CC BY
22
MSC 35J25, 35J60
О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ФУДЖИТЫ В ОБЛАСТИ С ШАРОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
С.В. Пикулин
Вычислительный центр РАН, ул. Вавилова, 40, Москва, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Рассматривается эллиптическое уравнение второго порядка с измеримыми коэффициентами с равномерно эллиптической линейной главной частью и нелинейным младшим членом, зависящим от неизвестной функции по степенному закону. Сформулированы достаточные условия сходимости к нулю решений задачи Дирихле в липшицевой области, содержащей одну шаровую полость, размер которой стремится к нулю. На границе полости предполагается выполнение неоднородного краевого условия, зависящего от параметра произвольным образом. На оставшейся части границы краевое условие полагается однородным. Даны оценки скорости сходимости и показана интегральная сходимость решений к нулю вместе с градиентами.
Ключевые слова: полулинейное эллиптическое уравнение, перфорированная область, сходимость решений, устранение особенностей.
Введение. Работа посвящена изучению свойств решений слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью дивергентного вида. Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (х Є Кга):
А и — а(х) |и|ст-1 и = 0 , а> 1, а(х) > 0 . (1)
Рассматриваются решения задачи Дирихле для уравнения приведенного вида в семействе областей П£, получаемых исключением из ограниченной липшицевой области П шаровой полости переменного радиуса є с фиксированным центром у Є П. На границе полости для каждого значения є ставится неоднородное краевое условие, тогда как на остальной части границы выполнено однородное условие Дирихле.
Поведение решений семейства задач указанного вида при є ^ 0 в случае линейного уравнения (а(х) = 0) существенно зависит от краевых условий, задаваемых на границе шаровой полости. Если решения равномерно ограничены по є на границе полости, то семейство решений стремятся к нулю при є ^ 0 в каждой точке области (за исключением у). Если условие равномерной ограниченности не выполнено, то решения могут стремиться к ненулевой предельной функции — например в случае, когда решения при разных є являются ограничениями на функции Грина задачи Дирихле в П с особенностью в точке у, — либо не стремиться ни к какому пределу.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00923) и программы №3 фундаментальных исследований ОМН РАН.
В нелинейном случае возможно выполнение поточечной сходимости решений к нулю вне зависимости от поведения функций, задающих краевые условия. В работе доказана сходимость решений к нулю при £ ^ 0 при условии, что коэффициент a(x) отделен от нуля в некоторой окрестности полостей при малых £, и значение показателя а достаточно велико. Доказательство основано на применении оценки В.А. Кондратьева и Е.М. Ландиса [1] решения полулинейного уравнения со степенной нелинейностью через расстояние до границы области и на использовании методов теории устранения особенностей для эллиптических уравнений [2-4]. Интегральная сходимость градиентов устанавливается с помощью подстановки подходящей пробной функции в интегральное тождество и последующих оценок с использованием неравенства Юнга.
Результаты настоящей работы аналогичны результатам [5,6] о сходимости решений в перфорированных областях, содержащих шаровые полости, количество которых растет при £ ^ 0 по определенному закону. В заметке [7] анонсированы результаты, описывающие сходимость решений в областях со сферической и цилиндрической перфорацией.
Автор выражает благодарность О.А. Матевосяну за полезные обсуждения.
Основные обозначения:
Q — ограниченная область вК", Q = Q U dQ — замыкание П;
mes X — мера Лебега измеримого множества X С Rn;
B(x0, R) — шар в Rn с центром в х0 радиуса R;
ßn = mes B(0,1) — объем единичного шара в Rn;
W21(n) — пространство Соболева, состоящее из функций класса L2(Q), которые обладают обобщенными частными производными также из Ь2(П), снабженное нормой || ■ ; W1 (П)||,
n
И« ; W(n)|i2 = ||« ; L2(n)||2 + £ «du/Sx, ; L2(«)||2 ; (2)
i=1
Ж1 (П) — пополнение пространства С£°(П) по норме ||-; Ж21(П)|.
Посредством С с нижними индексами обозначаются константы, не зависящие от точки области. Там, где это удобно, используется обозначение
для оператора второго порядка дивергентного вида с измеримыми коэффициентами.
1. Постановка задачи и формулировка результатов. Пусть П С — ограниченная липшицева область, п > 3, у С П — некоторая фиксированная точка. Обозначим через П£ область П с исключенной шаровой полостью малого радиуса є:
йє := П \ В (у, є), 0 < є < dist (у, Ш).
