Еще один метод численного интегрирования систем дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

гулярную прецессию тела (на неподвижной единичной сфере в неподвижном пространстве ^цС, апекс оси г движется по параллели; ось С, определяет полюс); окружность при пересечении сферы плоскостью 2 соответствует волнообразному движению апекса оси г между двумя параллелями,

так как у' = ±-

ст > О

сохраняет знак; наконец, на окружности пересечения

сферы плоскостью 3 ^ меняет знак, как и \|/', что приводит к петлеобразному движению апекса оси г между двумя па- , раллелями. Движение тела для данного класса (а = ас) отличается от движений в случаях Эйлера - Пуансо и Лагранжа - Пуассона (о * ас), так как выражается в элементарных функциях (9,ф,1|/ как функции т элементарны).

Функции 9(?) и при о = сте имеют период Г, если 0(/) имет этот же период и д 1 5з

т(Т)=2пп/к (п - натуральное, ). Заметим, что уравнение 2-го порядка для Уз (?) можно получить из (2), дифференцируя 3-е уравнение по и из полученного равенства (с учетом 1-го и 2-го уравнения) и 3-го уравнения находим у, и у2, которые подставляем в квадратичный интеграл, однако это уравнение имеет громоздкий вид по сравнению с (6).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

2. Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2005. Вып. 7. С. 195- 198.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 2-е изд., перераб. и доп. / Пер. с нем. М.: Гос. изд-во фич.-мат. лит., 1961.

УДК 519.872: 519.622.2

С. М. Тиховод

ЕЩЕ ОДИН МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Моделирование динамических процессов в реальных устройствах приводит к необходимости составления и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Предлагается новый метод численного интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, позволяющий сократить затраты компьютерного времени.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

ои' + р* = /(/) (1)

в области Л <1 < и ■

Допустим, что производную решения (1) можно аппроксимировать полиномом степени 3:

сЬс

х'(г) = — = р(/) = а] + + <з3Г + а4Г3. <к

(2)

Интервал изменения аргумента разобьем на три одинаковых отрезка длиной к точками 12 , Ь. и- Для аппроксимирующего полинома (2) зададим дополнительное условие, чтобы в точках tk деления интервала изменения аргумента выполнялось условие:

х'(1к)=р(1к) (к = 1,2,3,4). (3)

Если условие (3) записать для каждой точки !к, то получим систему линейных алгебраических уравнений, если принять, что /| = 0. В матричной форме эта система имеет вид

(4)

Пусть номер к отрезка, на которые разделен интервал изменения аргумента, совпадает с номером точки деления гк , расположенной слева отрезка. Проинтегрируем выражение (3) на к-м отрезке.

'к +1

хк+\-хк= (5)

Iк

Подстановка в (5) выражения (2) после интегрирования дает:

+ + - + ,-1%), к = и. (6)

1 2 N

Если уравнение (6) записать для к = 1, 2, 3, то получим систему алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид

0 0 0 " Х'(0)

1 И И2 й3 а2 х'(И)

1 2к (2И)2 (Зй)3 «3 х'(2И)

3/7 (Щ2 «4. х'(ЗИ)

1

-1

-1 1

И И2_

х\ 1 2 3 4

х2 И 15/г4

*з Т 2 3 4

И 1%3 65 ИА

1 2 3 4

1_а4

(7)

Если для всех четырех точек также записать исходное дифференциальное уравнение (1), то получим следующую систему линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид

а

(3.

/00

х2 Я'2)

ш

Ли)

(8)

Введем в рассмотрение вектор размерности 12x1:

\ = [а

*з

Используя вектор неизвестных У, объединим уравнения (4), (7), (8) в одну систему, приведенную в матричной форме:

1 0 0 0

1 к И2 й3

1 2й 4/г2 8Й3

1 3/г 9/г2 27Й3

А

п 2 3 4

Л 3^ 7^ 15/г4

2 3 4

¡1 19/г3 65/г4

Г1 2 3 4

-1

-1

1 -1

О О О О О О О

/('!) Д<2)

/Сз)

ш

(9)

Последняя строка в системе соответствует начальному условию

х{1х) = х 0.

В результате получили систему 12 уравнений с 12 неизвестными (9). В качестве единственного решения этой системы уравнений получим значения коэффициентов аппроксимирующего полинома (2) а\, а2, а} , а4, значения искомой функции х(Г) и ее производной в опорных точках.

Если в уравнении (6) верхний предел интегрирования взять переменный то получим

г\).

Это значит, что, зная коэффициенты полинома и решение в опорных точках, мы можем получить решение во всех произвольных точках любого из трех отрезков в области изменения независимой переменной.

Расчеты показывают, что при I > 31г аппроксимация производной полиномом приводит к значительным осцилляциям найденной интегральной кривой между опорными точками.

Матричное уравнение, соответствующее таблице, примет вид

М У = Г. (10)

В результате решения уравнения (10) получим значения коэффициентов аь ... а4. Следовательно, мы можем получить решение на трех отрезках в виде

1к </</*+,Д = 1,2,3.

На больших интервалах изменения независимой переменной I » ЗИ решение можно получить методом прогонки. Решение систем дифференциальных уравнений производится аналогично.

Сравнение расчетов по предложенному методу и по методам Гира, Адамса — Маултона, Адамса - Башфорта [1] показало, что для системы уравнений порядка 30 скорость расчета увеличена более чем в два раза.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ортега Дж., Пулл У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

УДК 539.3

Н. С. Хлопцева

ОЦЕНКА МАТЕРИАЛОЕМКОСТИ СТЕРЖНЕЙ И КОЛЕЦ, РАБОТАЮЩИХ НА СЖАТИЕ

Весовая выгодность стержней и колец, работающих в условиях сжатия, определяется максимальным значением отношения критических сил р, к весу стержня или кольца С. Для оценки этого отношения введем понятие удельной критической силы

(о

Будем рассматривать стержни трубчатого поперечного сечения и кольца прямоугольного поперечного сечения.

Для определения р, воспользуемся прямым энергетическим методом определения критических нагрузок. Полагая рассматриваемые объекты упругими системами, запишем условие безразличного равновесия, ко-

228