Уравнение для угла нутации в кинематике тела с неподвижной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. Д. Севостьянов

УДК 531

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ УГЛА НУТАЦИИ В КИНЕМАТИКЕ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

В кинематической задаче Дарбу (С. ОагЬоих) [1] требуется аналитически определить движение тела с неподвижной точкой (т. е. углы Эйлера Ф, у;, 0 как функции времени г) по известной мгновенной угловой скорости со(р,ц,г) тела, где <7(?), - ее известные координаты на оси связанной с телом системы хуг . Орт С,0 неподвижной оси ц имеет координаты на оси хух :

у, = зтввтср, у2=5т9созф, Уз=СОЗ9, (1)

которые удовлетворяют линейным уравнениям Пуассона [1]:

У\=Н2-ЧУъ' Ъ=-П\+РУз> Ь=Т/]~РУ2> (2)

2 9 7

имеющим квадратичный интеграл у, + у2 + у3 =1.

Функция Уз = соя 9 описывает нутацию тела. Отделим ее из уравнений (2).

Обозначим знаком « ' » производную по безразмерному интегральному времени т:

I х

т = |Шг, 02 = р2+Ч2, |Шу = оо. (3)

о о

Тогда система (2) примет вид (р = Осоэх, <? = £2зтх ):

у'] = -Уз^х, У2 = -^У] + УзС08Х.

Уз =-5т6соз(ф + х):= У^тх-УгСОБХ. (4)

Здесь х — известный угол между связанной осью х и известным вектором 0.[р,ц) в плоскости ху.

Дифференцируя по т последнее равенство в (4) и используя два другие и (1), получим:

у^ =8т9зт(ф + х)ст-Уз>

где введена известная функция а (в которую г входит линейно):

= ^ + х = агс1§^. (5)

Тогда придем к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка для Уз(г) :

У^Уз2+(^)2=1. (6)

т. е. в уравнениях Пуассона (2) функция у3 = со.?9, описывающая нутацию, отделилась. Это уравнение в [2] получено из кинематических уравнений Эйлера. Дифференцируя (6) по т, придем к линейным уравнениям:

т'з+Уз = о (7)

Определив у3(т), из (4) и (1) имеем

e' = cos(cp + x) = —

Vb

Уз2

т. е. найдем ф(т); используя кинематическое равенство Q2 = ф2 sin2 9 + Э2,

получим

М/'=±

■ _± Уз+Уз

°|(1_Уз)'

откуда определим у(т); с помощью (3) находим закон движения тела 9(/), У (О по начальным значениям этих углов. Обозначив переменные

п ^

=Уз> 42=Уз. (8)

о

с помощью первого уравнения в (7) для них получим [2] линейную однородную систему с кососимметричной вырожденной матрицей, которая, как и (2), приводится методом Дарбу к комплексному уравнению Риккати (первого порядка) [1], [3, пример 8.50].

Из (8) и (6) следует, что в пространстве .у^^з изображающая точка

движется по единичной сфере £2 + + = 1, при этом возрастанию я, (уменьшению 9) соответствует $2 > 0.

В [2] рассмотрен частный класс решений (6) - (7) при постоянной ст = ас. Тогда из (5) определяем г через достаточно произвольные функции р и д. В этом классе из (7) и (6) имеем общее решение [2]:

Уз = соэб = 5, = с, + аБт(&т + а), к2 = 1 + о2,

а2=к-2-с2.!(к2-1). (9)

Дадим механическую интерпретацию этого периодического решения. Вычислив ^з в (8), получим в пространстве уравнение из (9)

(

СТС5, + =

1

ст<-+;г

У

для семейства параллельных плоскостей, перпендикулярных плоскости ■5|53 (с* - параметр) и пересекающих единичную сферу по окружностям (рисунок). Касательная к сфере плоскость 1 определяет в точке касания ре-

гулярную прецессию тела (на неподвижной единичной сфере в неподвижном пространстве ^цС, апекс оси г движется по параллели; ось С, определяет полюс); окружность при пересечении сферы плоскостью 2 соответствует волнообразному движению апекса оси г между двумя параллелями,

так как у' = ±-

ст > О

сохраняет знак; наконец, на окружности пересечения

сферы плоскостью 3 ^ меняет знак, как и \|/', что приводит к петлеобразному движению апекса оси г между двумя па- , раллелями. Движение тела для данного класса (а = ас) отличается от движений в случаях Эйлера - Пуансо и Лагранжа - Пуассона (о * ас), так как выражается в элементарных функциях (9,ф,1|/ как функции т элементарны).

Функции 9(?) и при о = сте имеют период Г, если 0(/) имет этот же период и д 1 5з

т(Т)=2пп/к (п - натуральное, ). Заметим, что уравнение 2-го порядка для Уз (?) можно получить из (2), дифференцируя 3-е уравнение по и из полученного равенства (с учетом 1-го и 2-го уравнения) и 3-го уравнения находим у, и у2, которые подставляем в квадратичный интеграл, однако это уравнение имеет громоздкий вид по сравнению с (6).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

2. Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2005. Вып. 7. С. 195- 198.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 2-е изд., перераб. и доп. / Пер. с нем. М.: Гос. изд-во фич.-мат. лит., 1961.

УДК 519.872: 519.622.2

С. М. Тиховод

ЕЩЕ ОДИН МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Моделирование динамических процессов в реальных устройствах приводит к необходимости составления и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Предлагается новый метод численного интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, позволяющий сократить затраты компьютерного времени.