Отсутствие положительных решений полулинейных эллиптических неравенств для полигармонических операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.945

Отсутствие положительных решений полулинейных эллиптических неравенств для полигармонических

операторов

Б. Б. Тсегау

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 117198, Москва, Россия

В этой статье мы изучаем отсутствие положительных решений для некоторых полулинейных эллиптических неравенств высших порядков, в частности, содержащих полигармонический оператор: Аки(х) ^ ^Г1 ^гГ2 ... |ж„|а™ и9(ж), где к 6 М, ц > 1, X = (Х1,Х2, . .., х„) и а.г 6 К, г =1, 2,.. ., п.

Целью данной статьи является установление условий на значения «¡, г = 1, 2,... ,п для отсутствия положительных решений этой задачи в ограниченных и неограниченных областях.

Основными инструментами являются априорные оценки и интегральные неравенства. Используя метод пробных функций, мы получим сначала априорные оценки для решений неравенства на основе интегральных неравенств и слабой постановки задачи с оптимальным выбором пробных функций, а затем сформулируем условие отсутствия решения задачи. Выбор таких функций определяется нелинейными членами задачи и зависит от понятия решения, с которым мы имеем дело.

Ключевые слова: полулинейные эллиптические неравенства, анизотропные особенности, полигармонический оператор, априорные оценки и отсутствие решений.

Пусть П С К" = {(х\,х2,... ,хп) : Хг € К, г = 1, 2 ,...,п} - ограниченная область. Рассмотрим полулинейную эллиптическую задачу

с к € М, д> 1 и аг € К, г = 1, 2 ,...,п.

Здесь для нас особый интерес представляет изучение того, при каких условиях на а г, % = 1, 2,..., п задача (1) не имеет положительных решений в П \ {0}. Для того чтобы сформулировать условие отсутствия положительных решений этой задачи, мы используем подход, разработанный Э.Л. Митидиери и С. И. Похожа-евым [1] - метод пробных функций, позволяющий получать критерии глобальной и локальной разрешимости дифференциальных уравнений и неравенств в некоторых функциональных классах для широкого круга операторов, в том числе операторов высшего порядка, которые не подчиняются принципам сравнения и максимума.

Этот метод позволяет рассматривать слабые решения при получении априорных оценок решений путём алгебраического анализа интегральной формы неравенства, основанного на слабой постановке задачи со специальным (оптимальным) выбором пробных функций и масштабированием аргумента.

Задача об отсутствии положительных решений полулинейных эллиптических дифференциальных неравенств, связанных с полигармоническим оператором

Статья поступила в редакцию 13 июня 2013 г.

Автор выражает благодарность О. А. Салиевой за постановку задачи и Е. И. Галахову за руководство и полезное обсуждение результатов работы.

1. Введение

(1)

Г Аки(х) > /(х)ич(х), х е П,

\и(х) > 0, ж е П ()

с изотропными особенностями f (х) = |ж|а, изучалась Э.Л. Митидиери, С. И. По-хожаевым в [1], когда П = К" \ {0} и П = П0,Г0 = {х е К" : 0 < |ж| < Го} .

В работах [2,3] Е. И. Галахов изучал эту задачу с особенностями /(ж) > с |ж|-а, с > 0 в ограниченной области П С К", удовлетворяющей условию внутреннего конуса, и такой, что 0 е дП, а также П = В1 \ {0} = {х е К" : 0 < |ж| < 1}. В [4] тот же автор утверждает, что им был получен результат об отсутствии решений задачи четвёртого порядка с оператором А2 в шаре В д.

В настоящей работе рассмотрим отсутствие положительных решений задачи с анизотропными особенностями:

/ (х) = |Ж1Г ^Г ... К Г

для аг е К, г = 1, 2,... ,п.

Кроме того, мы докажем отсутствие решений задачи (2) для П = К" и

/(х) = {Х1)а1 {Х2Р ... {хпр , (3)

где {Хг) = 1 + \хг

Будем использовать обозначение

|

П£(ж) := {(х 1 ,х2,...,х") е П : 0 < |жг| < е, Уг = 1, 2,...,п, е > 0} .

