Дисперсионное уравнение цилиндрического диафрагмированного резонатора. I Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.385.69

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ДИАФРАГМИРОВАННОГО РЕЗОНАТОРА. I

РУЖЕНЦЕВ ИВ., ХМЕЛЬ С.И., ЧУМАЧЕНКО В.С.

п<0 м =£ A-0 Z (»> (k<°> r) cosk^z),

1=0

n (1) (r, ^ = £ 41 z 0) kJV)cos [kZ]\z -/j],

i=0

П 2(r, z) =t A 2 Z 02 (# r) cos [k<2>( z - /,)],

i=0

Решается граничная электродинамическая задача для цилиндрического диафрагмированного резонатора. Получено дисперсионное уравнение относительно собственных частот.

Объемные электромагнитные резонаторы применяются в технике сверхвысоких частот и в ускорителях заряженных частиц [ 1—3]. В связи с этим представляет интерес найти поля и собственные частоты для диафрагмированных резонаторов цилиндрического и коаксиального типов.

П М (r, z) =i A<%03> (kMr)cos[k<3)(z - /,)], (4)

i=0

n<*>(r, z) = £ 4<^Z<^(klf >^co^k<w)6 - /м_1)],

i=0

где k — собственные числа и

Рассмотрим задачу об отыскании собственных частот колебаний электрического типа в цилиндрическом резонаторе с диафрагмами (рисунок). Формулы получены для различных расстояний между диафрагмами и различных больших радиусов дополнительных областей. На рисунке изображен частный случай — продольный разрез резонатора, когда расстояния между диафрагмами одинаковы и большие радиусы дополнительных областей также одинаковы.

Компоненты электромагнитного поля определяются по формулам [3]:

E

1

jae

k 2 + *

2 А

dz2

П

{m\r, z),

j = 4-1; (1)

сИ^ m\r, z) _

dr

(2)

k(0) =^І kw - ni - ™ b(2) _ ™ ™

21 /0 ’ z' /2 - /1 A /1 ’ й /4 - /3 A /2 ’

Ф=1/kN4N)2

Г z л

к2 - kN га

/N у

-/3, . . , A /n

, і = 0,1,2,...;

, 2 (0) 2 J 2 2 J 2 2

k0 — s ш n0 , ki _ ^i® M-0, ... ’ kN ~ 8N® M-0 .

Частичные области резонатора могут заполняться материалами с различными диэлектрическими константами:

^ — s0(s(0) _ J8(0)), ..., 81 _ 80 (8i _ j8i),

8 2 = 8 Л^82 _ j 82) , ... , 8 N = 8 0 (SN _ j 8.у) . Если kr > 0, то kr = Jk2 - kz , n = 0,1,2; т = 1,2,3,...

2

EW(r,z) = -іУ n(Ar• z>

jroe drdz

m = I, II, III

(3) zf (ki0r) = J,,{k(°r)N0 (A0*) - J0 (k!0b)N> (А0г) ■

Zn1 r) = Jn (k®r N0 (*!?a J - J0 (k® «1

Потенциальные функции m\r,z) являются решениями скалярного однородного уравнения Гельм- Z*2 {k^) ^ = Jn (k|2) r)N0 (k$ a2) - J0 {kty«2 N (k|2 ^,

гольца, и для трех областей резонатора определяются следующим образом:

8 РИ, 1999, № 4

Z(n\k^r) = J„ (k^ 0 №K) - J 0 №aN ]n„ Wr ),

b — внешний радиус резонатора; ax — меньший радиус 1-й области; a2 — меньший радиус 2-й области; aN — малый радиус N -й области.

На границе раздела частичных областей электрическое и магнитное поля должны быть непрерывными, а касательные составляющие вектора электрического поля должны обращаться в нуль на идеально проводящих стенках резонатора, т.е. необходимо выполнение следующих граничных условий:

40) = EZN, r = a, z є Щ,

(5)

eZ° = 0, r = a, z є М ,

= HN, r = a, z є Щ.

(6)

Определив составляющие Ez и Hф по формулам (1)-

(3) и подчинив их граничным условиям (5),(6), получим систему функциональных уравнений, из которой следует бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов A :

І A°>х\»>z<»>(x!)

i=0

с® = k« a =

c® = № a =

a^

a

ki2 -

VA lx j

k 22 -

^ KT ^

l2 J

№ = kl3) a =

a

k32 -

f ^ \

l3 J

x

N = kNa =

a

k 2 -

N

^ пт ^

уЛlN J

x

^ = kl^ a =

a

k 2 -

2

KZ

VA 4j

t = 0,1,2,3,...; |д = 0,1,2,3,...:

8 M + 8 . A j2 Z01xf ) _ , r ,

J J2(xj0)zf°(xj0)) /'n(M1,MJ = j cos(kZMiz)cos[kZp(z-l2N-i)]dz

l2N-1

_ 2 f. А. АУ й (A1)2 z 0° (A*)

Є1 k=0 (i + 8J Ali Ak»Z<%xkiiy

Условием существования и единственности решения системы (7) является обращение в нуль ее определителя:

_ 2у ьСлЙ';('■ k) (xk^2z02)(xk^)_

s2 A(1 + SJA l2 yk^il^xk^-

2 e<0) h(j,ЙА k) (A3*)2z0Axk3>) . .

