Уравнение собственных частот и добротность цилиндрического резонатора с двумя независимыми элементами настройки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.385.69

УРАВНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ДОБРОТНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НАСТРОЙКИ

ЧУМАЧЕНКО С.В.

Решена граничная электродинамическая задача для резонатора с двумя настроечными элементами. Получено дисперсионное уравнение относительно собственных частот. Приведена формула для расчета добротности рассматриваемого резонатора.

Обьемные электромагнитные резонаторы применяются в технике сверхвысоких частот и в ускорителях заряженных частиц [1—3]. В связи с этим граничные электродинамические задачи для резонаторов остаются актуальными.

Рассмотрим задачу об отыскании собственых частот колебаний электрического типа в цилиндрическом резонаторе с двумя независимыми элементами настройки (рисунок).

IIL

II

z ®

JU . Q± ,t\ 1 li I Al

l

Компоненты электромагнитного поля определяются по формулам

уює

( д 2 )

k2 + — dz2 j

(m)(.z), j = V-T ; (1) M(r. z ) = _snW((,z); (2)

E,m)( z) = _L *

r v / V™ Я-A,

jroe drdz

m = I.II.III . (3)

Потенциальные функции n( m) (r. z) являются решениями скалярного однородного уравнения Гельмгольца, и для трех областей резонатора определяются следующим образом:

n(m)(r. z)

Z AtZ 0 (kIrirjcos(kIziz ) (I).

i=0

< Z B,Z00 (krIIr)cos(k^1 (z _ gi)), (I11

i=0

Z CiZ 0n (kr,IIr)cos(k^IIz). (III).

i=0

(4)

где k — собственные числа;

ki =-. kII=n. kII= n . ^

li g ri

zi i > i

k 2

2

Частичные области резонатора определяются интервалами, в которых изменяются координаты:

(I) : 0 < z < l. d < r < b.

(II) : gj < z < l_ Д1. a < r < d.

(III) : 0 < z < g. aj < r < d.

и могут заполняться материалами с различными диэлектрическими константами є = є0(є' _ js").

На границе раздела частичных областей электрическое и магнитное поля должны быть непрерывными, а касательные составляющие вектора электрического поля должны обращаться в нуль на идеально проводящих стенках резонатора, т.е. необходимо выполнение следующих граничных условий:

E (i) = •

^z

Egl1). gj < z <(l _ Ді)

0. g < z < gi. (gi + li)< z < l.

E(I11). 0 < z < g.

H

(I)

Hф11). gi < z <(l _ Д l). Hф111). 0 < z < g.

(5)

(6)

Определив составляющие Ez и Hф по формулам

(1) - (3) и подчинив их граничным условиям (5) -(6), получим систему функциональных уравнений, из которой следует бесконечная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ai, условием существования и единственности решения которой является обращение в нуль ее определителя. Равный нулю определитель СЛАУ представляет собой искомое уравнение собственных частот:

det

xlz

I (I)

Z 0і

(xj )

5 P (i + 5 j0) 2 xII7i ( I

■I(xP )

,_SI N2 i2 1. n)i2 g. n) _ 2 / \ * Є2 n=0 g + 5n0)li

_ 2 Z h(j. n)ig.n).

II

III

Z 11 Z 0

(xn1)

'Iі ()

III

Z 0

()

є3 n=0 (i + 5n0)g n Zi11 (xi11 )

>= 0.

(7)

где 5гу —символ Кронекера,

6

РИ, 1998, № 2

xj = kjd, xj = kjd, xj1 = kj1 d,

g

11 (j, i) = J cos (kzjz) cos (kjIzjdz

z=0 l-A l

12 .

=S1

We = ■

nAi

l N1

4є0ю0 i=o

— ZAl2 (k + 5io)

12

rl >

+k

12

r2

— I - x, п

12

!( Z„'2 |x/) + Z/2 |x/)) z/2 (к)-Zo' (xj )z 2 k

, N2

lri: b/2 (k+5i o)2:

,II 2

Z S 2 k) + Z,112 (xf ))-k2

(j,i)= J cos(kijz) coskj (z - g,)dz,

z=gl

z s kkIjir)=Js kkIjir)Ns (kjib)- js (kjb)N s(kinr),

Z j (kjr) = Js(kjjr)Ns(kja) -Js(kja)Ns(kjr),

ZSIj(kjjIr) = Js(kjjIr)Ns(kjjIai) - Js(kjjIai)ns(kjjIr), i,j = 0,1,...,N,; s = 0/

Пределы суммирования N,, N2, N 3 определяют точность вычислений. Следует заметить, что при

kZ < 0 имеет место kr = - jkr = -j\jkZ - k2 и функции Zs представляются модифицированными функциями Бесселя и Неймана:

Zi (kZr) =- П exp(- zW2)1 n (krIr )K 0 (krIb)-

-(-l)nI0(krIb)K0(kr1 r) ,

Z n (kj r) = -“exp(- Znn/2)) n (klIIr)K 0 (krna)-

-(-l)nI 0 (fa) 0 (klnr)],

Z П1(k11 r) = - П exp(- ZnV 2)) n (k’iIIIr)K 0 (k’r 11 a1 )-

-(- l)nI0 (kr1 11 a,)k0(k/^r)], n = 0,1,2.

Поскольку распределение электромагнитного поля известно, добротность резонатора может быть рассчитана по формуле

Q =®0W/Pv,

где ю 0 — резонансная частота; W — сумма электрической и магнитной энергий W = We + Wm ; PV —

потери собственных колебаний на частоте ю0 .

Согласно [4], электрическая и магнитная энергии вычисляются следующим образом:

+k

II2

xI2 (Zf2 (xf)-Z0 (xf )Z?(xf ))-(!