Чтобы получить априорные оценки решений неравенства (1), возьмём в его слабой формулировке пробные функции, зависящие от параметра и имеющие вид:

Ы*) = ^ (*1 ,Х2,...,Х") = £А (|) £ А (|) ... £ ( ^ ) ,Я> 0 (4)

с достаточно большим Л > 0 (которое будет уточнено ниже) и ^ е (К; [0,1]).

В случае ограниченной области П С К" будем использовать положительные пробные функции £д с носителем в тонком слое, окружающем 0, определённые по формуле

{0, если |жг| < Я,

1, если 2Е < |жг| < 3Л, (5)

0, если |жг| > 4 Я,

где Хг е К, г = 1, 2,... ,п ий> 0 так мало, что П4Д целиком лежит в П \ {0}. Легко видеть, что

вирр(£д) С П4 д \ П д.

В случае неограниченной области П := К" вместо £д требуется использовать другое семейство пробных функций (д, определённых по формуле

л / ч л \ I1, если N ^ ^ Сй Ы = Си-р = 1П | .^от? (6)

\К/ 10, если |жг| > 2К.

Аналогично

8ирр(Сд) СВ2К = {х е К : |ж| < 2Щ.

После получения априорных оценок для решения задачи (1) при оптимальном выборе пробной функции этого типа, мы переходим к пределу при К ^ 0+ (в случае ограниченной области) или К ^ то (для неограниченных областей), что приводит к противоречию с предполагаемыми свойствами решения.

При доказательстве теоремы об отсутствии решений для задачи (1) будем использовать следующую оценку.

Лемма 1. При V > 1 и пробной функции которая определяется, как в (4) и (5) с X > 2кр, выполнено неравенство:

|Д(х) , х € и \{0}. (7)

где а0 — положительная постоянная, .зависящая от X, V и п.

Доказательство. Для того чтобы установить оценку (7), применяем правило Лейбница и индукцию следующим образом.

Заметим сначала, что из определения имеем

6 (%

< С0Е~

(8)

для любого аг € N с некоторой константой С0 > 0.

Кроме того, из (4) для производной (%) имеем

|л™*)1 = |л- (Й (I)Й (1)...«А (%))

<

II

<сх,а П§)| (9)

г=1

с некоторой константой С\,а > 0. Из ((8)) и ((9)) следует

| Дкфп(х)\"фТ (х)

Е СаБафН(х)

|а|=2к

№ (х) <

<

Е с"сА% п (!)

|а|=2к ¿=1

ж 1 (I )|" (Й «А<1-"> (%))

еА(1-"Ч 111«

<

Е СаСА;аСо"Л-|а|" П еА-"" (I)

<

|а| = 2 к

=1

п

<С (Х,»,к)в-2к" П еА-а*" (!)

=1

где С (X, V, к) = тах (Со|Са|СА,а)" и Са являются биномиальными коэффициен-

|а| =2 к '

тами разложения

Дк(•)= Е Саоа(^).

|а|=2 к

Но в силу (5), очевидно, £1 ^ ^ 1 для всех г = 1, 2,... ,п, так что при X > 2кр

имеем

Ш

=1

А-аг" [ХЛ ^ 1

1 \ю ^ 1

Отсюда следует утверждение леммы, и доказательство завершено.

□

2. Основные результаты и их доказательства

В этом разделе мы докажем отсутствие положительных решений задачи (1) как в ограниченных, так и в неограниченных областях.

Предположим, что П С Rn - ограниченная область. Для функции и, которая определена и дифференцируема почти всюду в П \ {0}, будем предполагать, что существует

lim inf ^R)

R—0+

где

П R := {(xi,x2,... ,хп) е П : 0 < |x^| < R, Уг = 1, 2,...,п} , u(r) := /u(x)dx,

дПи

-(dnR) — мера множества dnR.

Далее определим класс допустимых решений задачи (1) в смысле распределений как

Г(П \ {0}) = {и : П \ {0} ^ R+ : и е ^(П \ {0}), lim infU(R) > 0}.

