К проектированию электронных синхротронов на средние энергии с предварительным индукционным ускорением Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 87 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 195? г.

К ВОПРОСУ О НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ РАДИАЛЬНО-ФАЗОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

А. Н. ДИДЕНКО (Представлено проф. д-р. физ.-мат. наук А. А. Воробьевым,*

1. Влияние квантового характера излучения на радиально-фазовые колебания в предположении о том, что фаза ср мало отличается от его равновесного значения ys (линейная теория), исследовано очень тщательно. Было показано, что существование индуцированных излучением колебаний накладывает существенные ограничения на величину равновесной фазы [1, 2]. Однако линейная теория не может быть применима, если нас интересует вопрос о характере колебаний, не являющихся малыми, или если определяются границы области устойчивости. Поэтому представляет интерес решение нелинейного уравнения фазовых колебаний с учетом излучения. Этот вопрос впервые был рассмотрен А. Н. Матвеевым.

В настоящей работе исследуется характер затухания фазовых колебаний в электронных ускорителях на большие энергии без предположения об их малости; рассматривается вопрос о влиянии квантового характера излучения на радиально-фазовые колебания в нелинейной теории и проводится сравнение результатов линейной и нелинейной теорий методом фазовой плоскости; делается несколько рекомендаций относительно выбора некоторых параметров машин.

2. Если не учитывать квантового характера излучения, т. е. рассматривать излучение как непрерывный процесс потери энергии, то уравне ние фазовых колебаний имеет следующий вид:

Ъ V ф (cos __ COS?) — 0, (1 í

где 9 — фаза ускоряющего поля па щели в момент прохождения ^еоез нее электрона;

> = О-4;*) Ws в =_1__к J^

(1 —п) Es 9 (1 — п) X2 Es cos <ts

Если ввести безразмерную величину С = ft и считать, что за один период фазовых колебаний величина exp j--í--—1—I j не изменяется и яре*

4 I 2 / i

небречь малыми членами, как это делается в [3^, то для уравнения сепаратрисы получим выражение:

= 2 {sin <р -j- sin — (-f -j- vs) cos ®v ¡ . (2í

Из видно, что по внешнему виду уравнение сепаратрисы не отличается от vero, которое получалось без учета излучения, т. е, излучение не

влияет на форму сепаратрисы с точностью до членов порядка---кото-

/

рым и пренебрегали во всех вычислениях. Учет отброшенных членов в в уравнении для сепаратрисы приводит к тому, что ее размеры немного уменьшатся, однако это уменьшение будет настолько незначительным

(в смлу-^ 1), что его в дальнейшем не будем учитывать.

J

¡niн (2) согласно существующей связи между скоростью изменения фазы и изменением радиуса равновесной орбиты можно определить допустимый разброс по радиусу для частиц, которые еще не выпадают из режима ускорения:

S.R _ V- f | " ■ -..... j

. . . - . 2 ¡sin ® -J-sinsv — (Ъ -f- es.) cos , (3)

И £ } y " " " )

. ъсли теперь учесть, что величины / и ехр I — 4 - ч медлен-

I 2/1

но меняются со временем, то по известной теореме об адиабатическом инварианте можно получить выражение, характеризующее затухание фа-зовыт колебаний. В нашем случае око запишется так:

Sin if sin -ss

{'i -f" ?s ) Cos 'fs d?

const

7F

(4)

Изображение сепаратрис на фазовой плоскости (рис. 1) приводит к заключению что они очень сильно похожи на части лемнискаты. Поэтом\г

Рис. 1

уравнение сепаратрисы может быть с неоольшими погрешностями апрок-симировано выражением:

= (?! + ?&■)■-сое 2 0А. , (5)

где — угол, образованный касательной к сепаратрисе в точке ? =— 3&0

с осью ср. Заметим, что 65 изменяется с изменением , хотя это измене ние и незначительно.

