +7 | «и| з(х)'^<1х + |7| J и7-1| Ои\р(х)^(1х < I и7| «и|р(ж)-1| Б^вхХ. п п п

Представляя подынтегральную функцию в правой части этого неравенства в виде

У(х) (<г(г)+7)у(г) , \ ау(х) у(х) -1в(х)-{д(х)+~1)у(х)1 . ау(х) —

2—^ р~ • 2^ |«и|р(ж)—1—у(х) «фг,| • р.

( х)

телем в(х)/у(х) (далее будет показано, что в(х)/у(х) > 1 при соответствующем выборе

у(х)), получим

1 / I отьу ^ и-,-1 от ь <

п п

/1в(х)-(д(х)+1)у(х) , (р(х)-1-у(х))в(х) в(х) ау(х) --у(х)

и а(х)-у(х) 1^и\ '(х)-у(х) ^(рг, I *(х)-у(х) • р.(х)-у(х) ф- '(х)-у(х) ¿X.

п

Применим неравенство Юнга с показателем г(х) еще раз:

1в(х)-(я(х)+~1)у(х) ш (р(х)-1-у(х))а(х) я(х) ау(х)

у(х)

С и .(х)-у(х) 1^и\ -(х)-у(х) ^фг, I я(х)-у(х) • ря(х)-у(х) ^п'(х)-у(х) ¿X <

< ^ I и е(х)-у(х) 10и\ е(х)-у(х) ^ ¿Х + ^

п

|7 I Г (~1в(х)-(.д(х)+1)у(х))г(х) (р(х)-1-у(х))в(х)г(х)

п

Г в(х)г'(х) ау(х)г'(х) 1—

+с |^(х)-у(х) • рз(х)-у(х) ^ °(х) у(х) ¿х,

где -К + = 1.

Выберем у(х) и г(х) так, что

(р(х) — 1 — у(х))з(х)х(х) = р(х)(в(х) — у(х)),

уз(х) — (д(х) + 7 )у(х) в(х) — у(х)

т, е,

з(х)(р(х) + 7 — 1)

г(х) = 7 — 1,

у(х) = у1 (х) г(х) = г7 (х)

р(х)(д(х) + 7) — в(х)(^у — 1)}

р(х)[р(х)(д(х) + <у) — я(х)(у — 1) — (р(х) + 7 — 1)] (р(х) — 1)(р(х)(д(х) + 7) — $(х)(у — 1)) — в(х)(р(х) + 7 — 1)

Отметим, что при 7 = 0 в силу наших предположений об д(х), р(х) и в(х) для любого х е П имеем

з(х) р(х)д(х) + 8(х) р(х)д(х) + з(х) в(х)

—- =-—---> -—-= р(х) + -;-т > Р(х) > 1

у0 (х) р(х) — 1 д(х) д(х)

и

^,) = Р(х)(д(х) — 1) + з(х) + 1 = 1 + з(х) + 1 > 1 р(х)(д(х) — 1) р(х)(д(х) — 1)

Отсюда по непрерывности при достаточно малых |7| будем иметь > 1 и (х) > 1 для всех х е П, что и требуется для применения неравенства Юнга,

Для таких у(х) и г(х), при со свойствами (6), (7) и доетаточно большим Л > 0 из (8)

следует

1У р—а(х)ид(х)+710и1з(х)<Рч ¿х + и7—11Ви1р(х)<Рч ¿х < сО(1,т1).

пп

Устремляя ц ^ в силу (4) для 7 е (70,0) получим противоречие с предполагаемой нетривиальностью и, что доказывает теорему, □

3. Системы неравенств

Далее рассмотрим систему неравенств

-сЦу(10и1 р(х)-2Ии) > р-а(х)ьС11(х)1Иу|

\Я2(х)

х е О,

-&\(1Иу|"(х)-2Иь) > р-3(х)иР1(х)10и1Р2(х), х е О,

и, V > 0,

х е О,

где О - ограниченная область с гладкой границей.

Будем предполагать, что р, д, р\, д1, р2, д2 е С (О) - функции с положительной точной нижней гранью, е К.

Решения системы (9) будут пониматься в слабом смысле (распределений) в соответствии со следующим определением.

