Ускорение заряженных частиц в кольцевом объемном резонаторе с магнитным способом управления траекторией Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 87 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА Ш7

О ВЛИЯНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ НА РАДИАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ УСКОРИТЕЛЯХ НА БОЛЬШИЕ ЭНЕРГИИ

А. Н. ДИДЕНКО (Представлено проф. д-р. физ.-мат. наук А. А, Воробьевым)

1. Вопрос о движении электрона с учетом квантового характера излучения имеет большое теоретическое и практическое значение и поэтому широко обсуждается в литературе. С теоретической точки зрения он интересен в качестве примера квантово-механического возбуждения макроскопических колебаний; с практической—-этот вопрос важен потому, что позволяет конструировать ускорительные установки с учетом новых эффектов, которые должны проявиться уже при энергиях, доступных современной технике, и оценить верхний предел энергий, достижимых на обычных циклических ускорителях.

Влияние квантового характера излучения на траекторию движения электрона впервые было предсказано и исследовано в работах А. А. Соколова и И. М. Тернова [1, 2]. Ими было показано, что при движении электрона в аксиально-симметричном постоянном магнитном поле флуктуации радиуса, связанные с квантовым характером излучения, приводят к возбуждению быстро возрастающих со временем радиальных и азимутальных бетатронных колебаний. При движении электрона в синхротроне эти же квантовые флуктуации излучения должны влиять и на так называемь^ радиально-фазовые колебания. В работах М. Сандса [3], А. А. Соколова, И. М. Тернова и Г. М. Страховского [4], А. Н. Матвеева [5], А. А. Коломенского [6] получены формулы, определяющие величину среднего квадратичного отклонения фазы для обычных ускорителей и ускорителей с жесткой фокусировкой, и произведены конкретные расчеты. Оказалось, что колебания фазы, индуцированные излучением, довольно значительны. Существование этих колебаний приводит к тому, что равновесная фаза не может быть выбрана меньшей некоторого минимального значения, если мы хотим избежать дополнительных потерь электронов, обусловленных колебаниями фазы. Так, проводя в [5] вычисления среднего квадратичного отклонения фазы для машины с вполне определенными параметрам!: = \Бев3 3,5 м) и полагая, что эта величина достигает своего максимального значения в конце цикла ускорения, автор показал, что для ускорителей со слабой фокусировкой минимальное значение фазы не должен; быть меньше 0,2тг.

В настоящей работе исследуется характер индуцированных излучением радиально-фазовых колебаний в ускорителях со слабой фокусировкой

на протяжении всего цикла ускорения в зависимости от различных режимов работы и обсуждается вопрос о максимальных энергиях, достижимых на таких машинах.

2. Уравнение радиально-фазовых колебаний с учетом излучения хорошо известно и может быть получено различными методами [3, 4, 5, 6]. Проще всего получить его из уравнения баланса энергии:

А (Е_Е )=^1 eVo(cos cp-cos9s)-(i-Is)\ , (D

at 2тс \ I

: :e E— энергия частицы, V0—амплитуда высокочастотного напряжения на

е2 ( Е Y

щели, 'f—фаза прохождения электроном ускоряющей щели, 1=— (-

3 R \тс2 J

- энергия, излучаемая электроном за один оборот. Индексом s обозначены значения этих же величин для равновесной частицы. В общем случае V0 и сру являются функциями времени. Обозначая через L длину всех прямолинейных участков в синхротроне, а через ф = ^ — ^ — отклонение фазы от равновесного значения и считая, что ускорение производится на fc-й гармонике высокочастотного поля, получаем равенство:

И

Е к «>„

где

i . L с

у. = 1 —4-------: & = (&L = - ,

^ 2 kRs ' ° /?

(подставляя (2) в (1), получаем уравнение для фазовых колебаний:

ф + -f Q4 = О, (3

где

Е . (3-4л) W\m 0tg<?s {E+W)

Е (1 — п) Е ) X (1-я) Е

Е •— энергия, приобретаемая электроном в единицу времени; IV— мощность излучения.

Решение этого уравнения

" I- />'

' ° соз(а^+Ф0) (4)

характеризует изменение фазы со временем, вызванное неквантовым характером излучения. Квантовый характер излучения может быть учтен или добавлением в правую часть соответствующих флуктуационных членов и решением получившегося неоднородного уравнения |7] или суммированием по всем частотам величин, характеризующих изменение фазы, вызванное отдельным актом излучения, умноженных на вероятности излучения с последующим интегрированием получившегося выражения по времени. В обоях случаях для среднего квадратичного отклонения получаем выражение:

и) = -55~ -- **** [ *е "А М=

48^3 (1—пЖт] 0 \тс2 /

, А

е----с

оа

k 2т: етс* rt i't'SiLIQ JLcir . ................с (\~п) Е I g Jo (1—п) Е X

.3 (1—n)R*m Eft) J о

481/3 /-3 (1—n)R*m E(t)

_JLV ctSb(t') dt>

mc2 / (Ё+W)

Если в (5) пренебречь Ё по сравнению с Ш и поставить конкретное значение для IV, то получим формулу для совпадающую с формулой, полученной в [5].