Учитывая (5), получаем:

/ I V) • П Л const /п,

(<Pl -]- ?s) Sln 2 = --С6'

Е

или

г - у т/

(?i+ ?*) = const41/ \ «? / <7)

У £ V0(i)sm228s

Из (7) видно, что для вполне определенного значения равновесной фазы в выражении, характеризующем затухание колебаний, наряду со старым,

хорошо изученным сомножителем j^/*, учитывающим слабое затухание фазовых колебаний, появляется сомножитель exp j--— ^ j , который приводит к сжатию пучка ускоряемых частиц в сгусток очень малой

протяженности за время порядка . Поэтому в дальнейшем будем

7

считать, что для электронных ускорителей на большие энергии размеры пучка определяются только внешними факторами и квантовой природой излучения, а не его первоначальной протяженностью. Отметим, что пока излучение рассматриваем как непрерывный процесс потери энергии,

4. Средний квадратичный разброс по энергиям за счет квантового характера излучения можно получить, если величины, характеризующие изменение энергии за какой-то акт излучения, умноженные на соответствующие вероятности излучения и экспоненциальные множители, просуммируем по всем актам излучения и по времени:

оо

о

где —энергия излученного кванта, соответствующая V — номеру гармоники. Член 1/2 учитывает тот факт, что фаза излучения—случайная величина.

Подставляя значения входящих в эту формулу величии и производя интегрирование, получаем:

У_ 55}/ЗГ (9)

96 (3 — 4п) тс2 \ тс2

Из хорошо известных соотношений, связывающих разброс по энергиям с разбросом по радиусу и скорости изменения фазы, следует, что среднеквадратичному разбросу по энергиям, определяемому (9), соответствуют определенные среднеквадратичные разбросы по скорости изменения фазы

-?Г= 55КТ A _J--I JUL1) cos * (10)

f"e 64 X (3 — 4п) е* \ И I rs v ;

и радиусу

Д7Г\2 _ f

Сравнивая (II) с (3), видим, что частицы не выпадают из режима ускорения, если

9 " ^рлгы тал.

В практике считается, что пучок не будет потерян, если допустимый раз-орос по радиусу в 2—3 раза превосходит суммарный разброс, вызванный различными причинами. Поэтому неравенство можно записать и так:

•-Г-2

^кв max '

(12)

гд* ts. — коэффициент запаса.

Подставляя в (12) конкретное выражение для и уй тах, получа-

ем выражение для энергии, при которой начинается сильное уменьшение количества ускоряемых частиц за счет их выпадения из режима ускорения:

3 Г 2 (sin ©ч. — os eos os)

/ ......."а4 " "

Ещпх! = тс- 1/ -- • -----г- ------.....Т~-" ~х-------. (Щ

55 |/_3jr k 1 he е-___\

48~ /■ (3 4л) R eVü{t)

Функция F(ys) = sin — f¿s cos очень быстро растет с ростом . Поэтому наиболее сильным фактором, влияющим на увеличение ЕпРед , является выбор большого значения равновесной фазы в конце ускорения. Кроме того, из (13) видно, что желательным является увеличение радиуса равновесной орбиты, увеличение амплитуды высокочастотного напряжения и уменьшение кратности.

5. Если подобные вычислении проводить по линейной теории, то для ф'2 и Enpeó. получим следующие выражения:

(14,

Е

п/'с а

2 <psa sin <ps 48 I R а2 ' 55/ 3 ~ ' k 'he

*V0(t), (15)

Et

up i* it. .гни ° ; £ Sin 9vS>

EnpM. нелии \ (sin --<ps COS cps)

(16)

Из (lb) видно, что линейная теория дает слишком завышенные значения

для Епре().

Заметим, что значения Ellpe(,t вычисленные но линейной и нелинейной теориям, не совпадают даже при малых значениях <?s. Это является следствием того, что, пользуясь таким приемом, как обрывание кривой ф' = <р' (ср) для линейного уравнения в точке 9 = — 9S, мы получаем выражение для определения области устойчивости, которое не совпадает с соответствующим выражением для нелинейного уравнения ни при каких значениях равновесной фазы.

Все это можно изобразить в фазовой плоскости. На рис. 1 изображены сепаратрисы для различных значений <ps, вычисленные по нелинейной теории, и сепаратриса для 9S = 60°, вычисленная по линейной теории (кривая I). Прямая = const характеризует уровень шумов, обусловленных квантовой природой излучения в конце ускорения для машины с параметрами, приведенными в статье Сандса [1].

3&2

Из рис. 1 и из формул (13) и (15) следует, что при а ~2—3 потеря частиц начнется при энергиях порядка 1 Bev и что нелинейная теория накладывает более жесткие требования на выбор равновесной фазы в ^онце ускорения.

Анализ вышеприведенных формул позволяет выбрать параметры таким образом, чтобы потери частиц в конце ускорения были минимальными, хотя свести их к нулю, по-видимому, не удастся.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. Sands, Phys. Rev. 97, 470 (1955).

_. Матвеев А. Н. ДАН СССР, том 108. вып. 3. 1956,