Определение 3.1. Пара неотрицательных функций (и, у) е (О) называ-

ется слабым решением (в смысле распределений) системы (9), если р-а(х)1д2(х е Ь\ос(О), р-3(х)иР1(х"11Иь 1Р2(х е Ь\ос(О) и для любых неотрицательных пробных функций ф1,ф2(х) е С0(О) выполняются неравенства

1Ии1р(х)-2(Ии}Иф1) <1х > / р-а(х)ьд1(х)1Вь 1д2(х)ф^х,

О ^х)-2(Иу, Иф2(х)) ¿х > / р-3(х)иР1(х)1Би1Р2(х)ф2(х) дхх.

(10)

Замечание 3.1. Аналогично замечанию 2.1, мы можем предполагать, что и > 0 и V > 0, если, они, существуют, и использовать пробные функции вида, ф1 = и'р и ф2(х) = ь'р с р е С1 (О).

Обозначим

С1(х) = -с3,у (х) = -(х) =

д(х) + у - 1

Я1(х) + Я2(х) - д(х) -у +1'' д(х) +7 - 1

Я1(х) + д2(х) - д(х) - у+1 р(х)р 1 (х) + Р2(х)(1 - у)

С2,7 (х) = -

С 4( х ) —

(р(х) - 1)(1 - 7)

&3(х) =

Р1(х) + Р2 (х) - р(х) - у + 1' д(х)д1 (х) + д2(х)(1 - <у)

д1(х) + д2(х) - д(х) -у + 1

¿2' (х) ¿4,<у (х)

Р1(х) + (р2 (х) - р(х) + 1)(1 - у) (д(х) - 1)(1 - 7) ,

д1(х) + (д2(х) - д(х) + Ш1 - у), р(х)р 1(х) + Р2 (х)(1 - у)

Р1(х) + (р 2 (х) - р(х) + 1)(1 - у) , д(х)д1(х) + д2(х)(1 - у)

д1(х) + (д2(х) - д(х) + 1)(1 -/у),

(г])= у '(х) •П

иг)\и2у

ЬС:>'7(х)(х) • ф'7(х) в,х, ] = 1, 2,

(гп)

^',7(х)(х) • (х) (Их, 3 = 3, 4.

0,щ\0.2ц

Тогда справедлива

Теорема 3.1. Пусть т! р(х) > 1, т{ д(х) > 1, т£ (р 1(х) + р2(х) - р(х)) > 1,

х^и х£.и х^и

т£(д^х) + д2(х) - д(х)) > 1 и существует 7о < 0 такое, что для, 7 е (70, 0)

хЕи

ИшИ„7 (г]) = 0, з = 1,..., 4. Тогда, система (9) не имеет нетривиальных решений.

(П)

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ

19

Доказательство. Пусть (и, V) - нетривиальное решение системы (9), а ^^ е С^(П; [0,1]) -пробные функции того же вида, что и в доказательстве теоремы 2,1, удовлетворяющие (6) и (7).

Используя пробную функцию ф1 (х) = и1 (х)(рп (х) в первом неравенстве (10) и ф2(х) = V1 ^^ во втором, где число 7 таково, что шах(т£(1 — р(х)), т£(1 — д(х)),^0) < ^ < 0, получим

хеп

хеп

р—а(х)у'11(х)10у112(х)и' <рп ¿х < ч и(—110и\р(х)^ ¿х + и710и\р(х)—110^ | Ах, (12)

р—3 (х)иР1 (х)10и\Р2(х)ь( ^ йх < 7 у1—11Бу1 ^^ йх + V1 ^у| | (1х. (13)

Воспользуемся представлением

и11ви\р(*)—1 = иа1(х)10и1 Ь1(х)^1(х) и1—а1(х)10и1 р(х)—1—Ь1(~' ^

2(%)\

<1Щ д(х)-1 = уа2(х)1Пи1 Ь2(х)^с2( х) у1—а2(х)1Пу1 д(х) — 1—Ь2^ ^

(х) — 1—Ъ1 (х) 1 (х) — 1—Ь2(х)

1

С1(х)

1

С2(х)

(14)

(15)

чтобы применить к правым частям (12) и (13) параметрическое неравенство Юнга с показателями, обозначаемыми с1(х) и с2(х) соответственно. Выберем параметры так, что

а1(х)с1(х) = 7 — 1, Ь1(х)с1(х) = р(х),

7 — а,1(х) р1(х)

(16)

р(х) — 1 — Ь1(х) р2(х)

й2 (х)с2(х) = 7 — 1, Ь2(х)с2(х) = д(х),

7 — а2(х) д^х)

(17)

д(х) — 1 — Ь2(х) д2(х)' Замечание 3.2. Смысл этого выбора заключается в подготовке к последующему приветствующем выборе параметров J р—3 (х)иР1(х^1Ви1Р2(х^ (рп Ахи J р—а(х)ь<11(х'>1Ву1Я2(х) ¿х.