(3)
Рассмотрим задачу Дирихле
S П
д ( . . du
ij=1 U£ U£
дж.
— а(ж) |иє|ст мє = 0
а
0 на дП.
на д£(у,є).
(4)
где а > 1, <£e G W2 (П£) П LTC(Qe), a(x) > 0 — измеримая функция в П, a(x) > a0 = const > 0 в некоторой окрестности точки у, ограниченные измеримые функции aij = aji G L^(Q) для некоторого Л > 1 удовлетворяет условию равномерной эллиптичности
А-1|&|2 < ^ (ж) & 6 < А |&|2, V& G Rn
i,j=1
(5)
в
Определение. Функция п£ Е Ж2 (П£) П Ьте(П£) называется обобщенным решением задачи (4), если для любой функции х Е Сте(П£), равной нулю в окрестности В(у,е), справедливо включение
((п - <^) X Е Ж^П), и для любой функции ф Е С0°(П) выполняется равенство
[ ау (я) 7^— <1х + [ а(х)\ и\а~1иф с1х = 0. (6)
Jn ,• ._-, дХ.7 ,/п
ЬЛ-1
Существование обобщенного решения задачи (4) может быть доказано на основании вариационного принципа [8]. Известно, что обобщенное решение является непрерывной по Гельдеру функцией в точках П£. Если область П липшицева, то решение сохраняет свойство гельдеровости на множестве П£ и дП.
Принцип максимума ( [8,9]). Пусть П С — ограниченная область, и функция м Є Ж2(П) удовлетворяет условиям:
Ьм > 0 в П, и < 0 на дП.
Тогда и < 0 в П.
Принцип сравнения ( [1]). Пусть а1(х) > а2(х) > 0 — ограниченные измеримые функции в П, а > 0, мі, м2 Є Ж2(П) — решения уравнений
Ьщ — а1(х) |м1|ст-1 м1 = 0 в П,
Ьм2 — а2(х) |м2|ст-1 м2 = 0 в П,
и выполняется условие |м1| < м2 на дП. Тогда |м1| < м2 в П.
□ Рассмотрим функцию V := м1 — м2, непрерывную в П. Допустим, г>(жо) > 0 для некоторой точки х0 Є П. Пусть О — компонента связности множества
{x G П : v(x) > 0}, содержащая x0. Тогда u > u2 в D, v < 0 на dD. Покажем, что Lv > 0 в D. В самом деле, для произвольной функции ф G С0°(П), ф > 0, имеем
[' n д f' n
> aij(x)——77—dx = > (—ai(x) г/.? + а2(х) г/.2) V’dx < 0.
Jd j=i dxj dxi Jd ¿=1
По принципу максимума, из этого следует, что v < 0 в D, что противоречит предположению v(xo) > 0. Предположение неверно, следовательно, u1 < u2 в П.
Заменяя в предыдущем рассуждении функцию u1 на (—u1), получим, что —u1 < u2 в П. В
Пусть u£ G W1 (П£) П Ь°(П£) — обобщенное решение задачи Дирихле (4), где n > 3,
а > ----- -<=> а* := (1 — и-1) 1 G (1, п/2) . (7)
n — 2 v '
Теорема 1. Пусть n > 3, выполняется условие (7), числа v > 0 и q: 0 < q < 1 таковы, что выполняется линейное соотношение
(n — 2) а — n
(/?. — 2) q + // = /г — 2 <т =---------.
а — 1
Тогда выполняется следующее свойство сходимости:
sup |u£| = O(£v) при £ ^ 0 ,
Q\B(y,d£)
где d£ ~ d0 £q при £ ^ 0, d0 > 0 — произвольная константа.
Следствие. В условиях теоремы 1 решения u£ сходятся к нулю при £ ^ 0 равномерно на множествах вида Q \ B(y,d) при всяком d > 0 вне зависимости от выбора функций ip£, задающих краевые условия.
Доказательство теоремы 1 содержится в пункте 2.
Теорема 2. Пусть n > 3, ^£ > 0 на dB(y, £), и выполнено условие (7). Зафиксируем некоторое число
и последовательность 6£ ~ £0 £q при £ ^ 0, £0 = const > 0.
