CC BY
34
УДК 621.385.69
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ С ДВУСЛОЙНЫМ ДИЭЛЕКТРИКОМ
ЗУЕВ Н.Г., ХМЕЛЬ С.И., ЧУМАЧЕНКО С.В.
Предлагается решение электродинамической задачи об электромагнитном поле в цилиндрическом резонаторе, частично заполненном диэлектриком. Приводится дисперсионное уравнение рассматриваемой структуры.
1. Введение
Рассматриваемый в данной работе резонатор является составной частью полицилиндрических резонаторов. Они представляют собой последовательное соединение отрезков цилиндров, которые расположены в середине пустого цилиндрического резонатора. Полицилиндрические резонаторы могут образовывать систему связанных кольцевыми щелями тороидальних и радиальных резонаторов. При этом щели связи создаются торцами дисков и цилиндрическими поверхностями располагаются возле боковых стенок резонатора и внутреннего проводника.
Впервые описание и качественный анализ полицилиндрических резонаторов был сделан в [ 1 ]. Было показано, что с помощью методов теории поля можно получить соотношения для расчетов основных параметров резонаторов в зависимости от их геометрических размеров. Анализ этих соотношений показывает, что путем рационального выбора числа элементов и их геометрических размеров габаритные размеры полицилиндрических резонаторов могут быть существенно уменьшены в сравнении с размерами обычных пустых резонаторов для той же длины волны.
Разработки лазерных дальномерных систем, волоконно-оптических линий связи, лазерных локационных систем требуют создания модуляторов лазерных пучков с определенными техническими характеристиками. Электромагнитный резонатор, который рассматривается в данной работе, близок по конструкции с главной составной частью резонансных модуляторов лазерных пучков, которые приведены в [2].
Применение электромагнитных резонаторов сложной структуры описано в [3]. В работах [4,5] приведено дисперсионное уравнение сходного с рассматриваемым резонатора, но без диэлектрика.
2. Постановка и геометрия задачи
Рассмотрим цилиндрический резонатор радиуса b и длины l с коаксиально расположенным настроечным элементом типа «штемпель» [6]. Длина ножки стержня Al = 1-І2, его диаметр 2а , радиус диска d. Расстояние от левой стенки резонатора до диска li, до правой стенки диска І2 . Внутренний
радиус первого диэлектрического слоя, примыкающего к металлической поверхности резонатора, равен b; меньший радиус второго диэлектрического слоя b2 . Слои вплотную прилегают друг к другу и имеют диэлектрические проницаемости 8 1 и 82 .
Требуется получить дисперсионное уравнение описанной структуры.
3. Решение задачи
Для решения используется метод частичных областей. Объем резонатора разбивается на области более простой формы, для которых известны собственные функции. В основе метода лежит удовлетворение условий непрерывности на поверхности раздела между частичными областями. При использовании метода частичных областей поставленная задача сводится к отысканию решений бесконечной однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Введем цилиндрическую систему координат, начало которой расположено в центре левой боковой стенки резонатора, ось z направлена вправо коаксиально настроечному элементу, а ось г — перпендикулярна к ней. Для применения метода объем внутри резонатора условно разбивается на подобласти, которые задаются следующими интервалами изменения координат:
s1: 0 < z < l, b < г < b; в2 : 0 < z < l, b2 < г < Ц;
0:0 < z < lj, a < г < b2;
1:0<z<l1, 0<г<d;
2:l2 <z<l, a<г<d .
Компоненты электромагнитного поля определяются по формулам [7]:
E^.z) = —
]<Л
^2 Л
п (ш)(г^)
2
k
(1)
Егт)(г,z) = — а2ПИ(г,2) , j = тП, m = 0,1,2;(2)
jra cndz
Ezs m)(pz) = —
( 2 , ^2 ^
j<D8 r
k2 . 2
V ^z2y
2 Ы(Ет)
П(Вт)М , (3)
, \ 1 d2П( тДг z)
E^pz) =------------^ m = 12 • (4)
г cTdz , т 1,2; (4)
Нфт)(г^) = -
an(Ет) (г, z)
аг
т = 1,2; (5)
Н(т) (г, z) = _a^m^T(r,z) , т = 0,1,2. (6)
Функции n^(r,z) являются решениями скалярного уравнения Гельмгольца и для частичных областей резонатора определяются следующим образом:
24
РИ, 2002, № 4
n(m)(r,z) =
00
E zoO)(k(iO)r)cos(kZ(0)z), m = 0, i=0
TO
Z A1(1)z01)(k(i1)r)cos(kZi)z),m = 1,
i=0
Z A(2)z02)(kr2)r)cos(kZ2)(z - /2)),m = 2,
i=0
где
kzi . k<i> , kz2> =£ ,k<0>
kzi = — ll
Al
k<i>=v k2 - (k<i>)2, k<2)k2 - (k<2>)2, k=„/c;
ю — круговая частота; c = 3 -10 м/с—скорость света; Z00)(kri0)r) = A1(0)J0(k(0)r) + B1(0)N0(kr0)r), (7.1)
(7)
Z01)(k(1)r) = J0(kn)r):
(7.2)
Z02) (k^r) = J0 (kr2)r)N0 (k^a) - J0 (kr2)a)N0 (k^r),
(7.3)
A-0), B-0), A(1), A(2) — амплитудные множители.