Решая системы уравнений (16) и (17), получим

(/У — 1)((Р(Х) — 1)Р1(Х) — 1Р2(Х))

а1(х) = Ь(х) = С1(х) = а,2(х) = Ьь(х) = съ(х)

р(х)р1(х) + Р2(х)(1 — 7)

р(х)((р(х) — 1)р1(х) — ЧР2(х)) р(х)р1(х) + Р2(х)(1 — 7) '

р(х)р1(х) + Рь(х)(1 — 7) (р(х) — 1)Р1(Х) — ТР2(х) ,

(/у— 1)((д(^) — 1)^1(х) — 1д2(х)) д(х)д1(х) + д2(х)(1 — '

д(х)((д(х) — 1)д1(х) — ^уд2(х)) д(х)д1(х) + д2(х)(1 — ч) '

д(х)д1 (х) + д2(х)(1 — 7) (д(х) — 1)д1(х) — ^д2(х)'

(18)

1

1

V

Подставляя (18) и (19) в (14) и (15), будем иметь представления

(1-1)((р(х)-1)р1(х)-1Р2(х)) р(х)((р(х)-1)р1(х)-1р2(х)) (Р(х)-1)Р1(х)-'УР2(х)

V? 1Би\Р(Х) — 1 =и р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) 1Би\ р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) ^Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) •

р1(х)(р(х) + 1-1) Р2(х)(р(х)+1-1) — (р(х)-1)р1(х)-1р2(х)

• ир(х)р1(х)+Р2(х)(1-~1) 1Ви\р(х)р1(х) + Р2(х)(1-~1) у р(х)р1(х) + р2(х)(1-1) ,

, ч (1-1)((д(х)-1)д1(х)-1д2(х)) д(х)((д(х)-1)д1(х)-1д2(х)) (д(х)-1)д1(х)-:<д2(х))

V11Бь 11(х) — 1 =ь д(х)д1(х)+д2(х)(1-у) | д(х)д1(х)+д2(х)(1-у) ^дд(х)д1(х)+д2(х)(1-1) •

д1(х)(д(х) + 1-1) д2(х)(д(х + -1) — (Я^)- П(хх)^ ^.х)

• уд(х)д1(х) + д2(х)(1-1) | д(х)д1(х) + д2(х)(1-~1) у д(х)д1(х) + д2(х)(1-1) .

Заметим, что при 7 = 0

= д(х)д1(х) + д2(х) > (д(х) — 1)д1(х) + д2(х) = 1 + д2(х) > ^ ^ > 1 1 (д(х) — 1)д1(х) (д(х) — 1)д1 (х) (д(х) — 1)д^х) > 1,0

и аналогично с2(х) > с2,0 > 1. Поэтому те же неравенетва с^х) > 1 и с2(х) > 1 выполняются в силу непрерывности при достаточно малых |7|, Таким образом, применяя к правым частям (12) и (13) параметрическое неравенство Юнга с показателями с^х) и с2(х) из (18) и (19) соответственно, приходим к

У р—а(х)уд1(х)10у I Ч2(х)и^ц ¿х + и1—11Ви1р(х)^ <1х <

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) ' Р1(х)(р(х)+~1-1) Р2(х)(р(х)+-у-1) Р1(х) + Р2(х)

с^ I и Р1(х)+Р2(х) IР1(х)+Р2(х) --—-Ах

— 7/11 р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-'1) '

Р1(х)+Р2(х)

р—3(х)иР1(х)10и\Р2(х)уЧфг, ¿х + ^ I ь^Бь Iд(х)(Рп ¿X <

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1) (х)+д2( х)

С д1(х)(д+'!-1) д2(х)(д(х)+1-1) Ю(р„ I д1(х)+д2(

<(1т I Ьд1(х)+д2(х) | д1(х)+д2(х) —^(х^хХ-) —

д1(х)+д2(х)