Тогда u£ > 0 в Q£, и справедливо следующее соотношение:
J 1 + u
n\B(y,s+Ss)
|Vu£|2 + а(ж) <+1 , , ,
1 1 v ; ^dx ->• 0 при £ -> 0. (8)
Доказательство теоремы 2 содержится в пункте 3.
2. Доказательство теоремы 1. Воспользуемся следующим фактом.
Теорема 3. ( [1]). Пусть Q = В(ж0, Я) — шар в Ега, п > 2, и € ^’21(^) П Ьте (^) -обобщенное решение уравнения
Ьи — а(ж) |и|ст-1 и = 0 в Q, (9)
где а > 1, а (ж) > а0 > 0 в Q. Тогда существует такое число с1 > 0, зависящее только от
2
п, а, X п ао, что и(хо) < с\
□ [Доказательство теоремы 1] Пусть е столь мало, что ¿£ > 2е, шар В (у, 2е) лежит целиком в П, и неравенство а (ж) > а0 > 0 выполнено внутри этого шара. Пусть ж0 € дВ(у, 2е) С П£ — некоторая точка. Из теоремы 3, примененной к функции и£ в шаре В(ж0,е), вытекает справедливость неравенства |и£(ж0)| < с1 е2/(1-ст), откуда
|мг| < С1 е1-17 на дВ(у, 2е). (10)
Согласно [10], существует положительное фундаментальное решение С(ж; у) оператора Ь с особенностью у, причем для некоторого в > 1, зависящего только от п, Л, выполняются оценки
в-1 |ж — у|2-п < С(ж; у) < в |ж — у|2-п . (11)
Рассмотрим следующую функцию:
9е(х) = с.! £¡3 (2е)”-2 С(х] у) . (12)
Из первого неравенства (11) следует, что в (2е)п 2 С(ж; у) > 1 на сфере дВ(у, 2е), поэтому из (10) и (12) вытекает
#£(ж) > |и£| на дВ(у, 2е).
Кроме того, д£ > 0 = и£ на дП. Согласно принципу сравнения, получаем
д£ > |и£| в П \ В(у, 2е). (13)
Применяя второе неравенство (11), получим из (12), (13):
\гф)\ < (с! Р'2 2”-2) ега-2+^ |ж - у|2“га , ^П£\В{у, 2ё). (14)
Применяя (14) при ж € П \ В (у, ^£), найдем
/ ^ (п —2) с—п ~ (п —2) СТ— П /
вир |м£| < (С1 /З2 2 ) е -1 (¿2-'г ~ -----(п-2)д = С
П\Б(у,^£)
при е ^ 0, где С = с1 в2 2П-2 ^2-га. ■
3. Доказательство теоремы 2. При доказательстве используется неравенство Юнга в следующем виде:
1 * а* /4
аЪ < — а Н-----------------------Ъ
а £ £*
(15)
где а, Ь > 0, а > 0, величины £, £* > 1 таковы, что 1/£ + 1/£* = 1.
□ [Доказательство теоремы 2] Неравенство п£ > 0 в П£ при ^£ > 0 на дП£ следует из принципа сравнения. По определению обобщенного решения, Уф € С0ю(П£) выполняется интегральное тождество
р П
/ X]а*-(ж)
</Пс • •_ 1
дп£ дф
£ *,¿=1
дж- дж* ,/п
^ж + / а(ж) п£ ф ^ж = 0 .
(16)
Поскольку С^(П£) плотно в (П£), тождество (16) справедливо и для любых функций
ф € Ж^).
Построим подходящую пробную функцию ф. Для каждого е зафиксируем такую функцию 0£ € Сте(П), что выполняются условия 0 < в£ < 1 в П, |У0£| < 2/$£ в П, и
бЦж) =
1, если ж € П \ В(у,е + $£)
0, если ж € В(у, е) Пусть к € (0,1) — такое число, что
к
- <
п
1
и пусть
Положим
р = р(к) :
а 2а* д
2 (а + к)
а — 1
О а + к
п — 2д---- > 0,
а — 1
(Р ~ 2) (<г + Л)
р=—гт7г—
£, если 0 < £ < 1
(17)
> 2.
П(£) :=т1п{£; £/г} = { , ' . (18)
£ , если £ > 1
Определим значение функции ф € Ж2(П£) в точке ж € П£ следующим равенством:
ф(ж) := 6»£(ж)р п(п£(ж)).