“ 2 s3 A(1 + 8 J A l3 xk3 zp(x«) - <7)

det

40) z'»>(x!)

«j (j x [Z° *

2\4f, I z\°\x

_ ^(0) у _1 у 'x(J, kK(^ k) Ц0)* z05xc)

5ex ы (1+8W)Alt

(8)

!> = 0.

- 2-

A S -A,ААб INГzQN>(xkN))

s N k=0

k=0 ^ + Sm) A/n X(N) z(N)|x(N) j

= 0

или

X A »> x<0 zj0 (x/)

i=0

8j f1+8.0)

/0 (xf)2 z <»>(xj»>)

Следует заметить, что при k2 < 0 имеет место

kr = - jkr = - j\k2z - k2 и kr =-s[k2^kJ , и

функции z5 представляются модифицированными функциями Бесселя:

zn0) №r) = -^2exp- jnnl гУ 0 (kr(x0)b) -

n

2(xj<»)zl°>(xj<»)~ _(_ On/0(k“‘^>bKn(i,?)r)]

_у± T '.(J,б'т(Й ^i^)2z0^(ffi)

T=18T kT0 (1+5k0) Alx z{^(xWJ

= 0

z„^ (krzi}^ = -^2exp- j„nl 2t!„ (kr1r)K 0 (kr(xl)a J -

n

10 lkr\J a

(- 0 "10 (A11 «1WA1 d],

2

2

РИ, 1999, № 4

9

Z"2 [кГ?г] = -~exp(- jim/2ІІп(к$г)к 0 (^Ц) -

%

-(-1 "10(ki2)a2]к,,(кй r)] ■

=--exp- jtml о (^Vv) -

%

-(- і"іо№Юк№°г\.

Полученное в такой форме дисперсионное уравнение позволяет разработать оптимальный численный алгоритм для расчета резонансных частот рассматриваемого резонатора. Алгоритм и результаты численных расчетов на ЭВМ будут приведены в продолжении данной статьи.

Литература: 1. Лупандин О. С., Ковпак Н.Е., Баранов Л.Н., Хижняк Н.А. Исследование электродинамических свойств резонаторов с патрубками. Харьков: ХФТИ. Препринт 70/34. 1970. 15с. 2. Вайнштейн Л.А., Маненков

А.Б. Коаксиальные резонаторы//Радиотехника и электроника. 1973. Т.18. Вып.9. С.1777-1784. 3. Вальднер О.А., Шальное А.В., Диденко А.Н. Ускоряющие волноводы. М., 1973. 192 с.

Поступила в редколлегию 15.12.99

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лучанинов А.И.

Руженцев Игорь Викторович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой метрологии и измерительной техники ХТУРЭ. Научные интересы: радиофизика и измерительная техника. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-31.

Хмель Сергей Иванович, соискатель кафедры МИТ ХТУРЭ. Научные интересы: радиофизика и измерительная техника. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 14-08-02.

Чумаченко Виктор Савельевич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Харьковского научного физико-технологического центра НАНУ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61145, Харьков, ул. Новгородская, 1, тел. 32-45-67.

УДК 537.877

РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. I

ЧУМАЧЕНКО С.В._______________________

Предлагается общая схема решения задачи о расчете искажения огибающей электромагнитного импульса, распространяющегося в регулярном волноводе. При заданных огибающей, несущей частоте входного сигнала и длине волновода с использованием преобразования Фурье выводится общая формула, из которой можно определить искажения огибающей выходного сигнала.

Для волновода без потерь длиной l, рассматриваемого как четырехполюсник, передаточная функция имеет вид [1,2]:

Л( <в) = exp(- д4

/Ю2 -®2

(1)

где t0=l/c, l — длина волновода; с — скорость света; (О — частота электромагнитного поля; ш — критическая частота волновода. Пусть на вход этого волновода подается импульс с несущей частотой (О 0:

міР^Яе|^со8й)(/, (2)

здесь ge — огибающая этого импульса.

Введем в рассмотрение спектр огибающей импульса, вычисляемый по формуле

мі(0°FBX = J**Л =

= — ц|^-<Иоу-— + .

(4)

2 1 и 1 2

Итак, спектр входного сигнала представим в виде:

=|мр-(Оо'ун|мР + (Оо']. (5)

На выходе волновода с учетом Л |о^ и использованием обратного преобразования Фурье получим выходной сигнал

~ТО

= ^^ufi + 0>oy$YJa,td(o+ (6)

+^-°&мР-соо У .

2л

При замене переменных

' 'J 0 5

0;

е jnt =eJ |S'-fflo Y = e jn't e-joyf .

e jrt = ej |i"+ra0Y = e j(0"' e joyf

получим

ge{')°-• и(ю)= Jge{t)e ]mtda ;

(3)

e~j^

2n _ДР2

0

10

РИ, 1999, № 4