N3

+4 ZCl2((1 + 5i0)k,

III 2

є 3 i=0

+ k.

Ill 2

Z Г ZxlIjI) + Zf2 (.xf) xfI2 ( Z Г( xfI)-Z 0"I(xIIi)z 2 i (xfj)

(8)

W = m 4

2'2

— I - x

П

|lf a;2 (1+5ю)

Z12(xI)-Z07(xI)z2 (xI)

n2

+l1 Z 4 k + 5i0 k )

i=0

II2

III2

Zf2 (xf)-Z " (xf )Z22I(xf))-(П

N3

+g Z Ci2 (1 + 510 )>

i=0

Zf2 (xf)-Zf( xf)Zf (xf)

(9)

В формулах (8)—(9) коэффициент Am (m = 0,1,2,..., N1) — произвольный нормирующий множитель; Al, B/, Ci — пронормированные коэффициенты Ai, Д-, C соответственно:

N1

Bj =

Z AixiZ 1 (x1 )i2 Z1, j)

i=0________________

I1+5 j0 )^k pz 1i(.

,11

j = 0,1,2,..., N 2.

C’ =

j

Z a/x/Z1 (x1 )i1(i, j k

i=0____________'________

k . Я Illryllll IIl\

k+5 jflj2 xj z 1 ^j j

j = 0,1,2,...,N3 .

e 2 i=0

Потери в резонаторе состоят из суммы диэлектрических потерь Pvd и потерь на нагревание Pvs:

PV = Pvd + Pvs ,

где Pvd и Pvs определяются из [4] в виде (38)—(42).

Таким образом, для рассматриваемого резонатора получено уравнение собственных частот и приведена формула для определения добротности. Эти

2

+

>

2

+

+

2

+

X

2

2

+

+

РИ, 1998, № 2

7

точные аналитические представления дают возможность произвести необходимые расчеты на ЭВМ, что является предметом дальнейшего исследования.

Литература: 1. Лупандин О.С., Ковпак Н.Е., Баранов Л.Н., Хижняк Н.А. Исследование электродинамических свойств резонаторов с патрубками. Харьков: ХФТИ. Препринт 70/34. 1970. 15с. 2. Вайнштейн Л.А., Маненков А.Б. Коаксиальные резонаторы//Радиотехника и электрон. 1973. Т.18. Вып.9. С.1777-1784. 3. Кириленко А.А., Масалов С.А., Шестопалов В.П., Шинкаренко В.Ф. Исследование спектра собственных частот магнитных типов колебаний в цилиндрическом резонаторе с коаксиальным кольцевым выступом. Харьков: Институт радиофизики и электроники АН УССР. Препринт. 1974. №37. 53 с. 4. E.Kuhn. Untersuchung eines kapazitiv

belasteten koaxialen Hohlraumresonators//Archiv Der Elektrischen Ubertragung (A.E.U.). 1968. Band 22, №12. S.557-566.

Поступила в редколлегию 15.04.98 Рецензент: проф. Алехин В.И.

Чумаченко Светлана Викторовна, аспирантка кафедры теоретической радиофизики ХЕУ. Научные интересы: методы решения внутренних и внешних граничных задач со сложными граничными условиями, теория электромагнитных полей во временной области, электромагнитные колебания в резонаторах с нестационарной средой. Адрес: 310077, Украина, Харьков, пл. Свободы, 4, тел. (0572) 45-72-57; (0572) 27-00-44,

E-mail: [email protected]

УДК 517.956; 534.112

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

МАРКИНА.Н., ПОЛТАВЕЦА.В.

Одним из известных аналитических способов решается краевая задача теории колебаний частной системы с непрерывно-дискретными параметрами, фундаментальные системы уравнений, динамики которой не нормируются. Все конечные выражения получены в аналитической форме. На основе полученых аналитических выражений построены формулы для определения собственных значений и собственных функций некоторых частных систем, а также частот и форм их собственных колебаний.

Решения краевых задач теории колебаний сводятся, по существу, к определению собственных значений, связанных с собственными частотами или другими параметрами исследуемой системы, и нахождению собственных функций (форм колебаний). Если собственные значения и собственные функции найдены, тогда можно считать краевую задачу решенной [1].

Универсальным для решения одномерных краевых задач теории колебаний систем с непрерывными, непрерывно-дискретными и кусочно-непрерывными параметрами является метод, основанный на применении нормальных фундаментальных систем, позволяющий получить конечные выражения в аналитической форме [2].

В то же время математические модели достаточно широкого класса систем с распределенными параметрами содержат уравнения динамики, фундаментальные системы которых не нормируются.

При решении ряда прикладных задач возникла необходимость в исследовании динамики системы, модель которой может быть представлена так называемым “перевёрнутым” маятником (рис.1):

Рис. 1. "Перевернутый" маятник с постоянными непрерывными и дискретными параметрами

гибкая нить, закреплённая неподвижно у основания, с закреплённой на верхнем конце дискретной

массой m г и удерживаемая вертикально-тянущим

усилием P в положении, близком к вертикальному.

Математическая модель рассматриваемой задачи, составленная в рамках допущений, принятых в [3], служит для нахождения решения уравнения движения нити:

Р()

5 2Х

а2-

д_

~дї

(1)

где р (l) — линейная плотность нити; X(/,t) — горизонтальные отклонения точек нити от вертикали; T(/) — закон изменения натяжения по длине нити; l — ось равновесного положения нити; которое удовлетворяет граничным условиям, соответственно, закрепленного нижнего и свободного верхнего (рис.2) концов нити:

X(0, t)= 0, (2)

d 2X(L,t) + dt2

g(k0 -1)-

dX(L,t) dl

= 0

где L — длина нити; k0 =---- — относительная

G Г

нагрузка верхнего конца нити,

8

РИ, 1998, № 2