(19)
Подставим построенную функцию ф в тождество (16). Первое слагаемое разобьем на два и оценим их по отдельности:
дп£ дф дж- дж*
р П
/ У^а*-(ж)
*,¿=1
[ ди£ д{и£в^) ( / \
) ац{х) -т:--------=----йж + ) а*Дж)
Л«е<1> *,-=1 дж- дж* Л«£>1> /т=
<9г/.£ <9(г/.£ 6^) дж- дж*
(20)
£
Первое слагаемое в (20) оценим, пользуясь равномерной эллиптичностью оператора Ь:
/ \ ^ і ^ ди,є д(и,є 9?) [ \ - { ^ диє диє
) ац{х) т,--------г----их = у а*Дх) — — в1є Лх +
Л«е<1> Зх, ;{и£<1} ,“1 Зх, £
р п
+ V Яу (х) г/.£ р Вр~1 (іх >
Л«£< И „•
диє д»— 1 д^Є
— Нерві —
ах,- ах,-
{«£ < 1} *,- = 1 дж-
> Л-1/ |Упе|2 ¿ж — рЛ / |Уп£||У0£| 0р-1 ¿ж. (21)
*/ К<1} */ {«£<1}
Для оценки второго слагаемого (21) используем неравенство Юнга (15) при £ = £* = 2, а = рЛ2/6£
рЛ / (|Упе| |У0£|) 0?-1 ¿ж <
*/ {«£<1}
5рА1.„(^|у“'|2+€|т|2)9Г1л= <22)
( в‘ ^и,\2+г^~ т\2) «г1
1 Г р2 Л3 Г
1 ЄР \Чи£\2 <1х + *—— 0Г2|У0е|2^х.
2Л ./{«£<1^ 2 Л«£<1}
Аналогичным образом, оценим второе слагаемое (20). Сначала воспользуемся равномерной эллиптичностью:
дп£ д / л,
[ №%)с1х •/{«£>1} ,,= 1 дХІ дХі
= [ У'' ач(х) к «£ 1 ^ С^;Г+
Л«£>1} ¿,,=1 дх, дх,
+ [ У СЦі(х) рвРє~1 СІХ >
^{«£>1} дХ^ £ дХ,
> ^ [ ІЧи^Іи^-Чісіх-Л •/ {«£>1}
-рЛ / |Ум£||У0£| 0р-1 (23)
•/ {«£>1}
Оценим выражение (23), используя неравенство Юнга (15) при
+ -+*-о п-РХ2и*
’ '
пЛ С-1 (^п£ |У^|) ¿ж <
рЛ
./{«£>1}
рЛ
/{«£>1}
к Г
= 2Л. / {«£>1}
р2 Л3 Г
2Л, , У {«£>1}
хЛ-1 С |Уп£|2
+ ^/ «*+1бГ2|У0е|2<£г. (24)
2к 7{«£>1}
По теореме 1, при достаточно малых е множество {п£ > 1} лежит в сколь угодно малой окрестности точки у. Таким образом, можно считать, что а(ж) > а0, если п£(ж) > 1. Полагая
а + к а + к р2 Л3
г :=------г := ----------, а- := — ,
1 + к а — 1 £ а(ж) к '
оценим выражение (24) с помощью неравенства Юнга:
/ и'“+19Г2^9.Г*<
Л«£>1} (25)
1 / / ч ^ I I- 19 (7 + ^
<-/ а(х) г/:£ 0^ (1х + С\ \VeX-dx
2 ^ {«£>1} ./{«£>1}
, . , . 1+Ь
р2 Л3 а — 1 /р2 Л3 1 + /гст-1 1 2/г, сг + Н \2hao сг + Н;
Объединяя соотношения (20)-(25), получим следующую оценку:
ач(х) > ~гг [ | У г/:£|2 6*£ ¿х—
п ' о
I У '] ач(Х) о о и,и-‘ — .-.Л / I у ^°£ *,-= 1
дж- дж* 2Л ,/{«£<1}
[ в1-2\Уве\2йх + ^~ [ ¡Уи^и^в^х- (26)
2 ,/{«£<1} 2^ {«£>1}
\ [ а(х) иа£+1г в1’ с1х - С\ [ \У0£\2^ с1х.