R—

Будем рассматривать решения задачи (1) и е ^(П \ {0}) в смысле следующего определения.

Определение 1. функция и е ^(П \ {0}) называется положительным (слабым) решением задачи (1), если для любой пробной функции (рд е С°°(П\{0}; К+) выполняется следующее интегральное неравенство:

У |жхр1 |Ж2Г ... КГи4(х)^я(х)ёх < I и(х)Акря(ж)ёж, (10)

П\{0} Г2\{0}

Первым результатом является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть > 1, к е N и предположим, что имеет место неравенство:

"

< -2к.

Тогда задача (1) не имеет положительных решений в классе Г(П \ {0}).

Доказательство. Предположим обратное, т. е. что задача (1) имеет положительное решение и е ^(П \ {0}). Теперь рассмотрим срезающую функцию Фк е С°°(П \ {0};К+), определённую в (4) и (5), с Л > 2кс{ такую, что

I ч' 1—ч'

где q'

| Afc^R(x)|4 VRq (x) еЦос(П \{0}),

?- 1

Для того чтобы оценить интеграл в правой части неравенства (10), применим неравенство Гельдера:

У |®1 Г |Ж2р ... |Ж"Гпич(ж)<^д(ж)ёж < I и(х) |Ак^д(ж)1 ёж <

П\{0} ^\{0}

<

У |Ж1р |Ж2 |а2 . . . |ж„|а™ иЧ(х)фп(х)6х

\П\{0| )

(

| ДкФн(хУ Ч

¡ап\д' — 1

\П\{0|

(фп (Х) |®1 |а1 ГГ ... КГ )

Лх

Отсюда следует

у КГ ГГ . . . Г Г иЧ (х)фп(х)&х <

П\{0|

< у | ДкфR(x)|Ч (Ж)(ГГ ГГ ... ГГ )1 — Ч' ёж. (11)

П\{0|

В силу (4) и (5) размер носителя пробной функции фп зависит от параметра Н> 0. Очевидно, вирр (фп) С и4п \ ип, так что неравенство (11) принимает вид

У ГГ ГГ ... КГ иЧ(х)<рп(х)4х <

П4д\Пд

^ | Д^п^4 >/п—Ч' (х)^1 ГГ... |ж„Г )1—Ч' (12)

^4д\Пд

Используя лемму 1с и = г/, получаем

У гг ГГ... ГГ иЧ(х)фп(х)ёх <

^а0.Я-2кЧ' У (КГ ГГ ... |ж„Г )1—Ч' ¿ж <

^4д\Пд

П4д\Пд

4 п

< а0.Ь.К1-2кЧ J Лх = а0.Ь.К1-2кЧ J Лг f Лх < П4д\Пд п ЭПд

<а0. Ь0В?-2кЧ'+п, (13)

где

7:= &•)

(1 - 4) ,Ь = П Ьг, Ьг

=1

Г1, если о^ > 0,

4а'(1—Ч'), если а* < 0.

г = 1, 2,... ,п и Ь0 := Ь0(Ь, п) > 0.

ч

X

1

9

X

Теперь, сужая область интегрирования в левой части неравенства (13) на из п \ и2п, где фп(х) = 1, в силу (4) и (5) получаем

I"1 |x„Г2 lxn|a™ ид(

У IxiT |x2|"2 ... ^пГи*(x)dx <

У Ixil"1 |x2|"2 ... КГи*(x)<pR(x)dx ^ао.bo.K1-2kq'+n. (14)

< J |xi |"1 |x2|"2 ... ЬпПи" (x)vn(x)dx

^4д\Пд

Очевидно, на П3 r \ П2 r имеем неравенство

У |xip |x2|"2 ... Ы^и"(x)dx ^d.Rß У и"(x)da

3 R 3 R

= d.Rß у dr j ^(x)dx = d.Rß J - (д^) uq(R)dr >

и (x)dx = d.R J - (дПR)

2R ЭПд 2R

> do.Rß+n (inf uq(R)), (15)

с константами

-П \2ai, если аг > 0,

ß := ^ai, d ^|di,di = <

r—f -7 3 г, если аг < 0.