где константы с7 и зависят только от р(х), д(х), р1(х), д1(х), р2(х), д2(х) и 7, Применяя неравенство Юнга с показателями

Р1(х)+ р2(х) , Р1(х)+ Р2(х)

а1(х) = -—, а1(х)

и

р(х) + 7 — 1' р1 (х) + Р2(х) — р(х) — 'у +1

,/ч ^1(х) + д2(х) д1(х) + д2(х) а2(х) = -----, а2(х) —

д(х) +7 — 1 ' д1(х) + д2(х) — д(х) — 7 +1

соответственно (отметим, что при наших предположениях для 7 = 0 имеем

Р1(х)+ р2(х) д1(х) + д2(х)

^(х) =-Г^-1— > (^1,0 > 1, й>2(Х) =-^---> а2,0 > 1

р(х) — 1 д(х) — 1

и поэтому в силу непрерывности ¿1(х) > 1 и ¿2(х) > 1 для любых достаточно малых ^^ получим

| р^^у^^уIЧ2(х\Грц ¿х + И | и^^Би^^ ¿х <

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) х) + Р2(х)-Р(х)-1

[а / , / , Г 13(р(х)+',-1) \^,п\р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

< е1 ! р—3(х^^иГ^р^х + ^ I ррм+ы*--^1 (Х)

(х}+Р2Ах) _......

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-'1) 1 Р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИИ ...

21

р-3 (х)иР1 (х)| Ии\Р2(х)у'^ йх + Ь^ I у'-11 Иь 1^х)^(1х <

д(х)д1 (х)+д2(х)(1~7)

Г / \ / \ [ а(д(х)+7-1) \Иф„\п (х)+д2(х)-д(х)-7+1

< 9- р-а(х)ь'11(х)1Иу I Я2(х)р^х + к- рд1(х)+д2(х)-д(х)-7+1 (х) 1 ^.„^ ,л-<1х.

I_

д(х)д1(х)+д2(х)(1-7) . пд1(х)+д2(х)-д(х)-7+1

1

Далее, используя пробные функции ф1(х) = ф2(х) = в (10), будем иметь

Р-3 (х)иР1(хх ^ Р2(х^ * < ¡1оП^х.

(21)

(22)

(23)

Воспользуемся представлением

1 1 $ ___

1Ии\р(х)-1 = иаз(х)1Ии\Ьз(х)р^з(х)и-аз(х)1Ии\р(х)-1-Ьз(х)(р-3рЯ)Ъ&р^у-*3™ Лз(х), (24)

Iд(х)-1 = ьа4(х)1Иь I Ь4(х)р;4(х) ь-а4(х)1Иь Iд(

х) 1 Ь4(х)( -а

)(р-а(ря )Л4(х) р*4(х) °4(

1

■) Л4(х)

(25)

чтобы применить к правым частям (22) и (23) тройное неравенство Юнга с показателями,

3( х) 3( х) 3( х) 4( х) 4( х) 4( х)

параметры так, что

аз(х) сз(х) = у - 1, Ьз(х) сз(х) = р(х), аз(х) с1з(х) = р 1 (х),

(р(х) - 1 - Ьз(х))(1з(х) = Р2(х), (26)

1

+

1

+

1

1,

Сзз(х) ¿зз(х) езз(х)

а4(х)с4(х) = у - 1, Ь4(х) с4(х) = д(х),

4( х) 4( х) = - 1( х),

< (д(х) - 1 - Ь4(х))(14(х) = д2(х),

111

+ + '

(27)

, с4(х) ¿4(х) е4(х) Решая системы уравнений (26) и (27), получим

(/У - 1)Р 1(х)(Р(х) - 1)

аз(х) = Ьз(х) = сз(х) = ¿з(х) = ез(х) =

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - у) '

р(х)р 1(х)(р(х) - 1) р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - у) ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - ч) Р1 (х)(р(х) - 1) ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 -ч)

(р(х) - 1)(1 ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - 7) Р1(х) + (р 2 (х) -р + 1)(1 - у)

1

1

а4(х) Ь4(х) с4(х) (4(х) е 4(х)

(1 - 1)дх(х)(д(х) - 1) д(х)дх(х) + д2(х)(1 - '

