Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным кусочно-однородным включением при наличии сосредоточенных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ С ТОНКОСТЕННЫМ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ

В. В. Сильвестров, А. В. Смирнов

Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина,

199991, Москва, Ленинский пр., 65.

E-mails: [email protected], [email protected]

Рассматривается упругая пластина, составленная из двух полубесконечных пластин, соединенных друг с другом через тонкое упругое кусочно-однородное включение. Изучается напряжённое состояние, порожденное двумя сосредоточенными силами, приложенными к пластинам. Находятся напряжения на линиях контакта, изучается их поведение вблизи точки изменения жёсткости включения.

Ключевые слова: упругие пластины, включение, сосредоточенные силы, напряжения.

Пусть две полубесконечные однородные пластины с различными упругими характеристиками соединены между собой через бесконечное тонкое упругое включение с кусочно-постоянным модулем упругости (рис. 1). Средние сечения пластин лежат в плоскости комплексной переменной z = х + гу так, что ось включения, расположенного между ними, совпадает с действительной осью. Обозначим толщины, коэффициенты Пуассона, модули сдвига пластин через hi, Vi, Еi и ha, Щ, Е-2 соответственно (здесь и далее индекс 1 соответствует верхней пластине, индекс 2 — нижней пластине), модуль упругости включения — через при (—1)А-_1ж > 0 (k = 1, 2), а площадь поперечного сечения включения — через S. К пластинам в точках 21,2 = приложены сосредоточенные СИЛЫ Pi + iQ 1 И Р-2 + iQ2-

Требуется определить касательные и нормальные напряжения вдоль линии контакта пластин и включения.

Ук id, Е2 ' м Pi 4- iQ 1 * ^ hi, ui, Hi Ei

-Л . /-► 1.

-idy P2+iQ2 * h2, V2, № U

Рис. 1. Составная плоскость с кусочно-однородным включением

Василий Васильевич Сильвестров (д.ф.-м.н.), профессор, каф. высшей математики. Александр Валериянович Смирнов, аспирант, каф. высшей математики.

Пластины находятся в обобщённом плоском напряжённом состоянии, а включение — в одноосном напряжённом состоянии. При этом из-за различия упругих характеристик пластин происходит не только растяжение, но и изгиб включения, учет которого значительно усложняет процесс решения. Здесь, как и в работе [1], предполагается, что включение лишено изгибной жёсткости, т. е. совершенно не сопротивляется изгибу. В этом случае из условия равновесия части включения на интервале (ж; ж + Аж), переходя к пределу при Аж —>■ 0, получим уравнения

ЕкАи"(х) + Л-1 т+(ж) - к2Тху(х) = О,

(ж) — Л-2сС(ж) = 0> (—1)к~1х > 0, к = 1,2,

(1)

где а^ и т^у — искомые нормальные и касательные контактные напряжения в верхней и нижней пластине. В силу малости толщины включения на его гранях должно выполняться условие равенства горизонтальных и вертикальных смещений точек пластин [2]

(и+ + т+)(х) = (и~ + іь~)(х), ж Є М. (2)

Искомые напряжения и деформации в пластинах выражаются по формулам Колосова—Мусхелишвили [3]:

ау(» - гтху(г) = Фк(г) - Фк(г) + (г - г)Ф'к(г),

2 цк(и + т)'{г) = ккФк(х) + Фк(г) -(г- г)Ф'к(г), (-1)к~11тх > 0, к = 1, 2,

где кк = (3 — ^)/(1 + ь,к), а Фк(г) — исчезающие на бесконечности меро-морфные функции с линией разрыва по действительной оси, причём функция Фк(х) может иметь простой полюс в точке хк и полюс второго порядка в

точке Хз_к (к = 1, 2). Из этих формул и равенства (2) следует

1^2И1Ф\{Х) — А^ФгЧж) = /Л1К2Ф2 (ж) — 1Л2Ф\(х), ж € М. (3)

Из свойств функций Ф 1,2(2) и краевого условия (3) вытекает аналитичность функции

п , ч = {^щф^г) - щФ2(г), > О,

°г [Ц1К2Ф2(г) - Ц2Ф1(г), 1тг < О

ВО всей комплексной ПЛОСКОСТИ за исключением точек ^1;2, в которых она может иметь полюсы второго порядка, причём на бесконечности функция Яо(г) обращается в ноль. Следовательно, она имеет вид:

„ / ч _ А) Врг + Ср Рр Ерг +

°г г — г(1 (г — id)2 г+ 1(1 (х + 1с1)2'

Постоянные Ар, Во, Со, Ио, Ео, Ео определяются из известных представлений

комплексных потенциалов вблизи точек приложения сосредоточенных сил [3]:

Ф1(г)=-2?(Г+^)г-И+Фи(г)- 'Пи>0;

Ф (г) =0--к1)Р1-г(1 + к1)д1 1

1 27г(1 + к\) г + 1(1

Р\ — 2 — 1(1

2ж(1 + К1)(г + «)2+Фм(2)- 'тг<0; ф2^=(1-«2)-Р2-*(1 + К2)ф2 1

27г(1 + кг) г — 1(1

Р2 - г+ г(1

27г(1 + кг) (-г —

+ Фог(-г), 1тг > 0;

Фг(г) = “ + М + Ф"2(2)- 1Шг < °;

где $01(2) и $02(2) аналитичны в окрестностях точек

На основании формул Колосова—Мусхелишвили и равенства (4) условия (1) преобразуются в краевое условие задачи Римана:

(1 + <5к1)Ф+(ж) — (1 + бит, 1)Ф||“(ж) = гд(х), х € М\{0}, (5)

9(х) = Ш;1Ке[к'ФПх) + ф'{х)]-%1±^Мх)' 6 = Ш <6)

Функция д(ж) непрерывна по Гельдеру на всей действительной оси, кроме точки ж = 0, где она может обращаться в бесконечность порядка меньше 1, и исчезает на бесконечности не медленнее 1/ж. Следовательно, решение задачи Римана имеет вид

ж / \ ^1 1 Г+°° 9(1)^

ФЛг) = -----+ 0 П , е ч / 1----> 1п1^ > о,

г-г<1 2ж(1 + бих) ,)_00 г-х

, В\ С\г + £>1 к2 [+°° д{Ь)(И

1^ = х+ 1(1 + [г + 1(1)2 + 2тг(к2 + 5) }_00 г-г ’ Ш< '

Постоянные А\, В1, С\, снова определяются из приведенных представлений комплексных потенциалов.