г=1 г=1 ^ '

i = 1, 2,... ,п и d0 := d0(d, п) > 0.

Комбинируя (14) и (15), получаем inf и (R) < R'y-2kq -ß. Это

означает,

d0

что

inf u(R) < ()1R= (ао^о.)' R^. (16)

Переходя к пределу в неравенстве (16) при R ^ 0+ и принимая во внимание, что по условию теоремы q> 1,ß < -2к, получаем

lim inf U(R) = 0.

R—0+

Это приводит к противоречию, что и завершает доказательство теоремы. □

Замечание 1. Условие Y1 п=1 аг < —2к в теореме 1 существенно. Например, при п = 2, к = 1, q > 1 иа1 + а2 > —2 в области

П := {(xi,x2) е R2 : 0 < |жг| < 1,Уг = 1, 2}

существует нетривиальное положительное решение и е ^(П\{0}) задачи (1) вида

U(Xi,X2) = С |xi|CT1 |x21^2 с некоторыми параметрами С, oi и 02 такими, что

С := min |[<7i(<7i — 1)], [02(02 — 1)] ,

— ( ai +2) ^ —a2

v ' ; < oi < 0, -2 <02 < 0,

q— 1 q — 1

при условии, что oi и o2 удовлетворяют неравенствам —oio2 < oi + o2 + 1 < 0.

Действительно, |х1|al |х2|"2 и1(хх,х2) = С1 |х1|al+'Tlq |х2|а2+<721 и Аи(хх ,х2) ^ Са* Ы^11 |х2Г+<Т21 (Ы^1 МК2 + КГ КГ), где

а* := шт {ах (ах - 1), а2 (а2 - 1)} , := - \аг(д - 1) + 2 + т] , ъ = 1, 2, кг := - а(д - 1) + а^ , г = 1, 2.

Если выбрать С1-1 = а* и 0 < |хг| < 1, Уг = 1, 2, что, очевидно, возможно при условиях ах + а2 > -2, то

Са* |ххГ+<Т11 |х2р+<Т29 (|ххр |х2р + |ххр |х2|М2) >

^С1 1ххГ1+а11 1х2Г+а2<1 = |ххГ КГ и1 (хх,х2).

Кроме того,

u(R)

I («1+iH«2+i)Rai+a2+1' если ai= —1 и а2 = -1,

I (<Г1-

| X,

X, если о-! = —1 или а2 = -1.

Отсюда, если выбрать о1 и о2 такие, что —о1о2 < о1 + о2 + 1 < 0, получим

lim inf U(R) > 0

Таким образом, построенная функция является решением задачи (1) при п = 2 и к = 1 в области П := {(ж1,ж2) G R2 : 0 < П < 1, Vi = 1, 2} .

Для П := R" такой подход позволяет доказать отсутствие неотрицательных (а не только строго положительных) нетривиальных решений [3] задачи (2)—(3) при определённых условиях на размерность и другие параметры.

Предположим, что функция и : Rn ^ R+ - допустимое решение задачи (2)—(3) в смысле следующего определения.

Определение 2. Неотрицательная функция и G Lfoc(Rn; R+) такая, что

КГ {Х2Т2 ... КГ uq(x) G L1oC(Rn;R+),

называется слабым решением (2)—(3), если для любой пробной функции Ф r G Cg°(Rn; R+) выполняется интегральное неравенство

У (Х1Г1 КГ2 ... <х«Г uq(x^R(x)dx ^ J и(х)АкФR(x)dx,

R™ R™

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть к G N, п > 2к, 1 < q < П+кк, и предположим также, что имеет место неравенство

п

ß := Е ai > —2к.

i=1

Тогда задача (2) -(3) не имеет неотрицательных нетривиальных решений в смысле определения 2.

Доказательство. Предположим, что неотрицательное нетривиальное решение и задачи (2)—(3) в смысле определения 2 существует. Возьмём пробные функции

Ф д Ол, *2, ...,*„) = ^ ( Х-£)... е С°(Г; [0,1])

с Л > 2кд' и £1, удовлетворяющими (6) и (8). Тогда аналог неравенства (12) приводит к

У (^Г {х2Г . . . (хпи4 (х)ФН(х)ёх .