д(х)дх(х)(д(х) - 1) д(х)дх(х) + д2(х)(1 - 7)'

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - 7) дх(х)(д(х) - 1) '

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - 7) (д(х) - 1)(1 '

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - ч)

д\(х) + (д2(х) - д + 1)(1 - ^'

Отметим, что при 7 = 0

,,_Р(х)Р 1 (х)+ Р2(х)_, . Р1(х)+ Р2(х) . -

сз(х) = -Г~ТТ~Г~\-7\ = 1 +--Г~ТТ~Г~\-ГТ — с3,0 > 1

рх(х)(р(х) - 1)

р\(х)(р(х) - 1)

Р(х)Р1(х)+ Р2(х) . , Рг(х)+ Р2(х) ^ ( , . , ^ 1 ¡з(х) =-^---= Р1(х) +------— > Рх(х) — (¡30 > 1'

е 3 (х)

( х) - 1 р(х)р х(х) + Р2(х)

>

( х) - 1 Р\(х) + Р2 (х)

Рх (х) + Р2 (х) - р(х) + 1 Рх (х) + Р2 (х) - р(х) + 1

— е3,0 > 1

(29)

и аналогичные оценки имеют место для с4(х), (4(х), е4(х). Поэтому из непрерывности следует, что для достаточно малых |7| все эти показатели также превосходят 1, аналогично предыдущим рассуждениям.

Подставляя (28) и (29) в (24) и (25), получим представления

1Ви1р(х)

х)-\

(<-1)р1(х)(р(х)-1) р(х)р1(х)(р(х)-1) ,Р1(Х1(1(Х)-1п-V

= ир(х)р1(х)+р2(х)(1—/) 1^и1р(х)р1(х)+Р2(х)(1-7) ^р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) ,

Р1(х)(р(х)-1)(1-',) р2(х)(р(х)-1)(1-7) _я (р(х)-1)(1-<)

ир(х)р1(х)+р2(х)(1-1) Ди р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) (п " ) р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) •

13(р(х)-1)(1-<<) (1-р1(х)-1)(р(х)-1)

р(х)р1(х)+р2(х)(1-7^ор(х)р1(х)+р2(х)(1-7)

■Р

Iд(х)

х)-\

(1-1)Ч1(х)(д(х)-1) д(х)Ч1(х)(д(х)-1) -\

= уд(х)д1(х) + д2(х)(1-~/) | д(х)д1(х) + д2(х)(1-<<) р^(х)д1(х) + д2(х)(1-1) ^

П(х)(д(х)-1)(1-1) д2(х)(д(х)-1)(1-1) _ (ч(х)-1)(1-1)

■ у ч(х)Ч1(х)+Ч2(х)(1-1) I ч(х)д1(х)+д2(х)(1-1) (р ар ) д(х)д1(х)+д2(х)(1-'<) ■

Л. д( ■х)-1)(1-<)

(~<-ц( х)-1)( д( х)-1)

■

д(х)д1(х) + д2(х)(1-<<) рд(х)д1(х) + д2(х)(1-<)

и, применяя к правым частям (22) и (23) тройное неравенство Юнга с показателями с3(х), (3(х), е3(х), с4(х), с(4(х), е4(х) из (28), (29) соответственно, придем к

У р-а(х)уд1(х)10уIЯ2{х)р,(х <

<Сх I и'^^и^р^х + С2 [ (х)иР1(х)10и1Р2(х)^^(х+

' Р(р(х)-1)(1-<)

+ С3 рр1(х) + (р2(х)-р+1)(1-<) (х)

р(х)р1(х)+р2(х)(1-<) 1Д I р1(х) + (р2(х)-р+1)(1—<<)

1_

р(х)р1(х)+р2(х)(1-<) р1(х) + (р2(х)-р+1)(1-<<)

Р ,

х

х

У р—3(х)иР1(х) IОи\Р2(х)<рп ¿х <

<С\ [ ь1^ Иь ^^¿х + С5 [ p—a(x)vql(x)| Бь !12(х)р^х+

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1)

а(д(х)-1)(1-ч) I От \д1(х) + (Я2(х)-д+1)(1-1)

+с6 I рд1(х)+(д2(х)-д+1)(1-) | <Ъ.