В областях с диэлектриками функции П(Sm) (r, z) записываются в виде:
n(Em)(r,z) =
n(E1)(r,z) = Е A|E1)Z0E1)(k(E1)r)cos(kziz),m = 1,
i=0
n(E2)(r,z) = E Z0E2)(kr-2)r)cos(kziz),m = 2,
(8)
i=0
где
k^ = Vk2 - (kzl)2 = VS1®2 - (ю/l)2 ,
k^ =уіk2 - (kzl)2 ^/в2ш2 - (я!/l)2
Z0S1)(krf1)r) = J0(krE1)r)N0(krE1)b) - J0(krE1)b)N0(k(E1)r),
(8.1)
Z0E2)(kri2)r) = A^^k^r) + B1(E2)N0(kriE2)r) ,(8.2) A-E1), a[E2) , b[E2) — неизвестные коэффициенты.
Компоненты электромагнитного поля для каждой частичной области определяются по формулам (1)-(6) с учетом представлений (7), (8) аналогично [8].
На границах раздела частичных областей электрическое и магнитное поля должны быть непрерывны:
Ez1),0 < z <l1, r = d; E(z0) =^E<2),l2 < z < l, r = d;
EzE2),0 < z <l, r = b2;
Ezs2) = Ezs1), 0 < z < l, r = b1; 'И(ф1),0 < z <l1, r = d;
Нф0) = \H%>, l2 < z < l, r = d;
И(фЕ2),0 < z <l, r = b2;
l(2)
(9)
(10)
(11)
Hj2) = И(фЕ1),0 < z <l, r = b1. (12)
Касательные составляющие вектора электрического поля должны обращаться в нуль на металлической поверхности резонатора:
Ez0) = 0, l1 < z <l2, r = d . (13)
Подчиняя компоненты электромагнитного поля граничным условиям (9)-(13), получаем систему функциональных уравнений:
ТО
Z (kzi)2Z00)(kr0)d)cos(kziz)=
i=0
ТО
= Z A(1)(kz1))2Z01)(kr1)d)cos(kz1)z), 0 < z <l1 ,(14)
i=0
Z (kzi)2Z00)(kri0)d)cos(kziz)= i=0
(15)
= Z A1(2)(kz2))2Z02)(kr2)d)cos(kz2)(z -12)),l2 <z<l,
i=0
TO
Z (kzi)2Z00)(kri0)b2)cos(kziz)= i=0
= — Z(kzi)2Z0E2)(k(1E2)b2)cos(kziz) , 0 < z < l ,(16) E 2 i=0
Z kr0)Z(0)(kr0)d)cos(kziz)=
i=0
TO
= Z A1(1)kr1)Z(1)(kr1)d)cos(kz1)z), 0 < z < l1, (17)
i=0
Z kr0)Z(0)(kr0)d)cos(kziz)=
i=0 (18)
TO
= E A(2)k(2)Z(2)(kr2)d)cos(kz2)(z -12)), l2 < z <l,
i=0
Z kr0)Z(0)(kr0)b2)cos(kziz)=
i=0
= ZkrE2)Z(S2)(krE2)b2)cos(kziz), 0 <z <l, (19)
i=0
— Z (kzi)2Z0E2)(krE2)b1)cos(kziz)= ю 8 2 i=0 (20)
= — ZA(E1)(kzi)2Z0E1)(krE1)b1)cos(kziz), 0 < z <l,
S1 i=0
Z krr 2)Z(S2)(krE2)b1)cos(kziz)=
i=0
= E A((s1)krr1)Z(S1)(krr1)b1)cos(kziz), 0 < z < l. (21)
i=0
Из системы (14)-(21) находим неизвестные коэффициенты. Из (20), (21) с учетом (8.1), (8.2) получаем:
A(s2) =^Ia(e1) в(є2) = -^L a(e1) i A1 i ’ i '
где введены обозначения
А1 i > (22)
Ф1 = — Z0E1)(krE1)b1)N1(k(rE2)b1) -
РИ, 2002, № 4
25
k(E1)
- -^z|ei>(k;f1>bi)N0(k<r'2'bi),
kri
Ф 2 =^^2z0E1)(k(f1)bi)Ji(k(1E2)bi) -
si
k(si)
- ■kfis2Tz!ei,(kiri,bi)j„(kr'2lbi),
Д, = Jo(krf2)bi)N,(krf2)bi) - Jl(k<r‘2)bi)N0(k(nS2)bi).