Формула (5) позволяет исследовать, каким образом меняется среднее квадратичное отклонение фазы со временем.

Рассмотрим важный для практики случай, когда энергия частицы увеличивается по линейному закону, т. е. Е~Е0 где Е0— энергия

частиц в конце ускорения, Г — время ускорения частицы. Тогда:

Л

, 2>\ 55 к ^ С1 тс* * Г/ - ~

•р(;)= • • ----------е * I е / - - --- ей , (ь)

481/3 г" {\-п)&т Е(Ъ) ) 0 {Е+УГ)

__ 2 (3-4/1) г0сТ ( Е0 \3 е2

где

Ц);

3 (1 -п) а/?2 \тс^1 тс:

3. Если и — сог^, то

1г

к

а г

64 л (з_ 4я) щ) \ )

Растягивая пределы интегрирования до бесконечности, из (7) получаем формулу Сандса. Исследуем характер этой функции. Дифференцируя по ; и приравнивая получившееся выражение нулю, получаем уравнение:

1 — е 4 =0, (8)

из которого находим экстремальное значение для с. Не трудно убедиться, что это будет максимум функции. Решая уравнение (8). получаем:

Для машины с параметрами, приведенными в статье Сандса (3| (Е— 1,5 Бее; ¡1 = 375 см; п -0,6; X == 1,25), получаем: о = 242, 88; Ьтах= 0,447; Етах = 670 Мее. Отсюда следует, что если бы величина равновесной фазы оставалась постоянной в течение всего цикла ускорения, то среднее квадратичное отклонение было бы наибольшим не в конце ускорения, а при £ — 0,447.

Поэтому минимальное значение равновесной фазы надо было бы определить не по величине среднего квадратичного отклонения в конце ускорения, как это делалось авторами вышеперечисленных статей [3, 5|, а по его значению ; —0,447. Правда, значение среднего квадратичного отклонения в максимуме мало отличается от его значения в конце ускорения для машины с указанными в [3] параметрами

¥тах - 2,05фКонеч\ 1/Утах = 1,43 Уг^еч ,

но так как к этому времени не успеют еще затухнуть фазовые колебания, не связанные с квантовым характером излучения, то обеспечить отсутствие потерь можно было бы только тогда, когда минимальное значение фазы в 2 — 3 раза превосходит 0,27:. Отметим, что на существование максимума функции было впервые указано А. А. Коломенским [7].

37 А

4. Если не делать предположений относительно малости Е и постоянства равновесной фазы, то длГя ускорителей с увеличивающейся по линейному закону энергией

av /*х 0.x'

'!.■) П7. ах' ~ \

Ъче ■ < Л w'

г

2*12

е 4 > м, (Ю)

J; Vl-^Х»

где

Kl-lt h

--сТ

, 55 k 2тс / /tic2

b =

1921/3 X3 (1-л)/?4от\ /яс2 / ДО

а=г /3— An) ГосТ^ /_£0 у ? ^ 2_ е^с /Е0

3 V (J —л)" Х/?2 1 J з mc>

__ Е 2uXo 2 тсХо jx0

' " г" 1 * " «>0evS) ' *0ev0{o)( 1 + рЕ) " (1 + £0 2тсХ

x = 7j-r v;

В общем случае интегралы, входящие в (10), не вычисляются. Однако, воспользовавшись тем, что величина *12 значительно меньше единицы, и считая функцию V0(l) известной в каждый момент времени и ограни-

1 ,

миваясь в разложении - ------^ двумя первыми членами (т. е. считаем,

у 1-Ji2X12

что ctgcpv = cos срЛ— cos3<e9, что верно для 90 >-<ps >60r и дает ошибку

2

порядка 10% с занижением при получаем:

«и»

где

55/3 k 2- ________he_I Е0

96 /. (3—4 л) е У0(о)Я \ тс2

, / . . 16v . 96 12т,

Д ---1_ -------;

а а- а

а сг

Подставляя конкретные значения входящих в формулу (11) величин (а-242,88; = 144,72; = 0,00625; а = 4,444; Р=20; к~4) и проводя численный расчет, получаем значения для среднего квадратичного и корня квадратного из среднего квадратичного отклонений .¿¿ф и

(рис. I и 2).