,пд1(х)+(д2(х)-д+1)(1-1)

Используя (20) и (21), из предыдущих оценок получим

у р—а(х)ь 11(х) I Вь I Я2(х)р^ ¿х <С7] р—3 (x)uPl(x)| Би\Р2 (х)^ с1х+

+ (р(х)+,-1) Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1)

/рР1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1 (х) I Бф^ Р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) 1 ^Х+

. - Р1 (х)+Р2 (х)-Р(х)-1+1

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) Г + (р(х)-1)(1-,) \Вш„\Р1(х) + (Р2(х)-р(х) + 1)(1-',)

+ С9 рр1(х) + (р2(х)-р(х) + 1)(1-,) (Х) I Р(х')р-ц (х) + Р21(х)(1--у) 1 dx,

" Р1(х) + (Р2(х)-Р(х) + 1)(1-'У)

(31)

(32)

р—3(x)uPl(x)|Ои\Р2(х)р^х < С10 p—a(x)vql(x)|Вь\п(х)^г,Ах+

д-(д(х)+'(-1) д(х)д1(х)+д2(х)(1-'1)

/рд1(х)+д2(х)-д(х)-1+1 (х) IБр^ д1(х)+д2(х)-д(х)-',+ 1

д(х)д1(х) + д2(х)(1-1) 1 ^Х +

. пд1(х)+д2(х)-д(х)-1+1

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1)

/д(д(х)-1)(1—у) \Ош„\д1(х) + (д2(х)-д(х) + 1)(1-1)

рд1(х)+(д2(х)-д(х)+1)(1-,) (Х)| ^д^х^хш-,) 1 ^,

д1(х)+(д2(х)-д(х)+1)(1-',) 1

(33)

где константы зависят только от р(х), д(х), р1(х), д1(х), р2(х), д2(х), 7 и от выбора параметров в неравенствах Юнга,

слагаемые вида с ^ р~а(х)ь41 (х') IИьI<12(х^)р.п dx ис J р~3(х)иР1(х^Би\Р2<1х в левую часть,

при С7С10 < 1 (что можно обеспечить за счет выбора параметров в неравенствах Юнга), имеем:

4

р~а(хУ1 (х) I Бь I ^^¿х < с^Б^ (г]), (34)

3 = 1

р~3(х)иР1(х)IБи\Р2(х)<р^х < с^Б^(п). (35)

=1

Переходя к пределу при г/ ^ 0+, в силу (11) придем к противоречию, что доказывает утверждение теоремы, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н. Brezis, X. Cabré Some simple nonlinear PDE's without solutions. Boll. Un. Mat. Ital. B: Artie. Ric. Mat. 1998. V. 1, Ser. 8. R 223-262.

2. A. Farina, J. Serrin Entire, solutions of completely coercive quasilinear elliptic equations //J- Diff. Eq. 2011. V. 250. P. 4367^4408.

3. A. Farina, J. Serrin Entire, solutions of completely coercive quasilinear elliptic equations II // J. Diff. Eq. 2011. V. 250. P. 4409-4436.

4. R. Filippucci, P. Pucci, M. Rigoli Nonlinear weighted p-Laplacian elliptic inequalities with gradient terms // Commun. Contemp. Math. 2010. V. 12. P. 501-535.

5. E. Galakhov, O. Salieva On blow-up of solutions to differential inequalities with singularities on unbounded sets // JMAA. 2013. V. 408. P. 102-113.

6. Галахов Е.И., Салиева О.А. Разрушение решений некоторых нелинейных неравенств с особенностями на неограниченных множествах // Матем. заметки. 2015. Т. 98. С. 187-195.

7. X. Li, F. Li Nonexistence of solutions for singular quasilinear differential inequalities with a gradient nonlinearity // Nonl. Anal. TMA. 2012. V. 75. P. 2812-2822.

8. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука, 2001 (Труды МИЛИ им. В.А. Стек-лова. Т. 234).

9. Похожаев С.И. Существенно нелинейные, емкости, порожденные дифференциальными операторам,и // Докл. РАН. 1997. Т. 357. С. 592 591.

Евгений Игоревич Галахов, Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 117198, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Салиева Ольга Алексеевна,

Московский государственный технологический университет «Станкин»,

Вадковский переулок, д. За,

127055, Москва, Россия

E-mail: [email protected]