В2Я

^ |А кФ д(Ж)|ч Ф д—ч (х)((х1)а1 (х2Г ... (Хп)а™)1—ч ёх. (17)

В2Я

Очевидно, что предыдущая лемма справедлива, если заменить ^д пробной функцией (д, которая определена в (6) при К > 1. Таким образом, по лемме с V = д' из неравенства (17) получаем

/ („Г ^Г... .С, (18)

В2Я

где С*— положительная постоянная, не зависящая от и и К,

Й>)

7 := У> (1 - </)

Если устремить К ^ то, то при условиях теоремы 2 правая часть неравенства (18) стремится к нулю. Следовательно,

У (Ж1р (Ж2Г2 ... (Хп)ап ич(ж)Фд(х)ёх = 0,

к™

что возможно только при и = 0 в Кп. Таким образом, мы приходим к противоречию с предположением о нетривиальной неотрицательности и. Утверждение доказано. □

Замечание 2. Для ^П=1 аг < —2к заключение теоремы 2 неверно. Например, нетрудно убедиться, что при п = 3, к =1, д > 1 и а1 + а2 + аз < —2 существует нетривиальное положительное решение задачи (2)—(3) вида

и(х1,х2,х3) = А (Ж1)71 (Ж2)72 (жз)73 ,

где

— ( «1 +2) —«2 . —«3

71 <-;—, 72 .-7, 7з .

д — 1 д — 1 д — 1

А := шт{[71 (71 — 1)] ^ , [72 (72 — 1)] ^ , [73 (7з — 1)] . В частности,

«2 + «з «1 + «з + 2 «1 + «2 +2

71 =-г~, 72 = -;-, 7з =-;-.

д — 1 д — 1 д — 1

Литература

1. Mitidieri E. L., Pohozaev S. I. A Priori Estimates and the Absence of Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations and Inequalities // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — MAIK "Nauka/Interperiodica" (Russia), 2001. — Vol. 234, No 3. — 362 p.

2. Galakhov E. I. On Higher Order Elliptic and Parabolic Inequalities with Singularities on the Boundary // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2010. — Vol. 269.

3. Галахов Е. И. О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных // Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН, Москва. — 2009. — 209 с. [Galahov E. I. On Blow-up Solutions of Nonlinear Singular Partial Differential Equations // Proceedings of Steklov Mathematical Institute of RAS, Moscow, 2009. ]

4. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференсиальных неравенств // Труды МИАН. — 2001. — Т. 232. — С. 223-235. [Laptev G. G. On the Absence of Solutions to a Class of Singular Semilinear Differential Inequalities // Tr. MIAN. — 2001. — Vol. 232. — P. 223-235. ]

UDC 517.945

Nonexistence of Positive Solutions to Semilinear Elliptic Inequalities for Polyharmonic Operator

B.B. Tsegaw

Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions Peoples' Friendship University of Russia Street Mikluho Maklay 6, 117198, Moscow, Russia

In this paper, we study the nonexistence of positive solution for some higher-order semilinear elliptic inequality particularly involving polyharmonic operator: Aku(x) ^ PI™1 n™2 ... n™" uq (x), where k G N, q > 1, x = (xi, x2,.. ., xn) and ai G R, i =1, 2,. .. ,n.

The purpose of this paper is to establish conditions on values of ai, i = 1, 2,... ,n for the nonexistence of positive solution to this problem in a bounded and unbounded domain.

The main tools are a priori estimates and integral inequalities. Using the test function method, we derive first a priori estimates for solutions of the inequality based on integral inequalities and on the weak formulation of the problem with an optimal choice of test functions and then we formulate the nonexistence condition of the solution of the problem. The choice of such functions is determined by the nonlinear characters of the problem and depends on the concept of solutions that we are dealing with.

Key words and phrases: semilinear elliptic inequalities, anisotropic singularities, poly-harmonic operators, apriori estimates and nonexistence of solutions.