2 О {«£>1} */{«£>!}
С учетом оценки (26), из тождества (16) получим
дп£ дф
[ / ч дп£ дф Г а
0= У ац(х) ————ах + а(х) иР Ц’ах >
./о дж- дж* УП£
р п
> V ац(х) тг~^г- + / а(х) г/.£+1 0? (¿г + I а(х)и£+кв£йх> ^£ дж- дж* 7{«£<1} 7{«£>1}
дп£ дф
> f а(х) ua£+l в£ dx + f а(х) ua£+h в£ dx + — f | Vue|2 в£ dx— J{«£<1} JК>1} 2A J{«£<1}
2 ./{«£<1} 2A Jк>1}
ei~2\V6£\2 dx + — | Vu,12 uh£-1вр dx-
- [ a(x) ua£+h 9P dx - Ci f | V0e12^dx.
2J {«£>1} ./{«£>1}
В полученном неравенстве приведем подобные члены и перенесем в левую часть члены, содержащие п£.
^ [ 0r2|V0,|2dx + C1 [ \ve£\2^dx> (27)
2 j {«£<1} J {«£>1}
> f a(x) ua£+1 9£ dx + - f a(x) ua£+h 9£ dx +
J {«£<1} 2 J {«£>1}
+èr [ I Vm, 120 pd x + ^- [ I Vu£ 12 u)~1 вр dx >
2A ./{«£<1} 2^ {«£>1}
1 f n£+1 h f |VnJ2
- 2 Xa(x)dx + T\JnTT^e=dx -
> С2 f a(T)Mf ‘ + 'Vm'|2A, (28)
J 1 + U£
П£\Б(у,£ + Й£)
где C2 = min (h/A ; 1} /2. Для доказательства сходимости выражения в правой части (28) к нулю достаточно показать, что слагаемые в (27) стремятся к нулю при е ^ 0. Тем самым, будет доказано (8). Оценим первое слагаемое в (27).
[ вр~2\Ve£\2 dx < [ \Vd£\2 dx< mes B(y, £ + SE) <
./{«£<1} Jn \ÔsJ
2
где n — 2q > 0. Аналогичным образом оценим второе слагаемое в (27)
< ^n(‘2s)n = О (еп 2q) при s у 0 , (29)
[ \Vв£\2^dx< [ \Vв£\2^dx< " 1 тев В(у,е + 5е) <
./{«£>1} Jn \^£/
гч СТ + Ь.
( 2 \ --1
< ( — ) /лп (2е),г = о (£и2) при £ —>• 0 , (30)
где ^2 = — 2д (а + к)/(а — 1) + п > 0 в силу (17). Справедливость утверждения теоремы следует из оценок (27)-(30). ■
Литература
1. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сборник. - 1988. - 135(177);3. - С.346-360.
2. Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations // Arch. Rat. Mech. and Anal. - 1980. - 75;1. - P.1-6.
3. Vasquez J.L., Veron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Anal. - 1984. - 269. - P.119-135.
4. Покровский А. В. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. - 2007. - 62;3(375). - С.215-216.
5. Матевосян О.А., Пикулин С.В. Об усреднении слабонелинейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе // Матем. заметки. - 2000. - 68;3. - С.390-398.
6. Матевосян О.А., Пикулин С.В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях // Матем. сборник. - 2002. - 193;3. - С.101-114.
7. Pikulin S.V. Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary // Russian J. Math. Phys. - 2012. - 19;3. - P.401-404.
8. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / М.: Наука, 1973.
9. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка / М.: Наука, 1989.
10. Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). - 1963. - 17;№1-2. - P.43-77.
ON CONVERGENCE OF SOLUTIONS OF A STEADY-STATE EQUATION OF FUJITA TYPE IN A DOMAIN WITH A SPHERICAL CAVITY
S.V. Pikulin
CC RAS,
Vavilova St., 40, Moscow, 119333, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. The elliptic equation of second order with measurable coefficients having the uniformly elliptic principal part and the nonlinear lowest term with arbitrary power function is studied. Sufficient conditions of the convergence to zero of the Dirichlet problem in Lipschitz’ domain containing spherical cavity with size tending to zero are proved. It is supposed that the inhomogeneous boundary condition depending on parameter is fulfilled on the boundary part of cavity. At the other part, boundary conditions are assumed to be homogeneous. Some estimates of the convergence rate are given and it is shown the integral convergence to zero of solutions with their gradients.
Key words: semilinear elliptic equation, perforated domain, convergence of solutions, removing singularities .