Из рис. 2 видно, что начиная со времени £ = 0,2, растет по

линейному закону, достигая значения Уу* (£) == 0,493 в конце ускорения.

Для практики важна не сама величина а ее амплитудное значе

ние определяющее условия, при которых электроны не выпадают и

___получим выра

V 2

режима ускорения. Учтя, что <Ь02 — 2-Ь2 (£), а

хш I п

Г

0& 0£25 02 0,175 Ф 1 0125 0,1

0,05 0.021

х /

л

/

/

)

/

/

/

0,1 0,2 0,3 ОА 0,5 0,7 С\ё С>9 1,0

Рис. 1

05

ОА I

0,35

ОЛ

025

4*

т а/

0.05

/

/

/

/

4' 02 аз в* 05 ДО 4? ДО 0

Рис. 2

жение для минимального значения фазы: 19,9°. Если вйбрать грат-

ность к — 6, то при тех же условиях — 24°.

С колебаниями фазы, описываемыми [5] равенством, связаны колебания среднего радиуса, характеризуемые средним квадратичным отклонением. Из формул (2) и (4) следует, что

г } 3 k R (1 — п) [те

\тс-/ \ /

Проводя непосредственный расчет, получаем, что в конце ускорения

У(Аг)г ~ 0,7 см. Отсюда видно, что колебания среднего радиуса малы и не накладывают значительных ограничений на параметры машины.

5. Из рассмотренного выше видно, что вид функции ф2 (£) существенно зависит от того, является ли постоянной или меняется во времени равно-

1 аУ_

зесная фаза ср?. Это видно из простых соображений: фа(£) — -.ctgcps..^ 4 .

Щ)

Эта функция имеет максимум, если const и не имеет его, если с ростом ictg<?s растет быстрее, чем £ (т. е. cig<?s~%n; Поскольку на драктике обычно не является постоянной величиной, то все вычисления, проведенные при постоянном ctsrcp?, вряд ли имеют большое значение. Кроме того, даже если бы такой случай и можно было бы осуществить, то он оказался бы крайне нежелательным, так как в этом случае необходимо производить расчет для времени 0,477 и учитывать, что обычные фазовые колебания к этому времени еще не успеют затухнуть и поэтому их необходимо учитывать наряду с фазовыми колебаниями, индуцированными квантовым характером излучения.

Заметим еще, что если произвести вычисления для машины с такими же параметрами, но в которой частицы достигают максимальных энергий за время, которое примерно на порядок меньше вышеприведенного (7=0,03), то вычисления приводят к следующему: квантовые флуктуации начинают оказывать влияние при более высоких энергиях (cz=0,4) и затем растет тоже по линейному закону, достигая в конце ускорения значения, очень мало отличающегося от приведенного выше.

Наконец, можно определить, при каких энергиях на выходе из ускорителя Е0 фазовые колебания, обусловленные квантовым характером излучения, будут настолько велики, что необходимо для избежания потерь

частиц выбирать равновесную фазу вблизи значения — (т. е., когда ча-

2

сгица ничего не получает от высокочастотной системы и синхротрон должен был бы перестать ускорять частицы). Вычисления приводят к следующему выражению для энергии:

Е„ = тс* , / ^ - J1 (3 -4п) , (, 3)

2~

551/ 3 h к Н гп

с

У0( 1) — амплитуда высокочастотного напряжения в конце ускорения;

И — напряженность магнитного поля; г0 = ----—радиус электрона. Для

тс2

разумных значений величин, входящих в (13), получаем Е0~ 10 Бея, т. е. получение энергий выше 10 Бее в обычных ускорителях со слабой фокусировкой невозможно из-за быстрого роста фазовых колебаний, вызванных квантовым характером излучения.

ТИТЕРАТУРА

1. Соколов А. А., Терпок И. M. ДАН СССР, 92, 537 <1953); ЖЭТФ, 25. L¿9\ 1953 2 Со кол он А. А., Тернов И. М. ДАН СССР, 97, 823 (1954); ЖЭТФ, 28, 432, 1Q5Í i. М Sands, Phys. Ре v., 97 , 470, 1955.

4. Соколов А. А., Тернов И. M., Страховский Г. М. ЖЭТФ, 31, 439. 1У50.

5. Матвеев А. Н., ДАН СССР, 108, № 3, 1956. (х Коломенский А. А. ЖЭТФ, 30, 207, 1956.

/. Коломенский Л. А. Доклад на Женевской конференции, 1956.