Из (16) и (19) с учетом (7.1) получаем систему уравнений относительно Л|0), в(0), из которой имеем:
A(°) ^?La(«i) , в'0" = ^L-A'si). (23)
i Ai ■ Д2 i ’ i Ai - A2 i
Здесь приняты обозначения:
Фз = fiNi(kr°)b2)[OiJ° (krr2)b2) - 02N° (k^^)] -
Ф 4
>2)
--k^No^rO^^iJi^2^)-Ф 2Ni(krE2)b2)],}
k ri
Ф4 = {—Ji(kr0)b2)^iJ0(krE2)b2)^2N°(krE2)b2)] -
k(0)
Jo(k(0)b2)[ФlJl(k(E2)b2)-Ф 2Ni(krE2)b2)]};
a 2 = J° (kj°)b2 )Ni (k(n0)b2) - Ji (kr°)b2 )N° (k(n0)b2)
Подставим (23) в (7.1), затем из (14), (15), (17), (18) определим выражения для ЛЦ, ЛП2) и систему относительно А^ соответственно:
A(i) =-
J Al k(l)z(1)(k(^)d)k=0
Z kr0)AkSi)^ 6(d)Ti(k,j)
Л(2) _ 2 у k(°) д (6i)
j ~Al k^zi2^^
Z kik)AkSi) Ф 6(d)T2(k,j)
E5ij(kZi)2A(si) Ф5(ё) -
i=0
(24)
- 2 £ k;0>A;sii*6(d) £ 2(kZt>2z0i><k!kld)Ti<k.j)Ti<i-k)
l i=0
k=° Alk^"^^)
2 ” (0) (Fl) ” 2(k(5;))2z02)(k(k)d)T2(k,j)T2(i,k)
-7* д;k(k>zk2>;k|>df ^ *=0
™ Ф5(г) = -^-J°(krk)r)--^4-N0(kr0)r) ,
AiA2 AiA2
ф6(() “ТГ'1'^0'0-^^£;-Nl(k<rk)() •
AiA2 AiA2
Ti(k, j) = Jcos(kZJ)z)cos(kzkz)dz ,
2
2
2
T2(k,J) = Jcos(kzkz)cos(kz:2)(z-l2))dz . l2
Условием существования и единственности решения системы уравнений (24) является равенство нулю ее определителя:
2
1
2
7
det(6ij(kzi)2 ®5(d) -
. (°|ф (d) S 2(kZlk>)2zkl>(k^k>d)Tl(к,j)Ti(i,к)
" Фб№й
..raw (d) S 2(kzk)2z02l(k*ld)T2(k,J)T2(i,k) kri °6(d)£ лlk^г)z<2>(k^k>d)
(25)
}=0.
4. Выводы
Корни определителя (25) являются собственными частотами рассмотренного цилиндрического резонатора. Ожидается, что введение диэлектрических слоев позволит в известных пределах управлять настроечными кривыми резонатора в зависимости от геометрических размеров диэлектрических вставок и их проницаемостей.
Литература: 1. Нейман М.С. Полицилиндрические эндовибраторы // ИЭСТ. 1940. №2. С. 33-38. 2. Кравченко Н.И., Оробинский А.Н. Микроволновая модуляция лазерных пучков в электрооптических кристаллах // Зарубежная радиоэлектроника. 1989. №11. С. 60-72. 3. Чума-ченко С.В. Стационарные колебания и нестационарные электромагнитные поля в цилиндрических резонаторах сложной формы // Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Харьков, ХТУРЭ. 1999. 195с. 4. Чумачен-ко С.В. Уравнение собственных частот и компоненты поля для резонатора сложной формы // Радиотехника. Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. 1998. Вып. 106. С. 150-156. 5. Чумаченко С.В. Уравнение собственных частот и добротность цилиндрического резонатора с двумя независимыми элементами настройки // Радиоэлектроника и информатика. 1998. № 2(03). С. 6-8. 6. Kuhn E. Untersuchung eines kapazitiv belasteten koaxialen Hohlraumresonators // Archiv Der Elektrischen Ubertragung (A.E.U.). 1968. Band 22, №12. S. 557-566. 7. Иванов ЕЛ. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584с. 8. Хмель С.И., Чумаченко С.В. Дисперсионное уравнение цилиндрического резонатора, перестраиваемого отрезком ребристого цилиндра // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 3(16). С. 24-26.
Поступила в редколлегию 03.10.2002
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.
Зуев Николай Григорьевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.
Хмель Сергей Иванович, соискатель кафедры МИТ ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика и измерительная техника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 14-08-02.
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.
26
РИ, 2002, № 4