Из равенства (6) находим 1тд(ж) = — 6^*(1 + и2 1)Т1еКо(х). Для нахождения Лед(х) подставим предельные значения интегралов (7) в равенство (6) и выделим действительные части справа и слева. Вводя новую функцию /;(ж) = 11ед(ж), получим систему интегро-дифференциальных уравнений Прандтля

Г-+00 г+00

/(Х) _ Г~1Ш= ЕЫх) _ Г й, х > о,

^ и — СО ^ ^ >УХ

Н:х) = е2г1(х) + Г ыт, X < о,

^ -у —ОС V % и — С©

— ОО

где

Г\(х) =

г2(ж) =

А

-Ее

^1 + к2 1шДо(ж), П1 Ц1

кг

-1

Л-1

В1

-До (ж)

Ой

«1

X — 1(1 К2

С1Ж + £>1

х + 1(1 ' (ж + гс?)2 ’

+

ЕкА

АцФх + К2 + ^

Система уравнений (8) допускает решение методом, подробно описанным в работе [1]. Посредством интегрального преобразования Меллина она сводится к системе двух разностных уравнений, которая с помощью выбранной специальным образом диагонализации и последующего конформного отображения единичной полосы на расширенную комплексную плоскость преобразуется в краевую задачу сопряжения на римановой поверхности. Ввиду громоздкости решение здесь не приводится. Найденные на основе этого решения контактные напряжения удовлетворяют условию Гельдера во всех точках действительной оси, кроме точки ж = 0. При этом касательные напряжения имеют логарифмическую особенность в окрестности нуля, а нормальные напряжения принимают различные конечные значения при стремлении к нулю справа и слева.

Рис. 2. Контактные напряжения вблизи нуля: Р1 = Р2 = Ро (а); Р1 = —Р2 = Ро (б)

На рис. 2 представлены графики контактных напряжений при горизонтальной нагрузке = <32 = 0) в двух случаях Р\ = Р2 и Р\ = — Р2. На рис. 3 изображены контактные напряжения при различных значениях величины (1 при внешней нагрузке Р\ = — Р2 = Ро- Из рисунков видно, что при уменьшении расстояния между точками приложения сосредоточенных сил и включением контактные напряжения испытывают сильное возмущение вблизи нуля, причём на некоторых участках нормальные напряжения по величине превышают касательные, тогда как при больших (1 нормальные напряжения значительно меньше касательных.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-01-00103-а).

«+

тху/р0

-0,25

-0,5

-0,75

-1

' ' ' 4 X •'* ’

/ ^ A S'

!"\

г

-2

-1

x/ho

Рис. 3. Касательные и нормальные контактные напряжения при различных значениях расстояния (I: 1 — й = Но, 2 — с£ = 2/г.о, 3 — й = Шо, 4 — с1 = 8/г.о

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сильвестров В. В., Смирнов А. В. Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля и контактная задача для кусочно-однородной пластины // ПММ, 2010. Т. 74, №6. С. 951-968; англ. пер.: Sil’vestrov V. V., Smirnov А. V. The Prandtl integrodifferential equation and the contact problem for a piecewise homogeneous plate // J. Appl. Math. Mech., 2010. Vol. 74, no. 6. Pp. 679-691.

2. Чобанян К. С.,Хачикян А. С. Плоское деформированное состояние упругого тела с тонкостенным гибким включением // Изв. АН АрмССР. Сер. Механика, 1967. №6. С. 19-29. [Chobanyan К. S., Khachikyan A. S. Plane deformation state of an elastic body with a thin walled flexible inclusion // Izv. AN ArmSSR. Ser. Mehanika, 1967. no. 6. Pp. 19-29].

3. Мусхелишвили H. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.; англ. пер.: Muskhelishvili N. I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Basic equations, the plane theory of elasticity, torsion and bending. Leyden: Noordhoff International Publishing, 1977. 768 pp.

Поступила в редакцию 24/1/2011; в окончательном варианте — 27/III/2011.

MSC: 74B05; 74K20

ELASTIC STRESSES IN A PLANE WITH A THIN PIECEWISE-HOMOGENEOUS INCLUSION

V. V. Silvestrov, A. V. Smirnov,

Gubkin Russian State University of Oil and Gas,

65, Leninskiy pr., Moscow, 199991, Russia.

E-mails: [email protected], smirnov09alSgmail.com

The elastic plate composed, of two semi-infinite plates connected one with other through a thin elastic piecewise-homogeneous inclusion is considered. Stress state in the plates under the action applied, to them concentrated forces is studied. The stresses on the lines of contact are found and their behavior near point of changing the inclusion rigidity is studied.

Key words: elastic plates, inclusion, stresses, concentrated forces.

Original article submitted 24/1/2011; revision submitted 27/111/2011.

Vasily V. Silvestrov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Higher Mathematics. Aleksandr V. Smirnov, Postgraduate Student, Dept, of Higher Mathematics.